理论力学第十三章

1、返回总目录Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 第二篇第二篇 动动 力力 学学第十三章第十三章 机械振动基础机械振动基础制作与设计 山东大学 土建与水利学院Theoretical Mechanics13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 13.4 隔振隔振第十三章第十三章机械振动基础机械振动基础Theoretical Mechanics 返回首页第十三章第十三章 机械振动基础机械振动基础Theoretical

2、 Mechanics 返回首页第十三章第十三章 机械振动基机械振动基础础Theoretical Mechanics 返回首页第十三章第十三章 机械振动基机械振动基础础Theoretical Mechanics 返回首页第十三章第十三章 机械振动基机械振动基础础Theoretical Mechanics 返回首页第十三章第十三章 机械振动基机械振动基础础Theoretical Mechanics)sin(dd0eq22eqtFktm0dd22 kytym 返回首页第十三章第十三章 机械振动基机械振动基础础 返回首页Theory of Vibration with Applications 线性振

3、动线性振动：描述其运动的方程为线性微分方程，相应的系统称为线性系统线性系统。线性振动的一个重要特性是线性叠加线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。原理成立。 非线性振动非线性振动：描述其运动的方程为非线性微分方程，相应的系统称为非线性系统非线性系统。非线性振动的叠加原理不成立。非线性振动的叠加原理不成立。 第十三章第十三章 机械振动基机械振动基础础Theoretical Mechanics 返回首页第十三章第十三章 机械振动基机械振动基础础 Theoretical Mechanics 13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 返回首页第十三章第十三章 机械振动基机械振动基础础

4、Theoretical Mechanics13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动单自由度系统单自由度系统的的典型的单自由度系统:弹簧 质量系统 梁上固定一台电动机，当电动机沿铅垂方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧质量系统。 返回首页Theoretical Mechanics13.1.1 自由振动方程自由振动方程 13.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率 13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数 13.1.4 扭转振动扭转振动 返回首页13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechani

5、cs13.1.1 自由振动方程自由振动方程)(ddst22xkmgtxm 当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微分方程为 kxtxm22dd0dd2022xtxmk0 取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴顺弹簧变形方向铅垂向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件，得到stkmg 无阻尼自由振动微分方程 弹簧的静变形固有圆频率 返回首页13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics 返回首页13.1.1 自由振动方程自由振动方程其通解为：tCtCx0201sincos01xC tvtxx00000sincos002vC 其中其中C1和和C2

6、为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时，时， 可解可解000)dd(ddvtxtxxx，13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics)sin(0tAx)(arctg)(00020020 xxxxA 两种形式描述的物块振动，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。 无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动 初相位角 振 幅 返回首页13.1.1 自由振动方程自由振动方程13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics13.1.2 振幅、初相位

7、和频率振幅、初相位和频率系统振动的周期kmT220系统振动的频率mkTf2210系统振动的圆频率为f 20 圆频率0是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。f、0只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为固有频率，将圆频率0称为固有圆频率。 返回首页13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics用弹簧静变形量st表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时stkmg mk0固有圆频率st0gstmgk 返回首页13.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率13.1 单自由度系统的自由振动单

8、自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数0ddeq22eqqktqm0dd22kxtxm加的力或力矩。需要在这一坐标方向施向产生单位位移，：使系统在广义坐标方等效刚度eqk向施加的力或力矩。度，需要在这一坐标方向产生单位加速：使系统在广义坐标方等效质量eqm 返回首页13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动例 在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。 解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二二弹簧变形相等。 振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位

9、置时，两根弹簧的静变形都是st，而弹性力分别是 st11kF st22kF 系统平衡方程是0 xFst2121)(kkFFmgTheoretical Mechanics 返回首页13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics 如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则 stkmg 21kkkst2121)(kkFFmgk称为并联弹簧的等效刚度系数。 并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。系统的固有频率系统的固有频率mkkmkf2

10、12121 返回首页13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二二弹簧受力相等。 当物块在静平衡位置时，它的静位移st等于每根弹簧的静变形之和，即 st = 1st + 2st 由于每根弹簧所受的拉力都等于重力mg，故它们的静变形分别为1st1kmg2st2kmg 如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于kmgst 返回首页13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretica

11、l Mechanics 如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于kmgst21111kkkkk kkk1212k称为串联弹簧的等效刚度系数1st1kmg2st2kmg 串联后的弹簧刚度系数的倒数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和)(21212121kkmkkmkf 返回首页13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics例 质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自由振动频率。 解：将各弹簧的刚度系数

