7第七章直线和圆的方程

1、第七章直线和圆的方程一、考点精要解读 本章知识是解析几何的基础，主要包括直线方程、两条直线的位置关系、简单线性规划、曲线和方程、圆的方程等五个方面的内容.其中简单线性规划是新教材新增内容，应引起足够重视，求曲线的方程是本单元的难点，直线方程和圆的方程是复习的重点.在近十年的高考中，对本章内容的考查主要分两部分： 1、以选择题题型考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，但每年必考，考查内容主要有以下几类：（1）与本章概念（倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等）有关的问题；（2）对称问题（包括关于点对称，关于直线对称） ；（3）与圆的位置有关的问题，其常规方法是研究圆心到直线的距

2、离.2、以解答题考查直线与圆（圆锥曲线）的位置关系，此类题综合性比较强，难度也较大.二、高考命题趋势鉴于本章的知识结构和在教材中所处的地位，预计在今后的高考中，对本章的考查会保持相对稳定，题型仍然以选择题、填空题为主打，但也不排除直线与圆的综合解答题.重点考查内容也不会有太大的变化，难度仍将定格在中、低档.除以往常考知识点外，简单线性规划问题可能成为考查的一个新的热点.高考复习指导本单元内容在高考中处于比较稳定的状态，复习备考时应注意以下几点：1、注重概念的理解，重视中低档题的训练，确保选择题、填空题的成功率.本章所涉及的知识都是平面解析几何中最基础的内容，它们渗透到平面解析几何的各个部分，正

3、是它们构成了解析几何问题的基础，又是解决这些问题的重要工具之一.这就要求我们必须重视对“三基”的学习和掌握，重视基础知识之间的内在联系，注意基本方法的相互配合，注意平面几何知识在解析几何中的应用，注意挖掘基础知识的能力因素，提高通性通法的熟练程度，着眼于低、中档题的顺利解决.2、在解答直线的问题时，应特别注意以下两个方面：（1）直线方程的各种形式都有其局限性，要灵活选择，并注意分情况讨论.（2）对于线性规划问题，一般题设条件较多，要善于在可行域中寻找最优解，并注意其在代数问题中的应用.3、加强思想方法训练，不断提高综合能力.（1）平面解析几何的核心是坐标系，它需要运用运动变化的观点，运用代数的

4、方法研究几何问题，因此解析几何问题无论从知识上还是研究方法上都要与函数、方程、不等式、三角及平面几何内容相联系.在对本章复习中，应注意培养用坐标法分析问题观点，养成自觉运用运动变化的观点解决问题的能力，加强与正比例函数、一次函数等知识的联系，善于运用函数的观点方法处理直线方程问题.（2）数形结合和方程观点是贯穿本单元始终的重要数学思想方法，复习时应认真体会.特别要提到的是在解与特殊二次曲线 “圆”有关的问题时，若能充分利用圆的丰富的几何性质，问题的解决往往简捷生动.三、典型例题分析 【例 1】 ABC 的顶点为 A（1，4）, B，C 的平分线所在直线方程分别是 l1 y+1=0 与l2x+y

5、+1=0，求 BC 边所在的直线方程.【分析】 由角的平分线的性质知 A 关于B 的平分线的对称点应在 BC 上，关于C 的平分线对称点也在 BC 上，而 A 关于这两直线的对称点易求，由两点式可确定 BC 边所在的直线方程.解： 由角平分线的对称性，知 A（1，4）关于直线 y+1=0 的对称点 A1（x1,y1）应在 BC 上.易知 x1=1，y1=2 即 A1（1，2）.同理，A（1，4）关于 x+y+1=0 的对称点 A2（x2,y2） ，也在直线 BC 上，由轴对称条件，有 41,11410,22yxxy 2222 即 A2（3，0） 223,0,xy A1，A2均在 BC 边所在直

6、线上，由两点式得 BC 边所在直线方程为：x+2y3=0.【例 2】 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示，每张钢板的面积情况是：第一种为 1，第二种为 2，今需要 A、B、C 三种规格的钢板成品 12、15、27 块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格的成品，且所用钢板面积最小。规格类型钢板类型A 规格B 规格C 规格第一种钢板121第二种钢板113【分析】 解答线性规划实际问题时，首先根据已知条件列出约束条件和目标函数，最后还应注意问题的实际意义，此题中钢板的张数应为整数，因此求出最优解不是整数时，应合理调整，求出整点.

