河科大振动力学学习教案

1、会计学1河科大振动力学河科大振动力学第一页，共151页。第1页/共150页第二页，共151页。绪论绪论(xln)绪论绪论(xln)l 1.1 机械振动的定义及学习目的机械振动的定义及学习目的(md)l 1.2 机械振动系统机械振动系统l 1.3 机械振动的分类机械振动的分类第2页/共150页第三页，共151页。1. 1 机械振动的定义机械振动的定义(dngy)及学及学习目的习目的 绪绪 论论从广义上讲，如果表征某一种从广义上讲，如果表征某一种(y zhn)运动的物理量作时而增大时而减小的反复运动的物理量作时而增大时而减小的反复变化，就可以称这种运动为振动。变化，就可以称这种运动为振动。振动振动

2、(zhndng)现象现象 心脏的搏动、耳膜和声带的振动心脏的搏动、耳膜和声带的振动(zhndng)等等 汽车、火车、飞机及机械设备的振动汽车、火车、飞机及机械设备的振动(zhndng) 家用电器、钟表的振动家用电器、钟表的振动(zhndng) 地震以及声、电、磁、光的波动等等地震以及声、电、磁、光的波动等等第3页/共150页第四页，共151页。绪论绪论(xln)第4页/共150页第五页，共151页。绪论绪论(xln)机械振动是一种特殊形式的运动。在这种运动过程中，机械机械振动是一种特殊形式的运动。在这种运动过程中，机械系统将围绕平衡位置作往复运动。从运动学的观点看，机械振动是系统将围绕平衡位置

3、作往复运动。从运动学的观点看，机械振动是指机械系统的某些物理量指机械系统的某些物理量(位移、速度位移、速度(sd)、加速度、加速度(sd)，在某一数值附近随时间在某一数值附近随时间t的变化关系。的变化关系。机械振动现象：汽轮发电机组、航空发动机、火箭等的振动机械振动现象：汽轮发电机组、航空发动机、火箭等的振动思考：油膜振动是机械振动吗？思考：油膜振动是机械振动吗？第5页/共150页第六页，共151页。- 各个不同领域中的现象虽然各具特色，但往往有着相似的数各个不同领域中的现象虽然各具特色，但往往有着相似的数学力学描述。正是在这个共性基础上，有可能建立某种统一的理学力学描述。正是在这个共性基础上

4、，有可能建立某种统一的理论来处理论来处理(chl)各种振动问题各种振动问题振动振动(zhndng)力学力学- 借助数学、物理、实验和计算技术，探讨各种振动现象，阐明振动的借助数学、物理、实验和计算技术，探讨各种振动现象，阐明振动的基本规律，以便克服振动的消极因素，利用基本规律，以便克服振动的消极因素，利用(lyng)其积极因素，为合其积极因素，为合理解决各种振动问题提供理论依据。理解决各种振动问题提供理论依据。绪论绪论-振动力学是研究机械振动的规律的一门课程。振动力学是研究机械振动的规律的一门课程。第6页/共150页第七页，共151页。绪论绪论(xln)许多情况下振动是有害的。许多情况下振动是

5、有害的。它常常是造成机械和结构恶性破坏和失效它常常是造成机械和结构恶性破坏和失效(sh xio)的直接原因。的直接原因。例如：例如： 运载工具的振动；运载工具的振动；噪声；噪声；机械设备以及土木结构的破坏；降低机器及仪表的精度；机械设备以及土木结构的破坏；降低机器及仪表的精度；日本海南电厂日本海南电厂66千瓦的汽轮发电机组，因发生异常而全千瓦的汽轮发电机组，因发生异常而全 机毁坏（机毁坏（ 1972年）。年）。美国西屋公司美国西屋公司300MW机组等。机组等。我国秦岭电厂我国秦岭电厂200MW机组等、出口伊朗机组等、出口伊朗300MW机组机组 等事故。等事故。第7页/共150页第八页，共151

