自动控制原理 5频域分析(1)

1、1n频率特性的基本概念频率特性的基本概念n典型环节与开环系统的频率特性典型环节与开环系统的频率特性n奈魁斯特稳定判据奈魁斯特稳定判据n稳定裕度稳定裕度n闭环系统的性能分析闭环系统的性能分析 第五章第五章 线性系统的频域分析线性系统的频域分析2 对于自控系统，可以进行时域分析，根轨迹分析，也对于自控系统，可以进行时域分析，根轨迹分析，也可以用频率特性分析系统的性能可以用频率特性分析系统的性能频域分析法。它是分频域分析法。它是分析和设计系统的一种有效的经典方法。析和设计系统的一种有效的经典方法。 1932年，年，Nyquist提出了一种根据控制系统的开环频率提出了一种根据控制系统的开环频率响应响应

2、(对稳态正弦输入对稳态正弦输入)，确定闭环控制系统稳定性的方法。，确定闭环控制系统稳定性的方法。频域分析法特点频域分析法特点: : 研究稳态正弦响应的幅值和相角随频率的变化规律研究稳态正弦响应的幅值和相角随频率的变化规律 由开环频率特性研究闭环稳定性及性能由开环频率特性研究闭环稳定性及性能 图解分析法图解分析法 有一定的近似性有一定的近似性5.1 5.1 频率特性频率特性3 频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。同频率正弦输入信号的响应特性。 00.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52线性

3、系统00.511.522.53-5-4-3-2-1012345 输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号输入信号频率频率的变化而变化。的变化而变化。 频率特性频率特性定义为：系统在正弦作用下，稳态响应的振定义为：系统在正弦作用下，稳态响应的振幅、相位与输入正弦作用的频率之间的依赖关系。幅、相位与输入正弦作用的频率之间的依赖关系。一、频率特性的基本概念一、频率特性的基本概念40123456-8-6-4-20246t/s幅 值u(t)y(t)yss(t)红 输 入 ， 蓝 全 响 应 ， 黑 稳 态 响 应0123456-2-1.5-1-0.50

4、0.511.52t/s幅 值u(t)y(t)yss(t)红 输 入 ， 蓝 全 响 应 ， 黑 稳 态 响 应 ( ( ) )2 2s si i n n( (5 53 30 0 ) )u u t tt t ( ( ) )2 2s si i n n( (2 20 03 30 0 ) )u u t tt t5数学证明：设稳定的线性定常系统数学证明：设稳定的线性定常系统:输入量（正弦信号）：输入量（正弦信号）：( )sin()rr tAt 22( )()()rrAAR sssjsj 则系统输出则系统输出为：为：22( )( )( ) ( )( )U sAC sG s R sV s s 2212( )

5、()()()rnAU ssssssss 12,nsssG(s) 的极点的极点 对稳定系统对稳定系统: : 101101( )mmmnnnb sb sbG sa sa sa 1( )niiiBAAC ssssjsj 传递函数：传递函数：两两互异两两互异1( )ins tj tj tiic tAeAeBe t t趋向于零趋向于零 瞬态响应瞬态响应待定系数待定系数 稳态响应稳态响应622( )()()()()()()2rrrsjsjAAAA G ssjGjsjGjssjsjj 22( )()()()()()()2rrrs js jAAAA G ssjG jsjG jssjsjj 由于由于()G j

6、是一个复数向量，因而可表示为：是一个复数向量，因而可表示为：()( )()()( )j G jjG jG jeAe 1( )niiiBAAC ssssjsj ()()()()( )jG jjGjG jeAe ()()( )( )( )22j tj tjj tjj trrAAC tAeAeAeeAeejj ( )sin( )rAAt sin2jjeej ( )sin( )ccA ( )sin()rr tAt 输出与输入输出与输入相位差相位差变化？变化？ 输出与输入输出与输入幅值比值幅值比值变化？变化？相频特性相频特性幅频特性幅频特性( )()( )()crcrAAG jAG j 7相关概念（相关

