2020年浙江省绍兴市柯桥区高考数学二模试卷(理)含答案解析

1、2020 年浙江省绍兴市柯桥区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）2 x20B=x1 x3 ，则（ ?RA ） B= （）1已知集合 A= x| x ，集合|A（11B 13C2 3D2 3， ）（，（，）（ ，2命题 “（ x 1）2+（ y 2）2=0 ”是（ x 1）（y 2） =0 的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件 D 既不充分也不必要条件2 an 1（ n N * ，n 2），则 S2020=（3各项均不为零的等差数列 an 中，若 an+1=an）A 0B 2C 202

2、0 D 40324某几何体的三视图如图所示（单位：cm）则该几何体的体积是（）A 4cm3 B 8cm3 Ccm3D cm35sin cos=0tan=（）已知+， （， ），则A BCD6已知函数 f（ x）的图象关于（1， 0）对称，当 x1 时， f （ x）=log a（x 1），且 f （3）=1，若 x1+x2 2，（ x1 1）（ x21） 0，则（）fx2）0Bf（xfx2）0A f （ x1）+（1） +（C f （ x1） +f （x2）可能为 0D f （ x1） +f（ x2）可正可负7 l 是经过双曲线C：=1（ a 0，b 0）焦点 F 且与实轴垂直的直线，A，B

3、是双曲线 C 的两个顶点，若在 l 上存在一点 P，使 APB=60 ，则双曲线的离心率的最大值为 （）A B C 2D 38如图， 四边形 ABCD 是矩形， 沿直线 BD 将 ABD 翻折成 A BD ，异面直线CD 与 A B所成的角为，则（）第 1页（共 19页）A A CAB A CAC A CDD A CD二、填空题（共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分）9设直线 l1：（a+1） x+3y+2=0 ，直线 l 2： x+2y+1=0 ，若 l1 l 2，则 a=，若 l 1l 2，则 a=10要得到函数y=sin （ 2x）的图象，可将函数y=sin2x

4、的图象向平移个单位11设函数 f（ x） =，则 f（ f（ ）=，方程 f（ f（ x）=1 的解集12已知正实数x， y 满足 x+2y xy=0 ，则 x+2y 的最小值为y 的取值范围是13对任意 x R 不等式 x2 +2| x a| a2 恒成立，则实数 a 的取值范围是14如图， 四棱锥 OABCD中，AC 垂直平分 BD ，| =2，| =1，则（+ ）?（ ）的值是15max a b=，若实数xy满足，则max|2x1， |x定义 ， ，+ |2y+5|的最小值为三、解答题；本大题共5 个小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在 ABC 中，已知 AC=

5、4 ，BC=5（ I ）若 A=60 ，求 cosB 的值；（ ）若 cos（A B ） =，求 cosC 的值17如图， 以 BC 为斜边的等腰直角三角形ABC 与等边三角形ABD 所在平面互相垂直，且点E满足=（ 1）求证：平面 EBC平面 ABC ；（ 2）求平面 EBC 与平面 ABD 所成的角的正弦值第 2页（共 19页）（ x） =，其中 nN * ， aR， e 是自然对数的底数18已知函数 f n（1）求函数 g（ x）=f 1（x） f2（ x）的零点；2）若对任意nN*，fx）均有两个极值点，一个在区间（14）内，另一个在区间 1（n（，4a的取值范围； 外，求（3）已知

6、k， m N* ， k m，且函数 f（ x）在 R 上是单调函数，探究函数f （ x）的单调km性19如图，椭圆C：（ ab 0）的离心率是，点 E（，）在椭圆上，设点 A 1， B 1 分别是椭圆的右顶点和上顶点，过点A 1， B1 引椭圆 C 的两条弦 A 1E、 B1F（ ）求椭圆 C 的方程；（ II ）若直线 A 1E 与 B 1F 的斜率是互为相反数（ i ）直线 EF 的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由；（ii ）设 A 1EF、 B1EF 的面积分别为S1 和 S2，求 S1+S2 的取值范围20an 满足： a1=1，an+1=b nN*）已知数列 + （1

7、）若 b=1，求证数列 （ an1） 2 是等差数列；2）若b= 1，求证：a a a（1+ 3+ + 2n1第 3页（共 19页）2020 年浙江省绍兴市柯桥区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1A=x2 x20B=x1 x3 ，则（ ?RAB=x ，集合|）（）已知集合|A（11B 13C2 3D2 3， ）（， （，）（ ，【考点】 交、并、补集的混合运算【分析】 求出 A 中不等式的解集确定出A ，根据全集 R 求出 A 的补集， 找出 A 补集与 B 的交集即可【解答】

