机器人学-运动学部分-2010-3-16

1、齐次坐标和齐次变换知识点：齐次坐标和齐次变换知识点： n 点和面的齐次坐标和齐次变换点和面的齐次坐标和齐次变换n 三个基本旋转矩阵三个基本旋转矩阵n 齐次变换的几何意义齐次变换的几何意义n 绝对变换：绝对变换：如果所有的变换都是如果所有的变换都是相对于固定坐标系相对于固定坐标系中各坐中各坐标轴旋转或平移，则依次标轴旋转或平移，则依次左乘左乘，称为，称为绝对变换绝对变换。n 相对变换：相对变换：如果动坐标系如果动坐标系相对于自身坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次旋转或平移，则齐次变换为依次右乘右乘，称为，称为相对变换相对变换。n 绕任意轴旋转，绕任意轴旋转

2、，5 5步顺序步顺序n 透视变换透视变换第三章第三章 机器人运动学机器人运动学 n 机器人运动学主要是把机器人机器人运动学主要是把机器人相对于固定参考相对于固定参考系系的运动作为的运动作为时间的函数时间的函数进行分析研究，而不进行分析研究，而不考虑引起这些运动的力和力矩考虑引起这些运动的力和力矩n 也就是要把机器人的也就是要把机器人的空间位移空间位移解析地表示为时解析地表示为时间的函数，特别是研究机器人间的函数，特别是研究机器人关节变量空间和关节变量空间和机器人末端执行器位置和姿态之间机器人末端执行器位置和姿态之间的关系的关系n 本章将讨论机器人运动学几个具有实际意义的本章将讨论机器人运动学几

3、个具有实际意义的基本问题。基本问题。 3.1 3.1 机器人运动学所讨论的问题机器人运动学所讨论的问题 3.1.1 3.1.1 研究的对象研究的对象 机器人在基本机构形式上分为两种，一种是关节式串机器人在基本机构形式上分为两种，一种是关节式串联机器人，另外一种是并联机器人，如图：联机器人，另外一种是并联机器人，如图： PUMA560HexapodFanuc manipulator运动学研究的问题运动学研究的问题Where is my hand?Direct KinematicsHERE!How do I put my hand here?Inverse Kinematics: Choose t

4、hese angles!研究的问题研究的问题: :n 运动学正问题运动学正问题-已知杆件几何参数和关节角矢量，求操已知杆件几何参数和关节角矢量，求操作机末端执行器相对于固定参考作标的位置和姿态（作机末端执行器相对于固定参考作标的位置和姿态（齐齐次变换问题次变换问题）。）。n 运动学逆问题运动学逆问题-已知操作机杆件的几何参数，给定操作已知操作机杆件的几何参数，给定操作机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位姿），操作机能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？姿），操作机能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？如能达到，那么操作机有几种不同形态

5、可以满足同样的如能达到，那么操作机有几种不同形态可以满足同样的条件？条件？运 动 学 正 问 题关 节 角杆 件 参 数末 端 执 行 器运 动 学 正 问 题关 节 角杆 件 参 数逆3.2 3.2 机器人杆件，关节和它们的参机器人杆件，关节和它们的参数数 3.2.1 3.2.1 杆件，关节杆件，关节n操作机由一串用转动或平移（棱操作机由一串用转动或平移（棱柱形）关节连接的刚体（杆件）柱形）关节连接的刚体（杆件）组成组成n每一对关节杆件构成一个每一对关节杆件构成一个关节关节自由度自由度，因此，因此N N个自由度的操作个自由度的操作机就有机就有N N对关节对关节- -杆件。杆件。n0 0号杆件

6、（一般不把它当作机器号杆件（一般不把它当作机器人的一部分）固联在机座上，通人的一部分）固联在机座上，通常在这里建立一个固定参考坐标常在这里建立一个固定参考坐标系，最后一个杆件与工具相连系，最后一个杆件与工具相连n关节和杆件均由底座向外顺序排关节和杆件均由底座向外顺序排列，每个杆件最多和另外两个杆列，每个杆件最多和另外两个杆件相联，不构成闭环。件相联，不构成闭环。 关节：关节：n一般说来，两个杆件间是用一般说来，两个杆件间是用低付低付相联的相联的n只可能有只可能有6 6种低付关节：种低付关节：旋转旋转（转动）、（转动）、棱柱棱柱（移动）、（移动）、圆柱形圆柱形、球形球形、螺旋螺旋和和平面平面，其

