工力摩擦2010

1、 本章重点、难点本章重点、难点 重点重点 静滑动摩擦力和最大静滑动摩擦力，静滑动摩静滑动摩擦力和最大静滑动摩擦力，静滑动摩擦定律。擦定律。 考虑摩擦时的平衡问题（解析法）。平衡的临考虑摩擦时的平衡问题（解析法）。平衡的临界状态和平衡范围。界状态和平衡范围。 难点难点 用摩擦角的概念求解平衡问题（几何法）。用摩擦角的概念求解平衡问题（几何法）。 本章重点、难点本章重点、难点 重点重点 静滑动摩擦力和最大静滑动摩擦力，静滑动摩静滑动摩擦力和最大静滑动摩擦力，静滑动摩擦定律。擦定律。 考虑摩擦时的平衡问题（解析法）。平衡的临考虑摩擦时的平衡问题（解析法）。平衡的临界状态和平衡范围。界状态和平衡范围。

2、 难点难点 用摩擦角的概念求解平衡问题（几何法）。用摩擦角的概念求解平衡问题（几何法）。 本章重点、难点本章重点、难点 重点重点 静滑动摩擦力和最大静滑动摩擦力，静滑动摩静滑动摩擦力和最大静滑动摩擦力，静滑动摩擦定律。擦定律。 考虑摩擦时的平衡问题（解析法）。平衡的临考虑摩擦时的平衡问题（解析法）。平衡的临界状态和平衡范围。界状态和平衡范围。 难点难点 用摩擦角的概念求解平衡问题（几何法）。用摩擦角的概念求解平衡问题（几何法）。 考虑摩擦时的平衡问题（解析法）。考虑摩擦时的平衡问题（解析法）。摩擦工程实例摩擦工程实例矿石颚式破碎机的上颚板应该矿石颚式破碎机的上颚板应该是多大夹角才能粉碎矿石？是

3、多大夹角才能粉碎矿石？摩擦工程实例摩擦工程实例摩摩 擦擦 轮轮 传传 动（离动（离 合合 器）器）摩擦工程实例摩擦工程实例梯子的角度应该多大，才能保证人在攀爬时梯子的角度应该多大，才能保证人在攀爬时不滑倒？这就是一个摩擦问题。不滑倒？这就是一个摩擦问题。 摩擦工程实例摩擦工程实例用克丝钳剪断钢丝，如果钳子的角度太大的话，钢丝就会滑出去，这也是一个摩擦问题。挂扫把的简单装置，也是利用摩擦。 摩擦工程实例摩擦工程实例攀崖时什么角度，用多大的力，踩在什么地方，都是从摩擦力的角度来考虑的。 临界平衡： P 物块将滑未滑， F = Fmax 最大静摩擦力 （P 再略微物块开始滑动） 定义定义：相互接触的

4、物体，产生相对滑动趋势时，其接触面间产生的阻碍物体运动的力叫静滑动摩擦力静滑动摩擦力。简称静摩静摩擦力擦力。 （ 它是接触面对物体作用的切向约束反力） 第一节第一节 滑动摩擦滑动摩擦一、静滑动摩擦一、静滑动摩擦 静滑动摩擦力静滑动摩擦力 物块状态物块状态： 静止： F = P，（ P , F , F 不是固定值）,0 XFSFNFPFmaxmax0FF f s称为静摩擦因数静摩擦因数，它主要与材料和表面状况（光洁度、润滑情况以及温度、湿度等）有关，精确的实验指出它还与接触面间的压强及接触时间有关。NsFfFmax 静滑动摩擦定律静滑动摩擦定律 最大静摩擦力的大小与两个相互接触物体间的正压力（或

5、最大静摩擦力的大小与两个相互接触物体间的正压力（或法向约束反力）成正比，即法向约束反力）成正比，即库仑定律库仑定律 静摩擦力特征：静摩擦力特征： 大小：（范围值） 方向：0XF满足与物体相对滑动趋势方向相反加大正压力FN, 加大摩擦因数 fs 所以增大摩擦力的途径为： 动摩擦力的大小与两个相互接触物体间的正压力（或动摩擦力的大小与两个相互接触物体间的正压力（或法向约束反力）成正比，即法向约束反力）成正比，即NsFfF二、动滑动摩擦二、动滑动摩擦 动滑动摩擦力动滑动摩擦力 定义定义：相互接触的物体，产生相对滑动时，其接触面间产生的阻碍物体运动的力叫动滑动摩擦力动滑动摩擦力。简称动摩擦力动摩擦力。

6、 动摩擦力特征：动摩擦力特征： 大小：无变化范围 方向：与物体相对滑动方向相反 动滑动摩擦定律动滑动摩擦定律 f s称为动摩擦因数动摩擦因数，它主要与材料和表面状况（光洁度、润滑情况以及温度、湿度等）有关，精确的实验指出它还与相对滑动速度有关。fs略小于 fs，精度要求不高时取 fs fs 材料名称静摩擦因数动摩擦因数无润滑有润滑无润滑有润滑钢钢 钢软钢 钢铸铁 钢青铜软钢铸铁软钢青铜铸铁铸铁铸铁青铜青铜青铜皮革铸铁橡皮铸铁木材木材0.150.30.150.20.20.30.50.40.60.10.120.10.150.180.10.150.10.150.20.180.150.180.180.

