(完整word版)数学分析曲面积分

1、数学分析教案9 -第二十二章曲面积分教学目的：1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时明 确它们的联系；2.掌握高斯公式与斯托克斯公式；3.理解有关场的概念，掌握梯 度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。教学重点难点：本章的重点是曲面积分的概念、计算；难点是第二型曲面积分。教学时数：18学时§ 1 第一型曲面积分1. 第一型面积分的定义：1. 几何体的质量：已知密度函数，分析平面区域、空间几何体的质量定义及计算2. 曲面的质量：3. 第一型面积分的定义：定义及记法.,面积分尸一 .4. 第一型面积分的性质：2. 第一型面积分的计算：1. 第一型曲面积分

2、的计算：Th22.2 设有光滑曲面凶也工（鸡？），（见了）曰0 .，（三1yz为g上的连 续函数,则 口。,力* = /（再乂4瑞丁）小+玄"三小力.例4 计算积分f其中百是球面 产+合=口，被平面z=h 为公所截的顶部P281§ 2第二型曲面积分1. 曲面的侧：1. 单侧曲面与双侧曲面：2. 双侧曲面的定向：曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧.设法向量为 4 I： : f , -： /. i '：- i ,则上侧法线方向对应第三个分量>0,即选“+”号时，应有,亦即法线方向与N轴正向成锐角.类似确定其余各侧的法线方向闭合曲面分内侧和外侧.2. 第二型曲面积分

3、：1. 稳流场的流量： 以磁场为例.P2842. 第二型曲面积分的定义：P284 .闭合曲面上的积分及记法.3. 第二型曲面积分的性质：线性，关于积分曲面块的可加性.4. 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系：设W为曲面£的指定法向，则n"2)4也 十QO, 乂 z)dzdx +翅兀乂为必分，方办匚制5,力 +衣业,y*) c咽z) 邢.3. 第二型曲面积分的计算Th22.2 设 义三以力是定义在光滑曲面-/.匚,.匚 D .上的连续函数,以S的上侧为正侧(即0), 则有。阳丸”为心学u JRH J证 P类似地，对光滑曲面£人戒y,T),(t,n)eD芦，在其前侧

4、上的积分(羽乂编方忠 JpkCyw),y,z)dydz对光滑曲面S - y y(z,x) f (z,.r)£D泣，在其右侧上的积分分公” JQ(x 2(即 禽，加dx计算积分 J(尸砂府+ Q庭庭4及仇*时，通常分开来计算三个积分JJ,卜上;，|Jm.为此，分别把曲面£投影到YZ平面，ZX平面和XY平面上化为二重积分进行 计算.投影域的侧由曲面S的定向决定.例1计算积分 口秘烝方 ,其中£是球面在芥2D,尸2。部分取外侧.P287例2计算积分 曰("y)的诋* (y - w冲dx * O * 3工)心川,工 为球面炉+ /+之，=度3取外侧.对积分 1二

5、二二,分别用：Z曲和Z法记前半球面和后半球面的 WJU外侧，则有因此,/ V- ,.口湃:y1一=IL +1 =一.："片分别用和Z直记右半球面和左半球面的 CJE.外侧，则有因此,":'',H：1二”|上+二一一工;对积分 出（工+ 3冷原力,分别用£上和工下记上半球面和下半球面的外侧 则有一_ ：- 1 . ,；I： 一一 丁'.-'.因此，h二二 L_-= ,IL + JI =,口口二.厂 二一.二二墨二一二一二二二 -" 二.§ 3 Gauss公式和Stokes公式一.Gauss 公式：Th22.6 设空

