第7章生命曲线预测方法

1、 Market survey & ForecastMarket survey & Forecast 生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶段，在这三个阶段中生物生长速度是不一样的，段，在这三个阶段中生物生长速度是不一样的，例如例如, ,南瓜的增长速度，在第一阶段增长较慢，南瓜的增长速度，在第一阶段增长较慢，在成长时期则突然加快，而到了成熟期又趋减在成长时期则突然加快，而到了成熟期又趋减慢，形成一条慢，形成一条S S形曲线，这就是有名的形曲线，这就是有名的增长曲线增长曲线。也可以是描述经济指标随时间变化呈也可以是描述经济指标随时间变化呈某

2、种生物变化规律的一种曲线某种生物变化规律的一种曲线。 在市场预测中，经常会碰到预测对象在其发在市场预测中，经常会碰到预测对象在其发展过程中呈现出与生物类似的发展过程。即在展过程中呈现出与生物类似的发展过程。即在成长期快速增长、成熟（饱和期增长放慢）、成长期快速增长、成熟（饱和期增长放慢）、衰退等各种不同形态。例如衰退等各种不同形态。例如规律等均可用规律等均可用生命曲线来描述。这种方法是根据时间序列变生命曲线来描述。这种方法是根据时间序列变化的历史数据，运用三和法、三点法。化的历史数据，运用三和法、三点法。年龄年龄36912151821242730身高身高48 76112140168172176

3、178180181人类身高的成长曲线的生长规律如表人类身高的成长曲线的生长规律如表7-1所示所示 单位：单位：cm年龄年龄身身高高 图7-1人身高成长曲线 如表7-2 是南瓜重量随时间变化的生长曲线。天天2468101214161820222426克克1202004001000260033003800430049005100530054005450图图7-2 南瓜重量生长曲线南瓜重量生长曲线天重量 典型产品生命周期曲线典型产品生命周期曲线导入导入期期成长期成长期成熟期成熟期衰推期衰推期t销量11)3(11 tttttttttttyyyyyyyyyyy二阶差分 三阶差分 一阶差分环比指数一阶差分

4、n阶差分阶差分简单指数型增长曲线模型为：简单指数型增长曲线模型为：其中：其中：a,b参数，参数， t时间序列时间序列, yt 经济目标值经济目标值 如图如图 所示所示 ttaby （1）图图7-5 简单指数型增长曲线图简单指数型增长曲线图 t将（1）取对数，有：tybabtayttlglg,lglglglg（2）（3）由（由（3）可知：）可知：其曲线方程为一条直线。其曲线方程为一条直线。 为一阶差分为一常数。即：为一阶差分为一常数。即：bttyyttlg) 1(lglg1 bbabbabyybababkabkyyytttttttttt) 1() 1() 1()()(211111一阶差分环比为：

5、其一阶差分为： 当时间序列当时间序列 y 的的， （5）ttabkyk0，a0，0b1y =K+a图7-6 修正曲线的几种类型tytky tytytyttt图图(d) 饱和后期饱和后期图（图（a）饱和期）饱和期图图(b) 成长期成长期图（图（c）衰退期）衰退期ky 0k0，a 1，b 1k0，a0，b 1k0，a 0，0b1ky ky 0其模型为：其模型为： tbtkay 常数)1 (1)1 ()1 (111111212111bbbbbbbbbbttbbttttaaakaakakakakakayykakayyyyttttttttabkyttlglglg1）可得：或由（ttbaky11lg则有：

6、 0a1 ，0b1y =Ktytky tytytyttt图图(d) 衰退期衰退期图（图（a）成长期和成熟前期）成长期和成熟前期图图(b) 成长期后半期和衰退期成长期后半期和衰退期图（图（c）成长期）成长期ky 0a1，b 1a 1 ，b 1a 1， 0b1kyky y =Kttttabkyabky11式中：式中：k,a,b为待定参数为待定参数.由（由（9）可得一阶、二阶导数为）可得一阶、二阶导数为(9)(10)kybaktyabkabkbabyabkbabyktttttttt21,lnlnln, 0)()()(ln)(ln322 可得曲线的一拐点为：取k 0，a10b1tyt图7-12y0=1

