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文档简介
1、天津春考数学科目必须掌握的公式一、解不等式1、小于零,取中间;大于零,取两边例如:(x一2)(x+3)<09一3<x<2例如:(x+1)(x一4)>09x<一1或x>42、除法不等式:可以变成“乘法”不等式,前提:要把右侧变成023x-3例如:托一1>1=>X1>0=>怎一1<0=>(x1)(x3)<0=>1<x<33、绝对值不等式 lx一II<3=>一3<x一1<3=>一2<x<4“小于,取中间" lx一2I>1=>x一2<一1
2、或x一2>1=>x<1或x>3“大于,取两边”4、不等式的解为R、或解为空集的问题一般情况下,利用判别式b2-4ac<0(或W0)进行处理。例如:X2-mx+1>0的解为R,求m的取值范围=b2一4ac=m2一4<0=>一2<m<2二、一元二次方程求根公式ax2+bx+c=0,则求根公式:x12= 当=b24ac>0时,有两个实根; 当=b24ac=0时,有两个等根 当=b2-4ac<0时,无实根三、集合1、AQB,表示求A、B的公共元素。例如:A=xI1<x<5,A=xI2<x<6,贝VAHB=x
3、I2<x<52、AUB,表示将A、B的元素全都合在一起,重复写一遍。例如:A=xI1<x<5,A=xI2<x<6,贝VAUB=xI1<x<63、qA,表示在全集U中求A的补集。例如:U=1,2,3,4,5,6,A=2,4,5,则CuA=1,3,6三、一元二次函数1、f(x)=ax2+bx+c(aH0)对称轴x0=2、x无范围时,f(x)的最大值或最小值,只需将x0代入f(x)可得最大值或最小值:a>0,开口向上,f(x°)为最小值;a<0,开口向下,f(x°)为最大值''"3、若x有范围,
4、则画出f(x)的示意图,再将x的范围标上,找f(x)的最高和最低值即可例如:y=x2-4x+5,xW1,4,求函数的最大值和最小值。示意图如右,对称轴为x=2,标出x的范围,可以看出:ymin=f(2)=1,ymax=f(4)=5四、指数与指数函数1、运算性质ao=1,aman=am+n,(am)n=amn,(ab)n=anbn,汀2、单调性f(x)=ax(a>0,aM1)当0vav1时,f(x)为下降;当a>1时,f(x)为上升;例如:解不等式:22x-1<不等式可以化为:22x-1<2-2,因为a=2为上升的,所以:2x-1<-2,得x<-1/2五、对数
5、与对数函数1、运算性质ab=Nv=>logaN=b,当a=10时,logaN=lgN=logaM-logaN,logaMN=logaM+logaN,loga1=0,logaa=12、实用性质:logab=>当a、b同时大于1或同时小于1,则logab>0logab=>当a、b中一个小于1,另一个大于1,则logab<0log2-例如:<0;啼、i”5>0等。3、单调性f(x)=logax(a>0,aM1)当0<a<1时,f(x)为下降;当a>1时,f(x)为上升;六、常用函数1、正比例函数:y=kx(k可正可负)例:正比例函数f
6、(x)过点(2,6),求f(l)解:设y=kx,代入点(2,6),得6=2k,.°.k=3,.°.y=3x,所以y(1)=32、反比例函数:y=(k可正可负),同法同上类似。3、一次函数:y=kx+b也表示直线,其中k为斜率,当k>0时,上升;当k<0时,下降。七、定义域求法1、分母不为02、偶次根式内要大于等于03、对数内的式子要大于0+2>03-0例如:求y=;定义域。根据上面法则得:卩一"2°,即可求出定义域。八、奇函数与偶函数1、偶函数:f(一x)=f(x) 偶函数的图像关于y轴对称; 偶函数求参数问题,可以取x=1进行求解参数
7、。例如:已知f(x)=(x-m)(x+3)为偶函数,求m解:可以取x=1,利用f(-1)=f(1)求m,f(-1)=2(-1m)=22m,f(1)=4(1m)由f(1)=f(1),可得m=3 常见的偶函数:y=x2,y=cosx,y=IxI2、奇函数:f(一x)=一f(x) 奇函数的图像关于原点对称(即斜对称); 若f(0)有意义,则f(0)=0 奇函数求参数问题:可利用f(0)=0求解参数;若f(0)=0求解失效,可取x=1求解参数。例如:已知f(x)=+为奇函数,求m解:取x=0,利用f(0)=0求m,f(0)=m2=0,可得m=21常见的奇函数:y=x,y=,y=x3,y=sinx,y=
8、tanx九、向量1、设向量a,贝川aI表示向量a的模,即向量a的长度。2、向量平行于垂直定理: 若a、b平行,则a=kb 若albab=03、a2=IaI24、向量夹角公式:亠一,其中0为两向量的夹角。说明:只要题目中牵涉到角的问题,则必须用上面的公式。5、向量的坐标运算:设a=(x1,y1),b=(x2,y2) a±b=(X±x2,y1±y2) ab=XX2+y1y2 IaI='.7 设点A(X,y1),B(x2,y2),则向量川且=(x2x1,y2y1)若a/b,则:x1y2=x2y1,若a丄b,贝V:ab=x1x2+y1y2=0例1:a=(m+1,3