8、解：由 A 中不等式变形得： （ x 2）（x+1） 0，解得： 1 x 2，即 A= 1， 2 ，全集为 R， ?RA= （ ， 1） （2， +）， B= （1， 3 ，（ ?RA ） B= （2， 3 ，故选： D2命题 “（ x 1）2+（ y 2）2=0 ”是（ x 1）（y 2） =0 的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件 D 既不充分也不必要条件【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】 先判充分性，由（x12y 22=0，得到要使等式成立，必须同时满足：（x ）+（ ）1） =0 与（ y 2）=0 ，故能推出充分性成立；再判别必要性，易得“（ x1）

9、（ y 2） =0”“ x12y22不能推出 （） +（ ） =0”，必要性不成立【解答】 解：由（ x 1） 2+（ y 2） 2=0，得到（ x1） =0 与（ y 2）=0 ，故能推出 “（ x 1）（ y 2） =0”，充分性成立由：（ x 1）（ y 2）=0 得到（ x 1） =0 或（ y2） =0，不能保证（ x 1） 2+（y 2） 2=0，故必要性不成立故答案选 A 3各项均不为零的等差数列 an 中，若 an+1=an2 an 1（ n N * ，n 2），则 S2020=（）A0B2C 2020 D 4032【考点】 等差数列的前n 项和【分析】 由等差数列与等比数列的

10、性质可求得an=2，从而解得【解答】 解：数列 an 是等差数列， an+1+an1=2an，又 an+1=an2 an1 ， an2=2an，又 an 0， an=2 ；故 S2020=2020 2=4032 ，故选： D第 4页（共 19页）4某几何体的三视图如图所示（单位：cm）则该几何体的体积是（）A 4cm3 B 8cm3 Ccm3D cm3【考点】 由三视图求面积、体积【分析】 由三视图知该几何体是正方体挖去一个正四棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积，【解答】 解：根据三视图可知几何体是正方体挖去一个正四棱锥PABCD 所得的组合体，

11、且正方体的棱长是2cm，正四棱锥的底是正方体的上底、顶点为正方体下底的中心，如图所示：几何体的体积V=3=（ cm ）故选： C5sin cos=0tan=（）已知+， （， ），则ABCD【考点】 同角三角函数基本关系的运用【分析】 利用sin cos=0 sin cos+， （， ）结合平方关系，求出，的值，然后代入直接求出tan【解答】 解：sincos =0+ ， （ ， ），第 5页（共 19页）（ sin+cos ） 2=1+2sincos，sin cos=0由根与系数的关系知，sin， cos 是方程 x2 x=0 的两根，解方程得 x1=， x2=sin 0， cos 0， s

12、in=， cos= tan= ，故选： A6已知函数 f（ x）的图象关于（1， 0）对称，当x1 时， f （ x）=log a（x 1），且 f （3）=1，若 x1+x2 2，（ x1 1）（ x21） 0，则（）A f （ x1）+f（ x2） 0B f（ x1） +f （x2） 0fx2）可能为0Dfxfx2）可正可负C f （ x1） +（1） +（【考点】 函数的图象；对数函数的图象与性质【分析】 根据已知，分析出函数的单调性，结合函数的对称性，可得结论【解答】 解：当x 1 时， f （ x） =log a（ x 1），f （ 3） =log a2= 1， a= ，故函数 f（

13、 x）在（ 1， +）上为减函数，若 x1+x2 2，（ x1 1）（ x2 1） 0，不妨令 x1 1， x2 1，则 x2 2 x1， f （ x2） f（ 2 x1），又函数 f （ x）的图象关于（ 1，0）对称，f （x1） = f（ 2x1），此时 f（ x1） +f （ x2） = f（ 2 x1） +f（ x2） 0，故选： B7 l 是经过双曲线C：=1（ a 0，b 0）焦点 F 且与实轴垂直的直线，A ， B 是双曲线 C 的两个顶点，若在 l 上存在一点P，使 APB=60 ，则双曲线的离心率的最大值为（）ABC2D3【考点】 椭圆的简单性质【分析】 设双曲线的焦点F（