6、页。绪论绪论(xln)振动也有可利用的一面振动也有可利用的一面(y min)。 琴弦振动；琴弦振动； 振动沉桩、振动拔桩以及振动捣固；振动沉桩、振动拔桩以及振动捣固； 振动压路机；振动压路机； 振动给料机；振动给料机； 振动成型机；振动成型机； 振动筛；振动筛；第8页/共150页第九页，共151页。学习振动力学的目的：学习振动力学的目的： 掌握振动的基本理论和分析方法，用以确定和限制振掌握振动的基本理论和分析方法，用以确定和限制振动对工程结构和机械产品的性能、寿命和安全的有害影响动对工程结构和机械产品的性能、寿命和安全的有害影响。 运用振动理论去创造和设计新型运用振动理论去创造和设计新型(xn

7、xng)(xnxng)的振动设的振动设备、仪器及自动化装置。备、仪器及自动化装置。绪论绪论(xln)第9页/共150页第十页，共151页。绪论绪论(xln)绪论绪论(xln)l 1.1 机械振动的定义及学习机械振动的定义及学习(xux)目的目的l 1.2 机械振动系统机械振动系统l 1.3 机械振动的分类机械振动的分类第10页/共150页第十一页，共151页。1.2 1.2 机械振动系统机械振动系统(xtng) (xtng) 可以产生可以产生(chnshng)机械振动的力学系统，称机械振动的力学系统，称为机械振动系统。为机械振动系统。 机械振动系统可以是一个零部件、一台机器或者一机械振动系统可

8、以是一个零部件、一台机器或者一个完整的工程结构等。个完整的工程结构等。 一般来说，任何具有弹性和惯性的力学系统均可一般来说，任何具有弹性和惯性的力学系统均可以产生以产生(chnshng)机械振动。机械振动。绪论绪论(xln)第11页/共150页第十二页，共151页。系统系统（输入）（输入）激励激励（输出）（输出）响应响应振动(zhndng)系统的三要素：系统、激励和响应 - 把外界对振动系统把外界对振动系统(xtng)的作用，称为振的作用，称为振 动系统动系统(xtng)的激励（输入的激励（输入）。）。系统系统(xtng)对外界影响的反映，称为振动系统对外界影响的反映，称为振动系统(xtng)

9、的响应（输出）。的响应（输出）。 绪论绪论第12页/共150页第十三页，共151页。n 激励、系统和响应三者中知道其中两者，就可以求出第三者。因此，常见的振动问题按这三个环节(hunji)可分为：n第一类：已知激励和系统，求响应n第二类：已知激励和响应，求系统n第三类：已知系统和响应，求激励绪论绪论(xln)第13页/共150页第十四页，共151页。第一类：已知激励第一类：已知激励(jl)和系统，求响应和系统，求响应 动力动力(dngl)响应分析响应分析 主要任务主要任务(rn wu)在于验算结构、产品等在工作时的动力响应（如变形在于验算结构、产品等在工作时的动力响应（如变形、位移、应力等）是

10、否满足预定的安全要求和其它要求、位移、应力等）是否满足预定的安全要求和其它要求在产品设计阶段，对具体设计方案进行动力响应验算，若不符合要求在产品设计阶段，对具体设计方案进行动力响应验算，若不符合要求再作修改，直到达到要求而最终确定设计方案，这一过程就是所谓的再作修改，直到达到要求而最终确定设计方案，这一过程就是所谓的振动设计振动设计 正问题正问题系统系统（输入）（输入）激励激励（输出）（输出）响应响应绪论绪论第14页/共150页第十五页，共151页。第二类：已知激励第二类：已知激励(jl)和响应，求系统和响应，求系统系统识别系统识别(shbi)（系统辨识（系统辨识 ）求系统，主要是指获得对于系

11、统的物理求系统，主要是指获得对于系统的物理(wl)参数（如质量、刚参数（如质量、刚度和阻尼系数等）和系统关于振动的固有特性（如固有频率、主度和阻尼系数等）和系统关于振动的固有特性（如固有频率、主振型等）的认识振型等）的认识 以估计物理参数为任务的叫做以估计物理参数为任务的叫做物理参数辨识物理参数辨识，以估计系统振动固有，以估计系统振动固有特性为任务的叫做特性为任务的叫做模态参数辨识模态参数辨识或者或者试验模态分析试验模态分析第一个逆问题第一个逆问题 系统系统（输入）（输入）激励激励（输出）（输出）响应响应绪论绪论第15页/共150页第十六页，共151页。第三类：已知系统第三类：已知系统(xtn