9、),b=(-2m,8),若a丄b,求m。解:因为垂直,所以ab=0,.°.-2m(m+1)+24=0,解得m=3或m=-4十、数列1、等差数列 通项公式:an=a1+(n-1)d 前n项和公式:Sn=+3,般情况下,均利用第1个公式。 等差中项:若a、b、c为等差数列,则a+c=2b,b称为等差中项。说明:做等差题目,只需将题目中的有关数,全都更换为a1和d,即可求解。2、等比数列 通项公式:an=a1qn-1 前n项和公式:Sn=畔-一般情况下,均利用第1个公式。 等比中项:若a、b、c为等比数列,则ac=b2,b称为等比中项。说明:做等比题目,只需将题目中的有关数,全都更换为和q
10、,再利用除法运算可求解。十一、排列、组合1、排列:=n(n-1)(n-m+1),即从n开始向下乘,共乘m个数。2、组合:口;=斜咨,其中分子是从n开始向下乘,共乘m个数。说明:如果顺序变化,结果不相同,则为排列;若结果与顺序无关,则为组合。3、常见排列:站队、排值日、组成3位数字、选课代表、选班长等。4、常见组合:任取几个球、任取几个人、任取几件产品等均为组合。5、排列组合的常见模型 捆绑法:例如6个人站队,甲、乙需要相邻,有多少种站法?可以将甲、乙捆绑为1人进行处理,相等于5人,共有凡种站法,其中甲、乙两人之间还可以排列,所以共种站法。插空法:例如5男3女站队,要求女生不相邻,求排法?先排男
11、生曰,产生6个空位,再从6个空位选择3个给女生,所以为起比 骰子题目:只需列出36种可能,再按照题目要求进行排查即可。 住房问题:例如:4人住3个不同房间,每个房间至少一人,共有多少种住法?同一个房间的二人无顺序,因此,先要绑定二人相当于3人,再安排到每个房间,所以共有住法°;览十二、概率、统计1、概率 排列组合算概率:概率p=相关数/总数 概率算概率:这类题目一般不需要排列。例如:甲投篮命中率为0.9,乙命中率为0.8,两人各投一次,求至少一人命中的概率。所求为:甲命中乙未命中+甲未命中乙命中+甲乙均命中=0.9X0.2+0.1X0.8+0.9X0.8=0.98处理这类题目,一定将
12、过稈弄清楚,过稈清楚了,式子自然就出来了。 伯努力公式:设单次试验发生的概率为P,则重复做n次试验,恰好发生k次的概率:特点:连续试验,恰好发生k次。例如:投篮命中率为0.9,现连续投篮3次,则恰好投中两次的概率是多少?解:此题为伯努力题型,n=3,k=2,p=0.9所以:p=.、=0.2433、概率分布例如:设随机变量g的分布列为:g1234P0.20.20.30.3 分布列的特点:所有概率之和为1 均值或期望Eg的计算公式:上下相乘,再加起来:1X0.2+2X0.2+3X0.3+4X0.3=2.7 方差Dg的计算公式:Dg=E(g2)-玖g)2其中E(g2)=12X0.2+22X0.2+3
13、2X0.3+42X0.3=8.5即用g的平方X对应的概率值,再求和即可。所以,对于本例,Dg=E(g2)-E(g)2=8.5(2.7)2=0.71 求P(2WgW3),只需将g=2或g=3的概率相加即可。P(2WgW3)=0.2+0.3=0.53、分层抽样按比例计算即可。4、频率直方图 样本容量:所研究的元素的个数。例如从全校1000名学生中抽取50人进行测试,则50为样本容量。 频率:相当于概率,或百分比 频数:元素个数例如:从全校1000名学生中取50(50即为容量,不是1000)人测试,测试结果如下:分数范围10-60分60-90分90分以上人数10355频率0.20.70.1其中各组人
14、数即为频数。频率也是百分比,或概率。rn斗.03L.UJi.ul频率直方图左侧的y轴数据,是利用频率除以组距得到的,因此,若要利用左侧的数据计算频率(或百分比),就用“左侧的数X组距”即可。注意:左侧的所有数之和X组距=13、rsina=rcosa=各三角函数的正负情况:Xtana=十三、三角1、特殊角的三角函数值A0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°sina012百21V楣2120-1cosa12忑212012楣2-10tana0T173X-73-1T0X2、任
15、意角的三角函数:设角a终边上一点P(x,y),r,则:sina:正,负;cosa:正,负tana:正,负4、同角三角函数关闭smasin2a+cos2a=1tana=匚°sa5、诱导公式:纵变横不变,正负看象限7T3jt纵变横不变:若角为纵角,如岌,等,诱导时就需要变,sina,cosa之间变。若角为恒角如n等,则函数不需要变。正负看象限:看原始函数所在象限的正负情况。例1:sin(n+a),因为n为横角,所以不变仍为sina,又因为n+a表示第三象限,正弦在第三象限为负的,因此,诱导结果为:sin(n+a)=-sina例2:cos(3+a),因为n/2为纵角,所以需要变为sina,
