2012届江苏苏教版学海导航高中新课标总复习(第1轮)文数：第4章第25讲 同角三角函数之间的基本关系式及诱

1、诱导公式诱导公式 3sin()2sin()cos(2)tan()3cos()2.sin1()f例【】 1312cos()2531860fff化简；若 是第三象限角，且 ，求的值；若 ，求的值 sinsin( )cos( )( tan)cossin( )cos .311cos()sin.2552 6cos.52 6.5( 1860 )cos( 1860 )c12os18601cos(5 36060 )cos60.32fff由 ，得又 是第三象限角，所以所以【解析】 本题主要考查诱导公式应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角

2、函数的求值问题具体步骤为“负角化正角正角化锐角求值” 8tan()(1)71513sin()3cos()77_2022sin()cos()717m m【变式练习】设，则8tan()tan().771513sin()3cos()772022sin()cos()77sin()3cos()77sin()cos()77337117mmtanmmtan【解析 ，故原式】同角三角函数之间的同角三角函数之间的基本关系式基本关系式 2tan31 sinsin2cos25cos3sin3 3cos3sinc2os1.已知 ，求下列各式的值；例【】 22sin3tan3cossincos13 10sin.103

3、10sin;103 10sin11.0由 ，得，解得当 在第一象限时，当 在第三象限时，【解析】 222222222sin2costan2321.5cos3sin53tan53 3143cos3sincos14cos3sincossin4cos3sincossinsincos43tantan42.tan211305 本题利用同角三角函数之间的基本关系，由一个角的某个三角函数值求该角的另外的三角函数值注意角的范围，同时对于(2)(3)注意弦化切的思想 2211cos1tan3tan2已知 ，求【变式练习】的值2221cos38sintan8311731tan18.tan88【解由 ，得， ，所以

4、 析】化简、求值、证明化简、求值、证明 2210 sincos.251 sincos3sin2sincoscos22222tancot3xxxxxxxxxxx已知，求：的值；【例 】的值 2221sincos51(sincos )()5242sin cos.2549(sincos )12sin cos,250sin0cos027sinc1os.5xxxxxxxxxxxxxxx由 ，得，所以因为 又，所【以，所以解析】 2223sin2sincoscos2222tancot2sinsin12sincoscossinsin cos (2cossin )121108(2).2551225xxxxxx

5、xxxxxxxxxx 在三角函数变换与求值中，已知sincos，sincos，sincos中的一个可利用方程的思想求出另外两个的值解题时，要特别注意开方后正负号的取舍，这要依据已知条件确定sin与cos的大小关系：当的终边落在直线yx上时，sincos；当的终边落在直线yx的上半平面区域内时，sincos；当的终边落在直线yx的下半平面区域内时，sincos(如图所示)若sin与cos的大小关系不确定，则应分类讨论，考虑多解 4141cos()cos()(43)4nnxx nN【变式练习】化简： cos()cos()()44cos()cos()44cos()4cos()cos()2cos()4

6、44nxnx nnxxxnxxxN原式 当 为奇数时，原式【解析 2 ；当 为偶数时，原式】 111.sin()2cos(7 )_已知 ，则的值为2 3311sin()sin221sin.2112 3cos(7 )cos3由 ，得 ，所以从而【解析】332.sin()sin()424 已知，则的值为_3()()443().4433sin()sin()442因为 ，所【以 因此，析】解323. 12sin(2)cos(2)_等于212sin(2)cos(2)12sin2cos2(sin2cos2)|sin2cos2|sin2cos2|sin2cos2|sin2cos2.【因为，又，所以解析】si

7、n2cos22212sin cos1tan4.cossin1tanxxxxxx 求证：2222222sincos2sin coscossin(sincos )cossincossincossin1tan1tanxxxxxxxxxxxxxxxx左边右边所以原等【证明】式成立 225.4sin3cos011sincoscossincossin2cossincossin3 sin2sincos3cos.已知 ，求下列各式的值：； 22234sin3cos0tan.41sincos1tan25.sincossincostan121因为 ，所以【解析】 22222222cossincossincossi

8、ncossin33111tan1tan48424.331tan1tan71144sin2sincos3cossin2sincos3cossincos963tan2tan363164.9tan1251163 1诱导公式起着变名、变号、变角等作用，在三角函数有关问题(特别是化简、求值和证明)中常使用 2.必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角” 3()()()()()090()3(22)2()2“612355”“”6利用诱导公式解题时： 求任意角的三角函数值的一般程序：负 角变正 角大 角 变小 角一直 变到之间能查表 变角是有一定技巧的，如 可写成 ，也可以写成等不同的表达方

9、法决定着使用不同的诱导公式 凑角方法也体现出很大的技巧性如已知角，求未知角 ，可把 ().66 改写成 4掌握三角函数的三种基本题型 (1)求值题型已知某角的正弦、余弦、正切中的一个，求其他两个，这里应特别注意开方运算时根号前正、负号的选取应根据题设条件是否指明角所在的象限，确定最后结果是一组解还是两组解 (2)化简三角函数式化简是一种不指明答案的恒等变形，一般来说化简所得的最后结果，应满足以下要求：函数的种类要最少；项数要最少；函数次数要最低；能求出数值的要求出数值；尽量使分母不含三角函数；尽量使分母不含根式 (3)证明同角三角函数恒等式一般方法有三种：即“由繁到简”“中间会师”“变更论证”

10、，具体要求要由等式两端的特征(结构、名称)来选择最佳方法 5在计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧有： (1)“1” 的 代 换 为 了 解 题 的 需要有时可以将1用sin2cos2代替 (2)“切化弦”与“弦化切”利用商数关系把正切化为正弦和余弦 (3)整体代换将计算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形，找出它与计算式之间的关系 6式子sincos，sincos，sincos等之间都能互相转换，只要知道其中一个的值，就能求出其余式子的值 35cos()3_1_的值是苏(2010 南五校期末卷)35cos()cos( 12)331cos.32【解析】12答案：选题感悟：本题是诱导公式及特殊角的三角函数值的简单应用，所涉及到的知识非常基础，只有牢固基础，才能随机应变 23s2 (in2010cos10_cos2sincos)若 ，苏调则的值为南四校研卷103答案：选题感悟：本题主要考查同角三角函数之间的基本关系式的应用，所用方法是三角变换的重要手段之一 22sincos1sin2cossin co3.(2010)sf xxxfxf xaf afaaaa已知函数，是的导函数苏，求的值联江百校大考 222222cossin .2sinco