7、150.150.20.20.60.80.20.50.050.10.10.20.050.150.10.150.050.150.070.150.070.120.070.150.070.10.150.50.070.15静摩擦因数的测定测定静摩擦因数的测定测定 tantanmsf表表41 常见的摩擦因数常见的摩擦因数 第二节第二节 摩擦角和自锁现象摩擦角和自锁现象全反力全反力：法向反力FN与静摩擦力FS合成为全约束力全约束力FR 。显然：显然：平衡时主动力平衡时主动力FP、FW的的合力与合力与FR相等相等 摩擦角摩擦角 ：当达到最大静摩擦力时，全反力FR与接触面法线的夹角达到最大值m。sNfFFmax

8、mtanFSFNFPFWFmaxFRFRFR摩擦角的正切等于静摩擦因数摩擦角的正切等于静摩擦因数物体平衡时全反力的作用线一定在摩擦角内即：物体平衡时全反力的作用线一定在摩擦角内即： m摩擦锥摩擦锥 ：如果全反力作用点在不同方向作出极限摩擦情况下的全反力作如果全反力作用点在不同方向作出极限摩擦情况下的全反力作用线，则这些直线将形成一个顶角为用线，则这些直线将形成一个顶角为2m的圆锥。的圆锥。FR AFN自锁：自锁：当物体所受主动力合力当物体所受主动力合力FQ作用线位作用线位于摩擦锥以内时于摩擦锥以内时0 m，无论主动力无论主动力FQ的的值增至多大，总有相应大小的反力值增至多大，总有相应大小的反力

9、FR与之与之平衡，使此物体恒处于平衡状态。平衡，使此物体恒处于平衡状态。要保证千斤要保证千斤顶的安全必顶的安全必须自锁，下须自锁，下面研究千斤面研究千斤顶的自锁条顶的自锁条件。件。螺旋千斤顶的自锁条件螺旋千斤顶的自锁条件 螺纹的自锁条件是使螺纹的升角 m小于或等于摩擦角 m。 m 第三节第三节 考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦平衡问题的特点考虑摩擦平衡问题的特点 受力分析时除应分析物体所受主动力、约束反力外，还应分析所受摩擦力。 摩擦力的方向一般不能假设摩擦力的方向一般不能假设，它与相对滑动趋势方向相反。 一般取临界平衡状态研究一般取临界平衡状态研究，先列出静力学平衡方

10、程，再列出静滑动摩擦定律决定的补充方程 ，联立求解。平衡问题的解答常是一个范围值。NfFmax物块重为 P P，放在倾角为q的斜面上，它与斜面间的摩擦因数为 fs，当物体处于平衡时，求水平力 F F1 的大小。例3-1PF1maxFmaxNxy解：经验表明水平力过大，物块上滑，而水平力太小，重力又可能导致物块下滑。1、考虑 物块上滑时的临界状态受力分析如图。 X = 0， F1max cos q P sin q Fmax = 0 （1） Y = 0，F1max sin q + P cos q N = 0 （2）补充： F max = fs N （3）式(3)代入式(1) fs (2)式 ,即

11、F1max (cos q fs sin q ) P (sin q + fs cos q) = 0得：PF1maxFmaxNPF1maxFmaxNPffFssqqqqsincoscossinmax1qF!2、考虑物块下滑时的临界状态F1minqxyPNFmaxX = 0， F1min cos q P sin q + Fmax = 0 （4）Y = 0， F1min sin q + P cos q - N = 0 （5）补充： Fmax = f s N （6）式(6)代入式(4) + f s (5)式 ,即F1min (cos q + f s sin q ) P (sin q - f s cos

12、q) = 0得：F1minFmaxF1minFmaxPffFssqqqqsincoscossinmin1PffFPffssssqqqqqqqqsincoscossinsincoscossin1:最后得若不计摩擦，即f s = 0前面解得的结果就退化为唯一答案 F1 = P tan q这与直接用平衡条件求解同。特别注意：从补充方程 F max = f s N 可见，由于f s是正系数，而N方向恒确定，导致N符号永正，这意味着F max 总是正值。换言之， F max 方向确定，绝不可随意画绝不可随意画。PffFPffssssqqqqqqqqsincoscossinsincoscossin11、考

13、虑 物块上滑时的临界状态，将法向反力和最大摩擦力用全约束反力 R 来代替。qPF1maxR 这时物块在 F1max 、P 和 R 三个力的作用下平衡。PF1maxR + 根据汇交力系平衡的几何条件，画自封闭力三角形。 F F1max 水平、P P与法线的夹角q ，而 R R与法线的夹角为摩擦角 。 求得： F1max = P tan(q + )PF1maxRPF1maxRPF1maxRq + q利用摩擦角的概念求上述例题利用摩擦角的概念求上述例题2、考虑物块下滑时的临界状态，仍将法向反力和最大摩擦力用全约束反力 R R 来代替。PF1minRqPF1minqR注意 R 的位置，即 角与 q 角

