第二章矩阵及其运算

1、第二章第二章 矩阵运算矩阵运算第一节第一节 矩阵的概念矩阵的概念一一. 引例引例这四种产品的单价及单价重量也可列成矩阵：这四种产品的单价及单价重量也可列成矩阵：4241323122211211bbbbbbbbB其中其中 为第为第i种产品的单价，种产品的单价， 为第为第i种产品的数量。种产品的数量。1 ib2ib例例1：某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵：某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA其中其中 为工厂向第为工厂向第i店发送第店发送第j种产品的数量。种产品的数量。ija若令若令01ija，从，从i市到市到

2、j市有市有1单向航线，单向航线，从，从i市到市到j市没有单向航线。市没有单向航线。例例2：四城市间的单向航线（如下图），：四城市间的单向航线（如下图），1432则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为0101001000011110)(ijaA二、矩阵的定义二、矩阵的定义(1)1、矩阵、矩阵 由由 个数个数 排成的排成的 行行 列的数表列的数表nmmija), 2 , 1;, 2 , 1(njminmnmmnnaaaaaaaaaA212222111211称为称为 矩阵矩阵，简称，简称 矩阵。简记为矩阵。简记为 ，nmnm nmijaAija叫做矩阵的元素，位于叫做矩阵的元素，位于A的第的第 i

3、 行第行第 j 列，也称为列，也称为A的的 元，元， 矩阵矩阵A也记作也记作 。nm),(jinmA实矩阵实矩阵:元素是实数的矩阵元素是实数的矩阵.复矩阵复矩阵元素为复数的矩阵元素为复数的矩阵.注注：矩阵与行列式的区别：矩矩阵与行列式的区别：矩 阵阵 数表数表 行列式行列式 数值数值2、几种特殊的矩阵、几种特殊的矩阵零矩阵零矩阵：所有元素都为零的矩阵，即：所有元素都为零的矩阵，即000000000O行矩阵行矩阵：矩阵只有一行，即：矩阵只有一行，即 时，矩阵时，矩阵 称为称为行矩阵行矩阵或或行向量行向量。1mnaaaA,21 列矩阵列矩阵矩阵只有一列，即矩阵只有一列，即 时，时， 矩阵矩阵 称为

4、称为列矩阵列矩阵或或列向量列向量。1nnaaaA21方方 阵阵当矩阵的行数与列数相等，即当矩阵的行数与列数相等，即 时，矩阵时，矩阵 称为称为n阶矩阵或阶矩阵或n阶阶方阵方阵，也记作，也记作 。nm nnAnA单位阵单位阵对于对于n阶矩阵阶矩阵 ，若，若 nnEnnijaA)(jijiaij, 0, 1nnI100010001（或（或 ）111简写为简写为（即只有主对角线上的元素为（即只有主对角线上的元素为1，其余都为，其余都为0），）， 则称之为则称之为n阶阶单位矩阵单位矩阵，简称，简称单位阵单位阵。记作：。记作：对角阵对角阵 方阵方阵nA00000021（不在对角线上（不在对角线上 的元素

5、都是的元素都是0）称为称为n阶阶对角矩阵对角矩阵，简称对角阵，也记作，简称对角阵，也记作),(21ndiagA上（下）三角矩阵上（下）三角矩阵:若方阵主对角线的下（上）方元若方阵主对角线的下（上）方元 素都为素都为0,即：即：nnnnaaaaaaA22211211nnnnaaaaaaB21222111上三角矩阵上三角矩阵下三角矩阵下三角矩阵相等相等两同型阵两同型阵 和和 的对应的对应元素相等，元素相等， 即即 ， 记作记作: nmijaA)(nmijbB)(ijijba ), 2 , 1;, 2 , 1(njmiBA 同型矩阵同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等时。：两个矩阵的行数相等、列

6、数也相等时。 第二节第二节矩阵的线性运算与乘法运算矩阵的线性运算与乘法运算一、加法、数乘运算（线性运算）一、加法、数乘运算（线性运算）mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211mnmmnnbbbbbbbbbB2122221112111.加法加法：定义定义mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111简记为简记为nmijijbaBA相加条件：同型矩阵。相加条件：同型矩阵。 AOOAA 其中其中O为与为与A同型矩阵。同型矩阵。运算律：运算律：交换律交换律：A+B=B+A结合律结合律：（：（AB）C=A+（BC）2.数乘

7、数乘: 与与A相乘定义相乘定义mnmmnnaaaaaaaaaAA212222111211 简记为简记为nmijaAmnmmnnaaaaaaaaa212222111211结合律结合律：)()()(AAA（设（设A、B为为 矩阵，矩阵， 、 为数）为数）nm数乘运算律：数乘运算律：AAA)(BABA)(分配律分配律：负矩阵负矩阵记记 。nmijaAA) 1(0)(AAnmijijbaBABA) 1( 减法减法3.注记注记例例1设矩阵设矩阵 ， ， 201101A211012B求求BAC32解解21101232011012C633036402202235238二、两矩阵的乘法二、两矩阵的乘法1.定义

