寿险精算 第三讲 人寿保险的趸缴纯保费

1、寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费第二章第二章 人寿保险的人寿保险的趸缴纯保费趸缴纯保费保险金是寿险公司的主要负债，将由寿险公司在未来的时间里支付，具体支付时间视被保险人死亡时间而定。通常这些保险根据给付保险金方式的不同分为两大类： （1）普通人寿保险： 如果被保险人在某一期限内死亡或活过某一期限，保险人将向被保险人给付一笔保险金，即一次性给付保险金。 （2）年金保险：在约定期间当被保险人活着时，保险人在相同间隔的时间上向被保险人多次给付一系列保险金。寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费人寿保险简介人寿保险简介什么是人寿保险 狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否

2、死亡作为保险标的的一种保险。 广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标的生存保险和两全保险。寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费人寿保险的分类人寿保险的分类受益金额是否恒定定额受益保险 变额受益保险保单签约日和保障期期始日是否同时进行非延期保险延期保险 保障标的的不同人寿保险（狭义）生存保险两全保险 保障期是否有限 定期寿险 终身寿险寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费人寿保险的性质人寿保险的性质保障的长期性 这使得从投保到

3、赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。保险赔付金额和赔付时间的不确定性 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。被保障人群的大数性 这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定假定条件:假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定

4、利率）。寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费原则保费净均衡原则解释所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值 寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费基本符号基本符号 投保年龄 的人。 人的极限年龄 保险金给付函数。 贴现函数。 保险给付金在保单生效时的现时值)(xxtbtvtztttvbz寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费趸缴纯保费的定义在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值 趸缴纯保费的厘定按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于(

5、)tE z寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费2. 1 离散型的人寿保险模型离散型的人寿保险模型(死亡年末赔付死亡年末赔付) 所谓离散型的人寿保险模型，是指以离散型未来寿命K(x)为基础，保险金是在被保险人死亡所处的保单年度末支付而建立的各种人寿保险的数学模型。 对保险人 (x) ，其未来寿命整年数为K(x)，则其概率分布率为假设金额在K(x)+1处给付，给付金融为 元，记 为在K(x)+1处给付1个单位时的利息贴息贴现系数，Z为给付保险金额在签单时的现值。则 Z的期望值 E(Z) 的一般表达式是E(Z) 称为趸缴纯保费|Pr( )p q= q (k=0,1,2,) kxx kk

6、xK xkkb1kv11 (K=0,1,2,)KKZbv11|0( ) q (2.1.1)kkkxkE Zvb寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费给付保险金的现值与分布给付保险金的现值与分布保险人(x)的 给付保险金的现值Z 是一随机变量,其分布为:2b3b2v1kb3v1kv0|xq未来寿命K(x)012k给付数额B贴现系数V给付现值Z给付概率p22bv11b v11kkbv1|xq| kxq11|0() q kkkxkEZvb2211|0()() q kkkxkEZvb2|xq1b1v33b v寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费2. 1.1 死亡保险死亡保险分

7、为n 年期和终身人寿保险基本符号 岁投保的人整值剩余寿命 保险金在死亡年末给付函数 贴现函数。 保险赔付金在签单时的现时值。 趸缴纯保费。kxK)(kbkvkz()kE z寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费定期寿险死亡年末赔付场合定期寿险死亡年末赔付场合n 年定期保险假设（x）投保了保险期限为 n 年，保险金额为 1元的定期寿险，即：当且仅当被保险人（x）在保险期间内死亡时，即未活过x+n 岁，寿险公司才给付保险金1元。如果被保险人（x）活到保险期末，寿险公司将不作任何支付。为了清楚起见，我们先假定，当被保险人在保险期间内死亡时，保险金于被保险人死亡那年年末支付（以后我们将会讨

8、论于死亡时立即给付保险金的情况）。寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费基本函数关系：记k为被保险人整值剩余寿命，则1111111 , 0,1,11 , 0,1,10 , , 0,1,10 , kkkkkkkvvknknbknvknzbvkn寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费定期寿险定期寿险则其有关函数为：则其趸缴纯保费为：用换算函数计算111:0111:0( ) (2.1.2)nkkxx kx nknkxx kx nkAE zvpql Avd未来寿命K(x)012n-1给付数额B1111贴现系数V给付现值Z给付概率p1|xq1|nxq2|xq1vxq2v3vnv1