16、又因为n/2+a表示第二象限,余弦在第二象限为负的,因此,6、加法公式 sin(a+卩)=sinacos卩+cosasin卩 cos(a+卩)=cosacos卩一sinasin卩2诱导结果为:cos(+a)=-sinasin(a-卩)=sinacos卩一cosasin卩cos(a-卩)=cosacos卩+sinasin卩a-ij/illl11'+11.tan(a+卩)=-“:7、二倍角公式 sin2a=2sinacosa cos2a=2cos2a1=1一2sin2a=cos2asin2a2tan: tan2a=_i:8、降幂公式222I-2-sin2a=cos2a=丸9、周期公式y=A
17、sin(®x+p),贝V周期T= y=Acos(®x+p),则周期T=® y=Atan(®x+p),则周期T=10、图像图的做法:高度算A,周期计算a,取点算9)如图.2例如:y=Asin(®x+p)(A>0,®>0,|p|<777T通过高度可知A=2,T=(右疋)X2=n再通过周期公式可以计算.=2,取x=12,2=2s”7Tsin(五+p)=1,所以,所以p=十四、解三角1、正弦定理2、面积公式absinC=bcsinA=bcsinA3、余弦定理a2=b2+c2一2bccosAb2=a2+c2一2accosBc2
18、=a2+b2一2abcosC十五、直线1、直线倾斜角a的正切值为斜率:k=tana2、斜率公式:k"-心对于给定的直线,只需将直线方程改写为y=kx+b形式,则右侧x的系数即为斜率k。1例如:直线2x+4y=1将直线改写为:y=-2x+,则斜率k=-23、平行与垂直定理 若两条直线平行,则斜率相等:匕=k2 若两条直线垂直,则斜率相乘得-1,即匕k2=-14、直线的点斜式设直线过点(x0,y0),斜率为k,则直线方程为y-y0=k(x-x0)5、点到直线距离|:-.-'厂|设点(x0,y0),直线为Ax+By+C=0,则d=6、两平行线之间距离匚二设两平行直线为Ax+By+C
19、1=0,Ax+By+C2=0,贝Vd="+7、关于截距在直线Ax+By+C=0中: 令x=0,得y=y0,则y0称为y轴截距,同时说明直线过点(0,y0) 令y=0,得y=x0,则x0称为x轴截距,同时说明直线过点(x0,0)例:直线过点(2,1),且y轴截距为5,求直线方程。解:y轴截距为5,说明直线过点(0,5),由两点(2,1),(0,5)利用斜率公式可得k=-2取点(0,5),所以直线方程:y5=2(x0),即2x+y5=08、两点之间的距离设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则IPQI=9、中点公式设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则P、Q的中点坐标为十六、圆1、
20、圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2圆心(a,b),半径为r例如:圆(X2)2+(y+3)2=9,则圆心(2,-3),半径r=32、圆的一般式方程:X2+y2+Dx+Ey+F=0圆心(:厂),半径r例如:X2+y2一4x+6y+4=0则圆心()=(2,-3),半径r=33、点与圆的位置关系判断点P(x0,y0)与圆(xa)2+(yb)2=r2或X2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系。只需将点P(x0,y0)代入圆的方程中(标准式或一般式均可): 若左侧>右侧,则点在圆外 若左侧=右侧,则点在圆上 若左侧v右侧,则点在圆内4、直线与圆的位置关系设圆半径为r,求出圆心到直线的距离
21、d 若d>r,则直线与圆外离 若d=r,则直线与圆相切 若dvr,则直线与圆相交例如:判断直线3x+4y2=0与圆(x1)2+(y+2)2=4的位置关系7I沁十丄>-HI_圆心(1,-2),r=2,d=二vr,所以相交。5、圆与直线相切对于这类问题,主要利用d=r原理处理。例如:设直线过点(-3,0),且与直线x2+y2=1相切,求直线方程。解:圆心(0,0),半径r=1,设直线方程为:y-0=k(x+3),即kx-y+3k=0內IK,-!(+氏|Ld=,因为相切,所以d=r1=1,即I3kI=-,平方后可以解得k2=,k=±46、圆与圆直径的关系设两圆的圆心和半径分别为C1(a1,b1),r1和C1(a2,b2),r2利用两点之间的距离公式,计算两圆心之间的距离d=IC1C2I 若d>r1+r2,则两圆外离 若d=r1+r2,则两圆外切 若d
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