14、的关系。若 q，自锁。与题意不符作自封闭力三角形。 - F1min = P tan( q )合并情形1和2P tan( q ) F1 P tan(q + )按三角公式展开，得RRPF1minRRq - PffFPffssssqqqqqqqqsincoscossinsincoscossin1例题32 如图所示梯子AB一端靠在铅垂的墙壁上，另一端搁置在水平地面上。假设梯子与墙壁间为光滑约束，而与地面之间存在摩擦。已知摩擦因数为f s，梯子重为。试求：1、若梯子在倾角1的位置保持平衡，求约束力、和摩擦力。2、若使梯子不置滑倒，求其倾角的范围。 ABCWABCWABCW1FAFNAFNB解：1、取梯子

15、为研究对象，梯子受力如图所示。2、取梯子为研究对象，梯子受力如图所示。（注意：摩擦力的方向与运动摩擦力的方向与运动趋势方向相反趋势方向相反）0)(FAM0sin cos21N1lFlWB11Nsin cos2WFB0yFWFAN 0 xF0NBAFF1cot 2WFAFAFNAFNB0)(FAM0sin cos2NlFlWB0yF0NWFA 0 xF0NBAFFAAFfFNs)(2arccot sf ldbABCP 例题43 攀登电线杆的脚套钩如图。设电线杆直径d，A、B间的铅直距离b。若套钩与电线杆之间摩擦因数f s，求工人操作时，为了安全。站在套钩上的最小距离l应为多大？ FBfFAfFB

16、NFAN解：取脚套钩为研究对象，受力如图。00NNABxFF,F00ffAByFPF,F 0)(0fN2dlPdFbF,MBBAFBNsBfANsAfFfFFfFs2 fbl s2 fbl 实际例子实际例子假设：b100mm d300mm fs0.5求出：l100mm当l加大时FBf也增大，B处的最大静摩擦力也增大。平衡更加安全。即：FNFN2rM制动轮轴制动块制动块例题34 轴的摩擦制动装置简图如图所示，轴上外加的力偶矩M1000Nm，制动轮半径r = 250 mm，制动轮与制动块间的静摩擦因数f s = 0.25，试求制动时制动块加在制动轮上正压力的最小值。 FNminFmaxFNminF

17、max解：取轮轴为研究对象，受力如图。0)(FM02MrFmin NsmaxFfF000N 8N102502502100023smin N.rfMF2rM制动轮轴例题35 图示起重用抓具。由弯杆ABC和DEF组成，两根弯杆由BE杆在B、E两处用铰链连接，尺寸如图所示。试求为了抓取重物，抓具与重物之间的静摩擦因数fS应为多大？ FQFQ150600200120oADBCGFE解：取重物为研究对象。FFNFFNFQNSQyFfFFFF0215. 0Sf015. 02 . 06 . 0NRDEFFFM取DEF弯杆为研究对象。FFNFEyFExFRD060cos60cos060sin60sinQRAR

18、DyRARDxFFFFFFF取吊环为研究对象。FQ120oFRDFRA考虑摩擦时的平衡问题箱体稳定箱体稳定考虑摩擦时的平衡问题箱体稳定箱体稳定 例题例题36 图4-13所示的均质木箱重P5 kN，它与地面间的静摩擦因数fs0.4。图中h = 2a =2 m，= 30。 求：（1）当D处的拉力F = 1 kN时，木箱是否平衡？（2）能保持木箱平衡的最大拉力。 AaFqhDPxy解：取木箱为研究对象，受力如图。dFsFN保持木箱平衡，必须满足两个条件： 一是不发生滑动，即要求静摩擦力FsFmax = fs FN；二是不绕A点翻倒，这时法向约束力FN的作用线应在木箱内，即d0。 1、木箱是否平衡？0

19、cos0sqFF,Fx0sin0NqFPF,Fy 02cos0NdFaPhF,MAqFFs =0.866 kN，FN = 4.5 kN，d = 0.171 m此时木箱与地面间最大摩擦力 Fmax = fsFN = 1.8 kN可见，Fs Fmax，木箱不滑动；又d0，木箱不会翻倒。因此，木箱保持平衡木箱保持平衡。 2、求能保持木箱平衡的最大拉力。木箱即将滑动的条件为： Fs = Fmax = fs FN kN8761sincosss.fPfFqq滑滑木箱将绕A点翻倒的条件d = 0，即： kN4431cos2翻.hPaFq由于F翻F滑，所以保持木箱平衡的最大拉力为：FF翻1.443kN 这说明