7、/(k+a)y =0y =1/k曲线拐点左侧呈上凹趋势，过了该拐点曲线拐点左侧呈上凹趋势，过了该拐点后曲线转变为向下凹趋势。后曲线转变为向下凹趋势。（1）当）当t=0时时, 有：有：y =1/k+a，则，则y =0和和y =1/k都是罗吉斯曲线的渐进线。都是罗吉斯曲线的渐进线。（2）当）当t时，时， y 1/k 当当t-时，时， y 0曲线形状与曲线形状与曲线形状很相似，它曲线形状很相似，它所描述的经济变量的变化规律也是开始缓慢增所描述的经济变量的变化规律也是开始缓慢增长，而后逐渐加快，达到拐点后，增长率减缓，长，而后逐渐加快，达到拐点后，增长率减缓，最后达到一临界值。最后达到一临界值。n是利

8、用收集到的产品销售量的数据，组成一是利用收集到的产品销售量的数据，组成一组时间序列，拟和某种成长曲线，对组时间序列，拟和某种成长曲线，对进行分析预测的方法。进行分析预测的方法。比一般直线趋势有着更广泛比一般直线趋势有着更广泛的应用，因为它可以反映出现象的相对发展的应用，因为它可以反映出现象的相对发展变化程度。变化程度。 常用的生命曲线是指常用的生命曲线是指。利用这三种曲线可描述产品市。利用这三种曲线可描述产品市场生命周期的不同阶段，从而揭示产品生命场生命周期的不同阶段，从而揭示产品生命周期销售何时由某一阶段向另一阶段的转变，周期销售何时由某一阶段向另一阶段的转变，预测产品的市场需求潜量、最大销

9、售量以及预测产品的市场需求潜量、最大销售量以及达到饱和状态的时间等。达到饱和状态的时间等。增长曲线预测方法有增长曲线预测方法有三和法、三点法、最小二三和法、三点法、最小二乘法乘法等。当极限值等。当极限值k可确定，可采用最小二可确定，可采用最小二乘法可简化计算；不能确定时就用三和法或乘法可简化计算；不能确定时就用三和法或三点法。但三点法用在时间序列数据收集不三点法。但三点法用在时间序列数据收集不全的情况下。下面就全的情况下。下面就重点介绍三和法重点介绍三和法。(r=n/3，n为时间序列总项数为时间序列总项数)，若原序列项数不能被，若原序列项数不能被3整除，需删除序列最初一期或两期数据；整除，需删

10、除序列最初一期或两期数据；第一段，第一段，0，1，r-1； 第二段，第二段， r，r+1，2r-1; 第三段，第三段， 2r，2r+1，3r-1;，第一，第二，第三段，第一，第二，第三段数据的和分别用数据的和分别用 Y 、 Y 、 Y 表示，表示，11101bbarkabkYrrtttrttttYYYYb122321211rttbbYYa11122tbbabrkabkYrrrrtt1121323tbbabrkabkYrrrrtt解此方程组得：解此方程组得：231223121ttttttYYYYYYrk1111bbaYrkrt或或某地区电冰箱销售资料如表所示，试预测某地区电冰箱销售资料如表所示，

11、试预测2005年的销年的销售量和达到饱和状态的时间。售量和达到饱和状态的时间。 某地区电冰箱销售资料某地区电冰箱销售资料 单位：万台单位：万台年份年份199619971998199920002001200220032004销售量销售量256390498586656714762800830n环比系数为环比系数为0.81，0.81,0.80,0.83,0.79,0.79,大体相同，大体相同，用修用修正曲线进行预测。正曲线进行预测。nN=9,r=3,t=0,1,2,8,n计算得计算得 Y =1142, Y =1956, Y =2392323321-2392-1956=0.813-1956-1142t

12、tYYbYY1 2 3 4 5 6 7 8 9 900600300在前面，我们介绍了几种常用的生命曲线模在前面，我们介绍了几种常用的生命曲线模型，但在实际的应用中，怎样根据时间序列变型，但在实际的应用中，怎样根据时间序列变化，建立生命曲线模型？选择哪一种模型最合化，建立生命曲线模型？选择哪一种模型最合适？这就涉及到生命增长曲线模型的识别问题。适？这就涉及到生命增长曲线模型的识别问题。下面，介绍几种识别的方法。下面，介绍几种识别的方法。n在识别模型之前，我们应根据图形的几种特在识别模型之前，我们应根据图形的几种特性，掌握要识别模型的大概全貌，然后，才性，掌握要识别模型的大概全貌，然后，才能识别模

