2020年浙江省杭州市高考数学一模试卷(文科)含答案解析

1、2020 年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5 分，满分 40 分）1设集合 A= x| x2 2x0 ， B= x| 1 x 2 ，则 A B=（）A x| 0 x 2 B x| 0 x 2C x| 1 x 0D x| 1x 02若 sinx=，则 cos2x=（）A BCD 3某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB 的面积是（）A B2CD4命题： “? x0R， x0sinx 0”的否定是（）A ?x R，x sinx B ? x R， x sinxC ?x0R， x0 sinx0D ? x0 R，x0 sinx05设函数 f（ x

2、）=| lnx | ，满足 f（ a）=f （ b）（ a b），则（注：选项中的e 为自然对数的底数）（）A ab=exB ab=e C ab=D ab=12bx ca 0）与x轴有两个交点A，B，顶点为C，设=b24ac6设抛物线 y=ax+ +（ ，ACB= ，则 cos=（）A B CD 7在 Rt ABC 中， C 是直角， CA=4 ， CB=3 ， ABC 的内切圆交CA ， CB 于点 D ，E，点P是图中阴影区域内的一点（不包含边界） 若=x+y，则x y的值可以是（）+A1B2C4D8第 1页（共 17页）8U为全集，对集合A，B定义运算“*” A*B=?U（AB），若 X

3、，Y，Z 为三个集合，设，则（ X*Y ）*Z= （）A（X Y U ZB（X Y）UZ C（?uX U Y）Z D（ ?UX UY） Z）?二、填空题（共7 小题，每小题4 分，满分 36 分）9设 ln2=a ， ln3=b ，则 ea+eb=（其中 e 为自然对数的底数）10若函数 f（ x）=，则 f（ 1）=；不等式 f（ x） 4 的解集是11设直线 l 1： mx （ m1） y 1=0（ m R），则直线 l1 恒过定点；若直线l 1 为圆 x2+y2+2y 3=0 的一条对称轴，则实数m=12设实数x， y 满足不等式组，若 z=2x +y，则 z 的最大值等于， z的最小值

4、等于13如图， ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ， BCD=90 °，且，将 ABC沿 BC 的边翻折，设点A 在平面 BCD 上的射影为点M ，若点 M 在 BCD 内部（含边界） ，则点 M 的轨迹的最大长度等于；在翻折过程中，当点M 位于线段BD 上时，直线 AB 和 CD 所成的角的余弦值等于22y2xy=1，则2x+y的最小值等于14设 x， y R，x +15若点 P 在曲线 C1：上，点 Q 在曲线 C2：（ x5） 2+y2 =1 上，点 R 在曲线x 5 2y2PQPRC3：（ + ）+ =1上，则 |的最大值是| |三、解答题（共5 小题，满分74 分）16

5、在 ABC 中， A ， B， C 所对的边分别为a， b， c，（1）求 C；（2）若，求 a，b， c17在四棱锥P ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD ，四边形 ABCD 为直角梯形， BC AD ，ADC=90 °，BC=CD=AD=1 ， PA=PD，E， F 分别为线段AD ， PC 的中点（1）求证： PA平面 BEF ；第 2页（共 17页）（2）若直线PC 与 AB 所成的角为45°，求线段PE 的长18设数列 an 满足 a1=， an+1=an2+an+1（ nN * ）（1）证明：3；（2）设数列 的前 n 项和为 Sn，证明： Sn 319设

6、点 A ， B 分别是 x， y 轴上的两个动点，AB=1 ，若（ 1）求点 C 的轨迹 ；（ 2）已知直线 l： x+4y 2=0 ，过点 D （2， 2）作直线 m 交轨迹 于不同的两点 E， F，交直线 l 于点 K 问+的值是否为定值，请说明理由20设函数 f （x） =（ x 1） ?| x a| （ a R）（1）当 a=2 且 x 0 时，关于 x 的方程 f（ x）=kx 有且仅有三个不同的实根x1，x2，x3，若 t=max | x1， x2， x3| ，求实数 t 的取值范围2a1）时，若关于x的方程fx=2xa有且仅有三个不同的实根x1，（）当 （，（ ）x2，x3 求

7、x1+x2+x3 的取值范围第 3页（共 17页）2020 年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8小题，每小题 5 分，满分 40 分）1设集合 A= x| x2 2x0 ， B= x| 1 x 2 ，则 A B=（）A x| 0 x 2 B x| 0 x 2 C x| 1 x 0D x| 1x 0【考点】 交集及其运算【分析】 求出 A 中不等式的解集，再由B，求出两集合的交集即可【解答】 解：由 A 中不等式变形得：x（ x 2） 0，解得： x0 或 x 2，即 A= x| x 0 或 x 2 ， B= x| 1 x2 ，A B= x| 1 x 0 ，

