保险精算 利息理论

1、1 1、利息理论、利息理论吴吴 睿睿 认识利息认识利息 掌握计息方法掌握计息方法学习目标学习目标实际利率和实际贴现率实际利率和实际贴现率名义利率和名义贴现率名义利率和名义贴现率 利息强度利息强度利息利息I (interest)借贷关系中借借贷关系中借款人款人（borrower)为取得资金使为取得资金使用权而支付给用权而支付给贷款人的贷款人的（lender）报）报酬酬(不必为货币，不一不必为货币，不一定同类定同类)资本经过一定时间的投资活动资本经过一定时间的投资活动后产生的价值增值后产生的价值增值 利息可以理解为利息可以理解为租金租金的一种形的一种形式式本质本质在偿还借款时大于本金的那部在偿还借

2、款时大于本金的那部分金额。分金额。 It=A（t） P计算计算 P：本金，初始资本：本金，初始资本 A(t)：积累值，经过：积累值，经过t时间后的总时间后的总资本资本利息理论利息理论借款人借款人borrower黄世仁黄世仁贷款人贷款人lender喜儿喜儿 本本 金金+利利 息息白毛女白毛女杨白劳杨白劳 -借贷关借贷关系实例系实例123本金本金 Pprincipal 初始资本初始资本利息率利息率interest rate时间时间（单位：（单位：度量期）度量期） 利息理论利息理论影响利息大小的三要素影响利息大小的三要素第第t期的利息（期的利息（It）：）：012.t-1t第1期第2期第t期It=A

3、t-At-1从初始时刻到第从初始时刻到第t时刻的利息：时刻的利息： At-P=I1+I2+It积累值（终值）积累值（终值）AV ACCUMULATED VALUE：一笔业务本金为一笔业务本金为P，在投资期内没有追加或抽回一定数额的资，在投资期内没有追加或抽回一定数额的资金，到投资期结束（金，到投资期结束（t 时刻），投资者收到的总金额。一般用时刻），投资者收到的总金额。一般用At或或A（t）表示。表示。 A（t）总量函数）总量函数积累值积累值积累函数与总量函数积累函数与总量函数积累函数积累函数性性质质本金为本金为1单位单位，且在任何时刻且在任何时刻没有追加或抽没有追加或抽回资本，在时回资本，在

4、时刻刻t时的积累值时的积累值 a(t)a(0)=? a(t)的单调性的单调性常常数数单单增增单单减减积累函数与总量函数积累函数与总量函数总量函数总量函数性性质质本金为本金为k单位单位，在时刻在时刻t时的积时的积累值累值 A(t)A(0)=? A(t)=k*a(t) A(t)的单调性的单调性常常数数单单增增单单减减习题：习题：1. 已知：已知：A(t)=2t+ +5 ，求，求: （1）对应的）对应的a(t) 解：解：（1）a(t)=A(t)/k k =A(0)=5 a(t)=A(t)/k=1+0.4t+ 已知已知A(t) ，求，求a(t)？ A(t)=k*a(t) a（0）=1t5/ t实际利率

5、某个某个度量期内度量期内得到的利息金额得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金与此度量期开始时投资的本金之间的比率之间的比率 计算利息的不同期限单位划分计算利息的不同期限单位划分:年利率年利率(annual interest):以年为单位计以年为单位计算利息时的利率，通常算利息时的利率，通常%表示。表示。月利率月利率(monthly interest):以月为单位以月为单位计算利息时的利率，通常计算利息时的利率，通常表示。表示。日利率日利率(daily interest):以日为单位计算以日为单位计算利息时的利率，通常以利息时的利率，通常以0表示。表示。 1.1实际利率和实际贴现率l例111

6、某人到银行存入1000元，第一年年末的存款余额为1020元，第2年年末的存款余额为1050元，问第1年、第2年的实际利率分别是多少？l解：A（0）=1000，A（1）=1020，A（2）=1050l 121122(1)(0)20(2)(1)302%(0)2.941%(1)IAAIAAIiAIiA 1.1实际利率和实际贴现率习题：1. 已知：已知：A(t)=2t+ +5 ，求，求:（1）I3, （2）i4 解：解： （1）I3=A(3)-A(2)=2+ （2）i4=I4/A(3)=0.178t23 1.1实际利率和实际贴现率2.若若A(3)=100，in=0.01n，求：，求：I5=?解：解：