13、型。因此要注意以下几个方面：能识别模型。因此要注意以下几个方面： 利用利用y判断。（某区判断。（某区间内）间内） 利用利用y和和y判断。判断。 利用利用y和和y判断。判断。 利用拐点左右两端及与对称利用拐点左右两端及与对称中心的极限之差进行比较确定。中心的极限之差进行比较确定。n这种方法首先将图画出来，根据此图形，选这种方法首先将图画出来，根据此图形，选择合适的模型。择合适的模型。n若构成指数形，可选择简单指数形或修正指若构成指数形，可选择简单指数形或修正指数模型；若接近数模型；若接近S形，可选择龚柏兹模型。形，可选择龚柏兹模型。n1、直观简便、直观简便n2、若数据不足，（不能画出完整的图形）

14、、若数据不足，（不能画出完整的图形）对选择模型造成困难。对选择模型造成困难。iiiniiyyeeQ12其中：(i=1,2, ,n)这种方法就是以研究动态序列的增长变化特征与增长这种方法就是以研究动态序列的增长变化特征与增长曲线的相应特征为基础的一种识别方法。其基本点就曲线的相应特征为基础的一种识别方法。其基本点就是选择增长曲线在理论上的变化规律与样本序列的实是选择增长曲线在理论上的变化规律与样本序列的实际的变化规律最接近的一种曲线作为选择的最优曲线。际的变化规律最接近的一种曲线作为选择的最优曲线。具体方法如下：具体方法如下： 。其目的是要消除时间序列中的随机因素，计算公式为其目的是要消除时间序

15、列中的随机因素，计算公式为。其大小由实际经验确定，称为移动平均的跨越期1212ppyyptptiit（9）ty283223,3211222,22,1321123222112112tttttttttttttttppippiittyyyyyyupyyyyupyyupiy iu时时时当（10）（10）是平均增长计算公式，主要是因为对动）是平均增长计算公式，主要是因为对动态时间序列选配趋势直线时，是以时间原点作态时间序列选配趋势直线时，是以时间原点作为中心进行计算的。直线方程是：为中心进行计算的。直线方程是：y=a+btb是平均增长，其计算公式为：是平均增长，其计算公式为：pptppttttyb2时间

16、序列时间序列 经过移动平均修匀后，经过移动平均修匀后， 的变化特征，可的变化特征，可通过计算平均增长数通过计算平均增长数 及及 和和 来来判断识别曲线的模型。如表判断识别曲线的模型。如表7-7tyty)(tu)(ttyu)lg(lgtttyuu 、 的平均增长特征的平均增长特征平均增长特征对时间变化的性质平均增长特征对时间变化的性质曲线模型曲线模型基本一样基本一样直线方程直线方程线性变化线性变化二次曲线方程二次曲线方程线性变化线性变化三次曲线方程三次曲线方程基本一样基本一样指数曲线方程指数曲线方程线性变化线性变化双指数曲线方程双指数曲线方程线性变化线性变化曲线方程曲线方程线性变化线性变化曲线方

17、程曲线方程表表7-7 增长特征法判别曲线模型增长特征法判别曲线模型tytutu2tuttyutulg)/lg(ttyu)/lg(2ttyu某企业某企业 19932004年销售额如表年销售额如表7-8所示资料，试所示资料，试建立销售额的曲线模型。建立销售额的曲线模型。表表7-8 19932004年销售额资料表年销售额资料表年年份份199319941995199619971998199920002001200220032004销销售售额额164193255279512606766838941105510881044思考：思考：1、画出散点图，初步识别属于哪一类？、画出散点图，初步识别属于哪一类？