7、解： 设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张，所用钢板面积为z.12,215,2 .327,0,0,xyxyzxyxyxy作出以上不等式组表示的可行域（如图 7-1）.作直线： l：x+2y=0 并向右上方平移至 l的位置时，经过可行域上的点 M，并且离原点最近，此时 z 有最小值.由 得 M（4.5，7.5）12327xyxy 最优解（x,y）中的 x,y 必须为整数. （4.5，7.5）不是最优解.而当知直线 x+2y=z 通过可行域内的（4，8）点时，z 有最小值， zmin=4+28=20故应截第一种钢板 4 张，第二种钢板 8 张，可得所需三种规格的钢板，且使用钢板面积最小.【

8、例 3】 已知圆 x2+y2x6y+m=0 和直线 x+2y3=0 交于 P、Q 两点，且 OPOQ（O 为原点） ，求该圆的圆心坐标及半径.【分析】 本题的目标是求出 m 的值，根据曲线交点的意义，利用“设而不求”的方法，将条件“OPOQ”化为关于 m 的方程求解.解： 由 x+2y3=0 得 x=32y，代入圆的方程 x2+y2x6y+m=0 中，并整理得 5y216y+6+m=0.O1212xlx+y=12图图 7-1y设 P、Q 两点的坐标分别为（x1,y1） 、 （x2,y2） ，则 y1+ y2=，y1 y2=.又 x1=32y1，x2=32y2，16565m所以 x1x2=（32

9、y1） （32y2）=96（y1+ y2）+4 y1 y2=. OPOQ，所以4275m12121,yyxx 即 x1x2+ y1 y2=0，即+=0，解得 m=. 所以所求圆的方程为 x2+y2x6y+=0，4275m65m215215即（x）2+（y3）2 = ，故圆心坐标为（，3） ，半径为.12101201250510【例 4】 已知点 A（1，0） ，B（2，0） ，动点 M 满足要求 2MAB=MBA，求点 M 的轨迹方程。【分析】 将条件 2MAB=MBA 转化为直线 MA、MB 的斜率关系式，可得点 M 的轨迹方程.求解时要注意轨迹的完备性和纯粹性.解：设 M（x,y） ，MA

10、B=，MBA=2（1）当 M 点在 x 轴上方时，90，如图 7-2，tan1MAykx，tan(2 )2MBykx =tan(2 )tan2 22tan1tan将代入上式，注意到tan1yx| MA | | MB |，222121(1)yyxyxx化简得 y=0 或（x1，y 0）.2213yx 又当MBA=90时，MBA 为等腰直角三角形，点 M（2，3）经验证也在曲线上.（2）当点 M 为线段 AB 内分点时，满足MBA=2MAB y=0 且1x2 是点 M 轨迹的一个方程.（3）当点 M 在 x 轴下方时，MBA 为直线 MB 的倾斜角，直线 MA 的倾斜角为 MAB，同理，可得上述方

11、程.综上，所求点 M 的轨迹方程为（x1）和 y=0（1x2）.2213yx 【例 5】 已知圆 C：（x1）2+（y2）2=25 及直线 l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（mR R）.（1）证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆 C 恒相交；（2）求直线 l 被圆 C 截得的弦长最短长度及此时的直线方程.【分析】 若能从过定点直线系的角度去观察直线 l，则本题的求解即可打破常规。说明定点在圆内可解问题（1） ，利用垂径定理探求出 l 的位置，问题（2）易解.解： （1）直线 l 的方程写成 x+y4+m（2x+y7）=0.解方程组40,3,2701xyxxyy得xyMA OB图

12、图 7-2 直线 l 恒过定点（3，1） ，又（31）2+（12）2 = 5 25，又 点（3，1）在圆 C 内，不论m 为何实数，直线 l 与圆恒相交.（2）从（1）的结论知直线过定点 M（3，1）且与此点的圆 C 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长| AB |最短，由垂径定理知| AB |=22222|2 25 (3 1)(12) 4 5.rCM此时从而，1,lCMkk 21122 111 3mm m=，代入得直线 l 的方程为 2xy5=0.34【例 6】 在 ABC 中，BC 边上的高 AD=12，A 的平分线 AE=13，设 BC 边上的中线 AF=m，问 m 在什么范围内取值时，A