7、概念（系统的频率特性系统的频率特性） 幅频特性幅频特性为稳态输出与输入的振幅比为稳态输出与输入的振幅比()()crAAG jA 相频特性相频特性稳态输出与输入正弦信号的相位差稳态输出与输入正弦信号的相位差( )()G j 幅相频率特性幅相频率特性把频率特性用模值和幅角的形式表示成复合函数把频率特性用模值和幅角的形式表示成复合函数()()()jAeGj 幅相频率特性又称为奈奎斯特曲线或极坐标图幅相频率特性又称为奈奎斯特曲线或极坐标图8 幅相频率特性用幅相频率特性用直角坐标直角坐标表示表示()()()G jRjI 实频特性实频特性虚频特性虚频特性22( )()( )( )AG jRI ( )( )

8、()arctan( )IG jR ()()cos ()RA ( )( )sin ( )IA 9 ( () )( ( ) )s s j jG G j jG G s s频率特性系统传递函数微分方程js pjps dtdp 幅相频率特性与传递函数的关系幅相频率特性与传递函数的关系10例例1 1 RC 电路如图，电路如图，ur(t)=Asin t, 求求uc(t)=?建模建模cruiu RcuiC ccruuu CRcrUsU1CR T1T11T11CR1)()()(CRT ssssUsUsGrc2221022CCT1CT1T1)( ssssAssUc2222T10T1TATAlimC ss221T1

9、TA-C 222T1AC 222222222222T1TT11T1T11T1TA)( sssAssUc sinTcoscosTsinT1T1TA)(22T22 Aetutc T22T1TAte T)arctan-Tsin(T122 A112T2( )1()( )1csrutG ju t T()( )( )arctancsrG jutu t )()()( jGjGjG T-arctan T)T22( )sin(1csAut T1( )1G ss 例例1 1 RC 电路如图，电路如图，ur(t)=Asin t, 求求uc(t)=?12例例2 2 系统结构图如图所示系统结构图如图所示, r(t)=3

10、sin(2 2t+30), 求求 cs(t), es(t)。11)( ss解解. .3)(511111)(22tcjjs 30)()()(4 .63arctan)(2tctrtcjss 53)( tcs 4 .33304 .63)(tcs)4 .332sin(53)( ttcs1)( ssse3)(5211)(22tejjjse 30)(4 .6390arctan90)(2tejse 56)( tes 6 .56306 .26)(tes)6 .562sin(56)( ttes131、 幅相频率特性曲线，又称为极坐标图幅相频率特性曲线，又称为极坐标图 变化时，向量变化时，向量()G j 的幅值和

11、相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图动的轨迹称为极坐标图: :奈奈奎斯特奎斯特(Nyquist)曲线曲线,又称奈氏图又称奈氏图 当输入信号的频率当输入信号的频率0 二、频率特性的表示方法二、频率特性的表示方法 ()()( )jG jAe jssjG 1T1)(以以为例。为例。. 幅相幅相特性特性( (Nyquist) )1420dBdec 40dBdec 60dBdec 对数坐标图对数坐标图-BodeBode图图dB对数幅频特性对数幅频特性相频特性相频特性( )( )()G j 2、对数幅频、相频特性曲线对数幅频、相频

12、特性曲线( )20lg( )20lg()LAG j15Bode图介绍图介绍 幅值相乘幅值相乘 = = 对数相加，便于叠加作图；对数相加，便于叠加作图；纵轴纵轴横轴横轴坐标特点坐标特点特点特点按按 lg 刻度，刻度，dec “十倍频程十倍频程”按按 标定，标定， rad/s“分贝分贝”dB)(lg20)( jGL 可在大范围内表示频率特性；可在大范围内表示频率特性； 利用实验数据易确定利用实验数据易确定 L( ), ,进而确定进而确定G(s)。( )()G j ( )20dBdec 读作：负读作：负2020分贝每十倍频程分贝每十倍频程16. 对数对数幅幅频、频、相相频频特性特性( (Bode)

