常微分方程的常见解法

1、一、一、 向量场向量场,dyfx ydx1.3.1设一阶微分方程 满足解的存在唯一性定理的条件。平面的一个区域Dxy的右端函数在中有定义,那么，过中任一点 00,xy有且仅有D1.3.1的一个解 yx00 xy，满足 ,xf xx从几何方面看，解 yx就是通过点 00,xy的一条常微分方程的解法介绍曲线（称为积分曲线），且 ,f xx就是该曲线上的点 , xx处的切线斜率，特别在 00,xy切线斜率解，但我们知道它的解曲线在区域D中任意点 , x y的切线斜率是 。,f x y就是 00,f xy尽管我们不一定能求出方程 1.3.1的如果我们在区域D内每一点 , x y处，都画上一个就得到一个

2、方向场，将这个方向场称为由微分方程所确定的向量场向量场。,f x y的值为斜率中心在 , x y以点的线段，我们它所确定的向量场中的一条曲线，该曲线所经过的从几何上看，方程 1.3.1的一个解 yx就是位于每一点都与向量场在这一点的方向相切。行进的曲线，因此，求方程00y xy满足初始值1.3.1的这样的一条曲线。的解，就是求通过点00,xy yx形象的说，解就是始终沿着向量场中的方向 向量场对于求解微分方程的近似解和研究微分方程的几何性质极为重要，因为，可根据向量场的走向来近似求积分曲线，同时也可根据向量场本身的性质来研究解的性质。例例1.3.11.3.1 在区域 ,|2,2Dx yxy 内

3、画出方程 dyydx 的向量场和几条积分曲线。解解：用计算各点的斜率的方法手工在网格点上画出向量场的方向可以得到向量场，但手工绘图误差较大。我们可以用Maple 软件包来完成。点的向量相重合。 L在每点均与向量场的向量相切。 在L上任一点，L的切线与1.3.1所确定的向量场在该 定理定理1.31.3L为1.3.1的积分曲线的充要条件是：曲线Maple指令：指令：DEtoolsphaseportrait # 画向量场及积分曲线(diff(y(x),x)=-y(x),y(x), # 定义微分方程x=-2.2, # 指定x范围y(-2)=2,y(-2)=1,y(-2)=-2, # 给出3个初始值di

4、rgrid=17,17, # 定义网格密度arrows=LINE, # 定义线段类型axes=NORMAL); # 定义坐标系类型yy 在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py) 回车后Maple就在 1144条积分曲线，见下图 的图形，并给出了过点的网格点上画出了向量场(-2,2)(-2,1)(-2, 2)的三 所谓图解法就是不用微分方程解的具体表达式，直所谓图解法就是不用微分方程解的具体表达式，直接根据右端函数的结构和向量场作出积分曲线的大接根据右端函数的结构和向量场作出积分曲线的大致图形。致图形。 图解法只是定性的，只反映积分曲线的一部分主要图解法只是定性的，只反映

5、积分曲线的一部分主要特征。特征。 该方法的思想却十分重要。因为能够用初等方法求该方法的思想却十分重要。因为能够用初等方法求解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的性态对解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的性态对了解该方程所反映的实际现象的变化规律就有很重了解该方程所反映的实际现象的变化规律就有很重要的指导意义。要的指导意义。二、 积分曲线的图解法三、一阶常微分方程的解法1 1线性方程线性方程2 2 变量可分离方程变量可分离方程3 3 全微分方程全微分方程4 4 变量替换法变量替换法5 5 一阶隐式方程一阶隐式方程6 6 近似解法近似解法7 7 一阶微分方程的应用一阶微分方程的应用初值问题初值问

6、题 的解为的解为 初值问题 的解为 00( )0()dyp x ydxy xy00exp( )xxyyp x dx00( )( )()dyp x yg xdxy xy0000exp( )( )exp( )xxsxxxyypdg spd dsBernoulli方程ny以,1 nyz求出此方程通解后,令解法:伯努利方程的标准形式伯努利方程的标准形式: :)1,0()()(ddnyxQyxPxyn)()(dd1xQyxPxyynnxyynxzndd)1 (dd则)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解。例例 湖泊的污染湖泊的污染设一个化工厂每立方

7、米的废水中含有3.08kg盐酸，这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为考虑 ,ttt内湖泊中盐酸的变化。( )x tttxtttxttx204000000)(100008. 320)()(因此有. 0)0(, 6 .612400000100 xtxdtdx该方程有积分因子50)02.04000()2400000100exp()(tdttt两边同乘以)(t后,整理得5

