等差数列通项公式推导PPT

1、等差数列通项公式推导第一页，课件共25页一、温故知新：一、温故知新：1、等差数列定义：、等差数列定义：2、等差数列的通项公式：daann1) 2( n(常数常数)1(1)naand()nmaanm d),(为常数qpqpnan3、等差数列的性质：qpnmaaaaqpnm则若,122nnnaaa第二页，课件共25页来看几个数列来看几个数列：1，2，4，8，16，5 5，2525，125125，625625，.81,41,21,1.你能类比等差数列的定义得出等比数列的定义吗？以上数列具有什么样的共同特点？以上数列具有什么样的共同特点？第三页，课件共25页 如果一个数列从第如果一个数列从第 _项起，

2、每一项与它的项起，每一项与它的前一项的前一项的 _ _等于等于 _ _一个一个常数，那么这个数列就常数，那么这个数列就叫做叫做 这个常数叫做等这个常数叫做等 数数列列的的 _1.等比数列定义：等比数列定义：二二比比同同等比数列等比数列公比公比等差数列定义等差数列定义 如果一个数列从第如果一个数列从第二二项起，每一项与它的项起，每一项与它的前一项的前一项的差差等于等于同同一个一个常数常数, ,那么这个数列就那么这个数列就叫做叫做等差数列等差数列. .这个常数叫做等这个常数叫做等差差数列数列的的公差公差公差公差通常用字母通常用字母d表示表示公比公比通常用字母通常用字母q表示表示比比第四页，课件共2

3、5页 等比数列等比数列 由于等比数列的每一项由于等比数列的每一项都有可能作分母，都有可能作分母，故故a 1 0 且且 q 0等差数列等差数列 由于等差数列是作由于等差数列是作差差 故故a 1 d 没有没有要要求求 判断数列是等差数列的方法判断数列是等差数列的方法判断数列是等比数列的方法判断数列是等比数列的方法或或 an+1-an=d(n1)an an-1=d(n2)2(1nqaann) 1(1nqaann或第五页，课件共25页 等比数列等比数列通项公式推导通项公式推导:等差数列等差数列通项公式推导通项公式推导: 设公差为设公差为 d 的的等差数列等差数列 a n ，则有，则有: n1个个a 2

4、 a 1 = da 3 a 2 = da 4 a 3 = d a n a n 1 = d+ )a n a 1 = ( n1 ) d (n2）等差数列等差数列 a n 的首项为的首项为 a 1，公，公差为差为 d 的通项公式为的通项公式为 _a n = a 1 + ( n1 ) d，n N +设公比为设公比为 q的等比数列的等比数列 a n ，则有，则有:_12 aa_23 aa_1 nnaa11 nnqaa)n1个个qqq首项为首项为 a 1，公比为，公比为 q 的等比数列的等比数列的通项公式：的通项公式：a a n n= a= a 1 1 q q n n1 1(a 1 0 且且 q 0 n

5、N +)(n2）第六页，课件共25页 等比数列等比数列 等差数列等差数列 常数列都是等差数列常数列都是等差数列等差数列等差数列通项公式通项公式:等比数列通项公式等比数列通项公式: 首项为首项为 a 1，公差为，公差为 d 的通项公式为的通项公式为 _a n = a 1 + ( n1 ) d，n N +首项为首项为 a 1，公比为，公比为 q 的的 的通项公式：的通项公式：a n= a 1 q n1(a 1 0 且且 q 0,n N +)(1) a0; 它只是等差数列。它只是等差数列。(2) a0; 它既是等差数列又是等比数列。它既是等差数列又是等比数列。问：问：数列数列a, a, a, a,

6、(aR)是否为等比数列？是否为等比数列？ 如果是如果是,a必须满足什么条件？必须满足什么条件？第七页，课件共25页等比数列的通项公式：等比数列的通项公式： an=a1qn-1 （nN,q0）特别地，等比数列特别地，等比数列an中，中，a10,q0 ，an 0 an=amqn-m(1,1*)nmnnmN、 、第八页，课件共25页若数列若数列an的首项是的首项是a1=1,公比公比q=2,则用通项公式表示是：则用通项公式表示是：上式还可以写成上式还可以写成122nna可见，表示这个等比数列可见，表示这个等比数列的各点都在函数的各点都在函数 的图象上，如右图所示。的图象上，如右图所示。122xy 0

7、1 2 3 4 nan87654321 的点的点函数的图象上一些孤立函数的图象上一些孤立的图象是其对应的的图象是其对应的等比数列等比数列结论结论na：12nna探究：探究：P50第九页，课件共25页例已知等比数列例已知等比数列an中，中，a5=20，a15=5，求，求a20.解：由解：由a15=a5q10，得，得 1014q所以所以 512q 因此因此 5201552aa q或或 5201552aa q ;, 3,27)1(74aqa求求 579(2)4,6,;aaa求练习：练习：在等比数列在等比数列 中中, na第十页，课件共25页等比中项abG2即 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者