12、按静力等效的原则，折算到质量所在处。先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。 设在C处作用一力 F，按静力平衡的关系，作用在 B 处的力应为，由此力使弹簧k2产生的变形，而此变形使C点发生的变形为 222bkFabac 返回首页13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数 222abkFkc物块的自由振动频率为)(2212210kbkamkkbmk 将其与弹簧k1串联，可得整个系统的等效刚度系数221222122212221kbkabkkabkkabk

13、kk 返回首页13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics例 一个质量为m的物块从 h 的高处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为 l 的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。 解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧质量系统。如果知道系统的静变形dst，则求出系统的固有频率 st21gf 返回首页13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics 由材

14、料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点静挠度为EImgl483st求出系统的固有频率为34821mlEIf 中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为348lEIk 返回首页13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics 以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，并以撞击时刻为零瞬时，则t=0时，有st0 xghv20自由振动的振幅为st2st200202)(hvxA)9611 (48233stst2ststmaxmglEIhEImglhA梁的最大挠度 返回首页13.1.3 等效刚度系数等效刚度

15、系数13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics13.1.4 扭转振动扭转振动 内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中常常产生扭转振动，简称扭振。 扭振系统称为扭摆。其中 OA 为一铅直圆轴，圆盘对中心轴 OA 的转动惯量为IO。在研究扭摆的运动规律时，假定圆轴的质量略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间的夹角 来决定，称扭角。圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。 返回首页13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics根据刚体转动微分方程建立该系

16、统的运动微分方程nOktI22dd扭振的运动规律tpvtn0000sincos 对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振动规律、特征是完全相同的。 0dd2022tOnIk0固有圆频率 返回首页13.1.4 扭转振动扭转振动13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics 图 a所示为扭振系统两个轴并联的情况；图b为两轴串联的情况；图c则为进一步简化的等效系统。2121nnnnnkkkkk并联轴系的等效刚度系数21nnnkkk串联轴系的等效刚度系数 返回首页13.1.4 扭转振动扭转振动13.1 单

17、自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 Theoretical Mechanics 13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 返回首页第十三章第十三章 机械振动基机械振动基础础Theoretical Mechanics13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 txcFddc它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿米/秒(Nm/s)。 返回首页Theoretical Mechanics运动微分方程运动微分方程 图示为一有阻尼的弹簧质量系统的简化模型。以静平衡位置O为坐标原点，选x轴铅垂向下为正，有阻尼的自由振动微分方程 kxtxct

18、xmdddd220dd2dd2022xtxntxmk20mcn 202202nrr20222021nnrnnr 返回首页13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical Mechanics202nnr阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响)ee(e20220221tntnntCCxnrr21)(e21tCCxnt运动微分方程运动微分方程 20222021nnrnnr 返回首页0dd2dd2022xtxntx13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical Mechanics 临界情形是从衰减振动过渡到非周期运

19、动的临界状态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。设cc为临界阻尼系数，由于z=n/0 =1，即kmmnmcc2220z 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是z 称为阻尼比的原因。 z0022nmnmccccc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由 返回首页阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical MechanicstntnCCx21-2-1ee100zzr0znz1z1Otxnrr21)(e21tCCxnt 返回首页阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响13.2 单自由度系统的有阻

20、尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 设t = 0时，Theoretical Mechanicsd0jzr（n 0） d2202d2201jjjjnnnrnnnr。，220d1jn)sincos(ed2d1tCtCxnt其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。00vxxx，d002vnxCC1=x0 返回首页阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical Mechanics00d02d20020tan)(nxvxnxvxA)sin(edtAxnt初相位角 振 幅 这种情形下，自由振动不是等幅简谐振

21、动，是按负指数衰减的这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的衰减运动。衰减运动的频率为衰减运动。衰减运动的频率为 d，衰减速度取决于衰减速度取决于 z ，二者二者分别为本征值的虚部和实部。分别为本征值的虚部和实部。 返回首页阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical Mechanics 衰减振动:物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复运动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。)sin(edtAxnt 返回首页阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响有阻尼的自由振动视为准周期振动。13.2