8、050)02. 04000(6 .61)02. 04000(ttxdtd积分得Ctxt5150)02. 0400(513080)02. 04000(利用初始条件得51)4000(513080C.)02. 040004000(400002. 04000513080)(50tttx).kg(223824)8760(x当 , ( )0g y ( )g y得 变量可分离方程的求解变量可分离方程的求解方程（2.2.1）两边同除以 ( )( )dyf x dxg y这样对上式两边积分得到( )( )dyf x dxCg y齐次函数齐次函数: 函数),(yxf称为m次齐次函数, 如果. 0),(),(tyx

9、fttytxfm齐次方程齐次方程: 形如( )dyyFdxx的方程称为齐次方程。 引入一个新变量化为变量可分离方程求解思想求解思想:求解。齐次方程齐次方程可化为齐次方程的方程)(111cybacbyaxfdxdy形如的方程可化为齐次方程.其中111,cbacba都是常数.1. 当01 cc时, 此方程就是齐次方程.2. 当0212cc时, 并且(1)011baba此时二元方程组0011cybxacbyax有惟一解.,yx引入新变量.,yx此时, 方程可化为齐次方程:).(11babafdd(2) 若011baba则存在实数,使得:,11bbaa或者有.,11bbaa不妨是前者, 则方程可变为)

10、.(111cybxacbyaxfdxdy令,byaxz则).(1czczbfadxdybadxdz4. 对特殊方程)(cbyaxfdxdy令,byaxz则).(czbfadxdz例例 求方程 的通解。 13dyxydxxy解解：解方程组 1030 xyxy 得 12xy 令 1,2xuyv代入原方程可得到齐次方程211dvuvdxuvdzzudxz令 vuz得21arctanln(1)ln2zzuC还原后得原方程通解为222arctanln(1)(2)1yxyCx变量分离后积分2(1)1z dzduzu例例:雪球融化问题设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且融化过程中它始终为球体，该雪球

11、在开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。解:设t时刻雪球的体积为 ( )V t，表面积为 ( )S t，( )( )dV tkS tdt 球体与表面积的关系为 122333( )(4 ) 3S tV变量可分离方程的应用由题得引入新常数 1233(4 ) 3rk再利用题中的条件得23dVrVdx (0)288V(2)36V分离变量积分得方程得通解为31( )()27V tCrt再利用条件 (0)288V(2)36V确定出常数C和r代入关系式得 3( )(123 )6V ttt的取值在 0,4之间。 中连续且有连续的一阶偏导数，则 定理定理2.12

12、.1 设函数 ( , )M x y和 ( , )N x y在一个矩形区域是全微分方程的充要条件为:( , )( , )M x yN x yyx（2.3.3)方程为全微分方程的充要条件方程为全微分方程的充要条件0),(),(dyyxNdxyxMR例：验证方程2( cos2)(sin2)0yyyxxedxxx edy是全微分方程，并求它的通解。由于 ( , )cos2yM x yyxxe2( , )sin2yN x yxx e3.3.全微分方程的积分全微分方程的积分解：当一个方程是全微分方程时,我们有三种解法.(1) 线积分法:dyyxNdxyxMyxFyxyx),(),(),(),(),(00d

13、ssxNdsysMyxFyyxx00),(),(),(0或2sin2yyxx ey由公式(2.3.4)得: 00( cos2)2xyyyssedsds故通解为2sin2yyxx eyCyxdssNdsysMyxF00), 0(),(),(其中C为任意常数( , )( , )M x yN x yyx所以方程为全微分方程。,2cos),(yxexyyxMyxexxyxN2cos),(2)偏积分法的通解.例：求方程0)sin2()(dyyxdxyex由于 解：yeyxMx),(yxyxNsin2),(xyxNyyxM),(1),(假设所求全微分函数为 ),(yxF,则有 ),(),(yxMyexyx

14、Fx),(sin2),(yxNyxyyxF求 ),(yxF)()(),(yyxedxyeyxFxx而 yxyyxFsin2),(即yxyxsin2)(从而yysin2)(yycos2)(即CyxyeyxFxcos2),(例例：验证方程22(cos sin)(1)0 xxxydxyxdy是全微分方程，并求它满足初始条件： 的解。 (0)2y解解：2MNxyyx 所以方程为全微分方程。 由于 21cos sin( sin)2xxdxdx22221()2xy dxyx dydx y21()2ydydy由于 (3)凑微分法方程的通解为： 2222sin x x yyc利用条件 (0)2y得 4c 最后

