matlab第5章时域与根轨迹

1、第五章第五章 时域分析、零极点分析和根轨迹法时域分析、零极点分析和根轨迹法 获得控制系统的瞬态响应和稳态响应 对系统的瞬态和稳态性能分析 根轨迹绘制和分析产生信号gensig()nu,t=gensig(type,Ta)nu,t=gensig(type,Ta,Tf,T)nType：信号序列sin正弦；square方波；pulse脉冲nTa：信号周期nTf：信号的持续时间nT：采样时间例子：n产生一个周期为秒，持续时间为秒，采样为.1秒的方波.nu,t=gensig(square,5,30,0.1);nplot(t,u)nAxis(0,30,-0.5,1.5)产生正弦波：nu,t=gensig(s

2、in,5,30,0.1);nplot(t,u)nAxis(0,30,-1.5,1.5)5.1 系统动态及稳态性能的时域分析1. 稳定性分析MATLAB实现的方法 MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数，因此可以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定性及是否为最小相位系统进行判断。 roots()、 pzmap()已知开环传函k=100;z=-2;p=0,-1,-20;n1,d1=zp2tf(z,p,k)n1 = 0 0 100 200d1 = 1 21 20 0 P=n1+d1P = 1 21 120 200)20)(1()2(100)(sssssG对系统闭环稳定性判别 roots(P)

3、ans = -12.8990 -5.0000 -3.1010G=tf(n1,d1)sys=feedback(G,1) Transfer function: 100 s + 200-s3 + 21 s2 + 120 s + 200 roots(sys.den1)ans = -12.8990 -5.0000 -3.1010 sys1=zpk(sys) Zero/pole/gain: 100 (s+2)-(s+12.9) (s+5) (s+3.101) sys1.p1ans = -12.8990 -5.0000 -3.1010 G=ss(sys) eig(G.a)2. 稳态值nmsabGsssGy)

4、0(1)(lim)(0DBCADBAsICsssGyss1100)(lim1)(lim)(K=dcgain(num,den)%k为稳态增益，即：当s趋近于零时num(s)/den(s)=k对于状态空间K=dcgain(a,b,c,d)3. 稳态误差目标值与稳态响应之差，称为稳态误差。)()(limlim0ssEteestss)(1hess单位阶跃响应ytess单位斜坡响应4. 峰值时间Tp和超调量%100)()(%yyymmp,tf=max(y);cs=length(t);yss=y(cs);sigma=100*(mp-yss)/ysstp=t(tf)Tp：0到阶跃响应曲线h（t）超过稳态值而

5、达第一个峰值之间的时间sys=tf(1.25,1 1 0)Gc=feedback(sys,1)y,t=step(Gc)sigma = 20.9121tp = 3.0920 yssyss = 0.9987sssG225. 1)(5. 调节时间TsTs：进入稳态值附近5%或2%的误差带而不再超出的最小时间if t2t2 ts=t1 endelseif t2tp if t2t1 ts=t2 else ts=t1 endendj=cs+1;n=0;while n=0,j=j-1; if j=1,n=1; elseif y(j)1.05*yss n=1; endendt1=t(i);sssG225.1)

6、(sigma = 20.9121tp = 3.0920ts = 4.63805.3 系统时域响应的解析解算法n部分分式展开方法n传递函数G(s)含有n个互异极点，可展开为部分分式：n将其Laplace逆变换，得输出：nnpsrpsrpsrsG2211)(tpntptpnererertg2121)(n因此，可以通过G(s)*R(s)的部分分式展开而求出系统的解析解。n求留数函数r,p,k=residue(num,den)可以得出各系数。n请注意，此解法得出的是解析解，而不是数值解。n传递函数G(s)的第j个极点Pj是m重的，则展开中含有下面各项：n对应的Laplace逆变换为：系统有重极点的计算

7、mjmjjjjjpsrpsrpsr)()(121tpmmjjjtpmmjtpjtpjjjjjetrtrretrterer)(1111115.4 根轨迹分析法 根轨迹：开环系统的某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在s平面的轨迹。应用MATLAB可以绘制精确的根轨迹图，我们可以采用根轨迹法对控制系统进行设计和校正。n绘制根轨迹图n根轨迹分析n校正装置1. 绘制根轨迹图nrlocus()n调用之前必须将特征方程写成下面的形式：0dennumK1rlocus()nrlocus(num,den), rlocus(sys)nrlocus(num,den,K), rlocus(sys,K)nr,

8、K=rlocus(num,den), r,K=rlocus(sys)nr=rlocus(num,den), r=rlocus(sys)nr=rlocus(num,den,K), r=rlocus(sys,K)r,K=rlocus(num,den)r=复根向量K=增益向量1+K*(num/den)=0例5-5 num=1 1;den=1 5 6 0;rlocus(num,den) r=rlocus(num,den,10)r = -2.1056 + 2.8714i -2.1056 - 2.8714i -0.7887K(s+1)s(s+2)1(s+3)-R(s)C(s)0s6s5s1sK123 r,