13、分别为锐角、直角、钝角.【分析】 本题从表面上看，似乎与直线方程无关，是一道纯平面几何计算问题，但用坐标方法去解决，则别具特色.因直线 AB 与 AC 关于直线 AE 对称，当且仅当BAE ）45时，A ）90.因此，若取直线 AE 为 x 轴，点 A 为原点建立坐标系，则当且仅当 0 kAB ）1 时，A 分别为锐角（直角或钝角）.解：如图 7-3 所示，以BAC 的平分线 AE 为 x 轴，A 点为原点，建立直角坐标系，设BAE=. AD=12，AE=13， DE=5，, kBC=.12tan5AED125直线 BC 的方程为 y=（x13） ， 125设直线 AB 的方程为 y=kx，

14、则直线 AC 的方程为 y=kx， 其中.tank由、解得、，12 13 12 13(,)125125kBkk12 1312 13(,)125125kCkk则中点 F（xF,yF）为，.222121312(5 )Fxk22260 1312(5 )Fkyk| AF |=m=.2422212 13 122514425FFkxyk当且仅当 k=1 时，A 为直角，此时；2028119m 当 0 k 1 时，A 为锐角，此时 13 m 1 时，A 为钝角，此时 m .2028119四、高考名题精析 【例 1】 （1998 年上海）设 a、b、c 分别是 ABC 中A、B、C 所对边的边长，则直线sin

15、A x+ay+c=0 与 bxsinBy+sinC=0 的位置关系是（ ）A平行 B重合 C垂直 D相交但不垂直【精析】 本题主要考查两直线位置关系的基本知识。可通过探求两直线斜率间的关系直接判定，xyO(A)BFDCm1213E图 7-3求解时要注意运用三角形的边角关系.解： 因为 a、b、c 是 ABC 三条边的长，所以 a0、b0、c0. 由 sinx+ay+c=0 得 y=. 由 bxsinBy+sinC=0 得.显然，且sinAcaaxsinsinsinbCyxBB12sinA()()asinbkkB . 由正弦定理得. 故=1. 故两直线互csinasinCBab=sinAsinB

16、12sinA()()asinbkkB sinAa()()asinB相垂直，应选 C.【例 2】 （1997 年全国）如果直线 l 将圆 x2+y22x4y=0 平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是（ ）A0，2 B0，1 C0， D1210, )2【精析】 本题考查圆的标准方程，直线的斜率以及逻辑推理能力. 注意到直线过圆心，然后数形结合解答本题直观明了.解：圆的标准方程为：（x1）2+（y2）2=5. 圆过坐标原点. 直线 l 将圆平分，也就是直线 l 过圆心 C（1，2） ，从图 74 看到：当直线过圆心与 x 轴平行时，或者直线同时过圆心与坐标原点时都不通过第四象限，并

17、且当直线 l 在这两条直线之间变化时都不通过第四象限. 当直线 l 过圆心与 x 轴平行时，k=0，当直线 l 过圆心与原点时，k=2. 当 k0，2时，满足题意，故选 A.【例 3】 （2002 年全国）已知点 P 到两个定点 M（1，0） ，N（1，0）的距离比为，点 N2到直线 PM 的距离为 1，求直线 PN 的方程.【精析】 本题主要考查直线的方程、点到直线距离公式、两点间距离公式等基本知识，考查用方程思想解决问题的能力. 为求 PN 的方程，可利用题中两个独立的条件求 P 的坐标，在表达直线 PN 时，借助图形用点斜式较好.解： 设点 P 的坐标为（x，y） ，由题设有，|2|PM

18、PN即.2222(1)2(1)xyxy整理得 x2+y26x+1=0. 因为点 N 到 PM 的距离为 1，| MN|=2，所以PMN=30，直线 PM 的斜率为，33直线 PM 的方程为 y=（x+1）. 33将式代入式整理得 x24x+1=0.解得 x1=2+，x2=2.33代入式得点 P 的坐标为（2+，1+）或（2，1+） ；（2+，1）333333或（2，1）.33直线 PN 的方程为 y=x1 或 y=x+1.【例 4】 （1997 年全国）设圆满足：（1）截 y 轴所得弦长为 2；（2）被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3：1.在满足条件（1） 、 （2）的所有圆中，求圆心到

