函数极限与连续01531学习教案

1、会计学1函数函数(hnsh)极限与连续极限与连续01531第一页，共61页。“理解概念理解概念(ginin)、硬记公、硬记公式、式、 变通技巧、拆分考点变通技巧、拆分考点”“三要诀三要诀(yo ju)”数字数字(shz)要敏感要敏感眼睛要雪亮眼睛要雪亮题目要练习题目要练习第1页/共60页第二页，共61页。一、考试一、考试(kosh)时间时间2013年年4月份月份(yufn)（2小时）小时）二、考试二、考试(kosh)题型（题型（24个题个题目）目）150分分选择题选择题24分（分（4分分6题）题）填空题填空题24分（分（4分分6题）题）计算题计算题64分（分（8分分8题）题）综合题综合题20分

2、（分（10分分2题）题）证明题证明题18分（分（9分分2题）题）第2页/共60页第三页，共61页。三、考试内容三、考试内容第一章第一章 函数、极限、连续函数、极限、连续(linx)（3个个考点）考点）第二章第二章 一元函数微分学（一元函数微分学（4个考点个考点(ko din)）第三章第三章 一元函数积分学（一元函数积分学（4个考点个考点(ko din)）第四章第四章 多元函数微积分学多元函数微积分学（2个考点）个考点）第五章第五章 微分方程微分方程（3个考点）个考点）第六章第六章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何（2个考点）个考点）第七章第七章 无穷级数无穷级数（2个考点）个考点）

3、20个个考点考点第3页/共60页第四页，共61页。第一章第一章第二章第二章第三章第三章第四章第四章第五章第五章第六章第六章第七章第七章2011年年 2010年年2009年年2008年年4分分12分分12分分20分分38分分35分分29分分8分分12分分12分分20分分34分分40分分24分分8分分12分分13分分24分分39分分30分分24分分8分分12分分13分分24分分29分分34分分30分分约占约占65%第4页/共60页第五页，共61页。第一章第一章 函数函数(hnsh)、极、极限、连续限、连续第5页/共60页第六页，共61页。一、函数一、函数(hnsh)的基本概念的基本概念1.函数函数

4、(hnsh)的定义的定义每一个每一个唯一唯一称称y是是x的函数的函数(hnsh)自变量自变量对应法则对应法则因变量因变量自变量自变量x的集合的集合D称为函数称为函数 的定义域，记作的定义域，记作( )yf xfD因变量因变量y的集合称为函数的集合称为函数 的值域，记作的值域，记作( )yf xfR第一节第一节 函数函数第6页/共60页第七页，共61页。1,( ),log ,xaayf xb0a 分母要不为0，偶次根式的被开方数要大于等于0，0b对数函数的真数要大于0，0 x 应用题要具体分析2.函数函数(hnsh)的定义域的定义域2lg(3)( )54sinxf xxxx例例1-1.求函数求函

5、数 的定义域的定义域.第7页/共60页第八页，共61页。3.函数函数(hnsh)的值域（即求最值）的值域（即求最值）已知函数已知函数( )yf x（1）求）求00()( )x xf xf x（2）求）求2(1),(),(sin )f xf xfx（3）已知）已知 ，求，求(1)f x( )f x例例1-2.（1）设设 ，求，求 .（2）已知函数已知函数 的定义域是的定义域是 ，求函数，求函数 的定义域的定义域.2(1)xxxf eeex( )f x( )f x0,12(1)f x 第8页/共60页第九页，共61页。（4）求最值的三种）求最值的三种(sn zhn)方法方法不等式法不等式法配方法配

6、方法(fngf)求导法求导法第9页/共60页第十页，共61页。二、六类基本二、六类基本(jbn)初等函数初等函数1.常函数常函数(hnsh)2.幂函数幂函数（C为常数，图像为平行为常数，图像为平行(pngxng)于于x轴的直线）轴的直线）（图像为平行于（图像为平行于y轴的直线）轴的直线）yx（ 为一切实数）为一切实数）第10页/共60页第十一页，共61页。3.指数函数指数函数(zh sh hn sh)（a为底数，为底数， 且且 ） 0a 1a 4.对数函数对数函数logxay （a为底数，为底数， 且且 ） 0a 1a （2）所有）所有(suyu)指数函数的图像都经过点（指数函数的图像都经过点