20、，当拉力F逐渐增大时，木箱将先翻倒而失去平衡。 习题习题 ：矩形活动木窗重G60N，可沿导槽上下移动，木窗由细绳跨过滑轮用两个各重30N的平衡锤吊住，如图所示。如左边细绳突然拉断，问木窗与导槽间的静摩擦因数fs为多大时，木窗才不致滑下。木窗与导槽间的间隙可略去不计。提示：当左边细绳拉断时，木窗在A、D两点接触。 60cmBACD75cmfs=0.8FNAFTFNDFD解：取木窗为研究对象，受力如图。GNDsDFfF 075. 030275. 060. 075. 0GFFMNDDA0NDNAxFFF030 GFFFDAyNAsAFfF FA（两个方程可以不列）（两个方程可以不列）对象为物块对象为

21、物块 B ，受力分析如图所示。，受力分析如图所示。BWNBFBNABFAB f0sincos0cossinABABBxABABByNFNFNFWFF2）再以尖劈）再以尖劈A为对象并分析受力。为对象并分析受力。PASAABSABNfFNfFAPBW 习题习题靠在铅垂面的物块靠在铅垂面的物块 B 重重W，其斜面与一在水平面上夹角为，其斜面与一在水平面上夹角为 的劈尖的劈尖 A相相接触，尖劈的重量忽略不计。若各接触面之间的摩擦系数均为接触，尖劈的重量忽略不计。若各接触面之间的摩擦系数均为 fS，求加在劈，求加在劈尖上的水平力尖上的水平力 P 应多大才能升起重物。应多大才能升起重物。NABFABNAF

22、A0cossin0sincosAABAByAABABxNNFFPFNFFmSmfWPtan)2tan(其中：BSBABSABNfFNfF 习题习题 均质杆AB和BC完全相同，A和B为铰链连接，C端靠在粗糙的墙上，如图所示，设C端的静摩擦角为f ，则平衡时范围是( )。ACBFNGGFs以整体为研究对象以整体为研究对象 0AMqqcos212sin2ABGABFNqqcos21sinGFN以以BC为研究对象为研究对象 0BM0sincos2cosqqqABFABGABFNsNfsFFqtanqsinNFqqqsin2costanNfNFFfqqtan21tanfqqtan21arctanABPC

23、 习题习题 不计滑块A和BC杆的重量，不计滑轮C的大小和重量，AB水平，AB=BC，系统在图示位置平衡，问滑块A与铅垂墙面间的静滑动摩擦因数为多大？PFNFs030NSNSyXFfFPFFPFF0sin0cosN3330tantan0sf解：取物体A为研究对象。 习题习题 一活动支架套在固定圆柱的外表面，且一活动支架套在固定圆柱的外表面，且h h = 20 cm= 20 cm。假设支架和圆柱之间的静摩擦因数假设支架和圆柱之间的静摩擦因数 f fs s = 0.25= 0.25。问作用于。问作用于支架的主动力支架的主动力F F 的作用线距圆柱中心线至少多远才能使的作用线距圆柱中心线至少多远才能使

24、支架不致下滑（支架自重不计）。支架不致下滑（支架自重不计）。解：取支架为研究对象解：取支架为研究对象NBsBNAsANBBABAyNBNAFfFFfFdxFhFdFMFFFFFFF0200 xABdbaeOM解:(1).选凸轮研究对象,画受力图. OMFOxNFOyeMNNeMMO0ABdbaNAFANBFBN(2).选推杆研究对象,画受力图. 取推杆为研究对象,如图所示。 02200 dFdFbNNaFmABB考虑平衡的临界情况考虑平衡的临界情况(即推杆将动而未动时即推杆将动而未动时),摩擦力摩擦力达到最大值达到最大值.根据摩擦定律可列出根据摩擦定律可列出: FA=fNA , FB=fNB

25、由以上各式可得由以上各式可得:fb2 fb2 0, 00, 0NFFYNNXBABA要保证机构不被卡住要保证机构不被卡住,必须使必须使(4).分析讨论. 从解得的结果中可以看出,机构不致于被卡住，不仅与尺寸a有关，还与尺寸b有关,如b太小,也容易被卡住.注意:在工程上遇到象顶杆在导轨中滑动,滑块在滑道中滑动等情况，都要注意是否会被卡住的问题.习题习题 在用铰链在用铰链 O 固定的木板固定的木板 AO和和 BO间放一重间放一重 W的匀质圆的匀质圆柱柱, 并用大小等于并用大小等于P的两个水平的两个水平力力P1与与 P2维持平衡维持平衡,如图所示如图所示。设圆柱与木板间的摩擦系数为设圆柱与木板间的摩

26、擦系数为 f , 不计铰链中的摩擦力以及木不计铰链中的摩擦力以及木板的重量板的重量,求平衡时求平衡时P的范围的范围。2dP1P2ABCDWO2q ( 分析：分析：P小，下滑；小，下滑； P大，上滑大，上滑)解解:(1)求求P的极小值的极小值F1F2CDWON1N2设圆柱处于下滑临界状态设圆柱处于下滑临界状态,画受力图画受力图.由对称性得由对称性得:N1 = N2 = NF1 = F2 = F Fy = 0联立联立(1)和和(2)式得式得:qqcosfsin2WN2Fcos + 2Nsin - W=0 (1) qqF=fN (2) 取取OA板为研究对象画受力图，此时的水平力板为研究对象画受力图，