9、v2v3vnv寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定符号：厘定：111:0111:0( ) (2.1.2)nkkxx kx nknkxx kx nkAE zvpql Avd1: x nA寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费换算符号换算符号换算引进的目的：简化计算常用换算符号：10000 N (1)xxxxxxxx kxx kkkxx kx kkkCvdDv lMCDRMkC1:xx nx nxMMAD111:0111:0( ) (2.1.2)nkkxx kx nknkxx kx nkAE zvpql Avd寿险精算数学寿险精算数学-02

10、趸缴纯保费趸缴纯保费换算表换算表1:xx nx nxMMADxxxDMA 1:x nxnxDAD:xx nx nx nxMMDAD1:x mx m nmx nxMMAD:x mx m nx m nmx nxMMDAD1:()xx nx nx nxRRnMIAD111:()()xxx nx nxnMRRDAD 寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费现值随机变量的方差现值随机变量的方差公式记等价方差为1222220( )()( )( )nkkxx kkVar zE zE zvpqE z12122:0nkkxx kx nkAvpq2112:( )()x nx nVar zAA寿险精算数学

11、寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费例2.1.1设年龄为35岁的人投保离散型的保险金额为5000元的25年定期保险。求该保单的趸缴纯保费（年利率i=6%）。寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费在人寿保险中，纯保费 通常称为自然纯保费，用 表示，即 在一般情况下，年龄越大，自然纯保费越高。 1 : 1xAxcxxxCcD寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费终身寿险终身寿险定义 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。 对于有限期保险，令 ，就可得到终身寿险的趸缴纯保费计算公式： 用换算符号计算：对式(2.1.5)两边乘以 ，则得

12、 式(2.1.7)表明，保单签发时， 个年龄为x岁的被保险人所支付的趸缴纯保费组成的基金总额等于按死亡预定流出资金的现值总额。 nxxxMAD1|0 (2.1.5)kxkxkAvqxl10 (2.1.7)kxxxkkl Avd寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费2.1.2 两全保险两全保险寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费2.1.2 两全保险两全保险n年期两全保险是由

13、n 年期生存保险和n 年定期保险组成，假设(x)投保离散型的保额为1单位的两全保险，则其有关函数为：则其趸缴纯保费为：用换算函数计算未来寿命K(x)012n-1n给付数额B11111贴现系数V给付现值Z给付概率p1|xq1|nxq2|xq1vxq2v3vnvnv1v2v3vnvnvnxp11|:0( ) (2.1.10)nknkxnxx nkAE zvqvp: (2.1.11)xxnxnx nxMMDAD寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费2.1.3 延期寿险延期寿险被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第m+1年开始为期n

14、年的定期寿险，则其有关函数为：则其趸缴纯保费为：用换算函数计算未来寿命K(x)mm+1m+2m+n-1给付数额B01111贴现系数V给付现值Z 0给付概率p|mxq2|mxq1|mxq1mv2mv3mvm nv111|:( ) (2.1.13) m nkmkxx nk mAE zvq1|: (2.1.14)xmxmnmx nxMMAD1mv2mv3mvm nv1| m nxq寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费例子例子例2.1.4 试证：证明:1 1 1|:hx nx nxh nAAA11111|:011011|0 11: = = = nhnkkhhkxkhxx nkhknhkh

15、xkxhxhkknhkhxkxhkx hxh nAvqvqv vppqvpvqAA寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费2.1.4 变额受益保险变额受益保险1.递增的n年定期保险如果保险金额的给付是随着被保险人未来寿命的变化而改变的,这类人寿保险称为变额年金保险，则其有关函数为：则其趸缴纯保费为：用换算函数计算未来寿命K(x)0123n-1给付数额B1234n贴现系数V给付现值Z给付概率p1|xq3|xq2|xq1vxq2v3v4vnv1v22v33v44vnnv111|:0()( )(1) (2.1.17)nkkxx nkIAE

