第三章(1)连续信号的傅里叶级数

1、3.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 3.2 傅里叶级数傅里叶级数 3.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 3.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换）非周期信号的频谱（傅里叶变换） 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 3.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 3.7 LTI连续系统的频域分析连续系统的频域分析 3.8 取样定理取样定理本章主要内容本章主要内容: 变换域分析的基本思想仍为：将信号分解为基本信号之和变换域分析的基本思想仍为：将信号分解为基本信号之和或积分的形式，再求系统对基本信号的响应，从而求出系统对或积分的形式，再求系统对基本信号的响应，从而求出系统对给定信号的响

2、应（零状态响应）。给定信号的响应（零状态响应）。信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的 概念相似。概念相似。yxyvC2xvC1AyxvCvCA21 yxvv , 为各相应方向的正交单位矢量。为各相应方向的正交单位矢量。 它们组成一个二维正交矢量集。它们组成一个二维正交矢量集。矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组

3、合。3.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数（2）正交函数集正交函数集 在区间在区间 上的上的n个函数（非个函数（非零）零） ,其中任意两个均满足其中任意两个均满足 为常数，则称函数集为常数，则称函数集 为区间为区间 内的正交函数集。内的正交函数集。,21tt)(1t )(2t 210)()(21ttdttt )(1t ,21tt（1）正交函数正交函数 在在 区间上定义的非零区间上定义的非零实实函数函数 和和 若满足条件若满足条件 则函数则函数 与与 为在区间为在区间 的正交函数。的正交函数。 一、正交函数集一、正交函数集)(2t )(1t ,21tt)(tn 21)()(ttjidttt

4、 , 0 , 0jikjiiik )().(1ttn ,21tt（3）完备正交函数集）完备正交函数集之外不存在函数之外不存在函数 如果在正交函数集如果在正交函数集 )().(1ttn)(t满足等式满足等式 210)()(ttidttt ni,.,2 , 1，则称该函数集为完备正交函数集。，则称该函数集为完备正交函数集。 .),(sin,.,t sin2 , sin , . , )cos( , . , 2cos , cos , 1tnttmtt 在区间在区间 内组成完备正交函数集。内组成完备正交函数集。),(00Ttt 2T对于复函数对于复函数:若复函数集若复函数集 在区间在区间 满足满足 )n

5、 ., , 2 , 1( )( iti ) t, (21t jikjidtttijtti 0 0)()(21 ，则称此复函数集为正，则称此复函数集为正交函数集。交函数集。 复函数集复函数集 在区间在区间 内是完备的正交函数集。内是完备的正交函数集。 ntje ). , 2 , 1 , 0( n) , (00Ttt nmTnmdtedteeTtttnmjTtttjntjm , , 0 )(0000)( 2T其中其中 。二、信号分解为正交函数二、信号分解为正交函数设有设有n个函数个函数 )(, . , )( , )(21tttn在区间在区间 ) , (21tt构成构成一个正交函数空间。将任一函数一

6、个正交函数空间。将任一函数 用这用这 个正交函数的个正交函数的线性组合来近似，可表示为：线性组合来近似，可表示为： )(tfn njjjnntCtCtCtCtf12211)()(.)()()( 根据最小均方误差原则，可推出：根据最小均方误差原则，可推出： dtttfKdttdtttfCittittittii)()(1)()()(2121212 式中：式中：dttKttii 21)(2 如果分解的项数越多则误差愈小。即如果分解的项数越多则误差愈小。即 n，均，均方误差方误差 02 ，即，即 在区间在区间 内分解为无穷多项内分解为无穷多项)(tf) , (2 1tt之和。之和。3.2 傅里叶级数傅

7、里叶级数 将周期信号将周期信号 )()(mTtftf 在区间在区间 Ttt 00,内展开成完内展开成完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集 是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的 无穷级数就分别称为无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数三角形傅里叶级数”或或“指数形傅指数形傅 里叶级数里叶级数”，统称为傅里叶级数。，统称为傅里叶级数。 ., ) (sin , . ,t sin2 , sin . , ) cos( , . , 2cos , cos , 1 tnttmttntje )