18、2、为识别增长曲线属于哪一种类型，可采、为识别增长曲线属于哪一种类型，可采用增长特征法进行识别。在这里我们用以用增长特征法进行识别。在这里我们用以3年为一个年为一个跨越期，求出跨越期，求出 ，然后再求出，然后再求出 。 3、分别计算出、分别计算出 、 、 、与时间与时间t的相关系数的相关系数r,计算公式如下：计算公式如下：tytuttyutulg)/lg(ttyu)()(2222ttttttynyynyytntyr具体计算结果如表具体计算结果如表5-9所示所示)/lg(t2tyu91520rtyu91620rtyutttt.)/lg(./ 的的相相关关系系数数与与的的相相关关系系数数与与其其中

19、中：年份年份t19931164-19942199204-19953255242.372.350.2991085719964279348.7111.70.3202.04819975512465.7139.70.3002.14519986606628.0135.50.2162.13219997766736.7110.20.1502.04220008838848.3104.00.1232.01720019941944.789.90.1151.95420021010551028.058.80.0571.76920031110887062.3-2004121044-tytuttyutulg)/lg(2t

20、tyuty表表7-9 1993年年2004年销售额增长特征计算表年销售额增长特征计算表由表7-9 可知， 的值基本保持不变。根据表7-7应选取双曲指数曲线模型。)/lg(2ttyu在前面，介绍了对实际问题的模型识别，进在前面，介绍了对实际问题的模型识别，进行完了这一步工作后，还要确定预测方程里的行完了这一步工作后，还要确定预测方程里的参数（待定系数）后，才完成了建立预测模型。参数（待定系数）后，才完成了建立预测模型。确定参数，以预测模型与实际模型之间的确定参数，以预测模型与实际模型之间的原则。通常是原则。通常是。，下面分别介绍如，下面分别介绍如下：下：(略略) n这种方法是将整个增长的时间序列

21、分为这种方法是将整个增长的时间序列分为三个三个相等的时间周期相等的时间周期，并对每一个时间周期的数，并对每一个时间周期的数据求和后，再估计参数。据求和后，再估计参数。它适用于它适用于“S”形的形的模型。模型。n现以修正指数方程应用现以修正指数方程应用“三和法三和法”确定参数确定参数为例：为例：ttabky由修正指数方程 ，将时间序列分为三段，假定有3n段，每段为n。);,(),(),();,(),(),();,(),(),(1313121222121211111100ntnntnntnntntnntnntnnttytytytytytytytytyt， 则第一段各期的观察值求和为：则第一段各期的

22、观察值求和为：)()()(1b1banky1b1bbbbbbbankabkynItn1n101n101n0ttt (1)()(1b1babnky1b1babnkynn2IIItnnIIt 阶阶段段的的观观察察值值分分别别为为：同同理理：第第二二阶阶段段、第第三三(2)(3)将（将（2）-（1）和（）和（3）-（2）得：）得：1)1(1)1(22bbabyybbayynnIItIIItntIIt（4）（5）（5）/（4）有：）有： ItIItIIIIIttnyyyyb（6）2)(1108)7()11(11) 1(1)(422IItIItItIIIIIItttnItnItIItnItIItIIII

23、Ittyyyyyynkbbynkbbyyayyyyb）得：）代入（、（将）得：由（）得：由（则有：（7）（8）（9）（10）n假设假设k=120，a=-60，b=0.5各期的时间序列各期的时间序列数据按数据按yt=120-60*0.5t 的规律形成，当的规律形成，当t=0，1，2，11的各时期的各时期yt，用三和法时，用三和法时，误差的大小对误差的大小对 a，b，k的影响。见表的影响。见表7-10 表表7-10 随机误差随机误差 对模型参数的影响计算表对模型参数的影响计算表t060+2.462.4190+4.894.82105-6.099.03112.5+6.0118.54116.25-1.2

24、115.055118.12+3.6121.726119.06-2.4116.667119.58+2.5122.038119.77+2.4122.179119.88+1.2121.0810119.94-4.8115.1411119.970119.97tytt5060120y. t tyty27t52t21ttttyy 当用第二列的数据去估算，其参数为当用第二列的数据去估算，其参数为a=-60,b=0.5,k=120。但用第。但用第4列的数据去估算时，列的数据去估算时，b=0.3528,a=-67.5K=114,其模型为：其模型为：由此可见，用三和法，随机因素的大小对参数影响很由此可见，用三和法，