14、 c， 0），直线 l： x=c ，P（ c， n）， A （ a， 0），B（ a，0），由两直线的夹角公式可tanAPB= | ，由直线的斜率公式，化简整理，运用基本不等式，结合离心率公式，即可得到所求最大值【解答】 解：设双曲线的焦点F（ c， 0），直线 l： x=c ，第 6页（共 19页）可设点 P（c， n），A （ a， 0）， B（ a， 0），由两直线的夹角公式可得tan APB= |=| =tan60=，由| n|+ 2=2，可得，化简可得3c2 4a2，即 ca，即有 e=当且仅当n=，即 P（ c，），离心率取得最大值故选： A8如图， 四边形 ABCD 是矩形， 沿

15、直线 BD 将 ABD 翻折成 A BD ，异面直线CD 与 A B所成的角为，则（）A A CA B A CA C A CD D A CD 【考点】 直线与平面所成的角【分析】 假设 ABCD 是矩形，且平面ABD 平面 ABCD ，计算三个角的大小，使用排除法选择答案【解答】 解： AB CD ， A BA 为异面直线CD 与 A B 所成的角假设四边形ABCD 是矩形， AB=1 ，平面 ABD 平面 ABCD 连结 AC ， AA ， A C则 A O平面 ABCD ，A O=AO=BO=CO=DO=，A A=A C=A B=A D=1 ， A BA ， A CD 是等边三角形，ACA

16、 是等腰直角三角形， A CA=45 ， A CD= A BA=60 ，即 ACA ，= A CD排除 A ， C， D 故选 B第 7页（共 19页）二、填空题（共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分）9设直线l 1：（ a+1）x+3y+2=0，直线 l 2：x+2y+1=0 ，若 l 1 l 2，则 a=，若 l1 l 2，则a= 7【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】 直线 l 1：（ a+1）x+3y+2=0，直线 l2：x+2y+1=0 ，分别化为： y= x，y=x利用两条直线平行与垂直的充要条件即可得出【解答

17、】 解：直线l1：（ a+1） x+3y+2=0 ，直线 l 2：x+2y +1=0，分别化为：y= x，y= x 若 l 1 l2，则=，解得 a= 若 l 1 l2，则= 1，解得 a=7故答案分别为：； 710要得到函数y=sin（ 2x）的图象， 可将函数y=sin2x 的图象向右平移个单位【考点】 函数 y=Asin （x+）的图象变换【分析】 根据把函数y=sin2x 的图象向右平移个单位，可得函数y=sin2 （ x）的图象，从而得出结论【解答】 解：由于函数y=sin （ 2x） =sin2（ x），故把函数y=sin2x 的图象向右平移个单位，可得函数y=sin （ 2x）的

18、图象，故答案为：右，11设函数 f（ x）=，则 f（ f（）=，方程 f（ f（ x）=1 的解集1 ，ee第 8页（共 19页）【考点】 分段函数的应用；函数的值；根的存在性及根的个数判断【分析】 直接利用分段函数化简求解第一问； 利用分段函数判断函数的值域范围列出方程求解即可【解答】 解： f （） =ln 0，f （f （ ）=f （ ln） = x 0时， 0 ex 1， x=0 时， ex=1，方程 f（ f（ x） =1 ，可得 f （ x） =0， lnx=0 ，解得 x=1 fx）0时，方程ffx）=1，可得ln fx） =1fx）=elnx=e，解得x=ee（，（，即：故答

19、案为：第一问：；第二问： 1， ee 12x yx2yxy=0，则x 2y的最小值为8y的取值范围是1 已知正实数， 满足+（ ，+） 【考点】 基本不等式【分析】 正实数 x， y 满足 x+2y xy=0 ，利用基本不等式的性质可得：x+2y=2xy，解出即可得出最小值由正实数x， y 满足 x+2y xy=0 ，可得 x= 0，解出即可得出y 的取值范围【解答】 解：正实数x， y 满足 x+2y xy=0 ，x2y= 2xy，化为（x2yx 2y80x2y8y=2， + ）（+） ，解得+ ，当且仅当x=4 时取等号则 x+2y 的最小值为8由正实数x， y 满足 x+2y xy=0

