线性代数(同济六版)-2.3

1、2.3 逆矩阵逆矩阵 定义定义 7 设设 A 是是 n 阶矩阵，如果有阶矩阵，如果有 n 阶矩阵阶矩阵 B ，使，使 如果矩阵如果矩阵 A 是可逆的，则是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的，记其为的逆矩阵是唯一的，记其为 A-1. 定理定理 1 若矩阵若矩阵 A 是可逆的，是可逆的， 证证 因为因为 A 可逆，可逆， . 1EAA1 于于是是则称则称 A 是可逆矩阵，是可逆矩阵，且称且称 B 为为 A 的逆矩阵的逆矩阵. AB = BA = E 即有即有 A-1 使使 A A-1= E . 所以所以 |A|0 .则则 |A|0 .1 定理定理 2 若若 |A|0， 则则 A 可逆可逆, 且且 A

2、A1A1.的的伴伴随随矩矩阵阵矩矩阵阵是是其其中中AA 2 证证 因为因为.EAAAAA 根据逆矩阵的定义，即有根据逆矩阵的定义，即有. AA1A1EAAA1AA1A 所以有所以有因为因为 |A|0 ， 设设 A 是是 n 阶矩阵，如果阶矩阵，如果|A|0 , 那么那么A称为非奇异矩阵称为非奇异矩阵. A 是可逆矩阵的充分必要条件是是可逆矩阵的充分必要条件是|A|0 A 是可逆矩阵的充分必要条件是是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异的为非奇异的, 441431321A 例例1 判断下列矩阵判断下列矩阵, 111111111B是否为可逆矩阵？是否为可逆矩阵？3 解解 因为因为, 01441431

3、321A ,|0111111111B 所以所以A 为可逆矩阵，为可逆矩阵，B是不可逆矩阵是不可逆矩阵 推论推论 设设 A, B 都为都为 n 阶矩阵阶矩阵 , .1AB 且且EBB .存存在在因因而而1A 于是于是BAA1)( ）（ABA1 EA1 .1A 则则 A 为可逆矩阵，为可逆矩阵，若若 AB = E（或（或 B A = E），），所以所以 |A|0 ， 证证 因为因为|A|B|=|AB|=|E|=1, 例例2 因为因为, 100110211021所以所以, 102110211. 1021102114方阵的逆矩阵满足下述运算规律：方阵的逆矩阵满足下述运算规律：.AAAA1111 ）也也

4、可可逆逆，且且（可可逆逆，则则若若.,.11A1AA0A2 ）也也可可逆逆，且且（则则可可逆逆，数数若若.)(111ABAB .)(.T11TTAAAA4 ）也可逆，且（也可逆，且（可逆，则可逆，则若若则则 AB 也可逆，且也可逆，且3.设设A ,B 为同阶可逆矩阵为同阶可逆矩阵,5 例例 3 求矩阵求矩阵 441431321A的逆矩阵的逆矩阵. 解解 由由1441431321A 知知 A 的逆矩阵的逆矩阵 A-1 存在存在.6再由再由,)(44443111 21A1A31 11A,)(44432112 1A1A0A322212 12111014411 AA1A1 121110144 3323

5、13322212312111AAAAAAAAAA11A2A1A332313 得得7 130231C441431321A, 例例 4 已知已知求矩阵求矩阵 X 满足满足 AX = C . 解解 由例由例3 知知 A-1存在，于是存在，于是得得 X = A-1C ，即，即,)(CAAXA11 121110144X 4011131 13023181231321221 ,205334331ABC 例例 5 已知已知求矩阵求矩阵 X 使其满足使其满足 AXB = C . 解解11,XA CB113235322111A 913152B1210,1402P 例例 6 已知已知求求An.10APP1101( )mmxaa xa xxmAn设为 的 次多项式，为 阶矩阵，记01( )mmAa Ea Aa A( )AAm称