高三总复习直线与圆的方程知识点总结

1、直线与圆的方程、直线的方程1、倾斜角:与的关系:2、斜率：k=tan=0=00V已知L上两点Pi （xi,yi）P2 ( X2,y2)不存在k=。X2Xi当Xi =x2时，=90°,不存在。当0 时， =arctank,<0 时,+arctank已知方程说明斜截式K、bY=kx+b不含y轴和行平 于y轴的直线点斜式Pi=(xi ,yi) ky-y i=k(x-x i)不含y轴和平行 于y轴的直线两点式pi(xi,yi)P2(x2,y2)yyix-V2 y1x2xi不含坐标辆和 平行于坐标轴 的直线截距式a、b4)i a b不含坐标轴、平 行于坐标轴和 过原点的直线一般式Ax+b

2、y+c=0A、B不同甘时为0 13、截距（略）曲线过原点横纵截距都为0。4、直线方程的几种形式几种特殊位置的直线x轴：y=0y轴：x=0平行于x轴：y=b平行于y轴：x=a过原点：y=kx两个重要结论：平面内任何一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程。任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。5、直线系：（i）共点直线系方程：p0 （x0,y。）为定值，k为参数y-y0=k （x-x。） 特另1J： y=kx+b ,表示过（0、b）的直线系（不含 y轴）（2）平行直线系：y=kx+b , k为定值，b为参数。AX+BY+入=0表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系BX-AY+入=0

3、表示与AX+BY+C垂直的直线系（3）过 Li,L2交点的直线系 Aix+Biy+Ci+入（A2X+B2Y+C2） =0 （不含 L2）6、三点共线的判定： AB BC AC ,kab=kbc,写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。、两直线的位置关系1、L1 ： y=k 1x+b 1L2： y=k2x+b2L1:L2：A1X+B1Y+C1=0A2X+B2Y+C2=0L1与L2组成的方程组平行K1二k2 且 b1 w b2A1A2B1C1b2c2无解重合K1二k2 且 b1=b2A1A2B1C1B2C2后无数多解相交K1 w k2A1AB1B2有唯一解垂直K1 k2=-1A1A2+B1B2

4、=0(说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考Jkf .k22、L1到L2的角为0,则tan 1 k2.I k2 kJ3、夹角： tan-|1卜2鹏Axo By。 c4、点到直线距离：d 1Ja2 b2两行平线间距离：L1 =AX+BY+Ct）k1, ,/（k1k21）?l（已知点（po（xo,yo）, L : AX+BYt1=0 L2： AX+BY+C 2=0dJ9=0 ）c1 c2A2 B2与AX+BY+C=0平行且距离为d的直线方程为Ax+By+C ± dJ,A2 B2 0与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是Cl C2AX BY 2 0 25、

5、对称：(1)点关于点对称：p(xi,yi)关于M (x0,yO)的对称P (2X0 Xi,2Y0 Y1)(2)点关于线的对称：设 p(a、b)对称轴对称点p对称轴对称点pX轴p （a、 b）Y=-xp （ b、a）Y轴p （ a、b）X=m（m 卞 0）p （2m a、b）y=xp （b、 a）y=n（n 丰 0）p （a、2n b）般方法:0 *Kl= 1Po中点满足L方如图：（思路1）设P点关于L的对称点为Po（xo,yo）则解出 Po（xo,yo）（思路2）写出过PXL的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出 Po（xo,yo）的坐标。（3）直线关于点对称L: AX+BY+C=0 关

6、于点 P （Xo、Yo）的对称直线 l : A （2Xo-X） +B （2Yo-Y） +C=0（4）直线关于直线对称几种特殊位置的对称：已知曲线 f（x、y）=0关于x轴对称曲线是 关于y轴对称曲线是 关于原点对称曲线是f（x、-y）=0f（-x、y）=0f（-x、-y）=0关于y=x对称曲线是f（y、x）=0关于y= -x对称曲线是f（-y、-x）=0 关于x=a对称曲线是f（2a-x、y）=0关于y=b对称曲线是f（x、2b-y）=0一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。 三、简单的线性规划不等式表示的区域AX+BY+C=0约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性

7、规划，可行解，最优解。要点：作图必须准确（建议稍画大一点）。线性约束条件必须考虑完整。先找可行域再找最优解。四、圆的方程221、圆的万程：标准万程x a （y b） r , c （a、b）为圆心，r为半径。一般方程：x2 y2 DX EY F 0,.D2 E2 4F当D2 E2 4F 0时，表示一个点。当D2E24F。时，不表示任何图形。参数方程：x a r cosy b r sin 为参数以A （Xi, Yi）, B （X2, 丫2）为直径的两端点的圆的方程是（X-Xi） （X-X2）+ （Y-Yi） （丫-丫2）=02、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离 d,然后与r比较大小。3、直线和圆