12、g)和响应，求和响应，求激励激励环境环境(hunjng)预测预测 例如：为了避免产品在公路运输中的损坏，需要通过实地行车记录汽例如：为了避免产品在公路运输中的损坏，需要通过实地行车记录汽车振动和产品振动，以估计运输过程中是怎样车振动和产品振动，以估计运输过程中是怎样(znyng)的一种振动环的一种振动环境，运输过程对于产品是怎样境，运输过程对于产品是怎样(znyng)的一种激励，这样才能有根据的一种激励，这样才能有根据地为产品设计可靠的减震包装地为产品设计可靠的减震包装 第二个逆问题第二个逆问题 系统系统（输入）（输入）激励激励（输出）（输出）响应响应绪论绪论第16页/共150页第十七页，共1

13、51页。系统系统（输入）（输入）激励激励（输出）（输出）响应响应绪论绪论(xln)第一类：已知激励和系统，求响应：动力响应分析，正问题第一类：已知激励和系统，求响应：动力响应分析，正问题 第二类：已知激励和响应，求系统：系统辨识第二类：已知激励和响应，求系统：系统辨识(bin sh)，第一个逆问，第一个逆问题题 第三类：已知系统和响应，求激励：环境预测，第二个逆问题第三类：已知系统和响应，求激励：环境预测，第二个逆问题第17页/共150页第十八页，共151页。绪论绪论(xln)绪论绪论(xln)l 1.1 机械振动的定义及学习机械振动的定义及学习(xux)目的目的l 1.2 机械振动系统机械振

14、动系统l 1.3 机械振动的分类机械振动的分类第18页/共150页第十九页，共151页。绪论绪论(xln)l 1.3 机械振动的分类机械振动的分类(fn li) 按描述振动系统的力学按描述振动系统的力学(l xu)模型可分为：模型可分为：连续系统振动连续系统振动（无限多自由度系统，分布参数系统）（无限多自由度系统，分布参数系统） 离散系统振动离散系统振动 结构参数（质量，刚度，阻尼等）在空间上连续分布结构参数（质量，刚度，阻尼等）在空间上连续分布数学工具：数学工具：偏微分方程偏微分方程（多自由度系统（多自由度系统 ，单自由度系统），单自由度系统）结构参数为集中参量结构参数为集中参量数学工具：数

15、学工具：常微分方程常微分方程第19页/共150页第二十页，共151页。绪论绪论(xln)按描述系统按描述系统(xtng)的微分方程可分为的微分方程可分为:线性振动线性振动 非线性振动非线性振动描述其运动的方程为线性微分方程描述其运动的方程为线性微分方程(wi fn fn chn)，相应的系统称为线性系统。线性系统的一，相应的系统称为线性系统。线性系统的一个重要特性是线性叠加原理成立个重要特性是线性叠加原理成立描述其运动的方程为非线性微分方程，相应的系统描述其运动的方程为非线性微分方程，相应的系统称为非线性系统。对于非线性振动，线性叠加原理称为非线性系统。对于非线性振动，线性叠加原理不成立不成立

16、 第20页/共150页第二十一页，共151页。绪论绪论(xln)按系统的输入类型按系统的输入类型(lixng)可分为：可分为： 自由振动自由振动 强迫强迫(qing p)振动振动 自激振动自激振动系统受初始干扰或原有的外激振力取消后系统受初始干扰或原有的外激振力取消后产生的振动产生的振动系统在外激振力作用下产生的振动系统在外激振力作用下产生的振动 系统在输入和输出之间具有反馈特性，并系统在输入和输出之间具有反馈特性，并有能源补充而产生的振动。有能源补充而产生的振动。 第21页/共150页第二十二页，共151页。绪论绪论(xln)按系统或激励的性质按系统或激励的性质(xngzh)可分为可分为:确

17、定性振动确定性振动 不确定性振动不确定性振动描述系统或激励描述系统或激励(jl)的物理量为确定性参数。的物理量为确定性参数。描述系统或激励的物理量为描述系统或激励的物理量为不确定性参数不确定性参数。例如：本书第五章的随机激励下的振动。例如：本书第五章的随机激励下的振动。本课程主要研究离散、确定、线性自由或强迫振动本课程主要研究离散、确定、线性自由或强迫振动第22页/共150页第二十三页，共151页。本章结束本章结束(jish)谢谢谢谢第23页/共150页第二十四页，共151页。第24页/共150页第二十五页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统自由度线性系统自由(zyu)振动振动第25