13、)对数幅频对数幅频相频相频)(lg20)( jGL )()( jG jssjG 1T1)(以以为例。为例。17幅频幅频相频相频)( jG. 幅幅频、相频特性频、相频特性)( jG 3 3、幅频、相频特性、幅频、相频特性幅频、相幅频、相频特性频特性()G j ( )A 幅频特性幅频特性相频特性相频特性( )( ) ()G j 纵坐标为纵坐标为 、 ，横坐标，横坐标为为 。( )A ( ) jssjG 1T1)(以以为例。为例。18 4、尼科尔斯曲线、尼科尔斯曲线纵坐标为纵坐标为 ，单位为分贝（，单位为分贝（dB）横坐标横坐标为为 , 单位为度（单位为度（）。）。)(L)( 均为线性分度，均为线性

14、分度，为变量。为变量。. 对数幅相对数幅相特性特性( (Nichols) ) jssjG 1T1)(以以为例。为例。)(lg20)( jGL )()( jG 19频率特性频率特性 G(j ) 的表示方法汇总的表示方法汇总 jssjG 1T1)(以以为例，为例，幅频幅频相频相频)( jG.幅幅频、频、相相频特性频特性. 幅相幅相特性特性( (Nyquist) ). 对数频率对数频率特性特性( (Bode) ). 对数幅、相对数幅、相特性特性( (Nichols) )对数幅频对数幅频对数相频对数相频)( jG )(lg20)( jGL )()( jG 205.2 典型环节的幅相频率特性典型环节的幅

15、相频率特性 ( Nyquist )( )G sK 比例环节比例环节 微分环节微分环节 积分环节积分环节KjG )( KG 0GssG )( jjG )( G 90GssG1)( jjG1)( 1 G 90G180G K0K 0K 0K 一、典型环节的幅相频率特性一、典型环节的幅相频率特性21 惯性环节惯性环节1T1)( ssG22T11 GTarctan G 不稳定惯性环节不稳定惯性环节-Ts11( )G s TT1arctanarctanG 1j T1 不稳定惯性环节不稳定惯性环节Ts1-Ts+111( )1G s Tj11)( jG22T11 GTarctan1801-Tarctan G不

16、稳定惯性环节不稳定惯性环节可看成可看成 绕原点顺时针旋转绕原点顺时针旋转180度。度。22 一阶微分（最小相位）一阶微分（最小相位）( )T1G ss T1)( jjG 22T1 GTarctan GT( )1G ss T()1G jj 22T1 GTarctanG 一阶微分（非最小相位）一阶微分（非最小相位）T( )1(1)G sTss T()(1)G jj T180arctanG 23 振荡环节振荡环节2222211nnG 22-12arctannnG 2222)(nnnsssG 12)(12 nnss nnjjG 211)(22 01)0( jG 1800)( jG0090180n 10

17、120n 24谐振频率谐振频率 r 和谐振峰值和谐振峰值Mr 1222212nnG 0 Gdd 0212222 nndd 0)2(22 )(212222 nnnn 02142222 nn22221 n221 nr2121)( rrjGM例例: :当当 ，时，时1, 3 . 0 n 9055. 03 . 02112 r 832. 13 . 013 . 0212 rM200.7072 谐振条件：谐振条件： 25不稳定振荡环节不稳定振荡环节2222211nnG 2222)(nnnsssG nnjjG 211)(22 222arctan1-nnG 12)(1)(2 nnsssG 262222222ar

18、ctan()1-2arctan()21-2arctan()1-nnnnnnnnnG 2222211nnG 27（7 7）.二阶微分环节微分环节二阶微分环节的传递函数和幅相频率特性为二阶微分环节的传递函数和幅相频率特性为22222( )211nnsG sTTss 22arctan2222122()11nnnnnnG jje 幅频特性和相频特性为：幅频特性和相频特性为：22( )arctan1nn 2222( )1nnA 28（8 8）延迟环节）延迟环节( )sG se ()()jG je 幅频特性和相频特性为幅频特性和相频特性为( )1A 延迟环节可以用如下的公式描述延迟环节可以用如下的公式描述

