(完整版)定积分在生活中的应用

1、孑彼A暂戌PINGDINGSHAN UNIVERSITY院系： 经济与管理学院题目：定积分在生活中的应用年级专业：11 级市场营销班学生姓名：孙天鹏12定积分在生活中的应用定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是 与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星 三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天 文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类 知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。一、定积分的概述1、定积分的定义：设函数f x在区间a,b上有界.在a,b中任意插入若干个分点a xo Xi L K

2、1 Xn b,把区间a,b分成n 个小区间Xo,Xi,X,X2,L ,Xni,Xn,且各个小区间的长度依次为X1X1X。，X2X2Xi ,在每个小区间Xii，Xi上任取一点i,作函数f i与小区间长度X的乘积f i Xi (i 1,2,L ,n),nXn作极限lim f iXi1Poi1n作出和 S f i x。记 P maX Xi, X2,L i 1如果不论对a,b怎样分法，也不论在小区间Xi1,Xi上点i怎样取法，只要当P 0时，和S总趋于确定的极限I ,这时我们称这个极限I为函数f x在区间a,b上的定积分（简称积分），记作bf x dx,即 abnf x dx = I = lip f

3、ia11 0 i 1其中f x叫做被积函数，f x dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限,2.定积分的性质a,b叫做积分区间设函数f x和g x在a,b上都可积,k是常数，则kf x和f x + g x都可积，并且性质1bbkf x dx = k f x dx ;aa性质2g x dx = f x dx +ag x dxg x dx = f x dx- g x dx .aa性质3定积分对于积分区间的可加性设f x在区间上可积，且a, b和c都是区间内的点，则不论a , b和c的相对位置如何，都有 f xdx= f x dx + f x dx o 7aab性质 4如

4、果在区间a,b上f x 1,则 1dx= dx= b a。aa性质 5如果在区间a,b上f x0,则f x dx 0 a b。ab性质 6 如果在a,b上,m f (x) M ,则 m(b a) f (x)dx M (b a)a性质7 (定积分中值定理)如果f(x)在a,b上连续，则在a,b上至少b存一点 使得 f (x)dx f( )(b a)a3.定理定理1微积分基本定理x如果函数f x在区间a,b上连续，则积分上限函数x = f t dt在a,b上axd f t dt 可导，并且匕的导数是x =一a= f x a x b .dx定理2原函数存在定理x如果函数f x在区间a,b上连续，则函

5、数 x = f t dt就是f x在aa,b上的一个原函数.定理3如果函数F x是连续函数f x在区间a,b上的一个原函数，b贝 U f x dx= F b F a a称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.二、定积分的应用1、定积分在几何中的应用(1)设连续函数f(x)和g(x)满足条件g(x) f(x), x a,b.求曲线y f(x) , y g(x)及直线x a,x b所围成的平面图形的面积S .(如图1： 解法步骤：第一步：在区间a,b上任取一小区间x,x dx,并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以f (x) g(x)为 高，以dx为底的矩形面积近似，于是 dS f (x) g(x)d

6、x.第二步：在区间a,b上将dS无限求 和，得到 Sb f(x) g(x)dx .a(2)上面所诉方法是以x为积分变量 进行微元，再求得所围成图形的面积； 我们还可以将y作为积分变量进行微 元，再求围成的面积。由连续曲线 x (y)、x (y)其中(y)(y)与直线y c、y d所围成的平面图形(图2) 的面积为：ds c (y) (y)dy例1求由曲线y sinx, y cosx及直线x 0, x所围成图形的面积A.解(1)作出图形，如图所示.的交点为(一,“)； 4 2易知，在0,上，曲线y sinx与y cosx(2)取x为积分变量，积分区间为0,.从图中可以看出，所围成的图形可以分成两

7、部分；(3)区间0,上这一部分的面积Ai和区间,上这一部分的面积A2 44分别为Ai4 (cosx sinx)dx, A2 (sin x cosx)dx ,4所以，所求图形的面积为A A1 A2= 4 (cosx sin x)dx+ (sin x cosx)dx 4sin x cosx(4cosx sin x212.422例2求椭圆勺yr 1的面积.a b解椭圆关于x轴,y轴均对称，故所求面积为第一象限部分的面积的4x acost y bsint倍，即aS 4Si 4 0 ydx利用椭圆的参数方程应用定积分的换元法,dxasintdt,且当x 0时,t j,x a时,t 0,于是0S 4 bs

8、int( acost)dt24ab 02sin2 21 cos2t小4ab 2出2 ab0,t 1 . _ 4ab sin 2t2 42.求旋转体体积用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割T：a X。4 b划分成许多基本的小块，每一块的厚度为xi(i 1,2, ,n),假设每一个基本的小块横切面积为A(Xi)(i 1,2, ,n), A(x)为a,b上连续函数，则此小块的体积大约是A(xi) xi,将所有的小块加起来，令|T|。，我们可以得到其体积:lim A(x)0 i 1xibA(x)dx 。a求由曲线xy 4,直线x1,x 4