15、得所求初值问题得解为：222sin(1)4xyx根据二元函数微分的经验,原方程可写为0)(sincos22ydydyyxdxxyxdxx四、微分方程的四、微分方程的近似解法用一些函数去近似微分方程的解用一些函数去近似微分方程的解在一些点上计算方程解的近似值在一些点上计算方程解的近似值逐次迭代法逐次迭代法TaylorTaylor级数法级数法EulerEuler折线法折线法Runge-KuttaRunge-Kutta法法能得到解析解的方程能得到解析解的方程： 线性方程、变量可分离的方程、 全微分方程以及能通过各种方法化为这些类型的方程.绝大部分方程无法求得解析解，一些近似解法也对实际问题的解决有很

16、大帮助，我们需要讨论在得不到解析解时寻求近似解的方法。对初始值问题构造迭代序列 该序列一致收敛到解，故迭代一定次数后就可以作为一个近似1 1、 逐次迭代法010( ,( )xxf ss ds0（x）=y x10( )11,y xx 0y (s)ds2x20( )11,2!xyxx 1y(s)ds0( )1,yx x0( )11!nnxyxxn n-1y (s)ds 解：解：该初值问题近似解的迭代序列 如下例例 求初值问题的近似解(0) 1y,dyydx)(xyn111011| ( )( )|!|(1)!2|2(1)!2 |1(1)!2kknk nk nknknnxxy xyxkkxxnnxnn

17、nxxnn 迭代的误差 (|x|1+(y-x)2;f2:=(x,y)-2*(x-y)+2*(y-x)*(1+(y-x)2);for n from 0 to 9 doxn+1:=h*(n+1);yn+1:=yn+h*f1(xn,yn);zn+1:=zn+h*f1(xn,zn)+h2*f2(xn,zn)/2;un+1:=xn+1+1/(2-xn+1);print (xn+1,yn+1,zn+1,un+1);od:可以改变步长和增加分点来观察计算精度的变化情况 := f1(), x y1()yx2 := f2(), x y2 x2 y2 ()yx ()1()yx2,.1 .625 .62625000

18、00 .6263157895,.2 .7525625 .7554012980 .7555555556,.3 .8830950316 .8879616079 .8882352941,.4 1.017095013 1.024564070 1.025000000,.5 1.155175638 1.166008399 1.166666667,.6 1.298101150 1.313319313 1.314285714,.7 1.446835672 1.467831300 1.469230769,.8 1.602612024 1.631314654 1.633333333,.9 1.767030630

19、1.806168142 1.809090909,1.0 1.942204841 1.995723127 2.0000000000)(),(yaybxayxfy对于常微分方程的边值问题的解( ) ,yy x111( )()()(),nnnnny xy xyxx),(11nnnxx)()()(111nnnyhxyhxy即- (1) Runge-KuttaRunge-Kutta( (龙格龙格 - - 库塔库塔) )法法Runge-KuttaRunge-Kutta方法的导出方法的导出有上使用微分中值定理,在区间1,nnxx( )yy xhKxyhxynn)()(11-(2)引入记号)(1nyK)(,1

20、1nnyf1,nnxx的近似值K。就可得到相应的1nxnxxy)(xyy hKyynn1-(3)Runge-Kutta方法即(3)式K只要使用适当的方法求出y(x)上平均斜率在区间K可以认为是在区间上的平均斜率。1,nnxx低阶Runge-Kutta方法1nxnxxy)(xyy 如下图11( )( ),nnny xxy xxxK如果以在处的斜率作为在上的平均斜率即)(1nxyK)(,11nnxyxf则(4)式化为),(111nnnnyxhfyy),(11nnyxf即Euler方法Euler方法也称为一阶一阶Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法)()(2hOhen由于-(4)KK

21、1nxnxxy)(xyy1121( )( ),nnnny xxxKKy xxx如果以在和 处的斜率和的算术平均值作为在上的平均斜率)(11nxyK),(11nnyxf)(2nxyK)(,nnxyxf),(nnyxf),(11hKyxfnn(由(4)式)令221KKK则(3)式化为K1K2K)(2211KKhyynn),(111nnyxfK),(112hKyxfKnn)(00 xyy -(5)称为二阶二阶Runge-Kutta法法)()(3hOhen高阶Runge-Kutta方法2,1212111hxxxxxnnnnn上增加一点如果上的平均斜率在作为的加权平均值和、处的斜率和、在且以,)()(1