19、直线 l：x2y=0 的距离最小的圆的方程.xyOllC图 74【精析】 本题考查了圆的方程，函数与方程，求最小值问题，进一步考查了待定系数法，函数与方程的思想. 解题时首先由条件（1）得到关系式，然后再利用代数方法求得圆心到直线 l 的距离的最小值时的圆心的坐标，求解时注意圆的几何性质的运用.解：如图 75 所示，设所求圆的圆心为 P（a,b） ，半径为 r，则P 到 x 轴、y 轴的距离分别为| b |、| a |.由题设圆 P 截 x 轴所得劣弧所对圆心角为 90，圆 P 截 x 轴所得弦长为，故 r2=2b2，2r又圆 P 截 y 轴所得弦长为 2，所以有 r2=a2+1,从而有 2b

20、2a2=1 又点 P（a,b）到直线 x2y=0 的距离为,|a2 |5bd所以 5d2=|a2b|2=a2+4b24aba2+4b22（a2+ b2）=2 b2a2=1当且仅当 a=b 时上式等号成立，此时 5d2=1. 从而 d 取得最小值，由此有 解方程得22a=b2b -a =1 由于 r2=2b2，知，r=，a=1,a=1,b=1,b1, 或2于是所求圆的方程为（x1）2+（y1）2=2 或（x+1）2+（y+1）2=2 .【例 5】 (1994 年全国)已知直角坐标平面上点 Q（2，0）和圆 C：x2+ y2=1，动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数 （ 0）.求动点

21、 M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.【精析】 本题考查曲线与方程的关系、轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.求轨迹方程时采用代入法，说明曲线时注意分类讨论.解：如图 7-6 所示，设直线 MN 切圆于 N，则动点 M 组成的集合是：P=M | | MN| =| MQ |，（0 为常数）因为圆的半径| ON | =1，所以| MN |2=| MO |2| ON |2=| MO |21.设点 M 的坐标为（x,y） ，则22221(2)xyxy整理得（21） （x2+ y2）42x+（1+42）=0当 =1 时，方程化为 x=，它表示一条直线，该直线与 x 轴垂直，交 x 轴于

22、点（，0） ；5454当 1 时，方程化为它表示圆心在，半径为的222222221 3()1(1)xy222(,0)1221 3|1|圆.五、学生思维体操xyOPl图 7-5xyOQN图 7-6基础巩固训练1、 （2001 年上海春）若直线 x=1 的倾斜角为 ，则 （ ）A等于 0 B等于 C等于 D不存在422、 （1995 年全国）图 7-7 中的直线 l1、l2、l3的斜率分别为 k1、k2、k3，则（ ）Ak1k2k3 Bk3 k1k2 Ck3 k2 k1 Dk1 k30）为两定点，动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值 a（a0） ，求 P 点的轨迹.创新思维训练1

23、、 （2003 年北京春）在直角坐标系 xOy 中，已知 AOB 三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则 AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）A95 B91 C88 D752、已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元，而 4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元，则 2 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格比较结果是（ ）A2 枝玫瑰价格高 B3 枝康乃馨价格高C价格相同 D不确定3、已知两点 A（1，1） ，B（3，3） ，P 是 x 轴上的一个动点，那么使APB 最大的点的 P 的坐标是_.4、 （2002 年北京）已知

24、P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点，PA，PB 是圆 x2+y22x2y+1=0 的两条切线，A、B 是切点，C 是圆心，那么四边形 PACB 面积的最小值为_.5、已知与C：x2+y22x2y+1=0 相切的直线 l 交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，O 为坐标原点，且| OA |=a，| OB |=b（a2，b2）. （1）求证：直线 l 与 C 圆相切的条件是（a2） （b2）=2； （2）求线段 AB 中点的轨迹方程； （3）求 AOB 的面积的最小值.6、已知点 A（3，1） ，在直线 xy=0 和 y=0 上分别有点 M 和 N，使 AMN 周长最短，求点 M、N 的坐标.