7、中只有，其中只有旋转和棱柱形旋转和棱柱形关关节是串联机器人操作机常见的，各种低副形状如下图所节是串联机器人操作机常见的，各种低副形状如下图所示：示：旋转旋转棱柱形棱柱形柱形柱形球形球形螺旋形螺旋形平面平面Ai iAi+1i+1Ai-i-1 1 杆件参数的定义杆件参数的定义 和和n li AA，由运动学的观点来看，杆件的作用仅在于它能保由运动学的观点来看，杆件的作用仅在于它能保持其两端关节间的持其两端关节间的结构形态结构形态不变。这种形态由两不变。这种形态由两个参数决定，一是杆件的长度个参数决定，一是杆件的长度 li，一个是杆件的，一个是杆件的扭转角扭转角 iAi iAi+1i+1iiliili

8、 杆件参数的定义杆件参数的定义 和和n L和和L 在在A轴线上轴线上的交点之间的距离的交点之间的距离n L和和L 之间的夹角，之间的夹角，由由L 转向转向L，由右手，由右手定则决定正负，对于定则决定正负，对于旋转关节它是个变量旋转关节它是个变量 确定杆件确定杆件相对位置关系相对位置关系，由另外，由另外2个参数决定，一个是杆个参数决定，一个是杆件的偏移量件的偏移量 ，一个是杆件的回转角，一个是杆件的回转角 iidiidiAi iAi+1i+1iilid1iliAi-i-1 1id移动关节杆件参数的定义移动关节杆件参数的定义n 确定杆件的结构形态的确定杆件的结构形态的2个参数个参数Li与与i与旋转

9、关节是一样的。与旋转关节是一样的。确定杆件相对位置关系的确定杆件相对位置关系的2个参数则相反。这里个参数则相反。这里i为常数，为常数，di为变量。为变量。n 上述上述4个参数，就确定了杆件的结构形态和相邻杆件相对位个参数，就确定了杆件的结构形态和相邻杆件相对位置关系，在转动关节中，置关系，在转动关节中，Li, i, di是固定值，是固定值，i是变量。在是变量。在移动关节中，移动关节中，Li, i, i是固定值，是固定值， di 是变量。是变量。3.3 机器人关节坐标系的建立机器人关节坐标系的建立o oO Oo on n- -1 1nXn 对于每个杆件都可以在关节轴处建立一个正规的笛卡儿坐对于每

10、个杆件都可以在关节轴处建立一个正规的笛卡儿坐标系（标系（xi, yi, zi），（），（i=1, 2, , n），），n是自由度数，再加是自由度数，再加上基座坐标系，一共有（上基座坐标系，一共有（n+1）个坐标系。）个坐标系。n 基座坐标系基座坐标系 定义为定义为0号坐标系（号坐标系（x0, y0, z0）,它也是机它也是机器人的惯性坐标系，器人的惯性坐标系，0号坐标系在基座上的位置和方向可号坐标系在基座上的位置和方向可任选，但任选，但 轴线必须与关节轴线必须与关节1的轴线重合，位置和方向可的轴线重合，位置和方向可任选；任选；n 最后一个坐标系（最后一个坐标系（n关节），可以设在手的任意部位，

11、但关节），可以设在手的任意部位，但必须保证必须保证 与与 垂直。垂直。n 机器人关节坐标系的建立主要是为了描述机器人各杆件和终机器人关节坐标系的建立主要是为了描述机器人各杆件和终端之间的相对运动，对建立运动方程和动力学研究是基础性端之间的相对运动，对建立运动方程和动力学研究是基础性的工作。的工作。n 为了描述机器人各杆件和终端之间转动或移动关系，为了描述机器人各杆件和终端之间转动或移动关系，Denavit和和Hartenberg于于1955年提出了一种为运动链中每个杆件建立年提出了一种为运动链中每个杆件建立附体坐标系的矩阵方法附体坐标系的矩阵方法（D-H方法）方法） ，建立原则如下：，建立原则