16、zkvq1:() (2.1.18)xxnxnx nxRRnMIAD1|nxq寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费2.1.4 变额受益保险变额受益保险2.递减速的n年定期保险其有关函数为：则其趸缴纯保费为：用换算函数计算未来寿命K(x)0123n-1给付数额Bnn-1n-2n-31贴现系数V给付现值Z给付概率p1|xq3|xq2|xq1vxq2v3v4vnv1nv2(1)nv3(2)nv4(3)nvnv111|:0()( )() (2.1.21)nkkxx nkDAE znk vq111:()() (2.1.23)xxxnx nxn

17、MRRDAD1|nxq寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费例子例子 例2.1.5 设年龄为30岁的人,购买离散型的递增的30年定期保险,保险利益是:被保险人在第一个保单内死亡,则给付1000元;在第二个保单年度内死亡,则给付1100;在第三个保单年度内死亡,则给付1200;依次下去,直到第30个保单年度内死亡,则给付3900.试求该保单的趸缴纯保费(预定年利率i=6%).解： 时间1232930给付数额B10001100120038003900900*11111100*12329301130:3030:3030603060603030900100()30 =900100PAIAM

18、MRRMDD寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费例子例子例2.1.6 设年龄为30岁的人,购买离散型的递减的20年定期保险,保险利益是:被保险人在第一个保单内死亡,则给付5000元;在第二个保单年度内死亡,则给付4900;在第三个保单年度内死亡,则给付4800;依次下去,直到第20个保单年度内死亡,则给付3100.试求该保单的趸缴纯保费(预定年利率i=6%).解： 时间1231920给付数额B500049004800320031003000*11111100*201918211130:2030:20305030315130303000100()() =3000100PADAMMM

19、RRDD寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳终身寿险延期m年的n年定期寿险延期m年的终身寿险n年期两全保险延期m年的n年期两全保险递增终身寿险递减n年定期寿险11:xx nx nnAAA1:xxmx mAAA111:xxmmmx nx nnmx m nAAAAA111:mx nx mnx mAAA111:10()kxkxx kjxjkjIAkvpqA1111:10()(1)nnkkxx kx nx njkjDAnkvpqA10kxkxxkkAvpq寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费2. 2 连续型的人寿保

20、险模型 连续型的人寿保险模型，就是指如果被保险人在保障期内发生保险责连续型的人寿保险模型，就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。 它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。 2.2.1 死亡保险死亡保险 保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险。假定：(x) 岁的人，保额1元n年定期寿险 基本函数关系 则其趸缴纯保费1:0() (2.2.3)ntx nTtx

21、x tAE Zvpdt , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtnzbvtnbtntn寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费趸缴纯保费趸缴纯保费在 时间区间内，因为T(x) 的密度函数为 故即(x) 在 区间内死亡率概率为 ，其支付金额 =1，贴现系数为 给付现值 为 。故 的期望值即趸缴纯保费为：Pr()( ) Ttxx ttTtdtftdtpdt()()Ttxtxxtdftppd x( ,)t tdttxx tpdt( ,)t tdttvtZtvtvtbtZ1:000()( ) = nnnttx nTtTtxx ttxx tAE ZZft dtvpdtepd

22、t寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费现值随机变量的方差现值随机变量的方差方差公式记（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）所以方差等价为20222)()()()()(tnTttttzEdttfezEzEzVardttfeAnTtnx)(021:221:1:2)()(nxnxtAAzVar寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费2.2.2终身寿险终身寿险定义保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。假定： 岁的人，保额1元终身寿险基本函数关系)(x , 0 , 01 , 0 ttttt ttvvtzbvvtbt寿险精算数学寿险精

23、算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定符号：厘定：xA000( )( )xttTtttxx ttxx tAE zz f t dtv pdtepdt寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费方差公式记所以方差等价为 22220( )( )( )( )( )ttttTtVar zE zE zef t dtE z220( )txTAeft dt22)()(xxtAAzVar寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费例例2.2.1设(x)投保终身寿险，保险金额为1元保险金在死亡即刻赔付签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为计算1 , 060(t)600 , Tt