22、321211nnnnnxxxyKKKxxxxy)(11nxyK),(11nnyxf)(212nxyK)(,2121nnxyxf1nxnx21hxnxy)(xyy )(3nxyK)(,nnxyxf未知K1K2K3K)(21nxy)2,2(111Khyhxfnn令112Khyn)(212nxyK)2(121KKhyn)(nxy)2(,(1211KKhyhxfnn)(3nxyK1112()2nnnhxxKKy x同样以、处的斜率、预测令)(2111nnxyKx预测处的斜率如果以),(111nnyxfK)2,2(1112KhyhxfKnn)2(,(12113KKhyhxfKnn)(00 xyy 取32

23、1616461KKKK则)4(63211KKKhyynn-(6)(6)式称为三阶三阶Runge-Kutta方法)22(643211KKKKhyynn),(111nnyxfK)2,2(1112KhyhxfKnn),(3114hKyhxfKnn)(00 xyy 还可构造四阶四阶( (经典经典)Runge-Kutta)Runge-Kutta方法)2,2(2113KhyhxfKnn四阶(经典)Runge=Kutta方法有4阶精度例例 求初始值问题的数值解 利用四阶Runge=Kutta方法计算机编程 给出步长和初始值 循环计算各点上函数的近似值 显示结果21 () ,(0)0.512yyxyyxx 精

24、确解printlev1:=0: h:=0.1: x0:=0: y0:=0.5:f:=(x,y)-1+(y-x)2;for n from 1 to 10 doxn:=h*n;k1:=f(xn-1,yn-1);k2:=f(xn-1+h/2,yn-1+k1*h/2);k3:=f(xn-1+h/2,yn-1+k2*h/2);k4:=f(xn-1+h,yn-1+k3*h);yn:=yn-1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;un:=xn+1/(2-xn);print (xn,yn, un);od:运行结果运行结果 := f(), x y1()yx2,.1 .6263157815 .626315

25、7895,.2 .7555555358 .7555555556,.3 .8882352567 .8882352941,.4 1.024999936 1.025000000,.5 1.166666562 1.166666667,.6 1.314285546 1.314285714,.7 1.469230500 1.469230769,.8 1.633332900 1.633333333,.9 1.809090199 1.809090909,1.0 1.999998803 2.000000000适应范围适应范围 与变化率有关的各种实际问题应用三步曲应用三步曲 (1) 建模 即根据实际问题建立起适当

26、的微分方程， 给出其定解条件. (2) 求解 求出所建立的微分方程的解 (3) 翻译 用所得结果来解释一些现象，或对问题的 解决提出建议或方法建议: 模型要详略得当 在用微分方程解决实际问题的过程中一定要意识到实际问题是十分复杂的，微分方程只能是在一定程度上对问题的一种近似描述，只要结果的误差在一定范围内即可.任何模型都不可能把影响问题的所有因素都反映在微分方程中，或者要求所得结果十分精确.一个好的微分方程模型是在实际问题的精确性和数学处理的可能性之间的一个平衡. 有一段时间,美国原子能委员会(现为核管理委员会)是这样处理浓缩放射性废物的,他们把这些废物装入密封性能很好的圆桶中,然后扔到水深3

27、00英尺的海里。 这种做法是否会造成放射性污染,很自然地引起了生态学家及社会各界的关注。原子能委员会一再保证,圆桶非常坚固,决不会破漏,这种做法是绝对安全的。然而一些工程师们却对此表示怀疑,他们认为圆桶在和海底相撞时有可能发生破裂。而原子能委员会有专家们则仍然坚持自己的看法。于是,双方展开了一场笔墨官司。 究竟谁的意见正确呢?看来只能让事实说话了。问题的关键在于圆桶到底能承受多大速度的碰撞,圆桶和海底碰撞时的速度有多大?放射性废物的处理 大量破坏性实验,发现圆桶在40英尺秒的冲撞下会发生破裂,剩下的问题就是计算圆桶沉入300英尺深的海底时,其末速度究竟有多大了。 美国原子能委员会使用的是55加

28、仑的圆桶,装满放射性废物时的圆桶重量为W527.436磅,而在海水中受到的浮力B470.327磅。此外,下沉时圆桶还要受到海水的阻力,阻力Dv,其中C为常数。工程师们做了大量实验,测得C0.08。现在,取一个垂直向下的坐标,并以海平面为坐标原点(0)。于是,根据牛顿第二定律建立圆桶下沉时应满足方程 质量质量加速度加速度= =重力重力- -浮力浮力- -摩擦阻力摩擦阻力 模型及其解tcBmgecmBgmytcBmgeccyyydtdycBmgdtydmmctmct)1 (0)0( , 0)0(,/22/2122oymgBD困难：无法知道下沉到海底的时间dydvcvBmgcBmgcmdycvBmg