27、此时的水平力有极小值有极小值Pminqqcotcotmin1dPrNqqcosfsind2WrPmin(2)求求P的极大值的极大值当当P达到极大值时达到极大值时,圆柱处于上滑临界状态圆柱处于上滑临界状态.只要改变受力图只要改变受力图中摩擦力的指向和改变中摩擦力的指向和改变 F 前的符号即可前的符号即可.P1N1 ACOF1 q qFxFyOim (F) = 0F1F2CDWON1N2P1N1 ACOF1 q qqqcosfsin2WN mO(Fi) = 0qqcotcotmin1dPrNmax用摩擦角用摩擦角 表示得表示得:qqcosfsind2WrPmaxqqqqcosfsind2WrPco

28、sfsind2WrqqsindcosWrPsindcosWr 当角当角 等于或大于等于或大于q q时时,无论无论P多大多大,圆柱不会向上滑圆柱不会向上滑动而产生自锁现象动而产生自锁现象. (a) 00f1 RFFr,FMO(b) fGRrFRrF (d) NsfFfF cFfcFaFbFNsf1N cfbaFFs1N cfbaFfFs1sf ,cfbaFRrGS1 RafcfbrGFss1 (c) 00Nf1 bFcFaF,FMO习题习题制动器如图所示。制动块与鼓轮表面间的摩擦因数为制动器如图所示。制动块与鼓轮表面间的摩擦因数为f fs s，试求制动鼓轮转，试求制动鼓轮转动所必需的力动所必需的

29、力F F1 1。习题习题 在平面机构中，各杆重不计，B块重P100N，与铅垂面间静摩擦因数fs0.1，OA200mm，OA杆受力偶作用，O、A、B处为光滑铰链，当AB杆水平时系统平衡。试求力偶矩M的最小值。 A030BMO取OA：M0M-SABOAcos300取B：FxNBSAB0，FyFBP0Mmin173.2Nm习题习题 尖劈装置如图。物块A与墙面及物块B之间均为光滑接触。物块B与地面之间的静摩擦因数fs0.5。如不计两物块的重量，试求物块保持平衡时，力P之值的范围。 P1000NAB030060NPN17493 .69PFABFBFNBB不向右滑动不向右滑动PFABFBFNBB不向左滑动

30、不向左滑动FAFAB分别列三图方程即可分别列三图方程即可习题习题 砖夹由曲杆AHB和HCED在H点铰接而成。砖重为Q，提砖的力P与砖的重力Q作用在同一铅垂线上，其余尺寸如图所示，尺寸b是H点到砖块上所受的合力作用线间的距离。设砖夹与砖之间的静摩擦因数fs0.5，问b应为多大才能把砖夹起？ b25cm3cmQADPHBCE3cm解：解：取砖为研究对象取砖为研究对象求得求得b110mmFNDFNAFDFAQ2QFFDA由整体可得由整体可得P=Q，取，取AHB为研究对象。为研究对象。PFNAFAFHxFHyABHAsANAAHFfFbFFPM0335 .12P P P PFF1 243 已知：已知：

31、 P=10N，书之间，书之间 fs1 =0.1，手与书手与书 fs2 = 0.25。问：要提起这四本书需加的最小压力。问：要提起这四本书需加的最小压力。FsFsPF1FsF12FN1P2解：（解：（1）取整体为研究对象）取整体为研究对象042, 0PFYsFs=20NN80,2FFfFss（2）取书）取书1为研究对象为研究对象N100, 01212FFPFYsN100,112FFfFs（3）取书）取书2为研究对象为研究对象FN1F12FN2F23N00, 0232312FFPFYNFmin100 请大家回去考虑最多能提起多少本书解解：0 sin cos221qqNFFF0 cos sin2N2

32、1NqqFFF1Ns1m1FfFF2Ns2m2FfFFFN1FN2习题习题得得ss2N1NcossinffFFqq（1）（2）代入（代入（1）得）得0sin)cos(2N2N1NsqqFFFf代入（代入（2）得）得0cossin2N2Ns1NqqFFfFOxF1F2FN1FN2所以楔块不致滑出的条件为所以楔块不致滑出的条件为qqcossins2N1N fFF得：得：qqqqcossincossinsssfffmsftan代入（代入（3）式）式（3）qqqqcossintancostansintanmmm)tan(1tantantantanmmmqqq即：即：mq2mq2习题习题 如图所示结构，