8、故选： D2若sinx=，则 cos2x=（）A B CD 【考点】 二倍角的余弦【分析】 由条件利用二倍角的余弦公式，求得cos2x 的值【解答】 解： sinx=，则cos2x=1 2sin2x=12=， ?故选： B3某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB 的面积是（）AB2CD【考点】 由三视图求面积、体积【分析】 由三视图可知： 该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直【解答】 解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直该几何体的侧面PAB的面积=第 4页（共 17页）故选： D4“ x0R， x0s

9、inx 0”）命题：?的否定是（A ?xRxsinx B?xR xsinx， ，C ? x0R， x0 sinx0D ? x0 R，x0 sinx0【考点】 命题的否定【分析】 根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可【解答】 解：命题是特称命题，则命题的否定是：? x R， x sinx，故选： A5设函数f（ x）=| lnx | ，满足 f（ a）=f （ b）（ a b），则（注：选项中的e 为自然对数的底数）（）A ab=exB ab=e C ab=D ab=1【考点】 对数函数的图象与性质【分析】 作出函数 f（ x）的图象，设 a b，得到 0 a1，b 1，结合对数的运算性质进

10、行求解即可【解答】 解：作出函数f（ x）的通项如图，在若 f（ a） =f （ b）（ a b），则设 a b，则 0 a1， b 1，即| lna| =| lnb | ，则 lna=lnb ，则 lna+lnb=lnab=0 ，即 ab=1，故选： D2bx ca 0）与x轴有两个交点A，B，顶点为C，设=b24ac6设抛物线 y=ax+ （ ，ACB= ，则 cos=（）A B CD 【考点】 二次函数的性质【分析】 根据二次函数的性质结合余弦定理求出cos的值即可【解答】 解：如图示：第 5页（共 17页），|AB|=，|AD|=，而|CD|=|=，AC2=| AD| 2+| CD|

11、2=+= cos=1=1，= ，故选： A7在 Rt ABC 中， C 是直角， CA=4 ， CB=3 ， ABC 的内切圆交CA ， CB 于点 D ，E，点P是图中阴影区域内的一点（不包含边界） 若=x+y，则x y的值可以是（）+第 6页（共 17页）A1B2C4D 8【考点】 平面向量的基本定理及其意义【分析】 求出内切圆半径，根据三点共线原理得出x+y分别对于1 248时P点的轨迹， ，从而判断出答案【解答】 解：设圆心为O，半径为r，则ODAC，OEBC3 r 4r=5，解得r=1， + 连结DE，则当x y=1时，P在线段DE上，排除A；+在 AC 上取点 M ，在 CB 上取

12、点 N ，使得 CM=2CD ，CN=2CE ，连结 MN ，=+则点P在线段MN上时，+=1，故x y=2+同理，当x y=4或x y=8时，P点不在三角形内部排除C，D+故选： B8设 U 为全集，对集合A ， B 定义运算 “*”， A*B= ?U（ A B ），若 X ， Y ，Z 为三个集合，则（ X*Y ）*Z= （）A（XYU ZB（X YUZ C（?uX?U YZ D（ ?UXUY）Z） ? ）?） ?【考点】 集合的包含关系判断及应用【分析】 利用X*Y=?U（X YX、YZX*Y）*Z=?U（X Y*Z= ），得到对于任意集合、 ，（ ）?U ?U（ X Y） Z ，整理即

13、可得到答案【解答】 解： X*Y= ?U（ XY ），对于任意集合X， Y， Z，（ X*Y ） *Z= ?U（ X Y ） *Z =?U ?U（ X Y ） Z=（X Y ） ?UZ故选： B第 7页（共 17页）二、填空题（共7 小题，每小题4 分，满分 36 分）9设 ln2=a ， ln3=b ，则 ea+eb=5（其中 e 为自然对数的底数）【考点】 对数的运算性质【分析】 直接利用导数的运算法则化简求解即可【解答】 解： ln2=a ， ln3=b ，则 ea+eb=eln2+eln3=2+3=5 故答案为： 510若函数 f（ x）=，则 f（ 1）=1；不等式 f（ x） 4