6、间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面下围成.若函数尸,Q,R在V上连续，且有连续的一阶偏导数，则-gF必必+ Qdz翁十郎木衣其中6取外侧.称上述公式为 Gauss公式或 OcTporpacKH百 一Gauss公式.证只证dxdydz - H “设V是砂型区域（即Z-型体），其边界曲面S由曲面国二艺三八（冗了）下侧,（s）E D必，风：”马阮J）上侧, Dy）三D。.（&岂式见了）.）以及垂直于 打平面的柱面 耳（外侧）组成.注意到 施&（兀工冲力二口 , 有,心-ZZ=做（"修式花-* 310 ）汕=一俨仁壮义工刃点力一出?瓦乂力（茂¥）或0=Vjf|匕,/

7、.'.，： _ j .：', L+ |-:二可类证川."炉川：以上三式相加，即得Gauss公式.例1 计算积分 gX"幻呼您* （y - w冲d/ 0 "刈反砂，工为球面工工* / *才工=取外侧. = 1 , = 1 = 力C'打由由Gauss公式任二认悭天朔例2计算积分任丁保长为2的正方体V的表向取外侧解 应用Gauss公式,牵a aJJJb：十工心办也=/俨例1锥面2=旧+/解设为圆2 = 4,一.* dQ 3R .Sa dy 击电二手阳去三二Q献.-公力& 4尸金小+'+小力，其中X是边.V:0 p9ar0<z

8、<a . P291d 23 1atL工？心一x + (y + k分 dK&y威-dz)十3X+1%*1(7十公石"1(©十5。 dya .计算积分|?由也+ y毋1/滋dy , Z为在平闻之-4卜方的部分，取外法线方向.卜了16取上侧,则Z + S构成由其所围锥体V的表面外侧, 由Gauss公式,有， 14=341PM的成T = "锥体V的体积而工士 ,、江二士:二立二,一 乎功击 + ydzdx + sdxdy =64“- 一一 -'-'.：； 二 ;捽封U日后因. z z+33例1设V是三维空间的区域，其内任何封闭曲面都可不通过V

9、外的点连续收缩为V上的一点.又设函数和 义几/£）在V上有连续的偏导数.*表示V内任一不自交的光滑封闭曲面, 正是 下的外法线.试证明：对V内任意曲面恒有+ 0亡依（%丁）+ R c©s（H,N）bs = 0dP HQ dR C六-HhAkAk冷一的充要条件是4 = 0在V内处处成乂 .证 刊忸x） 士负 + &8£色幻郎=Pdydz + Qdzdx + 期K前.0 由Gauss公式直接得到.n）反设不然,即存在点 脸（为心巧）三V,使不妨设其0.由 明+电+”在点 连续，存在以点 为中心且在V3Kdy 改内的小球片,使在其内有 + + 0.以工表示小球

10、厂的表面外侧, 北 dy 专就有与n=。矛盾.数学分析教案Stokes 公式:空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线 L正向的匹配关系：右手螺旋法则， 即当人站在曲面的正侧上，沿边界曲线L行走时，若曲面在左侧，则把人的前 进方向定为L的正向.1. Stokes 定理：Th22.7 设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线.若函数尸（九乂n）、和出（兀在（连同L ）上连续,且有一阶连续的偏导数，则而六"部-而离我£FdAQ叱脸.邰dQLH-丁力心其中S的侧与L的方向按右手法则确定称该公式为Stokes公式.证 先证式J感威心一伐工：厂.具体证明参阅P292.Stokes公式也记为9班Pdydz3¥Qdzdk8也dxdy-11例5计算积分| 一 一 二二二 二：二,、二,P294其中L为平面K+y +二1与各坐标平面的交线，方向为：从平面的上方往 下看为逆时针方向.2. 空间曲线上第二型曲线积分与路径无关性：空间单连通、复连通域.Th 22.5 设GUR'为空间单连通区域.若函数 产（工户Z、。（工,了£） 和 取工力,力在 昆上连续，且有一阶连续的偏导数,则以下四个条件等价：i >对于口内任一按段光滑的封闭曲线L,有力+呼=0 ;ii>对于口内任一按段光滑的封闭曲线L ,曲线积分Q