33、水平杆AB长l=0.2m杆BC垂直于AB。滑块D重W1kN，紧靠在铅垂墙上，它与墙之间的摩擦角fm300，杆重均不计。求系统平衡时作用咱铰C上的水平力P的范围。 CBAPD060kNPkNFPFPkNFFFfFWFFFFFFkNFFFfFWFFFFFFCDCDxCDmDDsCDyDCDxCDmDDsCDyDCDx866. 0433. 0 ,21060cosFC732. 1,tan060sin060cosD866. 0,tan060sin060cosD0maxmax00maxmax00：取节点，滑块即将上滑时：取滑块，滑块即将下滑时：取滑块ffDFDFNDWFCD不下滑不下滑DFDFNDWFCD

34、不上滑不上滑FCDFCB已知：已知： P=1000N， fs =0.52若杆重不计。求：系统平衡时的若杆重不计。求：系统平衡时的Qmax。ABCQ5cm10cm30PBFBCQFBAFBAFNFmaxAOP解解: (1) 取销钉取销钉B为研究对象为研究对象030sin, 0QFYBAFBA=2Q(2) 取物块取物块A为研究对象为研究对象 处于滑动的临界平衡状态时处于滑动的临界平衡状态时 NsBANBAFfFFPFYFFXmaxmax030sin, 0030cos, 0N03.4293max1PffQssFBAFNFAOPN03.4293max1PffQss 处于翻倒的临界平衡状态时处于翻倒的临

35、界平衡状态时0530cos5 . 230sin5 . 20)(BABAOFFPFMN83.405) 5 . 03(2max2PQN83.405maxQABCQ5cm10cm30P习题习题 长为l，重为w，直杆AB铅垂直立在粗糙的不平面上， ， f=1/3，P=w，已知 BD=l/3，试问：AB杆是否处于平衡状态? 若要使其平衡，地面与杆端B的摩擦因数 f 为多大?45q045sin, 0)(lTFMB45sin3PTPFTFPFx32, 045cos, 0PNTwNFy34, 045sin, 0max94max,FFPNfF【解解】 作受力图，假设处于平衡状态。则应满足所所以以杆杆不不能能平平

36、衡。衡。ABDPCqAPBDTqwNF增大 f，高物体处于临界平衡，则,32,34maxFNfFpFpN5 . 0NFf5 . 0fAB杆平衡，则有习题习题圆柱体重W1，支承于A、B两物体上如图所示，已知A、B两物体各重P/2 ，其它们于圆柱体之间的摩擦不计，又它们于地面的摩擦相同。设当 =30o 时，系统处于临界平衡状态，求A、B两物体与地面的 摩擦因数。2P302PP(a)30PFANFBN(b)NFF302P(c)WNNWNNYNNXBABABA030sin30sin,0,0 解：(1)以圆柱体为研究对象，其受力图如图(b b)(2)以A物体为研究对象，因系统对称、受力对称，A、B物体受

37、力情况相同，故只研究A，其受力图如图（C）WFWFX23, 030sin, 0WNWWNY, 030sin2, 0因系统处于临界状态，则866.023,23maxfWfFWF即WffNF max故 习题如图所示圆鼓和楔块，已知G、r、q 、fS ，不计楔重及其与水平面间的摩擦，试求推动圆鼓的最小力F。由 ，得0 xF NAFF解：先研究整体，其受力如图 所示。OBAGrqFyxSAFNAFNF再研究圆鼓，其受力如图 (b)所示。若 ，SBNBsFFf则由 ，得0 xF sincos0NANBSBFFFqqcos(1sin )0NBSBF rF rGrqq由 ，得0AM解之，得sincoscos

38、sinsNAfFGfsfsqqqqOBAGrqyxK图 (b)SAFNAFSBFNBF则由 ，得0BMcos(1sin )sin0NASAFrF rGrqqq故sincossinNAFGffqqq 显然,NANAFF 故minNAFF 若 ，SANAFFfA点处先滑动。习题习题图示一折叠梯放在地面上，与地面图示一折叠梯放在地面上，与地面的夹角的夹角q q=60o脚端脚端A与与B和地面的摩擦因和地面的摩擦因数分别为数分别为fsA =0.2 和和 fsB =0.6在折叠梯的在折叠梯的AC侧的中点处有一重为侧的中点处有一重为500N的重物。的重物。不计折叠梯的重量，问它是否平衡？如不计折叠梯的重量，

39、问它是否平衡？如果平衡，计算两脚与地面的摩擦力。果平衡，计算两脚与地面的摩擦力。解：假定系统为平衡，研究整体解：假定系统为平衡，研究整体q qGq qA AB BCq qq qCAFNBFNAFfyxBFf0AM025. 0NbGbFBN12525. 0NGFB 0yM0NNGFFBAN375NNBAFGFN17.72cotNfqBBFF0 xF0ffBAFFN17.72ffBAFF假定系统为平衡，研究假定系统为平衡，研究CB杆杆BFfBFNCFqcotNfBBFF假定系统为平衡假定系统为平衡q qGq qA AB BCAFNBFNAFfyxBFfN125NBFN375NAFN17.72fBF