19、1lim1snnesn 当当 比较小时，比较小时， 可取可取1 1或或2 2，则，则 n21(1)2ses 结论：可用惯性环节或两个惯性环节串联来近似描述延迟环节结论：可用惯性环节或两个惯性环节串联来近似描述延迟环节11ses 00180()57.3 ( )()1()c tr tt 29二、典型环节的对数幅频、相频特性二、典型环节的对数幅频、相频特性传函互为倒数的典型环节传函互为倒数的典型环节L()、 ()之间关系：之间关系： 121( )( )G sGs 221111202020( )lg( )lglg( )( )( )LAALA 211j-j2s j2j111111jj()()()()(

20、)()( )( )GAeeGAAe 1j11sj1j()( )()( )G sGAe 则有：则有： 21( )( ) 传函互为倒数的典型环节传函互为倒数的典型环节L L( () )、 () )之间具有镜像关系，之间具有镜像关系， 即：其对数幅频曲线关于即：其对数幅频曲线关于0dB0dB线对称，相频曲线关于线对称，相频曲线关于0 0 线对称。线对称。30lg ( )/LdB lg )(180180幅频特性： ；相频特性： ( )AK 00( )1800kk 比例环节：比例环节： ;( )G sK ()G jK 对数幅频特性： 01( )20lg0101KLKKK 20lg K1K1K20lg K

21、1K20lg K00( )1800KKK 相频特性： 0K0K312 积分环节积分环节对数幅频和相频特性为对数幅频和相频特性为1( )20lgL 1( )2 3 微分环节微分环节2( )20lgL 积分、微分环节对数频率特性曲线积分、微分环节对数频率特性曲线(lg) 2( )2 s jj11( )G ss s jj( )G ss (lg) 32 比例积分环节的频率特性：01( )取G sKKs频率特性：频率特性：2()KKKG jjej ( )20lg( )20lg20lg20lgKLAK 20)(10; 0)(, 11LLK时，当时，当( )2 ( );KA 1KdBL/ )()(90204

22、0204011010011010010K1,( )20lg;( )0LKKL，可见斜率为可见斜率为20/dec ，过（，过（1，0）点）点当有两个积分环节，即=2时，斜率为40/dec 斜率为斜率为20/dec ，过（，过（1，20logk）点）点总之，低频段过（过（， )点，点，斜率为20 /dec 20lgvK 33122( ),( )1KAtg TT 4. 惯性环节的频率特性（设惯性环节的频率特性（设）：( )11sjKKG sTsTj 对数幅频特性： ，22( )20lg( )20lg20lg 1LAKT可以用两段渐近线近似的表示其对数幅频特性。渐近线的特点。在低频时，即在低频时，即1

23、1,TT 2( )20lg 1() 20lg10()LTdB 11,TT 2( )20lg 1() 20lg()LTT dB 在高频时，即在高频时，即11,TT 21( )20lg 1 1 20lg2()3.012LdBdB 在在转折角频率转折角频率时时451 T010( )90tg T (0 90 ) 相频特性： 34相频特性曲线关于( 0, -45)点斜对称。当T变时，频率特性的形状不变，当转折频率1/T变化时，整条曲线向左或右平移。当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。decdB20decdB0)()(Tarctg( )L 352( )20log 120log 1() ()Lj

24、TTdB()tan()artT 在低频时，即在低频时，即11,TT 2( )20log 1() 20log10()LTdB 低频时的对数幅值曲线是一条低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线分贝的直线11,TT 2( )20log 1() 20log()LTT dB 在高频时，即在高频时，即高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为20dB/dec的直线的直线11,TT 21( )20log 1 1 20log2()3.012LdBdB 在在转角频率转角频率时时5. 一阶微分环节一阶微分环节：1T)( ssG一阶微分与惯性环节成镜像关系。一阶微分与惯性环节成镜像关系

25、。相频特征点：相频特征点：1( )4T 相角的变化范围从相角的变化范围从0 0到到 。2渐近线的组成：渐近线的组成：36Bode Diagram of G(jw)=jwT+1) T=0.1Frequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)051015202510010110204590()()arctgT 20dBdec0dBdec一阶微分的对数频率特性曲线 37一阶微分与惯性环节成镜像关系。一阶微分与惯性环节成镜像关系。当一阶微分与惯性环节在一起时相频曲线形状如何？当一阶微分与惯性环节在一起时相频曲线形状如何？386. 振荡环节的频率特性：22222(