7、（0,1）（3）当当 时，增函数；当时，增函数；当 时，减函数时，减函数1a 01a,0 xR y（1）（2）所有对数函数）所有对数函数(du sh hn sh)的图像都经过点（的图像都经过点（1,0）（3）当当 时，增函数；当时，增函数；当 时，减函数时，减函数1a 01a0,xyR（1）第11页/共60页第十二页，共61页。5.三角函数三角函数(snjihnsh)第12页/共60页第十三页，共61页。第13页/共60页第十四页，共61页。6.反三角函数反三角函数(snjihnsh)第14页/共60页第十五页，共61页。三、函数的几种三、函数的几种(j zhn)特殊表达形式特殊表达形式1.分

8、段分段(fn dun)函数函数由两个或两个以上的分析表达式表示的一个(y )函数分段点0的左右两侧表达式一样分段点1的左右两侧表达式不一样第15页/共60页第十六页，共61页。例例1-3.设设 ，求，求 的定义域，并求的定义域，并求 .第16页/共60页第十七页，共61页。2. 隐函数隐函数(hnsh)显函数(hnsh)：隐函数隐函数(hnsh)：函数中函数中y y可用可用x x的式子表示出来的式子表示出来.但并非所有隐函数都可以化成显函数但并非所有隐函数都可以化成显函数函数的函数的y y与与x x的对应关系是一个方程的对应关系是一个方程 表示的表示的.第17页/共60页第十八页，共61页。3

9、. 复合复合(fh)函数函数( ),( )fgyf u ,uDug x ,xD？( )yf g x条件：条件：gfRD ( )yf g x合合因变量中间变量自变量yux( )yf g x( ),( )yf u ug x分解分解第18页/共60页第十九页，共61页。4. 初等初等(chdng)函数函数由基本由基本(jbn)(jbn)初等函数经过有限次四则运算及有限次复合而得到并且用一个式子来表达的函数初等函数经过有限次四则运算及有限次复合而得到并且用一个式子来表达的函数. .第19页/共60页第二十页，共61页。1.增减增减(zn jin)性性四、函数四、函数(hnsh)的性质的性质12( ,

10、)xxa b),()(baxxfy任取任取( )f x增函数增函数( , )a b增区间增区间( )f x( , )a b减函数减函数减区间减区间（变量（变量(binling)x与与y同方向变化）同方向变化）（变量（变量x与与y反方向变化）反方向变化）注意：等号只是在个别点处取得，不影响函数的增减性注意：等号只是在个别点处取得，不影响函数的增减性第20页/共60页第二十一页，共61页。2.奇偶性奇偶性I关于关于(guny)原点不对称原点不对称I关于(guny)原点对称一般一般(ybn)地，设函数地，设函数 的定义域为的定义域为I非奇非偶非奇非偶既不相等，也不相反既不相等，也不相反第21页/共6

11、0页第二十二页，共61页。例例1-4.判别下列判别下列(xili)函数的奇偶性函数的奇偶性第22页/共60页第二十三页，共61页。3.有界性有界性),()(baxxfy( ),f xM 存在正数存在正数 ，对任意，对任意 ，都有，都有则称函数则称函数 在在 上是有界的上是有界的.( , )xa bM( )mf xM（条件放宽为（条件放宽为 ）( )f x( , )a b有上界函数有上界函数有下界函数有下界函数第23页/共60页第二十四页，共61页。例例1-5.（1）判断函数判断函数 是否有界？是否有界？（2）判断函数判断函数 在区间在区间 上是否有界？上是否有界？224sin1xyxx(1,2

12、),(2,3),(3,)1( )1f xx第24页/共60页第二十五页，共61页。4周期性周期性T 存在正数存在正数 ，对任意，对任意 ，都有，都有则称函数则称函数 为周期函数，满足这个等式的最小正数为周期函数，满足这个等式的最小正数 称为函数的周期称为函数的周期.()( ),f xTf xx( )f xT第25页/共60页第二十六页，共61页。例例1-6.(1)设设 为奇函数，为奇函数， ， 为不为不等于等于1的正常数，则的正常数，则 的（的（ ）A.偶函数偶函数 B.奇函数奇函数 C.非奇非偶函数非奇非偶函数 D.奇偶性与奇偶性与 有关有关( )f x11( )( )()12xF xf x