9、k=rlocus(num,den)2. rlocfind()n了解特定的复根对应的增益K的取值n只有运行了rlocus函数并得到根轨迹后，才能合法调用n运行rlocfind函数后，MATLAB会在根轨迹图上产生+提示符，通过鼠标将提示符移动到根轨迹相应的位置确定，所选的K值就会在命令窗口显示selected_point = -0.3212 + 0.0000ik = 2.1281poles = -2.3394 + 1.0735i -2.3394 - 1.0735i -0.3212 例5-6 特定的根对应的增益K rlocus(num,den) k,poles=rlocfind(num,den)S

10、elect a point in thegraphics window计算不同K值时的单位阶跃响应num=1 1;den=1 5 6 0;rlocus(num,den)n=0;while n sgrid gridn在根轨迹GH平面绘制阻尼比和等固有频率网格，n阻尼比从0.1到1;固有频率从0到10rad/s。 sgrid(new)：是先清屏，再画格线。 sgrid(z,wn)：则绘制由用户指定的阻尼比矢量z、自然振荡频率wn的格线。例5-9num=1;den=conv(0.01 1 0,0.02 1);rlocus(num,den)sgrid同样可以rlocus(num,den),grid4.

11、 基于根轨迹的系统设计工具nrltoolnrltool(g) g为系统,例如 g=tf(num.den) 图形用户界面系统设计工具图形用户界面系统设计工具(SISO Design for System FeedbackConfig)toolviewer.htmln利用根轨迹设计工具可查看某个K值的阶跃响应曲线，BODE图，NYQUIST图，脉冲响应曲线等n根轨迹表明参数（增益）变化的影响。实际中，只调整增益不能获得所希望的性能。因此必须通过引入适当的校正环节，来改造原来的根轨迹。n增加零极点，对根轨迹的影响，由此构成校正环节。n应用的实质是通过采用校正环节改变根轨迹，从而将一对主导闭环极点配置

12、在需要的位置。 Anysis,other loop response系统性能的分析n稳定性：根轨迹在s的左半平面，稳定n稳态误差：由原点的开环极点个数决定n动态性能：运动形式：闭环极点均为实数极点，单调， 闭环极点均为复数极点，振荡超调量：取决于闭环主导极点的衰减率arccos10jnn2n11n1闭环主导极点调节时间：取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值 或实数极点的模值nsT3k,poles=rlocfind(sys),可以求得系统所有极点n输入参量可以是LTI模型对象，函数命令执行后，可以在图形窗口根轨迹图中显示十字形光标，当选择根轨迹上某一点时，其相应的增益由变量K记录，与此增益

13、相关的所有极点记录在变量poles中，从显示的所有极点位置判断系统的稳定性。n看个例子：例子：已知一个单位负反馈系统开环传递函数为G(s)，试在系统闭环的根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及系统的闭环极点，并判断在该点系统闭环的稳定性。num=1 3;den=conv(conv(conv(1 0,1 5),1 6),1 2 3);sys=tf(num,den);rlocus(sys)k,poles=rlocfind(sys)title(根轨迹图)xlabel(实轴 )ylabel(虚轴 )32)(6)(5()3()(2ssssssksGnselected_point =n -5.4325 +

14、0.8385ink =n 45.3550npoles =n -5.5915 + 0.8178in -5.5915 - 0.8178in -1.6865 n -0.0653 + 1.5881in -0.0653 - 1.5881ik =45.3550时，根的实部都小于零，稳定n原理：类似微分环节 作用：使校正的根轨迹向左移动，增加阻尼或保持阻尼不变，增加无阻尼振荡频率1011)(TsTsKsGccj0n原理：在s平面十分接近原点的地方配置，极点更接近原点，类似积分环节 作用：在基本上不改变稳定性的前提下，提高开环增益，以减小稳态误差111)(TsTsKsGcc01, 1111)(2211TsTs

15、TsTsKsGccj0串联超前校正串联滞后校正串联滞后-超前校正n原理：综合两者 低频相位滞后，高频相位超前j根轨迹超前校正的解析公式n未校正前传递函数为G0(s)，校正器的传递函数：n根据系统性能的要求，确定Kc 与期望极点s1在平面的位置校正后系统的根轨迹为：n其中 是开环系统在的幅值， 是开环在S1的相位角Kc已经确定，需要求解Tz,Tp以确定期望极点S1在平面的位置已经确定对于复变量可以用模幅式表示为11)(TpsTzsKsGccjjGcceeMTpsTzsKsGsGG111)()(11110sjseMs1GMG将代入上面第二个方程，根据实部与虚部分别相等，求解Tz,Tp,可得：GsG

16、csGGcszMMKMKTsin)sin(sinGssGsGcpMMKTsin)sin(sin例子：已知燃油调节控制系统的开环传递函数为：)1.01(25.01(2)(ssssGp）%30sts8.0试设计超前校正环节，使其校正后的闭环主导极点满足：（）阶跃响应的超调量（）阶跃响应的调节时间（）系统的单位斜坡响应稳态误差%10ssve11)1 .01 (25.01 (2)()(0sTsTKssssGsGpzcp）%101vvssvKKve10vK10) 1)(1 . 01 (25. 01 () 1(2000spzcscvsTssssTKGsGK）5cK8.03%)5(nstsradn/48.109.