14、的解集是（4，）【考点】 其他不等式的解法；分段函数的应用【分析】 代值计算即可，根据分段函数得到则或，解得即可【解答】 解：函数f（ x）=，则 f （ 1） =（ 1）=1，不等式 f（ x） 4，则或，解得 0 x或 4 x 0，故不等式的解集为（4，），故答案为：1，（ 4，）11设直线 l1： mx （ m1） y 1=0（ m R），则直线 l1 恒过定点（1， 1）；若直线l 1 为圆x2y22y3=0的一条对称轴，则实数m=2+【考点】 直线与圆的位置关系；恒过定点的直线【分析】 直线 l 1 转化为（ x y） m+y 1=0，令 m 的系数为0，能求出直线l1 恒过定点（

15、1，1）由已知得直线l1：mx（m1）y1=0（mR）经过圆x2y22y3=00+的圆心（ ，1），由此能求出m【解答】 解：直线 l 1： mx（ m 1） y1=0 （ m R），（ x y） m+y 1=0 ，由，解得 x=1 ，y=1，直线 l1 恒过定点（ 1， 1）直线 l1： mx（ m 1） y 1=0（ m R）为圆 x2+y2+2y 3=0 的一条对称轴，直线 l1： mx（ m 1） y 1=0（ m R）经过圆x2+y2+2y 3=0 的圆心（ 0， 1），m× 0（ m 1）×（ 1） 1=0 ，解得 m=2故答案为：（ 1， 1），2第 8页（共

16、 17页）12设实数x， y 满足不等式组，若 z=2x +y，则 z 的最大值等于2， z 的最小值等于0【考点】 简单线性规划【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】 解：由约束条件作出可行域如图，化 z=2x +y 为 y= 2x+z，由图可知，当直线y= 2x+z 过 O 时，直线在 y 轴上的截距最小，z有最小值为0；当直线过 A （ 1，0）时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为2故答案为： 2， 013如图， ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ， BCD=90 °，且，将 AB

17、C沿 BC 的边翻折，设点A 在平面 BCD 上的射影为点M ，若点 M 在 BCD 内部（含边界） ，则点 M 的轨迹的最大长度等于；在翻折过程中，当点M 位于线段 BD 上时，直线AB 和 CD 所成的角的余弦值等于【考点】 异面直线及其所成的角；轨迹方程【分析】 点 A 的射影 M 的轨迹为CD 的中位线，可得其长度；当点M 位于线段BD 上时，取 BC 中点为 N ，AC 中点为 P，可得 MNP 或其补角即为直线 AB 和 CD 所成的角，由已知数据和余弦定理可得【解答】 解：由题意可得点A 的射影 M 的轨迹为CD 的中位线，其长度为CD=；当点 M 位于线段BD 上时， AM 平

18、面 ACD ，取 BC 中点为 N， AC 中点为 P，第 9页（共 17页） MNP 或其补角即为直线AB 和 CD 所成的角，则由中位线可得MN=CD=， PC=AB=，又 MP 为 RT AMC 斜边 AC 的中线，故MP=AC=，在 MNP 中，由余弦定理可得cosMNP=，故答案为：；14设 x， y R，x2+2y2+xy=1 ，则 2x+y 的最小值等于 2【考点】 基本不等式【分析】 令 2x+y=t ，代入整理可得 7x27tx +2t2 1=0 ，由 0 可解得 t 的范围， 可得答案【解答】 解：令 2x+y=t ，则 y=t 2x， x2+2y2 +xy=1 ， x2+

19、2（ t 2x）2 +x（ t 2x） =1，整理可得7x2 7tx+2t2 1=0 ，由 =49t2 4× 7×（ 2t2 1） 0 可解得 2 t 2，故 2x+y 的最小值为 2，故答案为： 215若点P 在曲线 C1：上，点 Q 在曲线 C2：（ x5） 2+y2 =1 上，点 R 在曲线x 52y2PQPR10C3：（ + ）+=1上，则 | 的最大值是| |【考点】 圆与圆锥曲线的综合【分析】 先由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再把| PQ| | PR| 的最大值转化为求 |PQPR| max | | min，即可求得结论第10页（共 17页）【解

20、答】 解：曲线C1：的两个焦点分别是F50）与F5 0）， |PF1（，2（ ，1| | PF2| =8则这两点正好是两圆（x+5）2+y2=1 和（ x 5） 2+y2=1 的圆心，两圆（x 5 2y2=4和（ x 52y2=1 的半径分别是r1=1 ， r2=1，+ ） +）+ | PQ| max=| PF1|+ 1， | PR| min=| PF2| 1， | PQ| | PR| 的最大值 =（ | PF1|+ 1）（ | PF2| 1） =8+2=10，故答案为： 10三、解答题（共5 小题，满分74 分）16在 ABC 中， A ， B， C 所对的边分别为a， b， c，（1）求