25、7、设有半径为 3km 的圆形村落，A、B 两人同时从村落中心出发，A 向东，而 B 向北直进，A 出村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与 B 相遇. 设 A、B 两人的速度都一定，其比为 3：1，问 A、B 两人在何处相遇？8、 （1999 年全国）如图 7-8，给出定点 A（a,0） （a0）和直线 l：x=1. B 是直线 l 上的动点，BOA的角平分线交 AB 于点 C. 求点 C 的轨迹方程.xyOBAlC图 7-8第七章 直线和圆的方程参考答案基础巩固训练1、C 点拨： 直线 x=1 垂直于 x 轴，其倾斜角为 90.2、D 点拨：直线 l1的倾斜角 1

26、是钝角，故k13，所以k2k30，因此k2k3k1.3、B 点拨：直线（）x+y=3 的斜率k1=，直线 x+（）y=2 的斜率322323k2=+ k1k2=（） （+）=1.3223324、D 点拨：设到坐标轴距离相等的点为（x,y） |x|=|y| |x|y|=0.5、A 点拨：先解得圆心的坐标（1，0） ，再依据点到直线距离的公式求解.6、B 点拨：由方程（x+）2+（y）2=422 如图所示，故圆关于 y=x 对称. 7、C 点拨：设圆周心 C 的坐标为（a,b） ，半径为 r，因为圆心 C 在直线 x+y2=0 上， b=2a. 由|CA|=|CB|，得（a1）2+（b+1）2=（

27、a+1）2+（b1）2，解得 a=1,b=1 因此所求圆的方程为（x1）2+（y1）2=4.8、C 点拨：将两圆方程分别配方得（x1）2+ y2=1 和 x2+（y2）2=4，两圆圆心分别为 O1（1，0） ，O2（0，2） ，r1=1，r2=2，|O1O2|=，又 1=r2r1 r1+ r2=3，故两圆相交.2212559、B 点拨：圆心坐标为（0，0） ，半径为 1. 因为直线和圆相切，利用点到直线距离公式得： =1，即 a2+b2=c2. 所以| a |、| b |、| c |为边的三角形是直角三角形.22|cdab10、C 点拨：设可配 A、B 分别为 x，y 剂，有，z=x+2y（z

28、 为销售额） ，解方程25205425xyxy25205425xyxy 17y=50 y=，x=2.5，取整点 x=2，y=3 代入上述不等式满足，则 z=12+23=8.501711、60 解析：因为直线y=x+3 的倾斜角为60，而y=1 与x 轴平行，所以y=1 与y=x+3 的夹角33为60.12、 （x+2）2+（y3）2=4 解析：圆与 y 轴相切，故圆的半径是 2.13、x+y4=0 解析： 已知圆的方程为（x2）2+y2=9，可知圆心 C 的坐标是（2，0） ，又知 AB 弦的中点是 P（3，1） ，所以，而 AB 垂直 CP，所以. 故直线 AB 的方程是1 0132CPk1

29、ABk xyOl6 题图x+y4=0.14、2 解析： 圆心到直线的距离 d=,|348|35 动点 Q 到直线距离的最小值 dr=31=2.15、解析：（1）若=0，则直线方程为 x=p， 倾斜角为.2 （2）若0，则由,sin0,22 此时，直线方程可化为，( cot)sinpyx ,cottan()2k 且0，,sin0,220222且 故直线的倾斜角为.216、解析：两平行直线之间的距离为.22|8( 7)|334 设所求直线与两平行线的夹角为，则 sin=，3223 2 . 设所求直线的斜率为k，则，解得 k=7 或 k=，故所求直线的方程为43()4131()4kk 177x+y1

30、7=0 和 x7y+19=0.17、解析：若 m=1，l1：x=4，l2：x=，此时 l1l2.13 若 m1，l1：y= l2：y=411mxmm332(1)2(1)xmm 则即 m=时，l1l2.312(1)412(1)mmmmmm32 当 即 m时，l1与 l2相交.312(1)mmm32 综上所述可知当 m=1 或 m=时，l1l2. 当 m1 且 m时 l1与 l2相交. 不存在 m 使3232l1、l2重合.18、解析： 不等式 y| x+1 |1 可化为 yx（x1）或 yx2（x1） ；不等式 y| x |+1 可化为 yx+1（x0）或 yx+1（x0）.在平面直角坐标系内作

