第二章第二节矩阵的运算

1、、矩阵的加法的定义、矩阵的加法的定义 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA2211222222212111121211112.2 矩阵运算矩阵运算设有两个设有两个 矩阵矩阵 那么矩阵那么矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为nm ,bB,aAijij ABBA 一一.矩阵的线性运算矩阵的线性运算说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算行加法运算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 ;1ABBA .

2、2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 ., 04BABAAA ,ija .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A这表示同型零矩阵这表示同型零矩阵,并非数并非数0!.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 2.数与矩阵相乘的定义数与矩阵相乘的定义规规定定为为或或的的乘乘积积记记作作与与矩矩阵阵数数, AAA3572,A2043 ,0123例例如如 设设则则35723A3204301233 33 53 73 23 23 03 43 33 03 13 23 3915216601290369 ;1AA ;2AAA .3BABA 数乘矩阵的运算规律

3、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称为统称为矩阵的线矩阵的线性运算性运算. . 12,23.ABAB求求例例6 6解解201112,312215AB设设 12AB2 22 0212 32 122 112215402112624215310431 23AB313 13 2201323 13 5312 20133631263155379217例例7，满满足足如如果果矩矩阵阵XBAXX 22102,.1220ABX其其中中，求求解解BAXXBAX2122102112220X210122.121022二二.线性变换线性变换1212,mnyyyx xx设设变变量量

4、 均均可可表表示示成成变变量量 ,的的线线性性函函数数 即即11111221221122221122(1)nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax1,2,;1,2, )ijaim jn其其中中为为常常数数( (1212(1),.nmxxxyyy式式称称为为从从变变量量 线线变变量量 的的性性变变换换到到 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211系数矩阵系数矩阵给定了线性变换给定了线性变换,就确定了一个系数矩阵就确定了一个系数矩阵;反之反之,

5、若给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵若给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵,则则线性变换也就确定了线性变换也就确定了. nnxyxyxy,2211对应对应 100010001 单位阵单位阵. .若线性变换为若线性变换为 nnxyxyxy,2211称之为称之为恒等变换恒等变换. .对应对应单位阵单位阵E.E.例例:线性变换线性变换 .cossin,sincos11yxyyxx 对应对应 cossinsincos111222,nnnyxyxyx线性变换线性变换对应对应n阶对角矩阵阶对角矩阵12n、定义、定义 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1

6、njmi 并把此乘积记作并把此乘积记作.ABC 三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB注：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二注：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘. .4101031113.2102201134ABAB求求矩矩阵阵与与的的乘乘积积例例1解解41010311132102201134CAB

7、1 4 01 3 21 1 1 1 0 1 3 01 3 1 0 0 3 3 11 42 4 11 0 2 2 12 1 1 1 0 0 2 32 0 1 3 0 1 2 4 921.9911例例2222263422142 C22 16 32 816设设 415003112101A 121113121430B例例3 3?求两矩阵乖积求两矩阵乖积故故 121113121430415003112101ABC. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10注意注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才

8、能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘. 106861985123321例如例如 123321 132231 .10 不存在不存在.一个一个 1s 的行矩阵与一个的行矩阵与一个 s1 的列矩阵的乖积是一个的列矩阵的乖积是一个1阶方阵阶方阵,也就是一个数也就是一个数.例例4 1A2 ,B4,5,6 ,AB,BA.3 求求解解1 33 11AB24,5,63 3 31 41 51 62 42 52 63 43 53 6456810121215181 33 11BA4,5,623 1 14 15263 3232ABBA.显显然然不过不过,在有些情况下在有些情况下,也可能有也可能有ABBA例如例如12111

9、A,B,001xxx1121ABBA.0 xxxx不不难难验验证证一般地一般地,如果矩阵如果矩阵,A B的乘积与次序无关的乘积与次序无关,即即ABBA则称矩阵则称矩阵,A B可交换可交换.例例5 2424A,B,AB,BA.1236设设求求解解2 22 22424AB12362 216328162 22 22424BA36122 20000两矩阵都非零矩阵两矩阵都非零矩阵,而其乘积可能为零矩阵而其乘积可能为零矩阵.反过来反过来,若两矩阵乘积为零矩阵若两矩阵乘积为零矩阵,不能轻易得出不能轻易得出其中一矩阵为零矩阵的结论其中一矩阵为零矩阵的结论.ABAC,A0,BC.也也即即, ,当当且且当当时时

10、 一一般般情情况况下下不不能能推推出出、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律(满足结合律与分配律满足结合律与分配律) ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）; :E AAEA,EAAEA.mm nm nnm n容容易易验验证证简简写写成成EAA因因为为数数量量矩矩阵阵与与矩矩阵阵 的的乘乘积积等等于于数数 与与矩矩阵阵 的的乘乘积积E.数数量量矩矩阵阵与与任任何何同同阶阶方方阵阵都都是是可可交交换换的的四四.方阵的幂方阵的幂AAA,kk若若 是是n n阶阶矩矩阵阵, ,则则为为 的的 次次幂幂 即即AAAAA AA,(A )Akmk

11、m kmkmkk 个个并并且且(,)m k为为正正整整数数注意注意: 只有矩阵是方阵时只有矩阵是方阵时,它的幂才有意义它的幂才有意义.注意注意矩阵不满足交换律，即：矩阵不满足交换律，即：,BAAB .BAABkkk 如果如果AB=BA，称称A与与B是可交换的是可交换的。当。当A、B可可交换时，可得交换时，可得()kkkABA B11111221221122221122(1)nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax利用矩阵的乘法利用矩阵的乘法,线性变换线性变换可写成矩阵形式可写成矩阵形式:yAx11A(),x,yijnmxyaxy这这里里线性方程组线性方程组111

12、12211,21122222,1122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb可表示成可表示成Axb的形式的形式.其中其中A是方程组的系数矩阵是方程组的系数矩阵,1x,nxx1bmbb有了矩阵的乘法有了矩阵的乘法,可以将线性方程组简洁地表示可以将线性方程组简洁地表示成一个矩阵等式成一个矩阵等式.例如例如 , 线性方程组线性方程组12312322,4350 xxxxxx可写成可写成1231212.4350 xxx 方程组对应的系数矩阵方程组对应的系数矩阵变量变量,一般写成单列阵一般写成单列阵例例 已知两个线性变换已知两个线性变换113212331232,232,45,xyyxyyyxyyy 1122133233,2,3.yzzyzzyzz 123123zzzxxx求求从从 , , , 到到 , , , 的的线线性性变变换换. .解解 上述两个线性变换的矩阵分别为上述两个线性变换的矩阵分别为201310A232 ,B201 .415013 111222333x,y,z,xyzxyzxyz记记: