等比数列求和公式及性质

1、等比数列求和公式及性质第一页，课件共25页等差数列等比数列定义 通项公式等差（等比）中项下标和公式2abab1nnaqaSnSn=1()2naan1(1)2nn nSnad？anan-1=d(n2)(n2)an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)dan=a1qn-1(q0)an=amqn-mA=G=若m+n=p+q,则am+an=ap+aq若m+n=p+q,则aman=apaq第二页，课件共25页问题提出问题提出 小林和小明做小林和小明做“贷款贷款”游戏，规定：在一月（游戏，规定：在一月（30天）中小明天）中小明第一天贷给小林第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林万元，第二天贷给小林2万元

2、万元以后每天比前以后每天比前一天多贷一天多贷1万元万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二分钱，第二天还天还2分钱，第三天还分钱，第三天还4分钱分钱以后每天还的钱是前一天的以后每天还的钱是前一天的2倍，倍，試计算試计算30天后两人各得的钱数天后两人各得的钱数.设小林设小林30天得到的钱数天得到的钱数T30)465(万元23030)(130321T30（分）22221S293230设小明设小明30天得到的钱数天得到的钱数S 30第三页，课件共25页引入新课302S即23293022222 .(2)30S) 1 (.222212932同学们考虑如何求出这个

3、和？同学们考虑如何求出这个和？302S).22221 (22932303021 S1073.741万元万元分1073741823123030S这种求和的方法,就是错位相减法!301 230302SS第四页，课件共25页推导公式推导公式等比数列前等比数列前n项求和公式项求和公式已知：已知：等比数列等比数列 an， a1， q， n求：求：Sn解：解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + +an qsn=(1-q)Sn=a1-a1qna1q a1q23a1qn-1=a1+a1q + + + +作作减减法法23111111nna qa qa qa qa q1(1)1nnaqSq若：q1若q=1,1

4、nSnaSn=n a1(1-q )1-q(q=1)(q=1)na1第五页，课件共25页6(一) 用等比定理推导第六页，课件共25页71)(q(二）公式推导第七页，课件共25页).1( ,1),1( ,111qqqaaqnaSnn于是).1( ,1) 1( ,11qqqaaqnaSnn时已知nqa, 1时已知naqa, 1等比数列前等比数列前n项求和公式项求和公式通项公式通项公式:an=a1qn-1第八页，课件共25页等比数列的前n项和例题解解: 例例5（1） 求等比数列求等比数列 的前的前10项项的和的和.,81,41,211，10,21, 11nqa21121111010S.5121023q

5、qaSnn1)1 (1第九页，课件共25页（2）已知等比数列）已知等比数列 a an n 中，中，a a1 1=2,q=3,=2,q=3,求求S S3 3263-13-12233）（）解（S例例6 五洲电扇厂去年实现利税五洲电扇厂去年实现利税300万元，万元，计划在计划在5年中每年比上年利税增长年中每年比上年利税增长10%，问从今年起第问从今年起第5年的利税是多少？这年的利税是多少？这5年年的总利税是多少？（结果精确到万元）的总利税是多少？（结果精确到万元）第十页，课件共25页 1解 每年的利税组成一个首项a300，公比q1 10%的等比数列.从今年起,第5年的利税为:55561aa q300

6、 (1 10%)300 1.1483(万元)这5年的总利润为:552a (q1)1.11S300 1.12015(万元)q 11.1 1等比数列的前n项和例题第十一页，课件共25页等比数列的前n项和练习11. 根据下列条件，求相应的等比数列根据下列条件，求相应的等比数列 的的 nanS;6,2,3)1(1nqa;5,5.1,4.2)2(1nqa;5,21,8)3(1nqa.6,31,7.2)4(1nqa.18921)21(366 S.433)5.1(1)5.1(14.255 S.231211211855 S.40913113117.266 S第十二页，课件共25页等比数列的前n项和练习2-32

7、. 求等比数列求等比数列 1，2，4，从第从第5项到第项到第10项的和项的和. ,2, 11qa解：,21,231qa解：.1521)21 (144S.102321)21 (11010S.1008151023410SS从第从第5项到第项到第10项的和项的和: 3. 求等比数列求等比数列 从第从第3项到第项到第7项的和项的和. ,83,43,23.1283812112112377 S从第从第3项到第项到第7项的和项的和:.1281534912838143237S第十三页，课件共25页142、求数列、求数列1，x，x2，x3，xn，的的前前n项和。项和。1、等比数列、等比数列1，2，4，8，从第从

8、第5 5项到项到第第1010项的和为项的和为S21212121410410SS21212116465qqaS)1()1()1(22nnyxyxyx3、求和：、求和：第十四页，课件共25页第十五页，课件共25页1._2._3.:4.nnnnnaaanSa定义：为等比数列通项公式：推广：前 项和公式重要结论：若是等比数列1nnaa常数11nnaa qn mma q11(1)(1)1(1)naqqqna qnnakq第十六页，课件共25页（2）,mnpq若mnpqaaaa则（1）n mnmaaqn mnmaqaq求（3）若数列 是等比数列，则 也是等比数列 na23243,kkkkkkkS SS S

9、SSSkqq （4）等比数列an的任意等距离的项 构成的数列仍为等比数列第十七页，课件共25页等比数列判定方法：等比数列判定方法：（1 1）定义法：）定义法：（2 2）递推公式法：）递推公式法：（3 3）看通项法：）看通项法：（4 4）看前）看前n n项和法：项和法：1nnaa常数211nnnaaannakqnnSkkq第十八页，课件共25页例 一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度,都是它在前一分钟上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意， 得 an+1=4/5an因此，数列an是首项a1=25

10、,公比q=4/5的等比数列热气球在n分时间里上升的总高度.125125)54(11251)1 (121mqqaaaaSnnnn不可能超过这个热气球上升的高度答第十九页，课件共25页练习3：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项解：设这个等比数列的第1项是 ，公比是 ，那么1aq23316181213121qaqaqa82331612qaa答：这个数列的第1项与第2项分别为 与 8316消元消元第二十页，课件共25页练习、求和练习、求和231(1)nnaaaaa 22111(2).()()()(0,1,1)nnxxxyyyxxy分析：解：（1）该数列为等比数列，记为a

11、n，其中a1=a,q=a当q=1时,Sn=na当q1时,Sn=(1)1naaa第二十一页，课件共25页（1）如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它前15项的和等于多少？练习练习: :第二十二页，课件共25页思考：求和：.nnnS2164834221为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.）设，其中为等差数列，nnnnna212 nn2121（提示：第二十三页，课件共25页你能登上你能登上月球吗月球吗?能能?! 只要你把你手上只要你把你手上的纸对折的纸对折38次我就次我就能沿着它登上月球。能沿着它登上月球。哇哇M=1+2+4+8+2 （页）页）37列式：列式：第二十四页，课件共25页2.2.灵活运用等比数列求和公式进行求和，求和时注灵活运用等比数列求和公式进行求和，求和时注意公比意公比q q1.1.等比数