24、f 其它0.90.91(2)( )(3)Pr()0.9.xtAVar zz（）的寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费0606002260220120602(1)( )1160602( )() 1()6011()12060txTttxxtxAef t dteedtVar zAAedtAee（）寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费60lnln660.90.9(3)Pr()Pr() ln=Pr( lnln)()lnln60ln( )0.960ln6lnttTvzvtvP tvvf t dtvve寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸

25、缴纯保费例2.2.2 设有100 个相互独立的年龄都是x岁的被保险人投保保险金额为10元的连续型终身寿险,死力 ,保险金将从利力 计息的投资基金中支付.试计算该项基金在最初(t=0) 时,其数额至少有多大,才能保证从该项基金中足以支付每个被保险人的死亡受益金的概率近似于95%.0.04t0.06寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费例例2.2.2解:从而可得10TTjZve1001jjZZ0()1010exp() exp() =104jxE ZAttdt220()1010exp( 2) exp() =10252jxE ZAttdt222()() () =25-49jjjVar ZE

26、 ZE Z1001( )()100 4400jjE ZE Z1001( )()100 9900jjVar ZVar Z寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费例例2.2.2续续设该基金在最初时的数额至少是h,则这等价于:Pr()0.95Zh( )( )Pr()0.95( )( )ZE ZhE ZVar ZVar Z0.95( )( ) =400+1.645 30=449.35hE ZzVar Z寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费延期终身寿险延期终身寿险 保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的

27、终身寿险基本函数关系符号： , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtmzbvtmbtmtm|tmxTmAvftd ttTmeftd t寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费001:( )( )( )( )mxttTmmtTtTxx mAE zz ft dtz ft dtz ft dtAA2222( )()( )( )( )ttttTtmVar zE zE zeft dtE z22( )txTmmAeft dt22( )()txxmmVar zAA寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费例子例子例2.2.3 考察保险金额为1个单位的延期5年的终身寿险，设

28、年龄为x岁的被保险人死力为常值勤 ，利力 ，Z表示给付死亡受益金在投保时的现值随机变量。试求： (1) 期望值 E(Z) (2) 方差 Var(Z) (3) 中位数解： ex p ()Tftt0.040.100.55|0(1) E (Z )=ex p ()ex p () =ex p 5()0 .1 4 1 9 xAtt d t20 E (Z)=ex p (2)ex p () =ex p 5(2)0 .0 5 0 22 tt d t22(2) Var(Z)()( ( )0.0301E ZE Z寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费n年期两全保险年期两全保险被保险人投保后如果在n年期内

29、发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。假定 (x) 岁的人，保额1元，n年定期两全保险基本函数关系符号及保费厘定 , , , , 1 , 0tttntttntvtnvvtnzbvvtnvtnbt11:xx nx nnAAA0ntntxx tnxvpdtvp寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费延期延期m年年n年定期两全保险年定期两全保险定义 被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第m+1年开始为期n年的定期两全保险假定： 岁的人，保额1元，延期m年的n年定期两全

30、保险基本函数关系)(x , 0, , , m0 , , 1 , ttm nttt tm ntvtm ntmvvtm nzbvvtm ntmvtm nbtm 寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定符号：厘定:mxnA1:11:mx nx mx m nmx nmx nAAAAA寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费2.2.2 变额受益保险变额受益保险1.按算术数列续年递增的终身寿险定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递增函数特别： 一年递增一次 一年递增m次 一年递增无穷次（连续递增）寿险精算数学寿险精

31、算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费一年递增一次一年递增一次现值随机变量趸缴保费厘定011()( )1txttxx tkttxx tkkIAE ztvpdtkvpdt 1ttztv寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费一年递增一年递增m次次现值随机变量趸缴保费厘定()01111()( )mtxttxx tmk smmttxx tksmk smmtIAE zvpdtmmksvpdtm 1ttmtzvm寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费一年递增无穷次（连续递增）一年递增无穷次（连续递增）现值随机变量趸缴保费厘定ttztv0()()txttxxtIAE ztvpdt寿险精算数

