第三讲.单自由度系统的强迫振动

1、3.1简谐振动下的强迫振动tjempxxxtpkxxcxm 2002sin2002mkmcx是复数，其特解为：是复数，其特解为：tjeBx为复振幅为复振幅B02202002021)2(jmpBempeBjBBtjtjmk20其中其中:其中；其中；令 0定义频率比定义频率比3.1简谐振动下的强迫振动jjBeekpjkp222020)2(11211B2122012211tgKPB tBtxBetxtjsin只要虚部：只要虚部：这是响应的通常形式。这是响应的通常形式。为振幅，为振幅， 为相位差。为相位差。B复数解为：复数解为： 特点特点 1 . 系统对简谐激励的稳态响应是等同于激振频率而相位滞后系统

2、对简谐激励的稳态响应是等同于激振频率而相位滞后于激振力的简谐振动。于激振力的简谐振动。 2 . 稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理参数稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理参数（质量，刚度，阻尼）和激振力频率及力幅，而与系统（质量，刚度，阻尼）和激振力频率及力幅，而与系统进入运动的方式（初始条件）无关。进入运动的方式（初始条件）无关。令：令：21222012)2()1 (1tgBBKPB幅值放大因子：幅值放大因子：3.1简谐振动下的强迫振动3.1简谐振动下的强迫振动 振幅类似静位移振幅类似静位移0, 1) 3, 1)21, 1) 1000很小，0，同向，同向 900dd212m

3、ax12121121212max当时，共振峰变平坦了。时，共振峰变平坦了。共振时，共振时，n 相位有相位有180度的突变，且度的突变，且 90n此时放大因子此时放大因子 也称为品质因子也称为品质因子21Q3.1简谐振动下的强迫振动为了说明品质因子的意义，先介绍半频率点和带宽的概念。为了说明品质因子的意义，先介绍半频率点和带宽的概念。半频率点：在曲线两侧取半频率点：在曲线两侧取 的两点的两点 和和 ，这两点叫半频率点。，这两点叫半频率点。2Q2q带宽：设带宽：设 ， 是分别对应于是分别对应于 点的频率，将点的频率，将1221称为系统的带宽。称为系统的带宽。0812122112212222422Q

4、当当 较小时，忽略较小时，忽略 及高级小量有：及高级小量有：21,qq1q23.1简谐振动下的强迫振动012021222422222222222112112144184112814214120201113.1简谐振动下的强迫振动此时品质因素：此时品质因素： 机械阻抗：简谐振动时复数形式的输入与输出之比（位移，速度，加速度）机械阻抗：简谐振动时复数形式的输入与输出之比（位移，速度，加速度） 机械导钠：机械阻抗的复数。机械导钠：机械阻抗的复数。 位移导钠和位移阻抗又称为动柔度和动刚度。位移导钠和位移阻抗又称为动柔度和动刚度。 复频响应函数（频率响应函数）复频响应函数（频率响应函数）021Q 211

5、1122jKjcmktptxH幅频特性与相频特性图幅频特性与相频特性图实频特性与虚频特性图实频特性与虚频特性图（即（即Nyquist 图）图）3 . 2 强迫振动的过渡过程强迫振动的过渡过程响应与稳态响应的叠加。可表示为下列两个方程的解的和响应与稳态响应的叠加。可表示为下列两个方程的解的和： 000,00 xxxxkxxm 解为解为： txtxtx000001sincos为系统对初始条件的响应为系统对初始条件的响应方程方程1 00, 00sin0 xxtpkxxm 方程方程2解为：解为： tkptkptxsin11sin1200202其中其中：第一项为伴随激励产生的自由振动第一项为伴随激励产生

6、的自由振动 第二项为稳态强迫振动。第二项为稳态强迫振动。1 . 无阻尼情况：无阻尼情况：两个方程叠加的方程为：两个方程叠加的方程为： 0000,0sinxxxxtpkxxm txtxtx21全解为：全解为：2 .有阻尼情况：有阻尼情况： 0,00sin0 xxxxtpkxxcxm 利用分解得到：利用分解得到： tBttBetxxtxetxdddtdddtsin sincossincossin sincos0000003 . 2 强迫振动的过渡过程强迫振动的过渡过程式中右边的三项分别为系统在无激励时的自由振动，自由伴随振动及式中右边的三项分别为系统在无激励时的自由振动，自由伴随振动及稳态强迫振动

7、。稳态强迫振动。其中：其中：2122200200012,21,1,2,tgkpBmcmkd3 . 2 强迫振动的过渡过程强迫振动的过渡过程3 . 3 力激励、位移激励和加速度激励力激励、位移激励和加速度激励l力激励力激励l位移激励位移激励l加速度激励加速度激励 1.力激励：（同前分析）力激励：（同前分析）幅频响应曲线及相幅频响应曲线及相 频响频响应曲线见右图：应曲线见右图：tFkxxcxmsin 2111/22jjcmkKtFtxH2 . 位移激励：位移激励：sssskxxckxxcxmxxkxxcxm 0幅频响应曲线及相幅频响应曲线及相频响应曲线见右图频响应曲线见右图 2121/22jjjc

8、mkjckKtFtxH3 . 加速度激励（既转子偏心引起的激励加速度激励（既转子偏心引起的激励）tmkxxcxmesin2 幅频响应曲线及相幅频响应曲线及相频响应曲线见右图频响应曲线见右图 21/2222jjcmkKmtFtxHe3 . 4 振动的隔离（自由看）振动的隔离（自由看） 1 .主动隔振（积极隔振）主动隔振（积极隔振） 是用隔振器与振动着的机器与地基隔开；是用隔振器与振动着的机器与地基隔开；2 . 被动隔振（消极隔振）被动隔振（消极隔振） 是将需要保护的设备与振动着的地基隔开。是将需要保护的设备与振动着的地基隔开。 3.5 周期激励的响应周期激励的响应线性迭加原理线性迭加原理 对周期

9、激励的分析，是先对其进行谐波分析，对周期激励的分析，是先对其进行谐波分析，将它分解为一系列不同频率的周期将它分解为一系列不同频率的周期 激励，然后得出激励，然后得出系统对各个频率的简谐激励的响应，再根据线性系系统对各个频率的简谐激励的响应，再根据线性系统的叠加原理，将各个响应进行叠加，既得到系统统的叠加原理，将各个响应进行叠加，既得到系统对周期激励响应。对周期激励响应。 3 . 6 任意激励的响应l单位脉冲响应单位脉冲响应lDuhamel积分积分l系统传递函数系统传递函数单位脉冲响应单位脉冲响应:mxxmxmdtxmdttxmddttxxtkxxcxm1000100,000000 动量定理动量定理:速度发生突变位移来不及改变。速度发生突变位移来不及改变。系统的脉冲响应即初始位移为零，而初速度为系统的脉冲响应即初始位移为零，而初速度为 的自由振动。的自由振动。m1 temthdtdsin10如果单位脉冲不是作用在如果单位脉冲不是作用在t=0,而是而是t= ， 响应也应滞后响应也