基与维数的几种求法

1、线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数，即：在线性空间V中，如果有n个向量宀，满足:(1) 1；2，:n线性无关。(2) V中任一向量总可以由r,：2n线性表示。那么称V为n维(有限维)线性空间，n为V的维数，记为dimv=n，并称2,-Cn为线性空间V的一组基。如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V为无限维的。例1设VXAX=0，A为数域P上mn矩阵，X为数域P上n维向量，求V的维数和一组基。解设矩阵A的秩为r，则齐次线性方程组AX=0的任一基础解系都是V的基，且V的维数为n-r。例2数域P上全体形如0a的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩ab丿阵的

2、乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。解易证1,00i为线性空间V=aIa,p的一组线性厂10八01丿A_ab丿J无关的向量组，且对V中任兀素5a有0“=a0r+bz00、Lab丿2b丿J0丿01丿按定义10；咒为V的一组基，V的维数为2方法二在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基例3假定R1x1是一切次数小于n的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：1,(x1),(x1)2,川,(x1构成Rx】n的基。证明考察匕仁k2x-1knx-1n，=0由xnJ的系数为0得kn=0，并代入上式可得x2的系数knJ.0依此类推便有kn=knk,=0

3、，故1,X-1,|,X-1线性无关又Rlxn的维数为n,于是1,(x-1),IH,(x-1)2为Rlxn的基。方法三利用定理：数域p上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。(0_1、例4设A=01，证明：由实数域上的矩阵A的全体实系数多项式10丿rf0/习f(A)组成的空间V=(f(Aj0/与复数域C作为实数域R上的线性空间Vabi|a,bR同构，并非求它们的维数。证明V中任一多项式可记为fA=aEbA,a,bR，建立V到V的如下映射er:牛二印+切易证匚是v到V上的单射，满射即一一映射。再设2=a2b2i,a2,bR,KR，则有故二是V到V的同构映射，所以V到V同构另外，易

4、证V的一个基为1，i，故dimV=2方法四利用以下结论确定空间的基：设12l(n与1,21n是门维线性空间V中两组向量，已知1,21,n可由12l(n线性表出：a11令A=a?iianiai2HIa22|l|an2HIaina2nann如果1,为V的一组基,那么当且仅当A可逆时，-1,：21(,:n也是V的一组基例5已知1,X,X2,X3是plxl4的一组基，证明1,1x,rx2,rX3也是pix4的一组基。证明因为1000110012101321-0所以1,Vx,1x2,(1+xj也为pixi的一组基。方法五如果空间V中一向量组与V中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基。例6设Rl.x

5、l2表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明x2x,xx,x1为这空间的一组基。证明k1x2xk2X2-Xk3xn-0贝厂k1k2=0-k2k3=0Ik3=0解得k3=k2=&=0于是x2x,xx,x1线性无关，它们皆可由x2,x,1线性表示，因此X2x,xx,x1与X2,X,1等价，从而Rx】2中任意多项式皆可由X2X,XX,X1线性表示，故X2X,XX,X1为RIX2的基。方法六利用下面两个定理:定理一：对矩阵施行行初等变换和列变换，不改变矩阵列向量间的线性关系。定理二：任何一个mn矩阵A，总可以通过行初等变换和列变换它为1,2,1,：2线性无关，（

6、2）仅当x=X2=%=y2=0时成立那么V/|V2是零子空间，因而没有基，此时维数为0，V1V2是直和若存在不全为零的数X1,X2,%,y2使（2）成立，则yriv?有可能是非零子空间若为非零子空间，由（1）便可得到基向量ro以m/2,-1,-2为列向量作矩阵A，经行初等变换将A化为标准阶梯形矩阵Ao-r=4-3=-5,2,3,4是yClV?的一个基同时知，r,2是V1的一个基，dimy=2d匕是V的一个基，dimV2=2r,2,r,：2是V1V2的一个基，dimV1V2二秩A=3方法七在线性空间V中任取一向量：，将其表成线性空间V线性无关向量组的线性组合的形式，必要的话需说明向量组是线性无关

7、的。这一线性无关向量组就是我们要找的基。例8求Vi=L(2)与V2=L(,的交的基和维数。i=(1,2,1,0)=(2,-1,0,1)设，：2=(-1,1,1).2=(1，-1,3,7)解任取：；三yriV2，贝卩：；三，-xrx2：2，且*三V2,=yry2:2,:-xvxy1y/1(注：此时a虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在V、V2中的表示，并非本题所求，即要在空间VV2中将a线性表出)-xV1X2：2-y1：1-丫2：=0，求X1,X2,y1,y2解得(X1,X2,%,y2)=(k,-4k,-3k,k)故VJ1V2是一维的，基是(5,-2,3,4)易知(5,-2,3,4)是非零向

8、量，是线性无关的。方法八按维数公式求子空间的交与和的维数和基维数公式：如果V1V2是有限维线性空间V的两个子空间，那么dimV1dimV2=dimV1V2dimbpV2例9已知=(3,-1,2,1),o(2=(0,1,0,2)01=(1,0,1,3),打=(2,-3,1,-6)求由向量生成的P4的子空间VL:-12与向量-1/2生成的子空间V2-L-1/-2的交与和空间的维数的一组基。解因为V1VL,%，对以?12,-1,-2为列的矩阵施行行初广3012、广0000-110-3T-110-3201100-11I123300=B所以VV的维数是3等变换：A=秩A=秩B=3,且九212为极大线性无

9、关组，故它们是ViV2的一组基。又由:-i-2线性无关知Vi的维数为2，同理V的维数也为2，由维数公式知ViPM的维数为22-3=1。从矩阵B易知+八1-2律故12二3,-3,2,-3是Vi,V2公有的非零向量，所以它是交空间V|V2的一组基。方法九由替换定理确定交空间的维数替换定理：设向量组i,2l(,r线性无关，并且1,2l(,r可由向量组52山宀线性表出，那么2必要时可适当对121(,中的向量重新编号，使得用52l(,r替换52川后所得到的向量组U2l(rr1Hs与向量组：1,:s等价。特别，当r=s时，向量组i,2ll,s与向量组匚21(,1等价。例10已知向量组：1二2,0,1,32二0,3,1,0，十1,2,0,2，十2,6,3,3,设它们是向量组阮码氏的线性组合，又设向量组ri2川，rm与向量组等价，试求12,|心rm生成的空间的交空间的基和维数。20130-41-r巾-70-r0310T0310T03101202120212020633