7、I5/A(4)=i5=0.05 I5=0.05A(4) A(4)-A(3)/A(3)=i4=0.04， A(3)=100 A(4)=104 因此，因此，I5=0.05A(4)=5.2 计计 息息 方方 法法单利单利利息（利息（I）=本金利率期限本金利率期限 =P it积累值积累值 A(t)=P+Pit = P（1+it） 单纯按初始本单纯按初始本金金P计算出来计算出来的利息进行计的利息进行计息息a(t)=1+it单利情况下的实际利率单利情况下的实际利率?1.1实际利率和实际贴现率单利计息的特征: 1. 利息恒定 It=A(t)-A(t-1) =ka(t)-a(t-1) =k1+it-1-i(t

8、-1) =k i 1.1实际利率和实际贴现率2. 实际利率递减 ) 1(1) 1()1()(11tiitkatatakAAAitttt d it /d t1）: (1+i)t1+it 复利产生更大积累值复利产生更大积累值 3、较短时期（、较短时期（t1）: (1+i)t1时单利、复利时单利、复利下积累值的比较。下积累值的比较。 (2) 单利、复利条件下，单利、复利条件下，It的的变化趋势。变化趋势。 (3) 单利、复利条件下，单利、复利条件下，it的的变化趋势。变化趋势。t tAtAtItItit(%)it(%)单利单利复利复利单利单利复利复利单利单利复利复利初初始始1001001001000

9、 00 00 00 01 11051051051055 55 55 55 52 2110110110.2110.25 55 55.255.254.764.765 53 3115115115.7115.76 65 55.515.514.554.555 54 4120120121.5121.55 55 55.795.794.354.355 55 5125125127.6127.63 35 56.086.084.174.175 53. 如果如果3000元在元在5年半内积累到年半内积累到5000元，求：元，求：单利利率、复利利率。单利利率、复利利率。 解：单利利率：解：单利利率：3000（1+5.5i

10、）=5000 i=0.121 复利利率：复利利率：3000（1+i）5.5=5000 i=0.0973折现因子折现因子&折现函数折现函数 1、期初投资一个单位，期、期初投资一个单位，期末得到末得到1+i单位；如果期末单位；如果期末要得到要得到1个单位，期初应该个单位，期初应该投资多少单位？投资多少单位？2、期初投资一个单位，到、期初投资一个单位，到t时积累时积累a(t)个单位；如果个单位；如果在在t时要得到时要得到1个单位，期个单位，期初应该投资多少单位？初应该投资多少单位？A(t)=v*a(t)=1V(t)=1/a(t) 折现函数折现函数 A(1)=v*a(1)=v(1+i)=1V=

11、1/(1+i) 折现因子折现因子1.1实际利率和实际贴现率实际利率和实际贴现率l现值和贴现率现值和贴现率l现值现值:把一单位元在把一单位元在t年前的值或未来年前的值或未来t年一单年一单位元在现在的值称为位元在现在的值称为t年现值年现值.l贴现额贴现额:如果应在未来某个时期支付的金额提如果应在未来某个时期支付的金额提前到现在支付前到现在支付,需要扣除一定的数额需要扣除一定的数额,这个扣这个扣除额称为贴现额除额称为贴现额现值和贴现率l 在单利下，现值和贴现率现值和贴现率l 贴现率贴现率：度量利息的又一重要工具：度量利息的又一重要工具l 单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间以单位货币在单位时间内的

12、贴现额，单位时间以年年度衡量时，度衡量时，成为实际贴现率。成为实际贴现率。一个度量期内的实际贴现率为该度量期内一个度量期内的实际贴现率为该度量期内取得的取得的利息金额利息金额与与期末期末的投资可回收金额之比的投资可回收金额之比 d表示一年的贴现率表示一年的贴现率: dn表示第表示第n年贴现率年贴现率: iiiiaaAAAd1111) 1 (1) 1 () 1 ()0() 1 ()() 1()()() 1()(nanananAnAnAdn 实际贴现率与实际利率的关系实际贴现率与实际利率的关系 考虑一笔业务：某人以实际贴现率借款考虑一笔业务：某人以实际贴现率借款1元，则实际上本金为（元，则实际上本

13、金为（1-d）元，而利息（贴）元，而利息（贴现）金额为现）金额为d元。实际利率为：元。实际利率为： i=d/(1-d)d =i/(1+i) , 即即d=ivd =(1+i)/(1+i)-1/(1+i)=1-vv=1-d，方程两端均可以看作是期末付，方程两端均可以看作是期末付1的现值。的现值。 d=i(1-d)，即，即i-d=id现值和贴现率1.1实际利率和实际贴现率例题：例题：1.1. 4 某人到银行存入某人到银行存入1000元，第一年元，第一年末存折上余额为末存折上余额为1050元，第二年余额为元，第二年余额为1100元，求：第一、二年的实际利率和实际贴现元，求：第一、二年的实际利率和实际贴