20、， x= 0， y（ y 1） 0，解得 y 1 y 的取值范围是（ 1， +）故答案分别为： 8；（1， +）22xaa2恒成立，则实数a1 a113对任意 x R 不等式 x+ | | 的取值范围是 【考点】 函数恒成立问题；一元二次不等式【分析】 带绝对值问题，通常是先把绝对值去掉，所以要讨论，去掉绝对值后，转化成二次不等式恒成立问题【解答】 解：不等式x2+2| xa| a2 对任意的xR 恒成立，（ 1） x a（ x+a）（ x a） +2（ x a） 0（ x a）（ x+a+2） 0（ x a）（ x+a+2） 0x a 0，因此只需x+a+2 0， x（ a+2）（ a+2）

21、 a，解得： a 1（ 2） x a 时（ x+a）（ x a） 2（x a） 0（ x a）（ x 2+a） 0第 9页（共 19页）x a 0，只需要x2 a2 a a，解得： a 1综上所述： 1 a 1故答案为： 1 a 114如图， 四棱锥 OABCD 中，AC 垂直平分BD ，| =2，| =1，则（+）?（）的值是3【考点】 空间向量的数量积运算【分析】 设 AC 、BD 交于点 E，由题意+=2，? = ? ，由此即可求出（+ ）?（ ）的值【解答】 解：如图所示，四棱锥O ABCD 中，设 AC 、BD 交于点 E，由题意AC BD ， DE=BE ，+=2，?=? ；又|

22、=2，| =1，（+）?（）=（+）?（）=（2+） ?（）=2?（） +（+）?=（+） ?（）= =22 12=3故答案为： 3第10页（共 19页）15max a b=x y满足，则max|2x1x定义 ， ，若实数 ，+ |，|2y+5| 的最小值为2 【考点】 函数的最值及其几何意义【分析】 分析可得当 x， y 满足 当 x 1， 1 y 1 时， 当 1 x， 1y 1时，从而化简max| 2x+1| ，| x 2y+5|=5+x 2y，作出可行域，平移直线l0： x2y=0 ，从而求最小值【解答】 解：实数 x， y 满足时，可得 当 x 1， 1 y 1 时，0 2x+1 3

23、，x 2y+5 8，则 max| 2x+1| ，| x 2y+5| =max 2x+1，x 2y+5 ，由x2y5（2x1=x2y41， ，+ ）+ 即有max|2x1x2y5|=x2y5+ |，|+； 当 1 x ， 1 y1 时，12x102x2y5，+ ，+显然 | 2x+1| | x 2y+5| ，即有 max|2x+1| ， | x 2y+5| =x 2y+5综上可得max|2x1|， |x2y5=5x2y，+ |+作出 x， y 满足的可行域，如图画出直线 l0： x2y=0 ，平移 l0，当经过点（1，1）时，取得最小值故当 x= 1， y=1 时，5 x2y有最小值2+，故答案

24、为： 2三、解答题；本大题共5 个小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在 ABC 中，已知 AC=4 ，BC=5 （I ）若 A=60 ，求 cosB 的值；第11页（共 19页）（ ）若 cos（A B ） =，求 cosC 的值【考点】 两角和与差的余弦函数；正弦定理；余弦定理【分析】（ I ）由题意可得A B ，则由正弦定理求得sinB 的值，可得cosB 的值（ ）由题意可知 ab，在 BC 上取 D ，使得 BD=AD ，连接 AD ，找出 A B ，设 BD=x ，利用 cos（ A B）= ，余弦定理，求出 x，然后解三角形求出答案【解答】 解：（ I）

25、ABC 中，已知 AC=4 ，BC=5 ， A B，则由正弦定理可得= ，求得 sinB=， cosB=（ ）在 BC 上取 D，使得 BD=AD ，连接 AD ，设 BD=x ，则 AD=x ， DC=5 x在 ADC 中，注意cos DAC=cos （ A B）=，由余弦定理得： （ 5x） 2=x 2+422x?4?，即： 25 10x=16 7x，解得： x=3 在 ADC 中， AD=3 ， AC=4 ， CD=2 ， cosC=17如图， 以 BC 为斜边的等腰直角三角形ABC 与等边三角形ABD 所在平面互相垂直，且点E满足=（ 1）求证：平面 EBC平面 ABC ；（ 2）求平

26、面 EBC 与平面 ABD 所成的角的正弦值【考点】 二面角的平面角及求法；三垂线定理第12页（共 19页）【分析】（ 1）取 BC 的中点 F， AB 的中点 H，根据面面垂直的判定定理和性质定理即可证明平面 EBC平面 ABC ；（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面EBC 与平面 ABD 所成的角的正弦值【解答】 证明：（ 1）取 BC 的中点 F， AB 的中点 H，ABD 是等边三角形，DH AB ，以 BC 为斜边的等腰直角三角形ABC 与等边三角形ABD 所在平面互相垂直，DH 平面 ABC ，点E满足=DEAC ，DEAC，HFAC ，HF=AC ，DE FH