29、mvdvvcvBmgdydvmvdydvvdtdydydvdtdvdtydvdtdy/ )(, 0)0(,22积分和代入初始条件得：yBmgcvBmgcBmgvcmBmgcBmgycvBmgcBmgvcmCycvBmgcBmgvcmln)ln()ln()ln(22232最后再用数值计算可以得到水深300时的速度大小。 借助数值方法求出v(300)的近似值。计算结果表明, v(300)45.1英尺秒40英尺秒。 工程师们的猜测是正确的,他们打赢了这场官司。现在,美国原子能委员会已改变了他们处理放射性废物的方法,并明确规定禁止将放射性废物抛入海中。 一横截面积为常数A,高为H的水池内盛满了水,由池

30、底一横截面积为B的小孔放水. 求在任意时刻的水面高度和将水放空所需的时间 . ： 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.例例 解：解： 由力学知识得,水从孔口流出的流量为,262. 0ghSdtdVQ 流量系数孔口截面面积重力加速度值得进一步探讨的问题: 不同的形状cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 设在微小的时间间隔,ttt 水面的高度由h 降至 ,hh ,2dhrdV 则则,200)100(100222hhhr

31、)2(,)200(2dhhhdV 比较(1)和(2)得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 1 S,cm2dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 即为未知函数的微分方程.可分离变量,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求规律为值得进一步探讨的问题: 漏斗型的容器 由于水的张力的原因，每次水都无法全部留尽，总会剩一小部分在容器中。如何才能让水尽可能少的留在容器中？我们知道，水与容器接触的面积越大，留在容器中的水就越多先讨论一下漏斗

32、的模型。 y 容器的位置容器的位置 可否将容器倾斜，使上部的面积大于下部的面积，使水流的速度更快？倾斜角度？容器的运动状态容器的运动状态 容器的运动状态对流水的速度是肯定会造成影响的，考虑极限的状态，如果容器以大于等于当地重力加速度的加速度竖直向下运动，那么，容器里的水就不会流出。容器以不同的方式运动时对水的流出时间有多少影响？有没有一种运动状态能加快水流的速度呢？ 涡流的影响涡流的影响 涡流对水流的速度是有一定影响的。拿一个水桶反复做这样的试验：首先将桶装满水，记录水面的高度，然后拔出塞住孔口的塞子，让水自然从桶破了的孔中流出，测量流出的时间，然后反复从同一高度作相同的试验，最后求出水自然流

33、尽所需时间的平均值；然后从同一高度作相同的试验，不同的是用一根棍子绕同一方向在水中搅动，使其产生涡流，然后重复上面的步骤。最后发现通过两种方法测得的水流尽所需时间的平均值有较大的差距，于是猜想有无涡流或许对水流的速度也是有一定影响的。 五、五、 高阶高阶常系数齐次线性方程常系数齐次线性方程 11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdt（3.3.53.3.5）(其中 为常数)为n阶常系数齐次线性方程.12,na aa的根。方程（3.3.7）称为方程（3.3.5）的特征方程，它的根称为方程（3.3.5）的特征根.0)(12211nnnnnaaaaF（3.3.7）1.1.特征根为单根特

34、征根为单根 设 是（3.3.7）的n个不相同根， 12,n 则对应方程（3.3.5）有n个解12,nttteee（3.3.8）求方程（3.3.5）的通解的一般步骤：第一步 求方程的特征方程及特征根 1,n第二步 计算方程相应的解 a) 对每一个单实根 kkte有解b) 对每一个m1重实根 k方程有m个解 1,kkktttmetetec) 对每一个重数为1的共轭复根 cos,sinttet eti方程有两个如下形式的解：方程有2m个如下形式的解： d)对每一个重数 m1的共轭复根 i,cos,cos,cos,cos121tettetttetetkttt.sin,sin,sin,sin121tettetttetetkttt第三步 根据第二步写出基本解组和通解 解解：特征方程 32340故特征根为 11 2,32例例：求3232340d xd xxdtdt的通解.其中11 2,32是单根，是二重根，因此有解.,22tttteee方程通解为：.)(23221ttttececectx其中123,c cc为任意常数.上述两实根和两复根均是单根，方程通解为：.sincos)(4321tctcec