32、学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费1.按算术数列续年递减的按算术数列续年递减的n年期定期寿险年期定期寿险定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递减函数特别： 一年递减一次 一年递增减m次 一年递减无穷次（连续递减）寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费一年递减一次一年递减一次现值随机变量趸缴保费厘定 ,0,ttntvtnztn 1:011()( )(1)tttxx tx nknttxx tkkDAE zntvpdtnkvpdt寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费一年递减一年递减m次次现值随机变量趸缴保费厘定,0,tttmn

33、vtnzmtn()1:0111()( )1nmtttxx tx nmk smnmttxx tksmk smmtDAE znvpdtmsnvpdtm 寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费一年递减无穷次（连续递减）一年递减无穷次（连续递减）现值随机变量趸缴保费厘定(),0,ttnt vtnztn1:0()( )()ntttxx tx nDAE znt vpdt寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费2.2.4 趸缴纯保费的换算公式趸缴纯保费的换算公式常用换算符号： 1 011dt , xxx tx txxxxxyy xxyxxy xCDDv lMCCCRMMM寿险精算数学寿

34、险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费公式推导公式推导由式(2.2.2),可得1:00110110011001101 =1 =1 =11 =( nnttx tx ntxx tx txnkx tx tx tkkx xnx k sx k sx k skx xnx k sx k skx xnx kxxkxxlAvpdtvdtlvldtv lvldtv lDdtv lCCCCDD1) = x nxx nxMMD寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费连续型寿险趸缴纯保费换算公式连续型寿险趸缴纯保费换算公式类似可得到1:xx nx nxMMADxxxMAD1:x nx nxDAD:xx nx n

35、x nxMMDAD1:x mx m nmx nxMMAD:x mx m nx m nmx nxMMDAD1:()xx nx nx nxRRnMI AD111:()() xxx nx nxnMRRDAD寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费2.3 在在死亡均匀分布下死亡均匀分布下的寿险模型的寿险模型2.3.1 与 之间的关系以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命：则有 类似地,可得到其他公式,参见式(2.3.2)xAxA( )( ) 1( ) 1( )( )( )T xK xS xT xK xS xvvv11110()()()TKSsxxxE vE vE v

36、iAAvdsA寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费例子例子 例2.3.1 设年龄为40岁的人投保连续型的递减的10年定期保险,保险利益是:若被保险人在第一个保单年内死亡,则立即给付受益金10000元;若在第二个保单年内死亡,则立即给付受益金9900元;若在第三个保单年内死亡,则立即给付受益金9800元;依次递减,直至到第十个保单年内死亡,则立即给付受益金9100元.试在死亡均匀分布假设条件下求其趸缴纯保费(预定年利率i=6%). 解:1140:1040:101140:1040:109000100() 9000100()PADAiADA1405040:1040140505140:1

37、04010()(DA)MMADMRRD寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费2.4 递推方程式递推方程式2.4.1离散型终身寿险趸缴纯保费的递推方程式推导:理解(x)的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于(x)在第一年死亡的情况下1单位的赔付额,或生存满一年的情况下净趸缴保费 。1 (2.4.1)xxx xAvqvp A 11|0011 111101111|1001 = = =vqvpkkxkxkxxkkkkkxkxxkxkxxkkkkkxx kxxkxxkxkkxxxAvqvp qvqvp qvqvp qvqvvppqvqvpvqA寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保

38、费其他变形其他变形在式(2.4.1)中用 替代 ,且两边乘以 ,可得:解释： 个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费 ，还可以为所有在当年去世的被保险人提供额外的 。公式三：同理,在式(2.4.2)两边乘以 ,可得解释:-年龄为x的被保险人在活到x+1岁时的净趸缴保费与当初岁时的净趸缴保费之差等于保费的一年利息减去提供一年的保险成本。 )1 ()1 (11xxxxxxAdAlAilxp(1)xq(1)xi l11xA1xAxl1xxvl1(1)xxxxxAAiAqA寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费2.4.2 连续型终身寿险趸缴纯保费的微分方程式连续型终身寿险趸缴纯保费的微分方程式对于连续型终身寿险,其趸缴纯保费的微分方程式是推导:()(1) (2.4.4)xxxxdAAAdx00000