31、出四条射线 AB：y=x（x1） ，AC：y=x2（x1） ，DE：y=x+1（x0） ，DF：y=x+1（x0） ，则不等式组所表示的平面区域如图所示，由于 AB 与 AC、DE 与 DF 互相垂直，所以平面区域是一个矩形，根据两条平行线之间的xyOACDB18 题图距离公式可得矩形的两条边的长度分别为，所以其面积为.23 222和3219、解析：设圆心坐标为（a,2a） ，则圆心到直线 xy=0 的距离为,|a2a|a |a2d由，解得 a=2，222|a |()(2 2)( 10)2所以所求圆的方程为（x2）2+（y4）2=10 或（x+2）2+（y+4）2=1020、解析：设重心 G（

32、x,y） ，A（x1,y1）则 即11113 13863xxyyyx 11113432xxyyyx3x+4=3y2 即 xy+2=0.BC 边所在直线方程为 7x+y+13=0，由.771301313,88xAyx得133 115815 138,138 8861838xGy 所以所求重心的轨迹方程为 xy+2=0.除去点.15 1,8 8能力提高训练1、B 点拨：如图，直线 2x+3y6=0 过点 A（3，0） ，B（0，2） ，直线 l 必过点（0，） ，当直线过3A 点时，两直线的交点在 x 轴，当直线 l 绕 C 点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果。xyOBAl1 题图2、C

33、 点拨：圆 2x2+2y2=1 的圆心为原点（0，0） ，半径 r 为，圆心到直线 xsin+y1=0 的距离为：22.22|1|1sin1sin1d R, +k，kZ.2 0sin21 且 x06） ，则直线 PQ 的方程为 y4= 令0044(6).6xxxy=0 得点 M 的坐标为.设 OMP 的面积为 S，则 S=|OM|4x0=，005,1Mxxx005(,0)1xx 12200101xx 即.x0R，关于 x0的一元二次方程有实根，所以 =S240S0，即 S40.200100 xS xS当 S=40 时，x0=2，4x0=8，点 Q 的坐标为（2，8） ，而当 x0=6 时，点

34、Q（6，24） ，此时S=624=7440，不合要求.故当点 Q 坐标为（2，8）时，OMQ 的面积最小，且最小值为 40.1210、解析：设动点 P 的坐标 P（x,y）. 由化简，2222( +c)|a(a0),a,|()xyPAPBxcy得 得：（1a2）x2+2c（1+ a2）x+c2（1a2）+（1a2）y2=0.当 a1 时，得整理得：222222 (1a )0.1 acxxcyxyAOBBA8 题图yxOQPM9 题图.2222221a2a()()a1a1cxcy当 a=1 时，化简得 x=0.所以当 a1 时，P 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；22a1(,0)a1c22aa

35、-1c当 a=1 时，P 点的轨迹为 y 轴.创新思维训练1、B 点拨：将 x=0，y=0 和 2x+3y=30 所围成的三角形补成一个矩形，如图所示. 对角线上共有 6 个整点，矩形中（包括边界）共有 1611=176. 因此所求 AOB 内部和边上的整点共有=91（个）.176622、A 点拨：设每枝玫瑰的价格为 x 元，每枝康乃馨的价格为 y 元，则 （x,yR+）.63244522xyxy 由此不等式确定的平面区域是顶点 A（3，2） ，B（4，0） ，C（5，0）的三角形区域. 目标函数u=2x3y 在 A 点取值为 0，由 y=（xu）知此直线向右平移时，u 增大. 故 u0，即

36、2x3y.2312123、 （） 点拨：点坐标为（x0,0） ，则，6,0033PBkx011PAkx所以，等号成立的条件是000000131322tan3612 6414(1)(3)PAPBPAPBxxkkAPBkkxxxx，即.0006(0)xxx06x 4、2 点拨：点 P 在直线 3x+4y+8=0 上，如图所示，2设 P（x,2） ，C 点坐标为（1，1） ，S四边形34xPACB=2SPAC=2|AP|AC|=|AP|AC|=|AP|.12|AP|2=|PC |2|AC|2=|PC |21.当| PC |最小时，|AP|最小，四边形 PACB 的面积最小.| PC |最小值即为 C 到直线 3x+4y+8=0 的距离，C（1，1） ， | PC |=.|348|3,2 25PACDSyxOABC1 题图yxOABCl4x+5y=222x+y=82 题图yxOPBCA4 题图5、解析：（1）直线 l 的方程为，即