两种种群相互竞争模型稳定性和相图分析演示文稿

1、 河池学院河池学院 2011届本科毕业论文答辩届本科毕业论文答辩数学系数学与应用数学专业论文名称：论文名称： 导师：王五生导师：王五生答辩人：廖春林答辩人：廖春林专业：数学与应用数学专业：数学与应用数学 两种种群相互竞争模型的稳定性和相图分析两种种群相互竞争模型的稳定性和相图分析论文框架论文框架1234研究的意义研究的意义研究的目的研究的目的研究的内容研究的内容致谢致谢研究的意义研究的意义 近年来，随着自然生态平衡失调、人为捕杀和环境污染等问题近年来，随着自然生态平衡失调、人为捕杀和环境污染等问题的频繁发生，导致各种物种面临着灭绝的危害，人们对生态学的研的频繁发生，导致各种物种面临着灭绝的危害

2、，人们对生态学的研究也越来越重视究也越来越重视.两个或两个以上的种群生活在同一环境下时，为了两个或两个以上的种群生活在同一环境下时，为了争夺有限的同一食物来源和生活空间，在它们之间就会存在着相互争夺有限的同一食物来源和生活空间，在它们之间就会存在着相互竞争、相互依存或弱肉强食的关系竞争、相互依存或弱肉强食的关系.最常见的结局便是竞争力较弱的最常见的结局便是竞争力较弱的种群灭绝，而竞争力较强的种群得以生存，并达到环境容许的最大种群灭绝，而竞争力较强的种群得以生存，并达到环境容许的最大量量. 对上述现状，我将用常微分方程组的数值解法对其平衡点和稳对上述现状，我将用常微分方程组的数值解法对其平衡点和

3、稳定性进行研究，由于在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂定性进行研究，由于在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多数求不出解析解，于是采用求其能满足精度要求的近似解且大多数求不出解析解，于是采用求其能满足精度要求的近似解.在在这里将用龙格这里将用龙格库塔库塔费尔贝格算法来求其数值解，并运用费尔贝格算法来求其数值解，并运用Matlab的画图程序，作出满足条件的种群数量曲线图和种群的相轨线图，的画图程序，作出满足条件的种群数量曲线图和种群的相轨线图，分析相互依存模型的平衡点及稳定性分析相互依存模型的平衡点及稳定性.为了更好地保护环境，保护生为了更好地保护环境，保护生态平衡作出相应的保护措

4、施态平衡作出相应的保护措施. 研究的目的研究的目的: 研究两个种群相互竞争模型中的平衡点的稳定性，研究两个种群相互竞争模型中的平衡点的稳定性，利用常微分方程的方法求出其平衡点，并运用常微分利用常微分方程的方法求出其平衡点，并运用常微分的知识判断平衡点的稳定性，在这基础上采用常微分的知识判断平衡点的稳定性，在这基础上采用常微分方程中的数值解法和方程中的数值解法和Matlab程序对平衡点的稳定性作程序对平衡点的稳定性作出进一步的验证和分析，运用数形结合的方法，直观出进一步的验证和分析，运用数形结合的方法，直观地从种群数量曲线图和种群相轨线图中观察、分析并地从种群数量曲线图和种群相轨线图中观察、分析

5、并验证两种群平衡点的稳定性验证两种群平衡点的稳定性.研究的内容研究的内容123种群相互竞争模型的建立种群相互竞争模型的建立稳定性的理论分析稳定性的理论分析稳定性的几何分析稳定性的几何分析121212121、在a 1情况下，平衡点的稳定性2、在a 1,a 1情况下，平衡点的稳定性3、在a 1,a 1,a 1情况下，平衡点的稳定性种群的数量曲线图种群的相轨线图种群的数量曲线图种群的相轨线图种群的数量曲线图种群的相轨线图种群的数量曲线图种群的相轨线图1、种群相互竞争模型的建立、种群相互竞争模型的建立 先对两种群甲和乙在独自的生存环境中生存时，数量的变化遵从先对两种群甲和乙在独自的生存环境中生存时，数

6、量的变化遵从Logistic规律，建立模型，列出相应的种群增长方程。在这基础上，规律，建立模型，列出相应的种群增长方程。在这基础上，分析种群甲和种群乙在同一环境下生存时，数量关系的演变过程，分析种群甲和种群乙在同一环境下生存时，数量关系的演变过程，t时刻时种群甲、乙的数量分别为时刻时种群甲、乙的数量分别为12( ),( )x tx t12, ,r r12,.NN他们的固有增他们的固有增长率分别长率分别在同一环境下只维持甲或乙种群的生存的极限在同一环境下只维持甲或乙种群的生存的极限 数分别为数分别为于是对于种群甲有：于是对于种群甲有：1211 1112( )(1)xxx trxaNN其中其中1a