8、三个数就会观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：成为一个等比数列：（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4（3）-12， ，-3 （4）1， ，13261 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a，G，b成等比数成等比数列，那么列，那么G叫做叫做a与与b的的等比中项等比中项。abG)0(211nnnaaa第十一页，课件共25页qaaaann1.2121仍仍为为等等比比数数列列其其公公比比为为、 .323121 nnnaaaaaa、4、等比数列所有奇数项符号相同；所有偶数项符、等比数列所有奇数项符号相同；所有偶数项符号相同。号相同。二、等比数列的

9、性质二、等比数列的性质,1qpnmNqpnm 且且、若、若qpnmaaaa则三、判断等比数列的方法三、判断等比数列的方法定义法:）且无关的数或式子是与0,(1qnqaann)0(211nnnaaa中项法:三个数a,b,c成等比数列2bac第十二页，课件共25页1.定义定义2.公比公比(差差)3.等比等比(差差)中项中项4.通项公式通项公式5.性质性质(若若m+n=p+q)daann 1q不可以不可以是是0,d可以可以是是0等比中项等比中项abG 等差中项等差中项baA 211 nnqaadnaan) 1(1 qpnmaaaa qpnmaaaa mnmnqaa dmnaamn)( 等差数列等差数

10、列qaann 1 等比数列等比数列第十三页，课件共25页第十四页，课件共25页例2：根据下面的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式。这个数列是等比数列吗？开始A=1N=1输出AN=N+1A=A*(1/2)N 5？结束a1=1 ，n=1 输出：a1=1 n=1+1=2 ，a2=a1*(1/2) 输出：a2=a1*(1/2)n=2+1=3 ，a3=a2*(1/2) 输出：a3=a2*(1/2)n=3+1=4 ，a4=a3*(1/2) 输出：a4=a3*(1/2)n=4+1=5 ，a5=a4*(1/2) 输出：a5=a4*(1/2)n=5+1=6 结束第十五页，课件共25页例例3在在4

11、与与 之间插入之间插入3个数，使这个数，使这5个数成等个数成等比数列，求插入的比数列，求插入的3个数。个数。 41解：依题意，解：依题意，a1=4， 514a 由等比数列通项公式得由等比数列通项公式得 451116aqa所以所以 12q 因此插入的因此插入的3个数依次是个数依次是2，1 ，21 或或2，1， 21第十六页，课件共25页n2n3n6是n）21(n)31(n)61(是第十七页，课件共25页探究探究对于例中的等比数列与，数列也一定是等比数列吗？ na nbnnba是第十八页，课件共25页 2、在等比数列、在等比数列 中，中， ，求该数列前七项之积。，求该数列前七项之积。 nb34b

12、3、在等比数列、在等比数列an中中, , ,求求a8.22a545a1、在等比数列、在等比数列an中，中，已知已知 , ,求求51a100109aa18a练习：练习：第十九页，课件共25页4、若等比数列、若等比数列an, a4=1, a7=8,则则a6与与a10的等比中项是的等比中项是_.165、若等比数列、若等比数列an中中,若已知若已知a2=4,a5= ,求求an; 若已知若已知a3 a4a5=8,求求a2a6的的值值.21练习：练习：第二十页，课件共25页6、有三个数成等比数列，若它们的积等有三个数成等比数列，若它们的积等于于64，和等于，和等于14，求此三个数？，求此三个数？7：有四个

13、数，若其中前三个数成等比数列，有四个数，若其中前三个数成等比数列，它们的和等于它们的和等于19，后三个数成等差数列，后三个数成等差数列，它们的和等于它们的和等于12，求此四个数？，求此四个数？练习：练习： 1238.,7,naaaa已知等比数列若.321, 8naaaa求求 第二十一页，课件共25页9数列数列1，37，314，321，中，中，398是这个数是这个数列的（列的（ ）（A）第）第13项项 （B）第）第14项项 （C）第）第15项项 （D）不在此数列中）不在此数列中C10.若数列若数列an是等比数列，公比为是等比数列，公比为q，则下列命，则下列命题中是真命题的是（题中是真命题的是（

14、）（A）若）若q1, 则则an+1an （B）若）若0q1, 则则an+1an（C）若）若q=1, 则则Sn+1=Sn （D）若）若1q0, 则则D第二十二页，课件共25页11在在2与与6之间插入之间插入n个数，使它们组成等比数列，个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为（则这个数列的公比为（ ）（A） （B） （C） （D）n3n3113n23nC12若若x, 2x+2, 3x+3是一个等比数列的连续三项，是一个等比数列的连续三项，则则x的值为（的值为（ ）（A）4 （B）1 （C）1或或4 （D）1或或4A第二十三页，课件共25页13三个正数三个正数a,b,c成等比数列，且成等比数列，且 a+b+c=62, lga+lgb+lgc=3, 则这三个正数为则这三个正数为 . 50，10，2或或2，10，5014在正项数列在正项数列an中，中，(an+3)2=an+1an+5, 且且a3=2, a11=8, 则则a7= .4第二十四页，课件共25页15.首项为首项为3,末项为末项为307