22、单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical Mechanics220dd1)(1122zTnTdT=2p/0为无阻尼自由振动的周期。阻尼对周期的影响阻尼对周期的影响 欠阻尼自由振动的周期Td ：物体由最大偏离位置起经过一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间，即 由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常z 很小，阻尼对周期的影响不大。例如，当z =0.05时，Td=1.00125T，周期Td仅增加了0.125%。当材料的阻尼比z1时，可近似认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。 返回首页13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系

23、统的有阻尼自由振动 Theoretical Mechanics 设衰减振动经过一周期Td，在同方向的相邻两个振幅分别为Ai和Ai+1，即)(sine)sin(edd)(1ddTtAAtAAiTtniintiii两振幅之比为dnTiiAAe1 如仍以z =0.05为例，算得 ,物体每振动一次，振幅就减少27%。由此可见 ，在欠阻尼情况下，周期的变化虽然微小，但振幅的衰减却非常显著 ，它是按几何级数衰减的。 37. 1ednT 返回首页阻尼对周期的影响阻尼对周期的影响称为振幅减缩率或减幅系数。13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical Mechani

24、cs 振幅减缩率的自然对数称为对数减缩率或对数减幅系数，以 表示dlnnTz2例 在欠阻尼（z 1）的系统中，在振幅衰减曲线的包络线上，已测得相隔N个周期的两点P、R的幅值之比xP/xR=r，如图所示，试确定此振动系统的阻尼比z。 返回首页13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical Mechanics解：振动衰减曲线的包络线方程为ntAxe设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有rdenNTRPxx当z 21时 此式对估算小阻尼系统的z值是很方便的。例如，经过10个周期测得P、R两点的幅值比r=2，将N=10、r=2代入上式，得到该系统的

25、阻尼比011. 0202lnzNN2lnln2rzrzrzzln122N 返回首页13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical Mechanics 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 返回首页第十三章第十三章 机械振动基机械振动基础础Theoretical Mechanics13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 返回首页Theoretical Mechanics13.3.1 振动微分方程振动微分方程 简谐激振力tFFsin0S F0为激振力的幅值，为激振力的圆频率。以平衡位置O为坐标原点，x轴铅垂向下为正，物块

26、运动微分方程为 tFkxtxctxmsindddd022tFxktxctxmsindddd0eqeq22eqthxtxntxsindd2dd2022，mHhmcnmk220 具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。 返回首页13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics简谐激励的响应简谐激励的响应 全解全解00(0)(0)vvxx和 返回首页13.3.1 振动微分方程振动微分方程 tFxktxctxmsindddd0eqeq22eq0ddddeqeq22eqxktxctxm00(0)(0)vvxx和tFxktx

27、ctxmsindddd0eqeq22eq00(0)(0)vvxx和13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics)()(21txtxx微微分分方方程程的的解解：有有阻阻尼尼自自由由振振动动运运动动)(1txztAxtd1sine0：可可以以通通过过试试凑凑法法求求得得)(2txttBtxtdd0d2sincossincossine)(0zztBsin 返回首页13.3.1 振动微分方程振动微分方程 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics)()(21txtxxzzztBttBtAtxtts

28、insincossincossinesine)(dd0dd000eq0222202,12arctan,211zzzmckFBeq 返回首页13.3.1 振动微分方程振动微分方程 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics 返回首页13.3.1 振动微分方程振动微分方程 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics 返回首页13.3.1 振动微分方程振动微分方程 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics简谐激励的响应简谐激励的响应 特解

29、特解zzztBttBtAtxttsinsincossincossinesine)(dd0dd00tBtxsin)(P 返回首页13.3.1 振动微分方程振动微分方程 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics滞后相位差稳态受迫振动的振幅2222012arctan,211zzeqkFB 返回首页13.3.1 振动微分方程振动微分方程 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics13.3.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差相位差 的讨论的讨论 22220)2()(nhB2202tann

30、振幅放大因子0BB222211z222202020220204)1 ()()(4)(1 /zBnhBeqkFhB0200 返回首页13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics222211z212arctanz0eqeq02,zmc 返回首页13.3.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差相位差 的讨论的讨论 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 在低频区和高频区，当在低频区和高频区，当 z z 1的区域的区域(高频区或惯性控制区高频区或惯性控制区)， ， ，响应与，响应与激励反相；阻尼影响也不大。激励反相；阻尼影响也不大。03） 1的附近区域的附近区域(共振区共振区)， 急剧增大并在急剧增大并在 1略为略为偏左处偏左处有峰值。通常将有峰值。通常将 1，即，即 0称为共振频率。称为共振频率。阻尼影