21、C；（2）若，求 a，b， c【考点】 正弦定理；平面向量数量积的运算【分析】（ 1）先利用正弦定理把题设条件中的边转化成角的正弦， 进而利用两角和的公式化简整理求的 cotC 的值，进而求得 C（2）根据求得 ab 的值， 进而利用题设中和正弦定理联立方程组，求得a，b 和 c【解答】 解：（ 1）由得则有=得 cotC=1 即、（2）由推出；而，即得，则有解得17在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD ，四边形 ABCD 为直角梯形， BC AD ， ADC=90 °，BC=CD= AD=1 ， PA=PD，E， F 分别为线段 AD ， PC 的中点（ 1）求证

22、： PA平面 BEF ；（ 2）若直线 PC 与 AB 所成的角为 45°，求线段 PE 的长第11页（共 17页）【考点】 异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（1）以 E 为原点， EA 为 x 轴， EB 为 y 轴， EP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线 PA平面 BEF （2）由=（ 1， 1， t），=（ 1， 1， 0），直线 PC 与 AB 所成的角为45°，利用向量法能求出 PE【解答】 证明：（ 1）在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD ，四边形 ABCD 为直角梯形， BC AD ， ADC=90

23、°，BC=CD=AD=1 ， PA=PD， E， F 分别为线段AD ， PC 的中点，PE平面 ABCD ，BE AE ，以 E 为原点， EA 为 x 轴， EB 为 y 轴， EP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， A （ 1，0， 0）， E（ 0， 0， 0）， B（ 0， 1， 0）， C（ 1，1， 0），设 P（ 0， 0， t），则 F（，），=（ 1， 0， t），=（），=（ 0， 1， 0），设平面 BEF 的法向量=（ x， y， z），则，取 x=t ，得=（ t， 0， 1）， ? =t t=0 ，且 PA?平面 BEF ，直线 PA平面 BEF解：=（

24、 1，1， t），=（ 1，1， 0），直线 PC 与 AB 所成的角为45°，cos45°=，解得 t=，或 t= （舍），PE=t=第12页（共 17页）18an 满足a2a 1nN*）1=，an+1=an+ n+（设数列 （1）证明：3；（ 2）设数列 的前 n 项和为 Sn，证明： Sn 3【考点】 数列的求和；数列递推式【分析】（ 1）数列 a 满足 a2+a +1（ n N* ）可得 a 0，变形=a +n1= ，an+1=annnn+1，利用基本不等式的性质即可证明；（2）由（ 1）可得 anan+1可得可得当 n 2 时， =2即可证明1aa2 a 1 nN

25、*）【解答】 证明：（）数列 n 满足1=n+1 n + n+ （， a =aan 0，=an+1+1=3 ，当且仅当an=1 时取等号， 3（2）由（ 1）可得 anan+1第13页（共 17页）当 n 2 时， =2Sn 2=2×=3 an 1，Sn 319设点 A ， B 分别是 x， y 轴上的两个动点，AB=1 ，若（ 1）求点 C 的轨迹 ；（ 2）已知直线 l： x+4y 2=0 ，过点 D （2， 2）作直线 m 交轨迹 于不同的两点 E， F，交直线 l 于点 K 问+的值是否为定值，请说明理由【考点】 轨迹方程1A（m0），B0 n），可得m2n2【分析】（ ）由

26、题意可设出，（ ，+=1，再设 C（x， y），由向量等式把 m， n 用含有 x， y 的代数式表示，代入m2+n2=1可得点 C 的轨迹 ；（2）分别设出E，F，K 的横坐标分别为： xE，xF，xK，设直线 m 的方程： y 2=k（x 2），与直线 l：x+4y 2=0 联立可得 xK，联立直线方程与椭圆 m 的方程， 利用根与系数的关系得到xxxExF，求得+的值为定值2得答案E+F，【解答】 解：（ 1）设A （m，0）， B（ 0， n），则 m2+n2=1 ，设 C（ x，y），由，得（ m， n） =（ x m， y），得 m=， y= n，代入 m2+n2=1，得=1；（2）设 E， F，K 的横坐标分别为：xE， xF， xK，设直线 m 的方程： y2=k （ x 2），与直线 l ： x+4y 2=0 联立可得 xK=，将直线 m 代入椭圆方程得： （ 1+4k2） x2+8k （ 2k+2）x+16k 2 32k+12=0，xx， xExF=，E+ F=+=+=2为定值20设函数f （x） =（ x 1） ?| x a| （ a R）第14页（共 17