7、的意义为单位数量的乙的意义为单位数量的乙消耗的供养甲的食物量为单位数消耗的供养甲的食物量为单位数甲消耗的供养甲的食物量的甲消耗的供养甲的食物量的倍倍.1a，设设为为量的量的种群乙的增长方程为：种群乙的增长方程为：12222212( )(1)xxxtr xaNN2a2a可在相应的解释，单位数量甲消耗的供养乙的食可在相应的解释，单位数量甲消耗的供养乙的食为单位数量乙消耗的供养乙的食物量的为单位数量乙消耗的供养乙的食物量的倍倍.下面我们将考虑更为一般下面我们将考虑更为一般和和相互独立的情形相互独立的情形.1a对对物量物量2a（2）2、稳定性的理论分析、稳定性的理论分析为了研究种群甲、种群乙相互竞争的

8、最终结局，即为了研究种群甲、种群乙相互竞争的最终结局，即t 12( ),( )x tx t时，时，的稳定性，在这里我们不需要对方程（的稳定性，在这里我们不需要对方程（1）、（）、（2）进行）进行求解，只需对它们的平衡点进行分析即可求解，只需对它们的平衡点进行分析即可.根据微分方程（根据微分方程（1）、（）、（2）解代数方程组：）解代数方程组：121211112121222212(,)(1)0(,)(1)0 xxg xxr xaNNxxh xxr xaNN可得到四个平衡点：可得到四个平衡点：11221122341 21 2(1)(1)(11NaNaP Naaaa， 0） ， P(0,N )， P

9、(，)， P(0,0) 根据判断平衡点的稳定性准则：根据判断平衡点的稳定性准则： 若若p0,q0,q0,则平衡点稳定则平衡点稳定. . 若若p0p0,q0,则平衡点不稳定则平衡点不稳定. . 判断平衡点的稳定性判断平衡点的稳定性, ,并列入表中并列入表中 3、稳定性的几何分析、稳定性的几何分析 下面将用下面将用Matlab程序来求方程（程序来求方程（1）、（）、（2）的数值解，并画出）的数值解，并画出相应的相轨线相应的相轨线 ，分析平衡点的稳定性，进一步说明种群甲、种群乙分析平衡点的稳定性，进一步说明种群甲、种群乙的数量变化的规律和趋势的数量变化的规律和趋势. 3.1在在121,1aa1112

10、220.5,2.5,1.61.6,1.8,1arNarN的情况下，平衡点的稳定性的情况下，平衡点的稳定性下面将分析第一种情况（即下面将分析第一种情况（即），平衡点的稳定性平衡点的稳定性.作作出从不同初始点出发的相轨线，并分析在这种情况下平衡点的稳定出从不同初始点出发的相轨线，并分析在这种情况下平衡点的稳定性性.我们取我们取121,1aa并代入方程（并代入方程（1）、（）、（2）得：）得：11122212551( )(1),2829( )(1).5xx txxx txxx 再利用再利用Matlab程序作出相应的种群数量曲线图和不同初始程序作出相应的种群数量曲线图和不同初始值时的相轨线图，从图中分

11、析平衡点的稳定性。图例如下：值时的相轨线图，从图中分析平衡点的稳定性。图例如下：第一种情况下的种群数量关系图第一种情况下的种群数量关系图第一种情况下的相轨线图：第一种情况下的相轨线图：3.2 在在121,1aa121,1aa11122245379,1,;,32555aNraNr情况下，平衡点的稳定性分析情况下，平衡点的稳定性分析 下面将分析第二种情况（即下面将分析第二种情况（即 ），），平衡平衡不同初始值出发的相轨线，并分析在这种情况下平衡点的稳定不同初始值出发的相轨线，并分析在这种情况下平衡点的稳定性。性。 我们取我们取 并代入方程（并代入方程（1）、（）、（2）得：）得：111222125

12、52( )(1)283931( )(1)582xtxxxxtxxx的稳定性，作出从的稳定性，作出从第二种情况下的种群数量关系图第二种情况下的种群数量关系图第二种情况下的种群相轨线图第二种情况下的种群相轨线图3.3 在在121,1aa11122253,1,2.5;,1,1.8,75aNraNr1112221255( )(1),2793( )(1).55xtxxxxtxxx情况下情况下, ,平衡点的稳定性平衡点的稳定性 下面将分析第三种情况（即下面将分析第三种情况（即121,1aa），平衡），平衡的稳定性的稳定性.作出从不同初始点出发的相轨线，并分析作出从不同初始点出发的相轨线，并分析在在这种情况下平衡点的稳定性这种情况下平衡点的稳定性.我们取：我们取：并带入方程（并带入方程（1）、（）、（2）得：）得：第三种情况下种群数量关系图第三种情况下种群数量关系图第三种情况下的相轨线图第三种情况下的相轨线图3.4 在在121,1aa11122245,2,2.5;,1.6,1.833aNraNr11122212515( )(1),226955( )(1).568xtxxxxtxxx情况下情况下,平衡点的稳定平衡点的稳定下面将分析第四种情况（即下面将分析第四种情况（即 121,1aa),平衡的稳平衡的稳定性定性.作出从不同初始点出发的相轨线，并分析在这种情