18、页/共150页第二十六页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动l1.1 振动振动(zhndng)系统的简化及系统的简化及其模型其模型为了建立合适的分析模型，必须对实际系统进为了建立合适的分析模型，必须对实际系统进行简化。行简化。 机械振动系统的力学模型是由三种理想化的元机械振动系统的力学模型是由三种理想化的元件组成：质量块、阻尼器和弹簧。件组成：质量块、阻尼器和弹簧。质量块：惯性就是能使物体当前运动持续下去质量块：惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。的性质。弹簧：恢复性就是能使物体位置恢复到平衡弹簧：恢复性就是能使物体位置恢复到平衡(pngh

19、ng)状态的性质。状态的性质。阻尼器：阻尼就是阻碍物体运动的性质。阻尼器：阻尼就是阻碍物体运动的性质。从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的复性是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素元素第26页/共150页第二十七页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动单自由度系统单自由度系统(xtng)的模型的模型只有一个只有一个(y )自由度的振动系统，称为单自由度振动系自由度的振动系统，称为单自由度振动系统，简称单自由度系统。统，简称单自由度系统。自由度：自由度：指完整描述

20、一个振动系统时间特性所需的最少的独指完整描述一个振动系统时间特性所需的最少的独立坐标数，在理论力学中用广义坐标数。立坐标数，在理论力学中用广义坐标数。第27页/共150页第二十八页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统自由度线性系统自由(zyu)振动振动0mxkkIx0kcm第28页/共150页第二十九页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动弹性元件（弹簧弹性元件（弹簧(tnhung)）弹性元件：无质量、不耗能，储存势能弹性元件：无质量、不耗能，储存势能(shnng)(shnng)的元件的元件 xkFs平动：平动：力、刚度和位移的单位分别

21、力、刚度和位移的单位分别为为N、N / m和和m 。2. ( ) ( )xx tt说明：说明：1.1.本课程弹簧全部为线性弹簧本课程弹簧全部为线性弹簧转动：转动：力矩、扭转刚度和角位移的单位力矩、扭转刚度和角位移的单位分别为分别为Nm、 Nm / rad和和rad tMk第29页/共150页第三十页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动等效等效(dn xio)刚度刚度等效等效(dn xio)弹簧的刚弹簧的刚度称等效度称等效(dn xio)刚度刚度等效弹簧：等效弹簧：一个弹簧与某组弹簧的作用效果相同，称此弹一个弹簧与某组弹簧的作用效果相同，称此弹簧

22、为该组弹簧的等效弹簧。簧为该组弹簧的等效弹簧。eqk第30页/共150页第三十一页，共151页。串联串联(chunlin)弹簧等效刚弹簧等效刚度度11kP22kP总变形总变形(bin xng)： Pkk)11(21211212eqk kPKkk12111eqKkk在质量在质量(zhling)块上施块上施加力加力 P弹簧弹簧1变形：变形： 弹簧弹簧2变形：变形： 根据定义：根据定义： 或或 P mk1k2单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动n个串联弹簧：个串联弹簧： 111nieqikk第31页/共150页第三十二页，共151页。并联弹簧等效并联弹簧等效(dn xio)刚度刚度两

23、弹簧变形量相等：两弹簧变形量相等：受力不等：受力不等：11kP 22kP 在质量在质量(zhling)块上块上施加力施加力 P由力平衡由力平衡(pnghng)：)(2121kkPPP 根据定义：根据定义：21kkPKe 并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。 P mk1k2单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动n个并联弹簧：个并联弹簧： 1neqiikk第32页/共150页第三十三页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动若各弹簧若各弹簧(tnhung)所受作用力相等，即所受作用力相等，即“共

24、力共力”，则为串联弹簧则为串联弹簧(tnhung)。若各弹簧端部的位移相等若各弹簧端部的位移相等(xingdng)，即，即“共位移共位移”，则为，则为并联弹簧。并联弹簧。思考：下图的两个弹簧为串联弹簧还是并联弹簧？思考：下图的两个弹簧为串联弹簧还是并联弹簧？第33页/共150页第三十四页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动例：确定例：确定(qudng)图示混联弹簧的图示混联弹簧的等效刚度。等效刚度。解：解：k1和和k2并联并联(bnglin)，再与，再与k3串联串联k1和和k2并联，则：并联，则：1212eqkkk12312311111eqeq