8、的位置关系：相交、相切、相离判定：联立方程组，消去一个未知量， 得到一个一元二次方程：>0 相交、4=0相切、< 0 相离利用圆心c （a、b）到直线AX+BY+C=0的距离d来确定：dvr 相交、d= r 相切d>r 相离（直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的ktA）4、圆的切线：（1）过圆上一点的切线方程222 . . 2与圆x y r相切于点（xi、yi）的切线万程是 xix yi y r与圆（x a）2 （ y b）2 r2相切于点（xi、yi）的切成方程为：（x1 a）（x a） （yi b）（y b） r2与圆x2 y2 DX EY F 0相切于点（xi

9、、yi）的切线是x xiy yixix yiy D E号 F（2）过圆外一点切线方程的求法已知：P0（x0 , y°）是圆(x a)2 (y b)2 r2 外一点（xi设切点是pi（xi、yi）解方程组（x0a)2 (yi b)2 r22a)(x1 a) (y0 b)(y1 b)先求出Pi的坐标，再写切线的方程设切线是y y0k(x x0)即 kx y kx0y。再由Ika b kx0 yo| r ,求出k,再写出方程。、k2 i（当k值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于x轴的切线）已知斜率的切线方程：设 y kx b （b待定），利用圆心到L距离为r,确定b。5、圆与圆的位置关系

10、由圆心距进行判断、相交、相离（外离、内含） 、相切（外切、内切）6、圆系同心圆系：(x a)2 (y b)2 r2， ( a、 b 为常数，r 为参数)或：x2 y2 DX EY F 0( D、 E 为常数，F 为参数)圆心在x 轴：(x a)2 y2 r 2222圆心在y 轴：x(y b)r过原点的圆系方程(x a)2 (y b)2 a2 b2过两圆C1 : x2 y2 D1X E1Y F1 0 和C2 : x2 y2 D2X E2Y F20的交点的圆系方程为2222x2y2 D1XE1YF1入(x2y2D2XE2YF20(不含C2) ，其中入为参数若Cl与C2相交，则两方程相减所得一次方程

11、就是公共弦所在直线方程。类型一：圆的方程例 1 求过两点A(1 , 4) 、 B(3, 2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点P(2 , 4) 与圆的关系22例 2 求半径为4，与圆x2 y2 4x 2y 4 0 相切，且和直线y 0相切的圆的方程例 3 求经过点A(0 ,5) ，且与直线x 2y 0和 2x y 0 都相切的圆的方程例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2； (2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1,在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线l： x 2y 0的距离最小的圆的方程类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆O： x2 y2 4,求过点P 2

12、,4与圆O相切的切线.例 6 两圆C1:x2 y2D1xE1yF10 与C2:x2y2D2xE2y F20 相交于A、B两点，求它们的公共弦 AB所在直线的方程.例7、过圆x2 y2 1外一点M (2,3),作这个圆的两条切线 MA、MB ,切点分别是 A、 B ,求直线AB的方程。22例8、求直线l:3x y 6 0被圆C：x y 2x 4y 0截得白弦AB的长.例9、直线J3x y 2J3 0截圆x2 y2 4得的劣弧所对的圆心角为 例10、求两圆x2 y2 x y 2 0和x2 y2 5的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线J3x y 2和 0和圆x2 y24 ,判断此直线

13、与已知圆的位置关系例12、若直线y x m与曲线y $4 x2有且只有一个公共点,求实数m的取值范围例13圆(x 3)2 (y 3)2 9上到直线3x 4y 11 0的距离为1的点有几个？例 14、判断圆 C1:x2 y2 2x 6y 26 0与圆 C2 : x2 y2 4x 2y 4 0 的位置例15:圆X2222一y 2x0和圆x y 4y 0的公切线共有条。类型六：圆中的对称问题2例16、圆x2y 2x 6y 9 0关于直线2x y 5 0对称的圆的方程是 例17自点A 3,3发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C: x2 y2 4x 4y 7 0相切(1)求光线l

14、和反射光线所在的直线方程.(2)光线自A到切点所经过的路程.类型七：圆中的最值问题例18：圆x2 y2 4x 4y 10 0上的点到直线x y 14 0的最大距离与最小距离的差是例19(1)已知圆O1：(x3)2(y4)21 , P(x, y)为圆。上的动点，求dx2y2的最大、最小值.(2)已知圆 O2：(x 2)2 y21 , P(x, y)为圆上任一点.求2的最大、最小值，求x 2y的最大、最小值.一 _ . 一一，,222例 20：已知 A( 2,0), B(2,0),点 P 在圆(x 3)2 (y 4)24 上运动，则 | PA PB的最小值是.类型八：轨迹问题1例21、基础训练：已知点 M与两个定点O(0,0), A(3,0)的距离的比为1,求点M的轨迹2方程.例22、已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3),端点A在圆(x 1)2 y2 4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.例23如图所示，已知圆O： x22y 4与y轴的正万向父于A点，点B在直线y 2上运动，过B做圆。的切线,切点为C,求 ABC垂心H的轨迹.B类型九：圆的综合应用例24、已知圆x2 y2 x 6y m 0与直线x 2y 3 0相交于P、Q两点，O为原点，且OP OQ ,求实数m的值.例