直线与双曲线位置关系2

1、双曲线的几何性质双曲线的几何性质( (二二) )椭圆与直线的位置关系及判断方法椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法判断方法0（1）联立方程组）联立方程组（2）消去一个未知数）消去一个未知数（3）复习复习: :相离相切相交一一:直线与双曲线位置关系种类直线与双曲线位置关系种类XYO 相离相离(0个交点个交点); 相切相切(一个交点一个交点); 相交相交(两个交点或一个交点两个交点或一个交点).种类种类: :位置关系与交点个数位置关系与交点个数XYOXYO相离相离: :没有交点没有交点相交相交:一个交点一个交点相交相交:两个交点两个交点相切相切:一个交点一个交点判断直线与双曲线位置关系的操作程序

2、判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与双曲线的直线与双曲线的渐进线平行渐进线平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00 直线与双曲线相交（两个交点）直线与双曲线相交（两个交点） =0 直线与双曲线相切（一个交点）直线与双曲线相切（一个交点） 0 直线与双曲线相离（没有交点）直线与双曲线相离（没有交点）相切一点相切一点: =0相相 离离: 0二、直线与双曲线的位置关系二、直线与双曲线的位置关系:相交两点相交两点: 0 同侧：同侧： 0 异侧异侧: 0

3、相交相交 一点一点: 直线与渐进线平行直线与渐进线平行12xx12xx 特别特别注意注意：直线与双曲线的位置关系中：直线与双曲线的位置关系中：一解不一定相切（可能相交），一解不一定相切（可能相交），相交不一定两解（可能一解），相交不一定两解（可能一解），两解不一定同支（可能异支）。两解不一定同支（可能异支）。问题一问题一:直线与双曲线位置问题直线与双曲线位置问题例例1.已知直线已知直线y=kx-1与双曲线与双曲线x2-y2=4,试讨论实数试讨论实数k的取值范围的取值范围,使直线与双曲线使直线与双曲线(1)没有公共点没有公共点; (2)有两个公共点有两个公共点;(3)只有一个公共点只有一个公共点

4、; (4)交于异支两点；交于异支两点；(5)与左支交于两点与左支交于两点.1k1 ；125- kk=1或或k= 52k 或k525212525kk且1.过点过点P(1,1)与双曲线与双曲线 只有只有共有共有_条条. 变题变题:将点将点P(1,1)改为改为1.A(3,4) 2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的答案又是怎样的?4116922yx1.两条两条;2.三条三条;3.两条两条;4.零条零条.交点的交点的一个一个直线直线XYO（1，1）。课堂练习课堂练习2.双曲线双曲线x2-y2=1的左焦点为的左焦点为F,点点P为左支下半支上任意一点为左支下半支上任意一点(异于顶

5、点异于顶点),则直线则直线PF的斜率的变化范围是的斜率的变化范围是_01，3.过原点与双曲线过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的交于两点的直线斜率的取值范围是取值范围是 13422yx32 3，2课堂练习课堂练习4、过双曲线、过双曲线 的右焦点的右焦点 F2 ,倾斜角为倾斜角为 的直线交双曲线于的直线交双曲线于A，B两点，求两点，求|AB|。22136xy30课堂练习课堂练习问题二问题二.弦的中点问题弦的中点问题(韦达定理与点差法）韦达定理与点差法）例例2.已知双曲线方程为已知双曲线方程为3x2-y2=3,求：求： (1)以以2为斜率的弦的中点轨迹；为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点过定点B

6、(2,1)的弦的中点轨迹；的弦的中点轨迹； (3)以定点以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程为中点的弦所在的直线方程. (4)以定点以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；为中点的弦存在吗？说明理由；2 22 2y y2 2. .给给定定双双曲曲线线x x- -= = 1 1, ,过过点点A A( (1 1, ,1 1) )能能否否作作直直线线L L2 2使使L L与与所所给给双双曲曲线线交交于于两两点点P P, ,Q Q, ,且且A A是是线线段段P PQ Q的的中中点点? ?说说明明理理由由. .1 11 12 22 2解解 : : 假假设设存存在在P P( (x x , ,y