12、如下： D-H关节坐标系建立原则关节坐标系建立原则u右手坐标系右手坐标系u原点原点Oi：设在：设在Li与与Ai+1轴线的交点上轴线的交点上 uZi轴轴： 与与Ai+1关节轴重合，指向任意关节轴重合，指向任意 uXi轴轴： 与公法线与公法线Li重合，指向沿重合，指向沿Li由由Ai轴线指向轴线指向Ai+1轴线轴线 uYi轴轴： 按右手定则按右手定则 关节坐标系的建立原则关节坐标系的建立原则Ai iAi+1i+1iilid1iliAi-i-1 11iz1ix1iy1ioizixiyion 原点原点Oi：设在：设在Li与与Ai+1轴线的交点上轴线的交点上 n Zi轴轴：与：与Ai+1关节轴关节轴重合，

13、指向任意重合，指向任意 n Xi轴轴：与公法线：与公法线Li重合，指向沿重合，指向沿Li由由Ai轴线指向轴线指向Ai+1轴线轴线 n Yi轴轴：按右手定则：按右手定则 沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到 0i 的距离 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至0i 1 坐标系原点的距离 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi 两种特殊情况两种特殊情况n 两轴相交，怎么建立坐两轴相交，怎么建立坐标系？标系？ 0iAi与与Ai+1关节轴线的交关节轴线的交点；点； ZiAi+1轴线；轴线； XiZi和和Zi-1构成的平面的构成的平面的法线法线

14、； Yi右手定则；右手定则； i-1ii-1i AiA Ai i+ +1 1o oi iz zi i- -1 1z zi ix xi iy yi in两轴平行，怎么建立坐标系两轴平行，怎么建立坐标系(Ai与与Ai+1平行平行)？先建立先建立 0i-1然后建立然后建立0i+1最后建立最后建立 0i i-1i-1O OD D注意：注意： 由于由于Ai和和Ai+1平行，所以公法线平行，所以公法线 任意点在任意点在A点位置；点位置； 按照先前的定义，按照先前的定义，di为为Oi-1点和点和A点之间的距离，点之间的距离，di+1为为B点和点和C点间点间的距离，这样设定可以的，但我们可以变更一下，将的距离

15、，这样设定可以的，但我们可以变更一下，将0i点放在点放在C点，点，定义定义Oi在在Li+1和和Ai+1轴的交点上，这样使轴的交点上，这样使di+1=0使计算简便，此时使计算简便，此时di= 相邻相邻关节坐标系间的齐次变换过程关节坐标系间的齐次变换过程 机器人运动学正解机器人运动学正解1. 将将xi-1轴绕轴绕 zi-1 轴转轴转 i 角角度，将其与度，将其与xi轴平行；轴平行；2. 沿沿 zi-1轴平移距离轴平移距离 di ，使使 xi-1 轴与轴与 xi 轴重合；轴重合；3. 沿沿 xi 轴平移距离轴平移距离 Li，使两坐标系原点及使两坐标系原点及x轴轴重合；重合；4. 绕绕 xi 轴转轴转

16、 i 角度，两角度，两坐标系完全重合坐标系完全重合Ai iAi+1i+1iilid1iliAi-i-1 11iz1ix1iy1ioizixiyio),(),(),(),(A111iiiiransiiransiiiixRlxTdZTZR 根据上述坐标系建立原则，用下列旋转和位移我们根据上述坐标系建立原则，用下列旋转和位移我们可以建立相邻的可以建立相邻的 Oi-1 和和 Oi 坐标系之间的关系坐标系之间的关系 机器人的运动学正解方程机器人的运动学正解方程001112iiiTAAA D-H变换矩阵变换矩阵iiA1100010000100001id1000010000cossin00sincosiii