8、定义设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，即矩阵，即 ijaA ijbB smnsmsmmssaaaaaaaaaA212222111211snssnnbbbbbbbbbB212222111211则则A与与B之之积积为为mnmmnncccccccccABC212222111211其中其中即即乘积矩阵中的第乘积矩阵中的第 i 行第行第 j 列的元素等于第一个矩阵列的元素等于第一个矩阵的第的第 i 行与第二个矩阵的第行与第二个矩阵的第 j 列对应元素乘积之和列对应元素乘积之和。skkjiksjisjijiijbabababac122112.说明说明（1）左矩阵的列数等于右矩阵的行数左

9、矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两矩阵才能乘。时，两矩阵才能乘。例例2：求矩阵：求矩阵 与与20121301A431102311014B的乘积的乘积AB。解解 42ijaA 34ijbBA的列数与的列数与B的行数相等的行数相等（2）乘积矩阵的行数乘积矩阵的行数与第一个矩阵行数相等，与第一个矩阵行数相等， 列数列数与第二与第二个矩阵的列数相等。个矩阵的列数相等。 (3)矩阵乘法不满足交换律。矩阵乘法不满足交换律。20121301ABC431102311014119912942103102320011121220) 1(1424) 1(1330013) 1(0310111) 1(23) 1(041例

10、例3：求矩阵：求矩阵 与与2142A6342B的乘积的乘积AB及及BA。解解 22ijaA 22ijbBA、B的行、列数都相等，的行、列数都相等，63422142AB168321621426342BA00003、矩阵乘法的运算法则、矩阵乘法的运算法则(1)结合律结合律： )()(BCACAB(2)数乘数乘： )()()(BABAAB(3)分配律分配律：ACABCBA)(CABAACB)(设设A A是是m mk k矩阵矩阵,B,B是是k kn n矩阵矩阵, ,则则 ImA=A AIk=A AIkB=AB4.线性方程组的矩阵表示线性方程组的矩阵表示记记 ijaA nxxxX21mbbbb21mmn

11、mmnnbaaabaaabaaaB21222221111211称称 A 为为系数矩阵系数矩阵，X 为为未知数向量未知数向量，b 称为称为常数项向量常数项向量，B 称为称为增广矩阵增广矩阵。则。则 AX=bmnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111线性方程组线性方程组（1） 第三节第三节 转置矩阵及方阵的行列式转置矩阵及方阵的行列式一、转置矩阵一、转置矩阵1、定义定义：设：设mnmmnnnmaaaaaaaaaA212222111211记记 为为 A 转置矩阵转置矩阵。 mnnnmmTaaaaaaaaaA2122212121112、运算律

12、运算律(1)AATT)(2)TTTBABA)(3)TTAA)(4)TTTABAB)(TTTsTsTsAAAAAAA12121)(推广：推广：例例5：已知：已知231102A102324171B求求TAB)(解解1：102324171231102AB1013173140213012131027241)(TTTABAB解解2：10313141701031314170)(TAB于是于是3.常用矩阵常用矩阵: 1).对称矩阵对称矩阵:定义定义 充要条件充要条件:aij=aji 2)反对称矩阵反对称矩阵: 定义定义 充要条件充要条件:aij=-aji 当当i=j时时, aij=0即主对角线上元素均为零即

13、主对角线上元素均为零. 3)正交阵正交阵:nTnAAIAAAATnTnnTnAA二、方阵的行列式二、方阵的行列式1.定义定义由由 n 阶方阵阶方阵 A 的元素所构成的行列式，称为的元素所构成的行列式，称为 方阵方阵 A 的行列式的行列式，记作，记作 或或 。AAdet2.性质性质：(1)AATAAn(2)BAAB (3) 第四节第四节 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵一、逆矩阵的概念一、逆矩阵的概念 逆矩阵逆矩阵:A:A为为n n阶方阵阶方阵, ,若存在若存在n n阶方阵阶方阵B B使使AB=BA=IAB=BA=I 则称则称A A为为可逆矩阵可逆矩阵,(,(满秩阵满秩阵, ,非奇异阵非奇异阵) ) B