13、aa( )F xa（2） ，是，是 （ ）A.有界函数有界函数 B.奇函数奇函数 C.偶函数偶函数 D.周期函数周期函数2 , 00 , 3)(33xxxxxf第26页/共60页第二十七页，共61页。一、数列一、数列(shli)的的极限极限1.数列数列(shli)极限的描述性定义极限的描述性定义 已知数列已知数列 ，如果当，如果当 越来越大时，越来越大时， 与某个常数与某个常数 A越来越近，则称数列越来越近，则称数列 极限存在或收敛，并把极限存在或收敛，并把A称称为数列为数列 的极限，记作的极限，记作nnynynyny若数列若数列 极限不存在，则称数列极限不存在，则称数列 发散发散.nynyn

14、 第二节第二节 函数函数(hnsh)的极限的极限第27页/共60页第二十八页，共61页。极限不存在极限不存在nyny以以A为极限为极限第28页/共60页第二十九页，共61页。2.数列极限数列极限(jxin)的四则运算的四则运算（1）若有若有（2）（3）（4）结论结论(jiln)：第29页/共60页第三十页，共61页。例例1-7.(1)用观察的方法用观察的方法(fngf)判断下列数列是否收敛？判断下列数列是否收敛？(2)求下列求下列(xili)数列的极限数列的极限第30页/共60页第三十一页，共61页。二、函数二、函数(hnsh)的极限的极限1.自变量沿自变量沿x轴趋于无穷远时，函数轴趋于无穷远

15、时，函数(hnsh) 的极限的极限第31页/共60页第三十二页，共61页。（1）左、右极限）左、右极限(jxin)右极限(jxin)左极限(jxin)（2）极限存在定理）极限存在定理2 2.自变量趋于有限值自变量趋于有限值 时函数的极限时函数的极限第32页/共60页第三十三页，共61页。3.极限极限(jxin)四则运算四则运算若有若有第33页/共60页第三十四页，共61页。4.无穷无穷(wqing)小量与无穷小量与无穷(wqing)大量大量（1）无穷）无穷(wqing)大量大量（2）无穷小量）无穷小量（3）无穷）无穷(wqing)小量与无穷小量与无穷(wqing)大量的关系大量的关系（倒数关系

16、）（倒数关系）第34页/共60页第三十五页，共61页。三、函数三、函数(hnsh)的极限求法的极限求法1.直接直接(zhji)运用四则运算运用四则运算2x2lim(321)xx1352lim21xxxx152lim21xxxx例例1-8.求下列函数极限求下列函数极限第35页/共60页第三十六页，共61页。例例9.2.约去非零公因子约去非零公因子(ynz)例例1-9.求下列函数求下列函数(hnsh)极限极限第36页/共60页第三十七页，共61页。（1）分子）分子(fnz)有有理化理化（2）分母）分母(fnm)有理化有理化（3）分子、分母）分子、分母(fnm)有理化有理化3.有理化（去掉相应的根号

17、）有理化（去掉相应的根号）例例10.042lim93xxx88lim13xxxlim( 123123(1)nnn 例例1-10.求下列函数极限求下列函数极限（2006-13）计算）计算311lim1xxx第37页/共60页第三十八页，共61页。例例1-11.(1)求下列函数极限求下列函数极限232324222342121limlimlim313187nxxnnxxxnxxx21lim()01xxaxbx, a b(2)已知已知 ，求，求4.第38页/共60页第三十九页，共61页。5.求分段求分段(fn dun)函数在分段函数在分段(fn dun)点的极限要利用左、右极限点的极限要利用左、右极限

18、例例1-12.设设 ，求，求第39页/共60页第四十页，共61页。lim0,lim0设设（1）无穷小量的阶）无穷小量的阶6.利用等价无穷小替换利用等价无穷小替换(t hun)求极限求极限( ) lim0如果如果 ，则称，则称 是是 的高阶无穷小，的高阶无穷小，lim 如果如果 ，则称，则称 是是 的低阶无穷小的低阶无穷小.lim0c如果如果 ，则称，则称 是是 的同阶无穷小的同阶无穷小.lim1如果如果 ，则称，则称 是是 的等价无穷小，的等价无穷小，第40页/共60页第四十一页，共61页。（2）无穷小量的等价替换）无穷小量的等价替换(t hun)定理定理设设 ，且，且 存在存在(cnzi)，

19、则有则有（3）常用）常用(chn yn)的无穷小量等价替换公式的无穷小量等价替换公式注意：等价无穷小替换，一般只用于乘除运算，对加、减项的无穷小量不能随意替换.第41页/共60页第四十二页，共61页。sin()(条件：当 , )0 xx011 cos()()2ln(1)2sin,tan,11 cos2ln(1)1arctan11xnxxxxxxxxexxxxxn0 x 第42页/共60页第四十三页，共61页。例例1-13.求下列求下列(xili)函数的极限函数的极限（2007-2）已知当 时， 是 的高阶无穷小，而 又是 的高阶无穷小，则正整数 ( )A.1 B.2 C. 3 D.40 x)1

20、ln(22xxxnsinxnsinxcos1n 第43页/共60页第四十四页，共61页。7.利用利用(lyng)两个重要极限求极限两个重要极限求极限0sin()lim1()xx(条件：当 , )0 xx0第44页/共60页第四十五页，共61页。例例1-14.求下列函数求下列函数(hnsh)的极限的极限第45页/共60页第四十六页，共61页。例例1-15.求下列函数求下列函数(hnsh)的极限的极限第46页/共60页第四十七页，共61页。exxx)11 (lim1lim(1)xe(条件：当 , )x 10lim(1)xe(条件：当 , )0 x 0第47页/共60页第四十八页，共61页。(与与a

21、,b无关无关(wgun)，与，与d,c有关有关)第48页/共60页第四十九页，共61页。例例1-16.求下列求下列(xili)函数的极限函数的极限2( )3xxf xx（2004-7）设设 ，则，则lim( )_xf x（2003-13）求极限求极限121 cos0lim(1)xxx第49页/共60页第五十页，共61页。一、函数一、函数(hnsh)的连续性的连续性1.函数函数(hnsh) 点点 的连续性的连续性0 x( )f x等价定义等价定义 有定义有定义（有函数值）（有函数值） 有极限有极限相相等等0 xxx 第三节第三节 函数函数(hnsh)的连续的连续第50页/共60页第五十一页，共6

22、1页。（2007-7）设函数）设函数 ，在点，在点 处连续处连续(linx)，则常数，则常数 第51页/共60页第五十二页，共61页。2.左、右连续左、右连续(linx)3.函数函数 点区间点区间 上的连续性上的连续性( )f x, a b00lim( )(),xxf xf x如果如果 在在 处满足：处满足：( )f x0 x称函数称函数 在在 处处左连续左连续( )f x0 x00lim( )(),xxf xf x称函数称函数 在在 处处右连续右连续( )f x0 x第52页/共60页第五十三页，共61页。二、函数二、函数(hnsh)的间断点及分类的间断点及分类1.函数函数(hnsh)间断的

23、定义间断的定义函数函数(hnsh) 在在 处满足下列情况之一，则点处满足下列情况之一，则点 为为 的间断点的间断点.( )f x0 x第53页/共60页第五十四页，共61页。（1）考察）考察(koch) 在点在点 处的连续性处的连续性.（4）考察）考察(koch) 在点在点 处的连续性处的连续性.0 x （3）设）设 考察考察(koch) 在点在点 处的连续性处的连续性.( )f x（2）设设 考察考察 在点在点 处的连续性处的连续性.( )f x0 x 例例1-17.第54页/共60页第五十五页，共61页。第一类间断点第一类间断点:若称0 x若称0 x为为可去间断点可去间断点 .为为跳跃间断点跳跃间断点 .函数在点函数在点 的左右极限都存在，的左右极限都存在， 0 x00000lim()lim()(),xxxxf xf xf x0000lim()lim(),xxxxf xf x第二类间断点第二类间断点:称0 x若其中有一个为振荡 ,称0 x若其中有一个为,为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .函数在点函数在点 的左右极限至少有一个不存在，的左右极限至少有一个不存在， 0 x2.函数间断点的分类（依据函数间断点的分类（依据(yj)左右极限来分类）左右极限来分类）第55页/共60页第五十六页，共61页。例例1-18.设设求函