17、i100001000010001il10000cossin00sincos00001iiii1000cossin0sincossincoscossincossinsinsincoscosiiiiiiiiiiiiiiiiidll=机械手的坐标变换图如图所示，机械手的末端（即连杆坐标系机械手的坐标变换图如图所示，机械手的末端（即连杆坐标系i）相对于基座坐标系相对于基座坐标系0的描述用的描述用 oT6 表示，即：表示，即： 0zA1A2A3A4A5A60EX0T61T62T63T64T65T6 机械手的坐标变换图 机器人的运动学正解方程机器人的运动学正解方程001112iiiTAAA3.4 3.4

18、例题例题试求立方体中心在机座坐标系试求立方体中心在机座坐标系00中的位置中的位置该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的Y Y轴同向，轴同向，那么，求手爪相对于那么，求手爪相对于00的姿态是什么？的姿态是什么？ 在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联着着6DOF关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则摄像机所见到的这

19、个物体可由齐次变换矩阵摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵T1来表示，如果摄来表示，如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵像机所见到的机座坐标系为矩阵T2表示。表示。1000101-002001-010-001T100091-00100011010T21xyz解解1 1：xyzz机y机z物y物x物oO机O物 T T 21物机机摄物摄求，已知TTT TT 11 -2）（有：物摄摄机物机TTT 100091-00100011010 1000101-002001-0100011000110010001-11010 O物根据T1画出O机根据T2画出因此物体位于机座坐标系的（因此物体位于机座坐标系的（11

20、，10，1）T处，它的处，它的X，Y，Z轴分别与机座坐标系的轴分别与机座坐标系的-Y，X，Z轴平行。轴平行。 解解2 2：xyzz机y机z物y物x物oO机O物手爪机实际要求Tpzazsznzpyaysynypxaxsxnx1000 向重合手爪开合方向与物体ya:Ts001有方向相反方向物体的从上向下抓，指出手爪zab:Ta 100则有Tkjikjiasnc01000100001:1-00001010因此：姿态矩阵为重合时与物体中心当手爪中心100011-001000111010 T物机OsnayzxX机运动学第二次课运动学第二次课举例：举例：StanfordStanford机器人机器人A1A2

21、A3A4A5A6d1z1x1y1O1d2z2x2y2O2z3y3x3O3y4z4x4O4z5y5x5O534545,0o o odd重重合合d3z6x6y6O6d6z0y0 x0O0n 为右手坐标系为右手坐标系n 原点原点Oi： Ai与与Ai+1关节轴线的交点关节轴线的交点n Zi轴：与轴：与Ai+1关节轴关节轴重合，指向任意重合，指向任意 n Xi轴：轴： Zi和和Zi-1构成构成的面的法线的面的法线n Yi轴：按右手定则轴：按右手定则 Li 沿沿 xi 轴，轴， zi-1 轴与轴与 xi 轴交点到轴交点到 0i 的距离的距离i 绕绕 xi 轴，由轴，由 zi-1 转向转向zidi 沿沿 z

22、i-1 轴，轴，zi-1 轴和轴和 xi 交点至交点至0i 1 坐标系原坐标系原 点的距离点的距离i 绕绕 zi-1 轴，由轴，由 xi-1转向转向 xi解：解： 工作工作空间空间n 工作工作空间空间: : 末端末端操作手可以到达的空间位置集合操作手可以到达的空间位置集合n 如何如何获得工作空间获得工作空间: : 利用正运动学模型利用正运动学模型, ,改变改变关节关节变量值变量值n 可达空间可达空间: : 末端操作手可以至少以一个姿态到达的末端操作手可以至少以一个姿态到达的空间位置集合空间位置集合n 灵活空间灵活空间: : 末端末端操作手可以以任何姿态到达的空间操作手可以以任何姿态到达的空间位

23、置集合位置集合如何如何确定可达空间确定可达空间? ?首先，首先，令令 3 3变变化化 示例示例: : 平面平面 3 3连杆机器人连杆机器人123112123123112123123123123123coscoscossinsinsin , xlllylllllllll 3种最常见的欧拉角类型种最常见的欧拉角类型步步1步步2步步3类型类型1绕绕OZ轴转轴转角角绕当前绕当前OU 轴转轴转角角绕当前绕当前OW轴转轴转角角类型类型2绕绕OZ轴转轴转角角绕当前绕当前OV 轴转轴转角角绕当前绕当前OW轴转轴转角角类型类型3绕绕OX轴转轴转角角绕绕OY轴转轴转角角绕绕OZ轴转轴转角角uvwx(u)y (v)