8、. , 2 , 1 , 0( n一、周期信号的分解一、周期信号的分解设有一个周期信号设有一个周期信号 )(tf，它的周期是，它的周期是 T，角频率，角频率 TF 22 ，它可分解为：，它可分解为：.)2sin()sin( .)2cos()cos(2)(21210 tbtbtataatf其中其中 称为傅里叶系数，称为傅里叶系数， 。nnba , T2110)sin()cos(2nnnntnbtnaa . , 2 , 1 , )sin()(2,. 2 , 1 , 0 , )cos()(22222ndttntfTbndttntfTaTTnTTndttfTaTT 220)(12那么那么,傅里叶系数如何

9、求得呢傅里叶系数如何求得呢? . , 2 , 1 , )sin()(2,. 2 , 1 , 0 , )cos()(22222ndttntfTbndttntfTaTTnTTn由上式可见，由上式可见， 是是 的偶函数的偶函数 ， 是是 的奇函数，的奇函数， nannnaa nbnnnbb 由于由于tntn sincos和和是同频率项是同频率项,因此可将其合并因此可将其合并.)2cos()cos(2)(22110 tAtAAtf)cos(210nnntnAA 式中：式中： ,. 3 , 2 , 1 , 22 nbaAnnn00aA )arctan(nnnab 则有则有 00Aa . , 2 , 1

10、, cos nAannn nnnAb sin . , 2 , 1 , n nAnnnAA 可见，可见， 是是 的偶函数，即有的偶函数，即有 而而 是是nn的奇函数，即有的奇函数，即有 nn .)2cos()cos(2)(22110 tAtAAtf)cos(210nnntnAA 可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直直 流分量流分量 ，一次谐波或基波，一次谐波或基波 ，它的角它的角 频率与原周期信号相同，二次谐频率与原周期信号相同，二次谐波波 ， 以此类推，三次，四次等谐波。以此类推，三次，四次等谐波。 20A)cos(11 tA)2cos

11、(22 tA 一般而言一般而言 称为称为 次谐波次谐波 ， 是是 次谐波的振幅，次谐波的振幅， 是其初相角。是其初相角。 *结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。)cos(nntnAnnAnn例例3.2-1 将下图中的方波信号展开为傅里叶级数。将下图中的方波信号展开为傅里叶级数。解：解： 110sincos2)(nnnntnbtnaatf dttntfTaTTn cos)(222 sin12sin212002TTtnnTtnTn 2200cos2cos)1(2TTdttnTdttnT sin12sin212002TTtnnTtnTn ,.3 , 2 ,

12、 1 ,0 n0 2 naT 200222sin2sin)1(2sin)(2TTTTndttnTdttnTdttntfTb 2002cos12cos12TTtnnTtnnT nnnnnnncos121cos1cos11 ,. 7 , 5 , 3 , 1 , 4,. 8 , 6 , 4 , 2 , 0nnn 它仅含有一、三、五、七它仅含有一、三、五、七. 等奇次谐波分量。等奇次谐波分量。如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况： .sin1.5sin513sin31sin4 tnnttttf , 5 , 3 , 1 n,.3 , 2 , 1

13、,0 n0 na ,. 7 , 5 , 3 , 1 , 4,. 8 , 6 , 4 , 2 , 0nnnbn TT/ 20t(a)基波0T/ 2Tt(b)基波+三次谐波0T/ 2Tt(c)基波+三次谐波+五次谐波0T/ 2Tt(c)基波+三次谐波+五次谐波+七次谐波图 3.2-3 方波的组成（1）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于原方波信号。原方波信号。（2）所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断）所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断点。点。（3）即使）即使 ，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有有 的偏差