27、 ， DE=FH ，则四边形 EFHD 是矩形，则 EFDH ，则 EF平面 ABC ，EF? 平面 BCE ，平面 EBC平面 ABC ；（2）建立以 H 为坐标原点， HF， HB ， HD 分别为 x， y，z 轴的空间直角坐标系如图：则平面 ABD 的法向量为，是平面 BCE 的法向量，则 AFH=45 ，则平面 EBC 与平面 ABD 所成的角为45，则 sin45=，平面 EBC 与平面 ABD 所成的角的正弦值是18已知函数f n（ x） =，其中 nN * ， aR， e 是自然对数的底数（1）求函数g（ x）=f 1（x） f2（ x）的零点；第13页（共 19页）2）若对任

28、意nN*，fx）均有两个极值点，一个在区间（14）内，另一个在区间1（n（， ，4外，求a的取值范围；3）已知k，mN*k mfk（x）在R上是单调函数，探究函数fm（x）的单调（， ，且函数性【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）表示出 g（ x） =f 1（x） f2（ x） =， ex 1有一零点22xa的零点情况，=4+4a0=0，0三种情况进行讨论0，只需讨论 x，分，可得 （2）=，令 gnx）=nx22 n 1 x an 2nN *g x）=0有两个不等实数根（+（+）+ ，则问题等价于对任意， n（x1，x ，且 x1（ 1， 4），

29、x ? 1， 4 ，进而由零点判定定理得对任意n N *， g （ 1）g （ 4）22nn0，化为恒成立可求；3）可知函数fk（x）在R上是单调减函数， 从而f x0（k（） ，则2210，由此推导fx）的符号可得结论；=4（k a k+）（m+【解答】 解：（ 1） g（ x） =f 1（ x） f 2（ x） =，=4 +4a，当 a 1 时， 0，函数 g（ x）有 1 个零点： x =0；1当 a= 1 时， =0，函数 g（ x）有2 个零点： x1=0， x2=1，；当 a=0 时， 0，函数 g（ x）有两个零点： x1=0， x2=2；当 a1，a 0时， 0函数 g（ x）

30、有三个零点： x1=0，x2=1，；（2）=，设 gn（ x） = nx 2+2（ n+1） x+an 2， gn（ x）的图象是开口向下的抛物线由题意对任意nN*g x）=0有两个不等实数根xx2，且x1（14x1 4 ， n（1，），2? ，则对任意nN *g1g4）0，即na 1?n? a8）0，n（） n（ + ） （ ，又任意 nN * ， 8关于 n 递增， 8 1，故 1 a（ 8） min， 1 a 8 6=2，a 的取值范围是（1， 2）第14页（共 19页）（3）由（ 2）知，存在 x R，0，又函数 fk（ x）在 R 上是单调函数，故函数fk（ x）在R 上是单调减函数

31、，从而=4（k22 1）0，即a，a k+ 4 =，由 k，m N* ，k m，知 m 0，即对任意x R，0，故函数 fm（ x）在 R 上是减函数19如图，椭圆C：（ ab 0）的离心率是，点 E（，）在椭圆上，设点 A 1， B 1 分别是椭圆的右顶点和上顶点，过点A 1， B1 引椭圆 C 的两条弦A 1E、 B1F（ ）求椭圆 C 的方程；（ II ）若直线 A 1E 与 B 1F 的斜率是互为相反数（ i ）直线 EF 的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由；（ii ）设 A 1EF、 B1EF 的面积分别为S1 和 S2，求 S1+S2 的取值范围【考点】 椭圆的简单性质【分析】（ ）由椭圆的离心率是，点 E（，）在椭圆上，列出方程组求出a， b，由此能求出椭圆 C 的方程（ ）（ i ）求出 A 1（ 2， 0）， B1（ 0， 1），从而得到=，=，进而求出直线 B 1F，与椭圆联立，求出F，由此能求出直线 EF 的斜率为定值（ii ）求出直线 EF 和方程和 | EF|，再分别求出点A1（ 2， 0）到直线 EF 的距离和点 B 1（ 0，1）到直线 EF 的距离，由此能求出S1+S2【解答】 解：（ ）椭圆 C：（ a b0）的