24、z (w)ouvwu?v?W?),(ZR),(R),(wR N0T100000000110000cssccssccsscccssssccccssscccsssccsscscscc类型类型1：表示法通常用于陀螺运动：表示法通常用于陀螺运动 类型类型2：所得的转动矩阵为右乘所得的转动矩阵为右乘 10000c0s-010s0c 10000),(),v(),(RcssccsscwRRZR1000pzpyRpxTccsssssccscsscccssccssccssccc类型类型2绕绕OZ轴转轴转角角绕当前绕当前OV 轴转轴转角角绕当前绕当前OW轴转轴转角角类型类型3 3：一般称此转动的欧拉角：一般称此转

25、动的欧拉角为横滚、俯仰和偏航角，为横滚、俯仰和偏航角， （这（这种方法也叫做横滚、俯仰和偏航种方法也叫做横滚、俯仰和偏航角表示方法）这种形角表示方法）这种形 式主要用式主要用于航空工程中分析飞行器的运动，于航空工程中分析飞行器的运动，其旋转矩阵为其旋转矩阵为ccscssccssccssscssscsccsssccccssccssccsscxRyRz000010010010000),(),(),RR（类型类型3绕绕OX轴转轴转角角绕绕OY轴转轴转角角绕绕OZ轴转轴转角角: : 已知已知关节角度或位移，计算关节角度或位移，计算末端操作手的对应位姿末端操作手的对应位姿. .: : 已知已知末端操作手

26、的位姿，求末端操作手的位姿，求解对应的关节变量解对应的关节变量. .可能可能存在多解或无解存在多解或无解通常通常需多次求解非线性超越方程需多次求解非线性超越方程3.6 3.6 运动学逆问题运动学逆问题 解的存在性解的存在性存在双解存在双解! 求解求解方法方法0140i000222018040i100040i 2 2选择一个与前一采样时间最接近的解，例如：选择一个与前一采样时间最接近的解，例如：0140i000222018040i 若该关节运动空间为若该关节运动空间为 ，且，且 ，则应选，则应选 25001160i0220i3 3根据避障要求，选择合适的解根据避障要求，选择合适的解4 4逐级剔除

27、多余解逐级剔除多余解 对于具有对于具有n n个关节的机器人，其全部解将构成树形结构。个关节的机器人，其全部解将构成树形结构。为简化起见，应逐级剔除多余解。这样可以避免在树形解中为简化起见，应逐级剔除多余解。这样可以避免在树形解中选择合适的解。选择合适的解。 Paul 等人提出的方法等人提出的方法65544332211060AAAAAAT 655443322160-110AAAAATA）（1 q6554433260-110-121AAAATAA）（）（2q6560-110121132143154)()()()(ATAAAAA-）（5 qETAA60-110-165) ( ）（6 q100060p

28、zazsznzpyaysynypxaxsxnxT),(2xyarctg(arccos)cos(cos0/ )(cos180, 0dd为负为正均为负为正为负均为正yxyxyxyxyxtg,0909018018090900),(20000001运动学第三次课运动学第三次课ccssssccscscazsznzaycaxssycsxsnycnxsaysaxcsyssxcnysnxccssccsscazsznzaysynyaxsxnxcssczcssccssccsscazsznzaysynyaxsxnx010000 00001 1000-01,R 1 100000000110000 1或，可得：而另两个

29、未知数在右边在矩阵方程的左边，未知数）左右两边，可使一个）左乘式（用）（解：解：),(2tan2111),(2tan01 -11 -1nysnxcsyssxctgnysnxcsyssxcsyssxcsnysnxccayaxtgayaxaysaxc）元素分别对应相等，）元素和（，使（所在象限。按照前面的定义，确定具体分析办法靠结构结束条件、剔除确定象限靠分子，分母的符号来多值解逆运动唯一解正运动总体来讲于使用者的直觉用左乘还是右乘，取决解也可以用右乘的方法求）元素对应相等，）元素和（，（,),(2)(tan-333211azaycaxstgazaycaxsazcaycaxss例例2：斯坦福机器人