40、N17.72fAF系统是否真的平衡？系统是否真的平衡？N75NsmAAAFfFN75NsmBBBFfFAAFFmfBBFFmf系统确是平衡的，上述结果可信系统确是平衡的，上述结果可信 ACBFBPFoACBFBDFAxFAyFNCFCoDFPFDFNDFCFNC解解: (1) 取取AB杆为研究对象杆为研究对象02, 0)(lFlFFMBNCA设设 C 处达到临界状态，则有：处达到临界状态，则有：NCCCCFfFFmax解解得：得：FNC=100N， FC=40N(2) 取轮为研究对象取轮为研究对象060sin60cos0060cos60sin, 00, 0)( NDCNCyDCNCxDCOFP

41、FFFFFFFFrFrFMF已知：已知： P=100N，FB=50N ，fc =0.4， 求：求：(1) 若若fD =0.3， 轮心轮心O的水平推力的水平推力Fmin =60，AC = CB = l /2， r。 (2) 若若fD =0.15， 轮心轮心O的水平推力的水平推力FminACBFBFAxFAyFNCFCoDFPFDFNDFCFNC设设 C 处达到临界状态，则有：处达到临界状态，则有：NCCCCFfFFmax解解得：得：FNC=100N， FC=40N(2) 取轮为研究对象取轮为研究对象060sin60cos, 0060cos60sin,0, 0)(NDCNCyDCNCxDCOFPF

42、FFFFFFFFrFrFMF解解得：得：FD=40N ，F = 26.6N，FND=184.6NN39.556 .1843 . 0maxNDDDFfF由于由于 FDFDmax，D处无滑动，上述假定正确处无滑动，上述假定正确oDFPFDFNDFCFNC(3) 当当 fD =0.15 时时N7 .276 .18415. 0maxNDDDFfF因因 FDFdmax 故故应设应设 D 处达到临界状态处达到临界状态060sin60cos, 0060cos60sin, 00, 0)(NDCNCyDCNCxDCOFPFFFFFFFFrFrFMF补充方程：补充方程：NDDDDFfFFmax解得：解得：FD=

43、FC =25.86N ，F = 47.81NN40N86.25maxNCCCCFfFF而而此此时时故上述假定正确故上述假定正确N81.47minF? 如何求得系统平衡时如何求得系统平衡时FmaxACBFBFAxFAyFNCFC思考题思考题2：均质杆重均质杆重P，长，长l，置于置于粗糙的水平面上，两者间的静摩擦粗糙的水平面上，两者间的静摩擦系数为系数为fs。现在杆的一端施加与杆现在杆的一端施加与杆垂直的力垂直的力F，试求使杆处于平衡时试求使杆处于平衡时的的设设杆的高度忽略不计。杆的高度忽略不计。F思考题思考题3：重量均为重量均为 的小球的小球A、B用一不计重量的杆连结。放置用一不计重量的杆连结。

44、放置在水平桌面上，球与桌面间摩在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为擦系数为 ，一水平力一水平力作用作用于于A球，系统平衡时球，系统平衡时 30ABF思考题思考题1：有人想水平地执持一迭书，他用手在这迭书的两端加有人想水平地执持一迭书，他用手在这迭书的两端加一压力一压力225N。如每本书的质量为如每本书的质量为0.95kg，手与书间的摩擦因数为手与书间的摩擦因数为0.45，书与书间的摩擦系数为，书与书间的摩擦系数为0.40。求可能执书的最大数目。求可能执书的最大数目。思考题：思考题：均质杆质量为均质杆质量为m，长，长l，置于粗糙的水平面上，两者间置于粗糙的水平面上，两者间的静摩擦系数为的静摩擦系数

45、为fs。现在杆的一端施加与杆垂直的力现在杆的一端施加与杆垂直的力F，试求试求使杆处于平衡时的使杆处于平衡时的。设杆的高度忽略不计。设杆的高度忽略不计。xOFABl解：取杆解：取杆 AB 为研究对象为研究对象02)(2, 0)(0)(, 022lxlmgflxmgfxFFMxllmgfxlmgfFFssOssx思考题：思考题：重量均为重量均为 的小球的小球A、B用一不计重量的杆连结。放置用一不计重量的杆连结。放置在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为 ，一水平力一水平力作用于作用于A球，系统平衡时球，系统平衡时 30ABFAFAFSAFSAFSBFmax解：（解：（

46、1）取）取小球小球 A 为研究对象为研究对象（2）取）取小球小球 B 为研究对象为研究对象PF30问题问题1 已知摩擦角已知摩擦角 f= 20，F=P，问物问物块动不动？为什么？块动不动？为什么？问题问题2 已知摩擦角均为已知摩擦角均为 f ，问欲使楔子问欲使楔子打入后不致滑出，在两种情况下的打入后不致滑出，在两种情况下的 ，物角应为若干？物角应为若干？FNAFNBFSBFSAFRAFRBF1F2RF1F2dtnF+dFFdFNdFSdF=dFSdFN=FddFS=fsdFNdF=Ffsd012,dfFdFdfFdFsFFs为为维持皮带平衡，应有维持皮带平衡，应有习题习题 皮带（或绳索）绕在半