14、 B为为A A的逆矩阵的逆矩阵. .记为记为 注：注： A A 的逆阵是唯一的。的逆阵是唯一的。 1 AB2.伴随矩阵伴随矩阵: 的各元素代数余子式的各元素代数余子式 所构成矩阵所构成矩阵ijAAnnnnnnAAAAAAAAAA212221212111为为A的的伴随矩阵伴随矩阵，简称，简称伴随阵伴随阵。实质实质:将将A中中aij换成对应换成对应Aji例例:P43例例1二、逆矩阵的性质二、逆矩阵的性质(求逆阵方法求逆阵方法)2.定义定义 当当 时，时， 称为称为奇异矩阵奇异矩阵，否则称，否则称非非 奇异矩阵。奇异矩阵。0AA1.定理定理: 可逆可逆 且且A0A3.推论推论 若若 ，则，则注注:对

15、角阵的逆阵为其对角线上元素倒数所构对角阵的逆阵为其对角线上元素倒数所构 成的对角阵成的对角阵.EBAEAB或1 AB|*1AAA三三.逆阵的运算律：逆阵的运算律：（1） 若若 可逆，则可逆，则 也可逆也可逆,且且 。A1AAA11（2） 若若 可逆，数可逆，数 ，则，则 可逆，可逆， 且且 。AA111AA0（3） 若若 、 为同阶矩阵且均可逆，则为同阶矩阵且均可逆，则 也可也可 逆，且逆，且 。A111ABABBAB（4） 若若 可逆，则可逆，则 也可逆也可逆,且且 。ATATTAA11(5)| /1|11AAA规定规定:kkAA)(1例例1 1： 求下面方阵的逆矩阵求下面方阵的逆矩阵343

16、122321A解解, 02 A故故 存在存在1A3412) 1(1111A23312) 1(2112A34322) 1(3113A23432) 1(1221A63331) 1(2222A64321) 1(3223A2同理得：同理得：431A532A233A故故332313322212312111AAAAAAAAAA222563462所以所以AAA112225634622111125323231例例2 2设设求矩阵求矩阵 满足满足 。343122321A130231C3512BXCAXB 解：由于解：由于 ， ，故，故 A、B 都可逆。都可逆。0A1B在在 两边同时左乘两边同时左乘 右乘右乘 ，

17、则，则CAXB 1A1B11CBAX111253232311A25131B而而于是于是11CBAX111253232312513130231251320201141041012例例设设 ， ， ，求，求 。4121P2001APAAP nA解：由于解：由于 ，故，故 P 可逆，且可逆，且2P1124211P由由 知知,PAAP 1 PAPA12112PPAPAPPAPA1PPAAnn而而2001A222001AnnA2001故故1PPAnn11242120014121n1222122211nnnn 第五节第五节 矩阵分块法矩阵分块法一、分块矩阵的概念一、分块矩阵的概念1.子块子块: 用纵线和横

18、线分矩阵为若干小块用纵线和横线分矩阵为若干小块,每小块叫每小块叫子块子块，2.分块矩阵分块矩阵: :以子块为元素的矩阵叫做以子块为元素的矩阵叫做分块矩阵分块矩阵。例如：例如：10034002132031012101A分块矩阵分块矩阵22211211AAAA其中子块其中子块100111A20312112A341321A10000222A10034002132031012101A也可分成也可分成分块矩阵分块矩阵323122211211BBBBBB其中子块其中子块10111B1212B21331021B002022B03431B1032B3列块列块:若将矩阵若将矩阵 按列分块，按列分块，mnmmnn

19、aaaaaaaaaA212222111211每小块是列向量叫做每小块是列向量叫做列块列块，即，即nAAAA21其中其中miiiiaaaA21列块列块，其中，其中若按行分块，则每小块叫做若按行分块，则每小块叫做行块行块。即即mBBBA21iniiiaaaB21行块行块二、分块矩阵的运算二、分块矩阵的运算(同普通阵同普通阵)1.加法：加法：设设 A ，B 为同型矩阵，用相同分法将为同型矩阵，用相同分法将 A，B 分块，有分块，有srsrAAAAA1111srsrBBBBB1111(将行都分为将行都分为 s 块块,列都分成列都分成 r 块块) 与与 是同型子块是同型子块ijAijBsrsrssrrB

20、ABABABABA11111111那么那么，则，则2.数乘数乘：设：设srsrAAAAA1111srsrAAAAA11113.乘法乘法：ststAAAAA1111设设 A 为为 矩阵，矩阵，B 为为 矩阵，分块成矩阵，分块成lmnltrtrBBBBB1111其中其中 的列数分别等于的列数分别等于 的行数，的行数，itiiAAA,21tjjjBBB,21srsrCCCCAB1111tkkjikijBAC1那么那么 其中其中), 2 , 1;, 2 , 1(rjsi例例1：设：设1011012100100001A0211140110210101B求求 AB 。解：把解：把A、B 分块成分块成1011012100100001AEAOE10211140110210101B222111BBEB则则2221111BBEBEAOEAB2212111111BABBAEB而而11012101112121111BBA133302141121221BA则则1311334210210101AB110120