30、运动学逆问题解：斯坦福机器人运动学逆问题解6533211060AAAAT61T653321AAA式中：式中： yxyxpCpSpfzpfpSpCpf1113121111)()()(由两端矩阵对应元素相等可得：由两端矩阵对应元素相等可得： 作三角变换：作三角变换： 式中：式中： 得到：得到： 即有：即有： 由由1, 4和和2, 4元素对应相等，得：元素对应相等，得： 6261121TTA6362132TTA高腕高腕低腕低腕z4x4O4z5y5x5O5取前一个采样点的值取前一个采样点的值52122212222cosl lllyxN000O0nasX0Y0Z0OnNdTNransTdwRdzdydx

31、TT0N0),(),( 变化后）（NransTdwRdzdydxTdTT0NN0),(),( 记为TdwRdzdydxTdTTrans),(),(TEdwRdzdydxTdTrans),(),()T( . ),(),(的左边在注意，称为微动率，令TdTEdwRdzdydxTrans在忽略高次项在忽略高次项的情况下：微的情况下：微动齐次变换与动齐次变换与次序无关次序无关 d) 1 (10000101011000010101100001000010011000010001000110000100100001xdydxdzdydzdxdzyddzxddydxdyxdzddzdyxddydzdzdzd

32、ydydxdxdT忽略高次项z)dR(z, 3 y)dy,R 2 x)dR(x, 1 、（、如果y)dR(y, 3 x)dx,R 2 z)dR(z, 1 、（、反过来，如果）相同与式（110000101011000010101z)dR(z, x)dx,R y)dR(y, Txdydxdzdydzdxdydxdzdydxyddzdyxdd因此说，微动齐次变换与次序无关因此说，微动齐次变换与次序无关平移：平移： 1000100010001dzdydxTr旋转旋转R R ，绕通过原点的任意轴，绕通过原点的任意轴 旋转旋转 角角: :dw,wddddddddddddddddddddwcos)cos(1

33、rsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrcos)cos(1rsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrcos)cos(1rR2zxzyyzxxzyyzx2yzyxzyx2x,1000010101sin, 1cosdrdrdrdrdrdrdddxyxzyz在微动范围内绕任意轴转动在微动范围内绕任意轴转动 角角, ,可以看作绕可以看作绕x,y,zx,y,z轴的微转轴的微转动的合成。因此：动的合成。因此： ddrzddryddrxdzyx,1000010101,xdydxdzdydzddwR因此：因此：因此微动率因此微动率= = Edw

34、RdzdydxTrans,0000000dzxdyddyxdzddxydzd微动的齐次变换：微动的齐次变换：dT= T 己知变换矩阵己知变换矩阵 1000000131007010T,001 . 0kjidkjidp6 . 003 . 0转动：转动： 平移平移： 求求d T 解：解： 00006 . 001 . 0001 . 0003 . 000010000100001000011000011 . 0001 . 010000110006 . 010000103 . 000100009 . 01 . 0000001 . 03 . 0000100000013100701000006 . 001 .

35、0001 . 0003 . 0000TdT10009 . 01 . 0013101 . 03 . 7010dTT反过来：如果我们要求反过来：如果我们要求 在在 中的齐次交换矩阵为中的齐次交换矩阵为 nooo1000000131007010T实际测得的为实际测得的为 10009 . 01 . 0013101 . 03 . 7010那么末端执行器坐标系要如何运动才能到达期望值？那么末端执行器坐标系要如何运动才能到达期望值？ 1000011 . 0001 . 0100001转动：转动： 10006 . 010000103 . 0001平移平移： dT=T （绕基准坐标系）（绕基准坐标系） =TT （