7、y ) ), ,Q Q( (x x , ,y y ) )为为直直线线L L上上的的两两点点, ,且且P PQ Q的的中中点点为为A A, ,则则有有 : : 2 22 21 11 12 22 22 22 2y yx-= 1x-= 12 2y yx-= 1x-= 12 212121212121212122(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )2(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )，即方程为12121212y - yy - y= 2k = 2L: y - 1 = 2(x - 1)= 2k = 2L: y - 1 = 2(x - 1)

8、x - xx - x2 揶 V2 22 22 2y yx x - -= = 1 1x x - - 4 4x x + + 3 3 = = 0 0 0 02 2y y - - 1 1 = = 2 2( (x x - - 1 1) )方程组无解，故满足条件的方程组无解，故满足条件的L不存在。不存在。课堂练习课堂练习4522yx3.LC :1A,B35已已知知直直线线与与双双曲曲线线相相交交于于两两点点. .与与双双曲曲线线的的渐渐近近线线相相交交于于C C, ,D D两两点点, , 求求证证: :| |A AC C| |= =| |B BD D| | 分析：只需证明线段分析：只需证明线段AB、CD的

9、中点重合即可。的中点重合即可。证明证明: (1)若若L有斜率，设有斜率，设L的方程为的方程为:y=kx+b22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b150yx135 2AB210kbLCA,B,5k30,xx35k 与与相相交交于于两两点点22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b0yx035 2CD210kbL,D,5k30,xx35k 与与渐渐近近线线相相交交于于C C两两点点可可见见A AB B, ,C CD D的的中中点点横横坐坐标标都都相相同同, ,从从而而中中点点重重合合. .(2)若若直直线线L L的的斜斜率率不不存存在在, ,由由对对称称性性知知结结论论亦亦成成立立

10、. .6课堂练习课堂练习.DCBADCAB)2(.AB)1(.AB)21(12AB122共共圆圆？请请说说明明理理由由四四点点是是否否、两两点点，则则，交交于于的的垂垂直直平平分分线线与与双双曲曲线线若若线线段段的的方方程程求求直直线线的的中中点点是是线线段段，的的两两点点，点点是是双双曲曲线线：设设例例 yx7问题三：直线与双曲线相交中的垂直与对称问题问题三：直线与双曲线相交中的垂直与对称问题例例3.已知直线已知直线y=ax+1与双曲线与双曲线3x2-y2=1相交于相交于A、B两点两点. (1)当当a为何值时，以为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；为直径的圆过坐标原点； (2)是否存在这样

11、的实数是否存在这样的实数a,使使A、B关于关于y=2x对称，对称， 若存在，求若存在，求a;若不存在，说明理由若不存在，说明理由.问题四：焦点三角形问题四：焦点三角形例例4、由双曲线、由双曲线 上的一点上的一点P与左、右与左、右两焦点两焦点 构成构成 ，求，求 的内切圆与的内切圆与边边 的切点坐标。的切点坐标。22194xy12FF、12PFF12PFF12FF说明：说明：双曲线上一点双曲线上一点P与双曲线的两个焦点与双曲线的两个焦点 构成构成的三角形称之为的三角形称之为焦点三角形焦点三角形，其中，其中 和和 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分为三角形的三边。解决与这个三角形有

12、关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。定理。 12FF、12| |PFPF、12|FF1、设双曲线、设双曲线C： 与直线与直线相交于两个不同的点相交于两个不同的点A、B。设直线。设直线l与与y轴的交点为轴的交点为P，且且 求求a的值。的值。2221(0)xyaa:1l xy5,12PAPB 拓展延伸拓展延伸有几条？的直线，则这样若两点，双曲线于，交的右焦点作直线过双曲线l4|AB|.BAl1222yx2、的个数有几个？的交点与曲线直线14932| xxyxy3、2211162|.2OABxyykxkkS例3、已知双曲线及直线，（）若直线与双曲线有交点，求 的范围；（ ）若，求y.F2F1O.x11122yxkxy）联立解：（022)1 (22kxxk) 1|(|x时，当1k1xy个交点直线与双曲线有1时，当1k0)1 (8422kk122kk且22k综上，当时，直线与双曲线有交点.4y.F2F1O.一个交点？思考：什么情况下只有点直线与双曲线