14、。但在均方的意义上合成波形同原方波的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。的真值之间没有区别。 (吉布斯现象）吉布斯现象）n%9主体主体 -低频低频 细节细节-高频高频若给定的若给定的 有某些特点，那么，有些傅里叶系数将有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零从而式计算较为简便。等于零从而式计算较为简便。)(tf（1） 为偶函数为偶函数)(tf则有则有 ，波形对称于纵坐标。，波形对称于纵坐标。 )()(tftf 二、奇偶函数的傅里叶系数二、奇偶函数的傅里叶系数 )2,. , 1( 0sin)(2,.)2 , 1 , 0( cos)(4cos)(2222220ndttntfT

15、bndttntfTdttntfTaTTnTTTn,.2 , 1 , 0 22 nabaAnnnn)( 为为整整数数mmabarctgnnn 从而有从而有 （2） 为奇函数为奇函数)(tf则有则有 ，波形对称于原点。，波形对称于原点。)()(tftf 进而有进而有 )(2)12(为为整整数数mmbAnnn , 2 , 1n这时有这时有 20)sin()(40TnndttntfTba,2,1n实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。 )()()()()()( tftftftftftfevodevod 2)()()(2)()()( tftftf

16、tftftfodev其中其中 )()()()( tftftftfevevodod*一个函数是奇函数还是偶函数不仅与其波形有关，一个函数是奇函数还是偶函数不仅与其波形有关，而且与原点的选择有关。而且与原点的选择有关。如果如果 的前半周期波形移动的前半周期波形移动 后，与后半周期波形后，与后半周期波形 对称于横轴即：对称于横轴即： )(tf2T)2()(Ttftf ，称为奇谐函数。，称为奇谐函数。 此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不 含有偶次谐波分量。即含有偶次谐波分量。即 042420 bbaaa0t-TT-T/ 2f (t)T/ 2

17、1-1图 3.2-6 奇谐函数（3） 为奇谐函数为奇谐函数)(tf例例3.2-2 正弦交流信号正弦交流信号 经全波或半波整流后的经全波或半波整流后的波形分别如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。波形分别如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。)sin(0tE （a）全波整流信号）全波整流信号 （b）半波整流信号）半波整流信号解解 （1）全波整流信号）全波整流信号图（图（a）的全波整流信号可写成（其周期）的全波整流信号可写成（其周期 ， 为原正弦信号角频率为原正弦信号角频率 ） 02 T0)2sin()sin()(01tTEtEtf 由于它是由于它是t的偶函数，故的偶函数，故 ，0 nb 201,

18、.)2 , 1 , 0( cos)(4TnndttntfTa 200)cos()sin(4TdttntET 200)cos()sin(4TdttntTE 基波角频率基波角频率 与信号角频率与信号角频率 相等相等, )2(T 0 并令并令 ，对上式进行变量替换得，对上式进行变量替换得:ttx0 dxdtdtdxttx0001 , 2 , 1 , 0,1)cos(122 nnnE 2000)cos()sin(4TndttntTEa 000)1()1cos()1()1cos( )cos(sin4 nxnnxnEdxnxxTE 20 T)4cos(152)2cos(3212)(001 ttEtf 可见

19、，它除直流外，仅含有可见，它除直流外，仅含有 的偶次谐波。的偶次谐波。 0 2,4,n , 141,3,5n , 00n , 41)cos(1222 nEEnnEan想一想：本题中若把想一想：本题中若把 f1(t)看成以看成以T/2为周期，则为周期，则 tEtfT2102sin 22 4012,.)2 , 1 , 0( cos)(4TTnntdtntfa 402)cos()sin(8TdttntET 402)cos()sin(8TdttntTE由于它仍是的偶函数，故由于它仍是的偶函数，故 ，0nb, 2 , 1 , 0 , 141412412 nnEnE 402)cos()sin(8Tdttn

