(完整版)导数的几何意义教案(后附教学反思).docx

1、导数的几何意义教案(后附教学反思)永嘉中学数学组 周瑛 08.4.13【教学目标】 知识与技能目标：(1)使学生掌握函数f(x)在x xo处的导数Qxo的几何意义就是函数f(x)的 图像在X X0处的切线的斜率。(数形结合)，即：f X X f ( X )fz xolim 二切线的斜率x 0 X(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方 法。过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力 的目的。情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结

2、合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。培养学生学数学， 用数学的意识。【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。【课型】探究课【教学重点与难点】重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。难点：发现、理解及应用导数的几何意义【教学过程】(一) 课题引入，类比探讨：让学生回忆导数的概念及其本质。(承上启下，自然过渡)。师：导数的本质是什么？写出它的表达式。(一位学生板书)，其他学生在 “学案”中写：导数f / ( X0 )的本质是函数f ( X)在X X0处的瞬时变化率，即：f7 xo lim f-xo-x-fCmx 0

3、 X(注记：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成 数学符号，有利于学生思维能力的有 效提高，为学生“发现”，感知导数的几何意义奠定基础）师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义（板书课题），应从哪儿入手呢？（教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要结合“数”）生1:研究导数的代数表达式。师：那必然就要回忆求导数f/（xo）的步骤了。生（齐）：分三步：第一步：求y第二步：求平均变化率工xf （ Xf （ X ）第三步：当x趋近于0时，平均变化率 "无限趋近于的常x数就是f/（xo）。（回归本质

4、，数形结合）教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分三个步骤：师：第一步：y的几何意义。（并在学案的图（二次函数）中画出）生：当X0X与X0所对应的函数值的差量。师：很好，那么第二步：平均变化率f（x°x）3的几何意义是什么?X（同样请在函数图像中画出来）；由于上节探究中做过，所以还是比较简单。f（XX）f （ X ）生2：平均变化率 。的几何意义是割线AB的斜率。其中xA（ xo , f （ xo ）, B（xo x, f（xo x）。（提醒学生A、B两点的坐标必须写清楚。）师：第二步：x 。时，割线AB有什么变化？请用你

5、的笔描绘出来。（有静态到动态的过渡，比较考察学生的观察能力，动手能力与独立思考能力）很快，有几个学生又画了三条直线（其中横坐标在 xo x与xo之间。）教师让生3用投影仪展示自己的作品，并向其它学生介绍自己作图的意图，由此引导同伴观察到：x 0 , B（ Xo x, f （ xo x） A（ xo , f （ xo ）,师（趁胜追击）：很好，那么当x 0,于是A, B之间的差距越来越小，B一直，一直这样靠近 A,最后会生（齐）:重合。师：那么直线AB ?生（齐）：变成一条切线了。师：大家真不错，确实，当 X 0 ,割线AB有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在 x xo处的切

6、线，下面请把它画出来。等学生化出切线 AD后，教师用Flash展示动态过程，引导学生回顾过程。结论：（形）x 0,割线AB 切线AD,则割线AB的斜率切线AD的斜率。（口述）f （ X ）由数形结合，得 匚xo lim上多x_ =切线AD的斜率。（板书） 所以，函数f（x）在x xo处的导数针xo的几何意义就是函数 f（x）的图像在X xo处的切线AD的斜率。（数形结合）。（说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究”导数的几何意义”的过程以获 得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解“导数的几 何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。）（二）深入研究，知识拓展

7、师：好，我们现在清楚导数的几何意义就是在该点处切线的斜率。其中切线 很关键，但是它与以前学过的切线定义有什么不同呢？见P77的探究问题。生4：初中平面几何中，如圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。师：学得非常知 确实如此，但从刚才那刻开始，将会有变数。（展7K如卜动迎1, A点 直线1 1B 直线I?）。学生们发现生4讲的初中切线的定义已不适合这里了。师：圆是一种特殊的曲线。这种定义并不适用于一般曲线的切线。例如上 图中，直线h虽然与曲线有惟一的公共点，但我们不能认为它与曲线相切；而另一条直线h虽然与曲线有不只一个公共点，

8、我们还是认为它是曲线的切线。因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不 惟一），适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。 （三）“以直代曲”思想利用PPT做出三个切点附近的近景，而且由小放到大，类似于放大镜的效 果，让学生观察切点附近曲线与直线的位置关系。学生发现，它们越来越靠近，几乎重合。此时，教师点出：根据导数的几何意义，在点P附近，曲线f（ x）可以用在点P处的切线近似代 替，这是微积分中重要的思想方法一一以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对 象）。（动画演示：通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到

9、一个近 景图，图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线；大多数函数曲线就一小 范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代 替，即“以直代曲”）（说明：适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对“导 数的几何意义”形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维 （深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教学质量。）（四）例题讲解，加强理解例1 在函数h（t） 4.9t2 6.5t 10的图像上，用图形来体现导数h，3.3 , hz（0.5） 1.6的几何意义，并用数学语言表述出来。变式：请描述、比较曲线11（1）在10

10、,114 2附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t 3, 14附近呢？（如下图）（注记：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（同桌讨论、描述运动员 的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以 直代曲”的思想方法。）从中小结出：1 .点附近的增减-导数的正负-过该点切线的斜率正负；2.增减快慢-导数的绝对值大小过该点切线的斜率大小的绝对值 一曲线在该点附近的陡峭程度。（板书）位:min ）变化的函数图像，根据图像，估计 t 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 （min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。（精确到0.1）t0.20.40

11、.60.8药物浓度的 瞬时变化率（注记：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率）进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）（五）抽象概括，归纳小结（先由学生小结）1 .抽象概括：由练习2抽象概括出导函数（简称导数）的概念：f/ xo是确定的数（静态），fz X是X的函数（动态）由 “X。 11m fx。 X "）（特殊一般） x 0X f7 x lim x- （静态 动态）x 0 x（说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想2 .归纳小结：由学生进行开放式小结：（1）函数“刈在* xo处的导数f

12、/xo的几何意义就是函数f（x）的图像在X X0处的切线AD的斜率。（数形结合），即：f X X f （ X ）f/ xo lim 00二切-线 AD 的斜率x 0X（2）利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲” 的思想方法。（3）导函数（简称“导数”）的概念。尹x lim f x x f（x） v nx（六）作业布置1 .习题 P8O.A5,6;B12 .（给好的学生）请给出求函数y f（x）在x xo处的切线方程的一个算法，并 小组自编四个求切线的题目。（探索：若把3.“在点（*0,一*（）处”改为“过点（xo ,f（xo ） ”，算法有何不 同？并小组自编四个求

13、切线的题目。）附：教学反思本节内容是在学习了 “变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义，由于新教材未设计极限，于是我尽量采用形象直观的方式，让学生通过 动手作图，自我感受整个逼近的过程，并用形象的几何画板及Flash展示动态的过程, 让学生更加深刻地体会导数的几何意义及“以直代曲”的思想。本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。先回忆导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究 导数的几何意义；然后，类比“平均变化率一一瞬时变化率”的研究思路，运用 逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得 导数的几何意义一一“导数是曲线上某点处切线的斜率”。完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”,从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。本节课注重以学生为主体，