25、随机因素的大小对参数影响很大。因此，用这种方法时，大。因此，用这种方法时，在在 式中，当：式中，当： tty3528. 05 .67114nItIItIIIIIttyyyyb变化范围内。能用在时间序列较小的由此可知，这种方法只急剧减小。此时和时，则）当无解。时，）当00201akbyybyyIIIIIttIIIIIttn1、对随机因素的干扰很敏感；n2、时间序列变化范围小；n3、收集的数据要完整。n这种方法是用在这种方法是用在的情况下，假的情况下，假定曲线通过已知的相邻间隔相等的三个点定曲线通过已知的相邻间隔相等的三个点，现假设：，现假设：)1 ()1 (),3()2(2 , 0,211022

26、100210nnnnnttbabyybayyabkyabkyakabkynntabkynyyy同理：有：代入上式，有用由修正指数增长模型个时间单位分别间隔(1)(3)(5)(6)（2）（4）(5) (6)有：nnnnnyyyybbbababyyyy10211021)1()1(7)(8)将（7）代入（5）有：2102101021102)(1yyyyyyyyyyya（9）将（9）代入（2）得：210212002yyyyyyayk（10）将a，b，k代入（1），即可得预测模型。三点法特点：三点法特点：n1、在计算模型参数时，仅用了三个数据点，因而选用数据时，因此，在可能情况下，n2、计算简单。现用三

27、点法估算修正指数型增长曲线模型的各现用三点法估算修正指数型增长曲线模型的各参数参数k、a和和b。设曲线通过三点。设曲线通过三点y =15，y =90，y =125,且相邻两点之间的间距为且相邻两点之间的间距为6个时间单位（个时间单位（2P+1=6），则），则6251400125902159015yy2yyya88070901512590yyyyb22102106n1021.)()(. ttyyyyyyyk8807. 0625.140625.155625.156125902159021251522102120：则修正指数曲线模型为a0,0b1以上介绍以上介绍“三和法三和法”和和“三点法三点法”虽

28、然在计算虽然在计算上简单，但精度较低。上简单，但精度较低。“最小二乘法最小二乘法”精度较精度较高，但遇到非线性问题计算非常烦琐。为了简高，但遇到非线性问题计算非常烦琐。为了简化计算，下面介绍化计算，下面介绍具体方法如下具体方法如下:由由 已知时间序列的历史统计数据为：已知时间序列的历史统计数据为：若能通过某种方式首先估出参数若能通过某种方式首先估出参数k，(1)就可线就可线性化了。性化了。tbtkay),( ,),(),(2211nnytytytn即：btakytlg)lg(lg)lg(lg tbtaky bBaAkyZttlg)lg(lg)lg(lg 有：令：由（3）可将（2）转化为： （4

29、）其中：A，B为待定参数。由最小二乘法可得:BtAZtBA1010b10a (5)(6)现来确定k，k的优选标准是使： 则估计k的方法如下：例如，取min ttiyye00kkk 1001)618. 0()( kkk并将 代入（3），与历史数据算出 的时间序列值 组成新的时间序列数据 ，然后用最小二乘法估计参数A、B，再求出a ,b .1k),( ,),(),(2211nnytytyttZntttZZZ,21),( ,),(),(2121ntnttZtZtZtntntttbttttttkayyyQ1112121)()(2002)618. 0()( kkk（7）（8）返回第二步，试估计出a、b并

30、类似第三步求出残差平方和Q ： 2b2tttt2tt2t2n1kayyyQ)()(（9）所示和见图)()(),(01bakk0k1k2k0k 1Q2Q2Q1Q0k1k2k0k 若Q Q略去（a） (b),(20kk若Q Q略去),(10kk),(),(0210kkkk 或000,bakn例7-7 已知某地区某商品19952003年销售额如表7-11所示，试预测2004和2005年的销售额各为多少万元？表7-11 19952004年销售额年份年份199519961997199819992000200120022003销售额销售额258503280044480560006496072080802808584089900图7-16 销售额变化趋势图t销售额11tttttyyyyy（三和法、三点法、优选法）根据散点图，曲线根据散点图，曲线的变化趋势是一个的变化趋势是一个S S型的，为了确定合型的，为了确定合适的预测模型，需适的预测模型，需要计算时间序列数要计算时间序列数据的对数一阶差分据的对数一阶差分及其环比指数，计及其环比指数，计算结果。算结