14、现率。率。实际利率：实际利率：i1=A(1)-A(0)/A(0) =(1050-1000)/1000=5% i2=A(2)-A(1)/A(1) =(1100-1050)/1050=4.762% 1.1实际利率和实际贴现率实际贴现率：实际贴现率： d1=A(1)-A(0)/A(1) =(1050-1000)/1050=4.762% d2=A(2)-A(1)/A(2) =(1100-1050)/1100=4.545% 1.1实际利率和实际贴现率习题习题:1. 300元投资复利计息经过元投资复利计息经过3年增长至年增长至400元，元，求：分别在第求：分别在第2年末、第年末、第4年末、第年末、第6年末

15、各付年末各付款款500元的现值之和。元的现值之和。 解：复利条件下：解：复利条件下：a(t)=(1+i)t A(3)=ka(3)=300(1+i)3=400 i=0.10064 现值：现值：500a-1(2)+a-1 (4)+a-1 (6) =1034.7 1.1实际利率和实际贴现率2.对于对于8%的复利和单利，分别求：的复利和单利，分别求：d4=？ 解：解：复利条件：复利条件：d4=a(4)-a(3)/a(4) =i/(1+i) =0.074 单利条件：单利条件：d4=a(4)-a(3)/a(4) =（1+4i-1-3i)/(1+4i) =0.061.1实际利率和实际贴现率 “等价等价”的概

16、念的概念 实际利率和实际贴现率都是度量利息的方实际利率和实际贴现率都是度量利息的方法。任何一笔业务都可以同时用这两种方法来法。任何一笔业务都可以同时用这两种方法来度量。度量。 如果对于给定的投资金额，在同样长的时如果对于给定的投资金额，在同样长的时间内，利率与实际贴现率（或其他任何利息的间内，利率与实际贴现率（或其他任何利息的度量方式）能够产生同样的积累值，则称两个度量方式）能够产生同样的积累值，则称两个“率率”是是“等价等价”的。的。 实际贴现率与实际利率的关系实际贴现率与实际利率的关系 考虑一笔业务：某人以实际贴现率借款考虑一笔业务：某人以实际贴现率借款1元，则实际上本金为（元，则实际上本

17、金为（1-d）元，而利息（贴）元，而利息（贴现）金额为现）金额为d元。实际利率为：元。实际利率为： i=d/(1-d)d =i/(1+i) , 即即d=ivd =(1+i)/(1+i)-1/(1+i)=1-vv=1-d，方程两端均可以看作是期末付，方程两端均可以看作是期末付1的现值。的现值。 d=i(1-d)，即，即i-d=id实际利率和名义利率实际利率和名义利率实际利率实际利率-利息在每个度量期支付一次。此时利息在每个度量期支付一次。此时 称一个度量期内的利率为实际利称一个度量期内的利率为实际利 率。一般用率。一般用i表示。表示。 名义利率名义利率-一个度量期内利息支付不止一次一个度量期内利

18、息支付不止一次 （或在多个度量期内利息才支付一（或在多个度量期内利息才支付一 次）。此时称一个度量期内的利率次）。此时称一个度量期内的利率 为名义利率。一般用为名义利率。一般用i(m)表示。表示。 名义利率名义利率单个度量期内利息只单个度量期内利息只支付支付一次一次，其相应的，其相应的一个度量期的利率称一个度量期的利率称为为“实际实际”的的实际利率实际利率在一个度量期中，利在一个度量期中，利息支付息支付多次多次（大于（大于1）或者在或者在多个多个度量期利度量期利息仅支付一次（息仅支付一次（年年）其相应的一个度量期其相应的一个度量期的利率称为的利率称为“名义名义”的。的。 i(m)与等价的实与等

19、价的实际利率之间的关系：际利率之间的关系：1+i=(1+ i(m) /m)m可得：可得： i=(1+ i(m) /m)m-1 i(m)=m(1+i)1/m-1符号符号i(m)记每一度量记每一度量期支付期支付m次利息次利息的名义利率的名义利率每每1/m个度量期支个度量期支付利息一次，在付利息一次，在每每1/m个度量期上个度量期上的实际利率为的实际利率为i(m)/m。每个度量期的实每个度量期的实际利率为际利率为i1.2 名义利率和名义贴现率名义利率名义利率i(m)是指每是指每1/m个度量期支付利息一次，而个度量期支付利息一次，而在每在每1/m个度量期上的实际利率为个度量期上的实际利率为i(m)/m

20、。也就是。也就是说，每一度量期说，每一度量期i(m)的名义利率等价于每的名义利率等价于每1/m度量度量期期i(m)/m的实际利率（复利计息）。的实际利率（复利计息）。如若一年为一个度量期如若一年为一个度量期, i(4) =8%的名义利率指的是的名义利率指的是每季度的实际利率为每季度的实际利率为2%,即每年记息即每年记息4次的年名义次的年名义利率为利率为8% 1.2 名义利率和名义贴现率与名义利率等价的实际利率：与名义利率等价的实际利率： 由等价的定义，可以得到由等价的定义，可以得到 i(m)与等价的实与等价的实际利率之间的关系：际利率之间的关系： 1+i=(1+ i(m) /m)m可得：可得：