9、,y 0绕x轴旋转一周而形成的立体体积.解 先画图形，因为图形绕x轴旋转，所以取x为积分变量，x的变化 区间为1,4,相应于1 , 4上任取一子区间x,x+ dx的小窄条,绕x轴旋转 而形成的小旋转体体积，可用高为dx,底面积为以2的小圆柱体体积近似代 替，即体积微元为2 , 一 4 2 .dV =叫 dx=冗(一)dx, x于是，体积4 4 2V =冗()dx1 x4 1 =16 u dx1 x1 ,16 冗二4二12 冗.x3.求曲线的弧长(1)设曲线y f (x)在a,b上有一阶连续导数(如下图)，利用微元法, 取x为积分变量，在a,b上任取小区间x,x dx ,切线上相应小区间的小段M

10、T的长度近似代替一段小弧MN的长度，即Imn ds得弧长微元为:ds MT.(dx)2 (dy)21 (y )2dx ,再对其积分，bbob -c则曲线的弧长为：S ds 1 (y) dx . 1 f (x) dx aaa(2)参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线x0)上t , 一段的弧y (t)长.这时弧长微元为： 22ds d dx 2 dy 2 J dt 即:dt dtds : 2 t 2 t dt则曲线的弧长为s ds .2 (t)2dt33一段弧的长度例3 (1)求曲线y jx2上从0-b解由公式s=，1 y dx ( a b)知,弧长为a一3一。一 3 七 _3 47 _ 2 、2

11、 3 _ 162_ 14s=<1 y dx = x1 xdx = - (1 x)2 0 =二.003333(2)求摆线 x a(t sint),在0 t 2上的一段弧的长度(a 0). y a(1 cost)解 取t为积分变量，积分区间为0,2 .由摆线的参数方程，得x a(1 cost) , y a sin t ,22222 2.x y . a (1 cost) a sin t tav-2(1 cost) 2a | sin - | .于是，由公式(16-13 )，在0 t2上的一段弧的长度为2t 2 c . ts 02alsin 21dt0 2asin 2dt4a2t ocos 8 a

12、2 02、定积分在经济中的应用(1)、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x的变动区间a,b上的改变量(增量)就等于它们各自边际在区间a,b上的定积分： b，一R(b) R(a) a R (x)dx(1)a bC(b) C(a) C (x)dxabL(b) L(a) aL(x)dx(3)例1已知某商品边际收入为0.08x 25 (万元/t),边际成本为5 (万元/t ),求产量x从250t增加到300t时销售收入R(x)，总成本C(x),利润I(x) 的改变量(增量)。解 首先求边际利润L (x) R(x) C (x)0.08x 25 50.08x

13、 20300R(300) R(250)25o R(x)dx300一250 ( 0.08x 25)dx = 150 万元C (300) C(250)300250 C(x)dx300一dx=250万兀250300L(300) L(250)250 L (x)dx300一250 ( 0.08x 20)dx = 100 万元所以根据式(1)、式(2)、式(3),依次求出:(2)、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率f (t)dt0.08 0.01 ,20.094设某经济函数的变化率为f (t),则称 为该经济函数在时间间隔t2 tlt2,tl内的平均变化率。例2某银行的利息连续计算，利息率

14、是时间t (单位：年)的函数：r(t) 0.08 0.015 .f求它在开始2年，即时间间隔0, 2内的平均利息率。解 由于 22o r (t)dt o (0.08 0.015Vt)dt 0.16 0.01t7T|o 0.16 0.02我所以开始2年的平均利息率为例3某公司运行t (年)所获利润为L(t)(元)利润的年变化率为L(t) 3 1057r7 (元/年)求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔3, 8内年平均变化率解 由于8L(t)dt 83 1 057t-dt 2 105 (t 13 38 1053' 3、 一L(t)dt所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为7.6

15、105 (元/年)8 3即在这5年内公司平均每年平均获利7.6 105元。(3)、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在t (年)时的收入为f(t)(万元)，年利率为r ,即贴现率是f(t)ert ,则应用定积分计算，该项目在时间区间a,b上总贴现值的增量b .为 f(t)e ndt。 a设某工程总投资在竣工时的贴现值为 A (万元)，竣工后的年收入预计为a (万元)年利率为r,银行利息连续计算。在进行动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值达到 A,即使关系式T ae dt A 0成立的时间T (年)称为该项工程的投资回收期。例4某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年

16、收入预计为200万元，年利息率为0.08,求该工程的投资回收期。解 这里A 1000, a 200, r 0.08,则该工程竣工后T年内收入的总T c” 0.08t 一 2000.08t T clcc/ 0.08T、贴现值为200e dt e 0 2500(1 e )00.08令 2500(1 e 0.08T)=1000 ,即得该工程回收期为110001一T ln(1 )ln 0.6 =6.39 (年)0.0825000.083、定积分在物理中的应用1、求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v (t) ( v(t)>0)在时间区间a,b上的定积分，即sbv(t)dta如图例1、一辆汽车的速度一时间曲线所示.求汽车在这1 min行驶的路程.解：由速度一时间曲线可知：3t,0 t 10,v(t) 30,10 t 401.5t 90,40 t 60.因此汽车在这1 min行驶的路程是:104060s 0 3t出i0 30dt 40( 1.5t 90)出3,2