36、绕动坐标系）（绕动坐标系）左乘左乘,绕基准绕基准右乘右乘, 绕动坐标轴绕动坐标轴强调等效强调等效TTTTTT11TTT1000zzzzyyyyxxxxpasnpasnpasnT 10001PaaaaPsssspnnnnTTzyxTzyxTzyx设：设： 有：有： 0000000pdpdaasdandpdpdssadsndpdpdnnadnsd0000000pdpdandsdpdpdsndadpdpdnsdadTTT1sna研究绕自身轴的微动率研究绕自身轴的微动率和绕固定坐标系坐标轴的和绕固定坐标系坐标轴的微动率微动率之间是什么关系之间是什么关系，举例说明：举例说明： 例：一动坐标系相对于固定坐

37、标系的齐例：一动坐标系相对于固定坐标系的齐 次变换为次变换为 1000000131007010Tnsap己知相对固定坐标系的微己知相对固定坐标系的微动平移和转动动平移和转动 kjidkjidp001 . 06 . 003 . 0求：求： 与与 求求dT 求与之等效的绕动坐标系的微平移和微转动求与之等效的绕动坐标系的微平移和微转动 解：解： =000000z0dzxdyddyxdzddxydd00006 . 001 . 0001 . 0003 . 00000100001 . 01 . 0001001 . 00010001 . 0kjikjindkjikjisdkjikjiad kjikjikji

38、pdpd6 . 003 . 0037001 . 0kjikji6 . 003 . 0037001 . 0 kjikjikji9 . 003 . 06 . 003 . 03 . 00009 . 003 . 00103 . 09 . 003 . 00019 . 09 . 003 . 0100kjikjipdpdakjikjipdpdskjikjipdpdn0000000pdpdandsdpdpdsndadpdpdnsdadT00000001 . 03 . 00009 . 01 . 00000009 . 01 . 0000001 . 03 . 0000100000013100701000006 .

39、001 . 0001 . 0003 . 0000TdT00009 . 01 . 0000001 . 03 . 000000000001 . 03 . 00009 . 01 . 0001000000131007010TTdT解解 ：解解： 绕自身平移和转动绕自身平移和转动TTTTTTTTkjidkjidp01 . 0003 . 09 . 0其结果等于绕固定坐标系转其结果等于绕固定坐标系转动和旋转动和旋转 kjidkjidp001 . 06 . 003 . 0等效等效n1 -n21100AAATni010ii010iiiiiiiAAd111nniiiiiiiinAAAAAATd1111122110

40、nniiiiiiiiiinnAAAAAATdT11111121ji01 - ji0nnjijijijijijijijiiiiinjijijijijijiAAAAAAATdAAd11111211211111112112111jijijijiiijijiiiiiiiAAAAA 1211111112111111112111211jijiiiiiiiiijijijijiiiiijijijijijijiiiiiAAAAAAAAAA 说明：如果我们发现末端操作器相对于基准坐标系有说明：如果我们发现末端操作器相对于基准坐标系有了微位移（平移或转动）了微位移（平移或转动）, 我们可以认为末端操作器相对我们可以

41、认为末端操作器相对于自己的坐标系发生了微位移。只是微动率于自己的坐标系发生了微位移。只是微动率和和不同不同而己。其结果是等效的。而己。其结果是等效的。 这些在进行误差补偿和微动时有用这些在进行误差补偿和微动时有用, 如产生误差如产生误差 如何补偿？可以反向运动末端关节来补偿如何补偿？可以反向运动末端关节来补偿ddp 1116561111iiiiiiAATdAAid 11111656111211121iiiiiiiiAATTdAAA 616666666TdTdTTTdTTdTiiii16661666166TdTTdTTdTTdTiiii10000001310070101T10009 . 01 .

42、 0013101 . 03 . 701011TdT 1116561111iiiiAATdAAii 00009 . 01 . 0000001 . 03 . 00001000301070010100111TdT000000000000001 . 03 . 00009 . 01 . 000dzxdyddyxdzddxydzdkjidpkjidii03 . 09 . 001 . 00iidpd,TTTTTTTTkjidkjidp01 . 0003 . 09 . 0 11111656111211121iiiiiiiiAATTdAAA100030107001010000009 . 01 . 0000001