21、 i=(1+ i(m) /m)m-1 i(m)=m(1+i)1/m-1例：例：1.2.1（1）i(4)=8%，求年实，求年实际利率。际利率。 （2）i=10%，求，求i(5)。 解：解： （1）1+i=1+ (i(4)/4)4 i=1+ (i(4)/4)4-1=8.24% （2） i(m)=m(1+i)1/m-1 =5(1.1)1/5-1=9.6% 作业 习题1.31.2 名义利率和名义贴现率名义利率和名义贴现率名义贴现率名义贴现率 与名义利率的含义相同，用与名义利率的含义相同，用d(m)表示每一度量表示每一度量期支付期支付m次利息的名义贴现率。如果名义贴现率为次利息的名义贴现率。如果名义贴现

22、率为d(m)，那么有：，那么有： 1-d=(1- d(m)/m)m 可得可得: d=1-(1- d(m)/m)m d(m)=m1-(1-d)1/m 1.2 名义利率和名义贴现率l名义利率与名义贴现率的关系名义利率与名义贴现率的关系等价等价 01/m2/mm-1/mm/m1元(1+i)=(1+i(m)/m)m元1元生息贴现 (1-d(m)/m)-m元 (1+i(m)/m)m=(1+i)=1/(1-d)=(1-d(m)/m)-ml名义利率和名义贴现率的关系： 当m=p时： 1.2 名义利率和名义贴现率例：例：1.2.2 假设年实际利率等于假设年实际利率等于12%，分别求每，分别求每年、每半年、每季

23、度、每月、每周和每天计息一次时年、每半年、每季度、每月、每周和每天计息一次时的名义利率和名义贴现率。的名义利率和名义贴现率。解：解：（1）名义利率名义利率 1+i=(1+ i(m)/m)m i(m)=m(1+ i)1/m-1 i=12% m=1, i(m)=12%; m=2, i(m)=11.66%; m=4, 1.2 名义利率和名义贴现率名义贴现率名义贴现率 第一种方法：第一种方法： 1+i=(1-d(m)/m)-m d(m)=m1-(1+i)-1/m 第二种方法：第二种方法： d=i/1+i 1-d=(1-d(m)/m)m d(m)=m1-(1-d)1/m1.2 名义利率和名义贴现率例例1

24、.2.3 求与实际利率求与实际利率8%等价的每年计息等价的每年计息2次的年名义利率，以及计息次的年名义利率，以及计息4次的年名义贴现次的年名义贴现率。率。例例1.2.4已知每年计息已知每年计息12次的年名义贴现率次的年名义贴现率为为8%，求等价的实际利率。，求等价的实际利率。 1.2 名义利率和名义贴现率解解:(1)1+i=(1+i(m)/m)m i(m)=m(1+i)1/m-1 i=8%,m=2, i(m)=7.85% (1-d(m)/m)-m=1+i d(m)=m1-(1+i)-1/m i=8%,m=4, d(m)=7.623%1.2 名义利率和名义贴现率(2) (1-d(m)/m)-m=

25、1+i i= (1-d(m)/m)-m-1 m=12, d(m)=8%,i=8.36%例例1.2.5 求求1万元按每年计息万元按每年计息4次的年名义利率次的年名义利率6%投资投资3年的积累值。年的积累值。解：解：A(3)=10000a(3) =10000(1+0.06/4)12 =10000(1.015) 12 =11956.2例例1.2.6 以每年计息以每年计息2次的年名义贴现率为次的年名义贴现率为10%，在在6年后支付年后支付5万元，求其现值。万元，求其现值。解：解：PV=50000a-1(6) =50000(1-d)6 =50000(1-0.1/2)12 =50000 =27018 与经济学中实际利与经济学中实际利率的区别？率的区别？1.3 利息强度l 投资一笔资金，设在时刻投资一笔资金，设在时刻 t 的资金金额由总量函数的资金金额由总量函数 A（t）给出，这笔资金完全由于利息而变化，即本金）给出，这笔资金完全由于利息而变化，即本金不变。定义：不变。定义： 式中，式中， 为该投资额在为该投资额在 t 时刻的利息强度，即时刻的利息强度，即 为利息为利息在时刻在时刻 t 的一种度量。的一种度量。 为为 t 时每一单位资金的变化时每一单位资金的变化率。率。 ttt1.3 利息强度0111000( )( )( )( )( )(0)( )( )( )(