绝对值不等式的解法2

1、一、知识回顾一、知识回顾1、绝对值的定义、绝对值的定义|x|=x ,x0 x ,x00 ,x=02、绝对值的几何意义、绝对值的几何意义0 x|x|x1x|xx1| 一个数的绝对值表示这个数对应的点到一个数的绝对值表示这个数对应的点到原点的距离原点的距离.类比：类比：|x|3 的解的解|x|-2的解的解归纳：|x|0) |x|a (a0) -axa 或或 x-a-aa-aa类型一：类型一：|x|a (a0)型不等式的解法型不等式的解法 不等式不等式|x|a的解集为的解集为x|- -axa的解集为的解集为x|xa 0- -aa0- -aa利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式利用这个规律可以解一

2、些含有绝对值的不等式.如果把如果把|x|2中的中的x换成换成“x-1”,也就是也就是| x-1 | 2中的中的x换成换成“3x-1”,也就也就是是| 3x-1 | 2如何解？如何解？整体换元整体换元.类型二：型如类型二：型如| f(x)|a (a0) 不等式的解法不等式的解法:( )( )f xaaf xa ( )( )f xaf xaa 或f(x)例例 1： 解不等式解不等式 532x解：解：这个不等式等价于这个不等式等价于5325x3533235x822x41x因此，不等式的解集是（因此，不等式的解集是（1，4）例例 2 解不等式解不等式32 x5解：解：这个不等式等价于这个不等式等价于或

3、或（1）（2）532x（1）的解集是（4，+），（2）的解集是（，1）， 原不等式的解集是（4，+） （，1）。532x例例 3： 解不等式解不等式123x解：解：这个不等式等价于这个不等式等价于或或（1）（2）123x（1）的解集是（的解集是（3，5），），（2）的解集是（的解集是（-1，1），）， 原不等式的解集是原不等式的解集是（3，5） （-1，1）321x 例例4:解不等式解不等式 | 5x-6 | 6 x引伸二：引伸二： 型如型如 | f(x)|a的不等的不等式中式中 “a”用代数式替换，如何解？用代数式替换，如何解？解法解法1：对绝对值里面的代数式符号讨论：对绝对值里面的代数式符

4、号讨论：5x-6 0 5x-66-x() 或或 () 5x-60-（5x-6）6-x解解()得：得：6/5x2解解() 得：得：0 x0-(6-x)5x-6(6-x)综合得综合得0 x2()或或 () 6-x0无解无解解解()得：得：0 x2; () 无解无解 例例4:解不等式解不等式 | 5x-6 | 0时时,转化为转化为-(6-x)5x-60-(6-x)5x-6(6-x)X6-(6-x)5x-65x-6(6-x)0 x0是否可以去掉是否可以去掉有更一般的结论：有更一般的结论：|f(x)|g(x) -g(x)f(x)g(x) f(x)g(x) 或或f(x)-g(x) 类型类型3 3 例例4:

5、解不等式解不等式 | 5x-6 | |x-3|解法解法1：因为因为 |x-1| |x-3| 所以所以 两边平方可以等价转化为两边平方可以等价转化为 （x-1)2(x-3)2 化简整理：化简整理：x2平方法：注意两边都为非负数平方法：注意两边都为非负数|a|b|依据：依据：a2b2解法解法2：如图，设如图，设“1”对对A，“3”对应对应B，“X”对应对应 M（不确定的），即为动点（不确定的），即为动点.|x-1| |3-x|由绝对值的几何意义可知由绝对值的几何意义可知 ：|x-1| =MA|x-3|=MB0132AB几何的意义几何的意义 为为MAMB,例例5：解不等式：解不等式：|x-1| |x

6、-3|M分析：两个分析：两个|x-1| 、|x-3|要讨论，按照绝对值里面的要讨论，按照绝对值里面的代数式符号进行讨论。可以借助数轴分类。代数式符号进行讨论。可以借助数轴分类。解法解法3:使使|x-1|=0,|x-3|=0，未知数，未知数x的值的值为为1和和30131、当、当x3时，原不等式可以去绝对值符号时，原不等式可以去绝对值符号化为：化为：x-1x-3 解集为解集为R，与前提取交集，与前提取交集，所以所以x3；2、当、当1x3时时,同样的方法可以解得同样的方法可以解得2x33.当当x2例例5：解不等式：解不等式：|x-1| |x-3|练习：练习：把下列绝对值不等式转把下列绝对值不等式转化

7、为同解的非绝对值不等式化为同解的非绝对值不等式.3、| x-1 | 2( x-3) 4 4、2xx2xx 5、| 2x+1 | | x+2 |1、|2x-3|4类型类型5 5xaxbcxaxbc和125xx例例6：方法方法1：几何意义：几何意义方法方法2：去绝对值：去绝对值方法方法3：函数的观点：函数的观点方法方法1：利用绝对值的几何意义，体现了数形结利用绝对值的几何意义，体现了数形结合的思想合的思想-2-21 12 2-3-3解解:|:|x-1|+|-1|+|x+2|=5+2|=5的解为的解为x=-3=-3或或x=2=2所以原所以原不等式不等式的解为的解为 23x xx 或或125xx例例6

8、：解：解：当当x1时，原不等式同解于时，原不等式同解于x2 2x-211-(-(x-1)+(-1)+(x+2) +2) 5 5x-21-21x-3-3x综合上述知不等式的解集为综合上述知不等式的解集为23x xx或或3 3当当x-21)1)-(-(x-1)+(-1)+(x+2)-5 (-2+2)-5 (-2x1)1)-(-(x-1)-(-1)-(x+2)-5 (+2)-5 (x-2)1)1)-2 (-2-2 (-2x1)1)-2-2x-6 (-6 (x-2)-2)令令f( (x)=|)=|x-1|+|-1|+|x+2|-5 ,+2|-5 ,则则-3-31 12 2-2-2-2-2xy由图象知不

9、等式的解集为由图象知不等式的解集为23x xx或或f( (x)=)=方法方法3 3：通过构造函数通过构造函数, ,利用函数的图象利用函数的图象, ,体现了函数体现了函数 与方程的思想与方程的思想型型不不等等式式的的解解法法和和）（cbxaxcbxax 2利用绝对值不等式的几何意义利用绝对值不等式的几何意义零点分区间法零点分区间法构造函数法构造函数法方法小结方法小结主要方法有：主要方法有：同解变形法同解变形法: 运用解法公式直接转化；运用解法公式直接转化；定义法定义法: 分类讨论去绝对值符号；分类讨论去绝对值符号；含一个绝对值符号含一个绝对值符号直接分类直接分类；含两个或两个以上绝对值符号含两个

10、或两个以上绝对值符号: 零点分段法零点分段法确定确定.数形结合数形结合 （运用绝对值的几何意义）（运用绝对值的几何意义）;利用函数图象来分析利用函数图象来分析.解绝对值不等式的解绝对值不等式的基本思路基本思路: 去绝对值符号转化为一去绝对值符号转化为一般不等式来处理。般不等式来处理。三、小结三、小结思路思路1：利用绝对值的几何意义观察利用绝对值的几何意义观察思路思路2：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论思路思路3：两边同时平方去掉绝对值符号两边同时平方去掉绝对值符号思路思路4：利用函数图象观察利用函数图象观察 解绝对值不等式的解绝对值不等式的思路思路是是转化为等价的不含绝对转化为等价的不含绝对值符号的不等式值符号的不等式(组组)，根据式子的特点可用下列解根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：法公式进行转化