43、 . 03 . 0000111TTd00009 . 03 . 001 . 0001 . 0003 . 0000kjidpkjidii6 . 003 . 0001 . 0kjidpkjid6 . 003 . 0001 . 00000000dzxdyddyxdzddxydzd 000009. 001. 000.13 . 00009 . 01 . 0001. 000009 . 01 . 0000001 . 03 . 000010009 . 31 . 0003 . 70016 . 011 . 001111TdTdTii00000.9-39. 001. 01 . 0006. 01 . 001. 003

44、. 000010009 . 31 . 0003 . 70016 . 011 . 0000009 . 01 . 0000001 . 03 . 000011111TdTTdii0000000dzxdyddyxdzddxydzd0000000dzxdyddyxdzddxydzd,60T6060TdT 目标为：实际为：66651065322221106521111065106060AAAAAAAAAAATdT66651065322221106521111060AAAAAAAAATd忽略高次项，有：绕自身绕自身656521106521211065101060AAAAAAAATd同理绕前一个坐标系绕前一个

45、坐标系 6565212110106060AdAAdAAdATdT666565656565656522212121212121211110101010101010AAAAAdAAAAAAdAAAAAAdA我们有：60Td,621ddd以Oi绕自身为例, 为了消除,令多关节做微动由此产生60Tdii补偿, 多关节的微动率为,（绕自身） 由于 0000000zxyyxzxyziiddddddddd注意：注意：我们在定义DH坐标系时, Z轴和回转轴重合，因此，绕X, Y是旋转不了的。 因此, 0yxdd 又如果都是转动关节, 没有移动0zyxddd000000000000000000000000000

46、066661111dddd令 066652110651110606665211065111060AAAAATdAAAAATd621,ddd得到 , 按照元素对应相等, 求解能够求解 。i这里是i相对于自身的微转角 044dT=T （绕基准坐标系）（绕基准坐标系） =TT （绕动坐标系）（绕动坐标系）左乘左乘,绕基准绕基准右乘右乘, 绕动坐标轴绕动坐标轴强调等效强调等效TTTiiTTT1iiTTT11 微动变换：微动变换： 误差补偿：误差补偿： 单关节补偿单关节补偿多关节补偿多关节补偿并联机器人运动学并联机器人运动学参考教材：燕山大学参考教材：燕山大学 黄真黄真 并联机器人机构学理论及其控制并联

47、机器人机构学理论及其控制比较项目比较项目并联机器人并联机器人串联机器人串联机器人工作空间工作空间小小大大正运动学正运动学难难容易容易逆运动学逆运动学容易容易难难正静力学正静力学容易容易难难逆静力学逆静力学难难容易容易位置误差位置误差平均化平均化积累积累力力 误误 差差积累积累平均化平均化最大出力最大出力所有驱动力综合所有驱动力综合受最小驱动器力的限制受最小驱动器力的限制刚刚 度度高高低低动动 力力 学学非常复杂非常复杂复杂复杂惯惯 量量小小大大 旋转旋转 ( R )球铰球铰 ( S )棱柱副棱柱副 ( P )圆柱副圆柱副 ( C )1. 传统运动副类型传统运动副类型万向铰万向铰 ( U )虎克

48、铰（虎克铰（T）)5, 2 , 1(16M i1igin）（fifii-6i数，则个运动副的相对自由度为第设i111 ) 1(6 616 -6 16M fgnfgnfngiigiigi）（）（）（315) 198(6 16M 15 11igiigifgnf）（1242-30 16M 42 1181igiiifgnf）（zyxOxyzO中的位置和姿态在即：已知001000 pzazsznzpyaysynypxaxsxnxTOO62, 1,lll求：110001.,0.,.0),()()()(2222iziyixiziyixiiziyixiziyixiziziyiyixixibbbpzazsznzpyaysynypxaxsxnxbizbiybixbbbObbbbBBBBbBbBbl）是已知的中，（在中的位置在也就是）现在求（中是已知的在易有：2zz2z2z2izziziyzixiyyyiyiyyixixxxixiyxixiBpabsbnbBpabsbnbBpabsbnbl2222zziyzixiyyyiyyixixxxiyxixipsbnbBpsbnbBpsbnbl222iziyixilllln 由于并联机构结构的复杂性，位置