26、)212nnnKKG sT sTsss 当K=1时，频率特性为：221()(1)2G jTjT 22221( )(1)(2)ATT 1222( )1TtgT 2222( )20lg( )20lg(1)(2)LATT 对数幅频特性：低频段渐近线：1( )0，TL高频段渐近线：2221( )20lg()40lg，TLTT 两渐进线的交点 称为转折频率。斜率为-40dB/ec。1onT得：得：39相频特性：1222( )1TtgT 几个特征点：12002( )lg( )10,;,;( )0( )2nLLT 由图可见： 对数相频特性曲线在半对数坐标系中对于( 0， -90)点是斜对称的。 对数幅频特性

27、曲线有峰值。( ),( )L 10,1,0.3KT 1oT 40/dB Dec 210()0.61G jss 90 40可见，当 时， 。当 时，无谐振峰值。当 时，有谐振峰值。10.7072 0r 12 12 因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与渐近线可能有很大的误差。 221 nr2121)( rrjGM202 谐振条件谐振条件： 谐振频率、谐振峰值谐振频率、谐振峰值： 4110-1100101-40-30-20-1001020dB1 . 0幅频特性与幅频特性与 关系：关系： 22200.70721 2121rnrnrM 1()2nA 4210-1100101-40-30-20-10

28、01020dB1 . 02 . 0幅频特性与幅频特性与 关系关系4310-1100101-40-30-20-1001020dB1 . 02 . 03 . 0幅频特性与幅频特性与 关系关系4410-1100101-40-30-20-1001020dB1 . 02 . 03 . 05 . 0幅频特性与幅频特性与 关系关系4510-1100101-40-30-20-1001020dB1 . 02 . 03 . 05 . 07 . 0幅频特性与幅频特性与 关系关系22200.70721 2121rnrnrM 1()2nA 4610-1100101-40-30-20-1001020dB1 . 02 .

29、03 . 05 . 07 . 00 . 1幅频特性与幅频特性与 关系关系=0时，对数幅频曲线的形状？时，对数幅频曲线的形状？ 1()20lg()20lg2nnLA 4710-1100101-180-160-140-120-100-80-60-40-200degPhase of 2-order factor1 . 0相频特性与相频特性与 关系关系4810-1100101-180-160-140-120-100-80-60-40-200degPhase of 2-order factor1 . 02 . 0相频特性与相频特性与 关系关系4910-1100101-180-160-140-120-10

30、0-80-60-40-200degPhase of 2-order factor1 . 02 . 03 . 0相频特性与相频特性与 关系关系5010-1100101-180-160-140-120-100-80-60-40-200degPhase of 2-order factor1 . 02 . 03 . 05 . 0相频特性与相频特性与 关系关系5110-1100101-180-160-140-120-100-80-60-40-200degPhase of 2-order factor1 . 02 . 03 . 05 . 07 . 0相频特性与相频特性与 关系关系5210-1100101-

31、180-160-140-120-100-80-60-40-200degPhase of 2-order factor1 . 02 . 03 . 05 . 07 . 00 . 1相频特性与相频特性与 关系关系=0时，相频曲线的形状？时，相频曲线的形状？ 1222( )1TtgT 5310-1100101-6-4-202468101214dB1 . 0幅值误差与幅值误差与 关系关系5410-1100101-6-4-202468101214dB1 . 02 . 0幅值误差与幅值误差与 关系关系5510-1100101-6-4-202468101214dB1 . 02 . 03 . 0幅值误差与幅值误差与 关系关系5610-1100101-6-4-202468101214dB1 . 02 . 03 . 05 . 0幅值误差与幅值误差与 关系关系5710-1100101-6-4-202468101214dB1 . 02 . 03 . 05 . 07 . 0幅值误差与幅值误差与 关系关系5810-1100101-6-4-202468101214dB1 . 02 . 03