47、径为皮带（或绳索）绕在半径为R的圆柱上，其包角为的圆柱上，其包角为 ，摩擦因数为摩擦因数为fs，其两端的拉力为其两端的拉力为F1及及F2 ，求平衡时求平衡时F1与与F2的关系。的关系。F1F2接上题，如果将绳在圆柱上绕两周，且接上题，如果将绳在圆柱上绕两周，且知知F2 =1kN，求绳平衡时求绳平衡时F1的范围，绳与的范围，绳与圆柱间的摩擦因数为圆柱间的摩擦因数为fs =0.5。解解: 将数据代入将数据代入 上题公式上题公式F2 =1kN, fs =0.5, =4如果允许如果允许 F1 F2 ，将数据代入将数据代入 故：故：kN2 .535kN002. 01F习题 质量m20 kg的均质梁AB，

48、受到力F254 N的作用。梁的A端为固定铰链，另一段搁置在质量M35 kg的线圈架芯轴上。在线圈架的芯轴上绕一不计质量的软绳，如图所示，如不计滚动摩擦，试求最少要在此绳上作用一多大的力FT，才能使线圈架运动？线圈架与AB梁和地面E的滑动摩擦因数分别为fD0.4，fE0.2，图中R0.3m，r0.1m。 解：线圈架由静止状态开始运动，就其临界状态而言，运动形式有三种可能性：（1）D和E均发生滑动；（2）沿地面滚动而无滑动（3）沿AB梁滚动而无滑动。 以AB梁为研究对象 以线圈架为研究对象以线圈架为研究对象 N30032023, 0NNmgFFmgFFMDDAFN6430, 0NNNNmgFFmg

49、FFFDEDEy讨论三种可能发生讨论三种可能发生的运动情况的运动情况 线圈架的D、E两点都滑动 线圈架沿AB梁滚动而无滑动N6 .1286432 . 0,N1203004 . 0NNNNEEEDDDFfFFfF0, 0T1EDxFFFFN6 .248T1EDFFF128.6 N EEEDDDFfFFfFNN, 03 . 01 . 01 . 02, 0T2EDFFMFN2 .2572T1EFF线圈架沿地面滚动而无滑动 显然：FT3 FT1 FT2 因此，当FT力由零开始逐渐增大至FT3240 N时，线圈架开始沿地面滚动。 =120 N DDDEEEFfFFfFNN, 01 . 03 . 03 .

50、 01 . 0, 03TFFMDEFN24023TDFF为了核对上述结果，现分析第三种情形时，E接触点处的摩擦力FE应等于多少。仍看图，当FT3240N ，FD120 N时，按平衡临界状态考虑FE应等于120N ，小于E点处最大静滑动摩擦力FE128.6 N，故E点没有滑动是符合实际的。 1max1maxmax1max1max0cossin,00sincos, 0NfFNfFFFNYNFNXN 0习题习题 构件1及2用楔块3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1, 求能自锁的倾斜角 。解：研究楔块，受力如图，列方程求解：42.11解得： 解法一解法一求：作用于鼓轮上的制动力矩.习题已知：,

51、N200F,5 . 0sf220.5m ,KLO LR,m75. 01BO,m11DOAC,m25. 0ED各构件自重不计；121OOKDDCO A10OM011BOFAOFACN300ACF0DM0cosCDFDEFCAEKqN600cosqEKF0 xFcos0DxEKFFq600NDxF（a）(b) 解： 分析O1AB,画受力图分析DCE,画受力图10OM111102DxNFO DFO D11200NNF 20OM2221cos02KENFKOFKOq21200NNF (c)(d)分析O2K，画受力图分析O1D,画受力图mN300M22NssFfF11NssFfF RFRFMssO12分

52、析鼓轮，画受力图(1) (1) 滚阻力偶和滚阻力偶矩滚阻力偶和滚阻力偶矩QPcrA设一半径为设一半径为r的滚子静止地放在水的滚子静止地放在水平面上平面上，滚子重为滚子重为P。在滚子的中在滚子的中心作用一较小的水平力心作用一较小的水平力Q。取滚子为研究对象画受力图。取滚子为研究对象画受力图。Fx = 0 Q - F = 0Fy = 0 N - P = 0mA(Fi) = 0 m - Qr = 0m = Q rQPcrANFm第四节 滚动摩阻的概念(2) (2) 产生滚阻力偶的原因产生滚阻力偶的原因AoQPNFRAoQPB 滚子与支承面实际上滚子与支承面实际上不是刚体不是刚体, ,在压力作用下在压力作用下它们都会发生微小变形。它们都会发生微小变形。 设反作用力的合力为设反作用力的合力为R并作用于并作用于B点点, ,滚子在力滚子在力P , , Q与与R作用下处于平衡状态。作用下处于平衡状态。 将力将力 R 沿水平与竖直两个方向分解