20、tTEan 02121212102)(2)cos()(2)cos(2 )cos(sin8 nxnnxnEdxnxTEaxn 4 T令令 ，则，则 对上式进行变量替换对上式进行变量替换: tx dtdx 154a ,34a ,4210 EEEa )4cos(152)2cos(3212 )2cos(152)cos(3212)(001 ttEttEtf , 2 , 1 , 0 , 14142 nnEan （2）半波整流信号）半波整流信号图（图（b）的半波整流信号可写为（其周期）的半波整流信号可写为（其周期 ）02 T TntTnTntnTtEtf) 1(212 , 0212 ),sin()(02 它

21、的傅里叶级数可直接由下式求出它的傅里叶级数可直接由下式求出 . , 2 , 1 , )sin()(2,. 2 , 1 , 0 , )cos()(22222ndttntfTbndttntfTaTTnTTn )cos(sin )cos()sin(2 )cos()(20200022 dxnxxEdttntETdttntfTaTTTn , 2 , 1 , 0 ,1cos1 1cos11cos12 1)1cos(1)1cos(2 )1sin()1sin( 2200 nnnEnnnnEnxnnxnEdxxnxnEan 152 32 0 2425310 EaEaaaaEa )1( 0 1)1sin(1)1s

22、in(2 )1cos()1cos( 2 )sin(sin )cos()sin(2 )sin()(20002000220 nnxnnxnEdxxnxnEdxnxxEdttntETdttntfTbTTTn 2 1 1Ebn 时时，)4cos(152)2cos(32)sin(21)(0002 tttEtf 152 32 0 2425310 EaEaaaaEa 2,3,4n 0 2 1 nbEb本题也可将它分解成奇函数和偶函数两部分：本题也可将它分解成奇函数和偶函数两部分： 2)()()(2)()()( 2222 tftftftftftfodev sin2)(21)( 01 tEtftftfodev

23、tfev T T0t2E2T 2T tfodT0T 2E2E t2T 2T)4cos(152)2cos(3212)(001 ttEtf )sin(2)(21)()()(012tEtftftftfodev )4cos(152)2cos(32)sin(21 )(0002 tttEtf 讨论讨论 关于关于n的奇偶性。的奇偶性。nnnnAba , nTTnadttntfTa 22cos2 nTTnbdttntfTb 22sin2nnnnAbaA 22nnnnabtg arg是是n的偶函数。的偶函数。是是n的奇函数。的奇函数。是是n的偶函数。的偶函数。是是n的奇函数。的奇函数。三、傅里叶级数的指数形式三

24、、傅里叶级数的指数形式2cosjxjxeex 1101)()(021212 22)(ntjnjnntjnjnntnjtnjneeAeeAAeeAAtfnnnn 将上式第三项中的将上式第三项中的 用用 代换，并考虑到代换，并考虑到 是是 的的偶函数，即偶函数，即 ； 是是 的奇函数的奇函数, 则上式可写为则上式可写为 :nn nAnnnAA n nnn )cos(210nnntnAAtf 11021212ntjnjnntjnjneeAeeAAnn 11021212ntjnjnntjnjneeAeeAAnn 如将上式中的如将上式中的 写成写成 （ ），）， 则上式可以写成则上式可以写成:0Atjj

25、eeA 000 00 ntjnjneeAtfn 21)( 11021212)(ntjnjnntjnjneeAeeAAtfnn 令复数量令复数量 ，称其为，称其为复复傅里叶傅里叶 系数，简称傅里叶系数。其模为系数，简称傅里叶系数。其模为 ，相角为，相角为 ， 则得傅里叶级数的指数形式为则得傅里叶级数的指数形式为 njnjnFeFeAnn 21nFn ntjnneFtf)( ntjnjneeAtfn 21)(复傅里叶系数复傅里叶系数 )(21sincos2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn . , 2 , 1 , )sin()(2,. 2 , 1 , 0 , )cos()(22222ndttntfTbndttntfTaTTnTTnt dtntfTjdttntfTF