25、kkkkkk再与再与k3串联，则串联，则化简化简312123()eqk kkkkkk第34页/共150页第三十五页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动例：确定图示混联弹簧的等效例：确定图示混联弹簧的等效(dn xio)刚度。刚度。解：解：k1和和k2并联并联(bnglin)，再与，再与k3串联串联k1和和k2并联，则：并联，则：1212eqkkk12312311111eqeqkkkkkk再与再与k3串联，则串联，则化简化简312123()eqk kkkkkk第35页/共150页第三十六页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性

26、系统的自由(zyu)振动振动自学自学(zxu)P13例例1.3材料力学材料力学(ci lio l xu)：提示：提示：扭转弹簧扭转弹簧tMkMLGJ则则tGJkL第36页/共150页第三十七页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动阻尼阻尼(zn)元件元件阻尼阻尼(zn)(zn)元件：无质量、无弹性、线性耗能元件元件：无质量、无弹性、线性耗能元件 说明说明 本课程阻尼全部为粘性阻尼（线性阻尼）本课程阻尼全部为粘性阻尼（线性阻尼）xcFd平动：平动：力、阻尼系数和速度的单位分别为力、阻尼系数和速度的单位分别为N、N s/ m和和m/s。力矩、阻尼系数

27、和角速度的单位分别为力矩、阻尼系数和角速度的单位分别为Nm、 Nms / rad和和rad/s 转动：转动：dMc第37页/共150页第三十八页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振振动动质量质量(zhling)元件元件质量元件质量元件(yunjin)(yunjin)：无弹性、不耗能的刚体，储存动：无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件能的元件(yunjin) (yunjin) xmFm 平动：平动：力、质量和加速度的单位分力、质量和加速度的单位分别为别为N、kg和和m / s2。力矩、转动惯量和角加速度的单位分力矩、转动惯量和角加速度的单位分别为别为N

28、m、kg m2和和rad/s2 转动：转动：mMI第38页/共150页第三十九页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统自由度线性系统自由(zyu)振动振动第39页/共150页第四十页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动l1.2 单自由度线性系统的运动单自由度线性系统的运动(yndng)微分方程微分方程图示为典型图示为典型(dinxng)的单自由度振动系统的单自由度振动系统取质量块做分离体，做受力图取质量块做分离体，做受力图根据牛顿定律，有根据牛顿定律，有mxFcxkx整理整理mxcxkxF第40页/共150页第四十一页，共151页。单自

29、由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动自学自学P18：线性系统的运动微分方程线性系统的运动微分方程(wi fn fn chn)中可中可略去恒力及其引起的静位移。略去恒力及其引起的静位移。在进行振动分析时，作用在线性系统上恒力（如常见的重力）在进行振动分析时，作用在线性系统上恒力（如常见的重力）及其引起的静态位移可同时及其引起的静态位移可同时(tngsh)略去不计。略去不计。第41页/共150页第四十二页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动例：对于例：对于(duy)图示单摆，试导出其运动微分方程。图示单摆，试导出其运

30、动微分方程。思考思考(sko)：本系统是否为线性系统？：本系统是否为线性系统？解：根据定轴转动微分方程，有解：根据定轴转动微分方程，有ooIM2oImLsinoMmgL 整理，得单摆的运动微分方程整理，得单摆的运动微分方程sin0Lg考虑到考虑到考虑到考虑到比较小，有比较小，有sin，线性化运动微分方程为，线性化运动微分方程为0Lg思考：本系统到底是线性系统还是非线性系统？思考：本系统到底是线性系统还是非线性系统？第42页/共150页第四十三页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统自由度线性系统自由(zyu)振动振动第43页/共150页第四十四页，共151页。单自由单自由(zyu)度线

31、性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动l1.3 无阻尼无阻尼(zn)系统的自由振动系统的自由振动 一个系统只在初始时受到外界干扰一个系统只在初始时受到外界干扰(gnro)，例如用力将，例如用力将质量块偏离静平衡位置后突然释放，或者给质量块以突然一击使质量块偏离静平衡位置后突然释放，或者给质量块以突然一击使之得到一个初始速度，然后就靠系统本身的弹性恢复力维持的振之得到一个初始速度，然后就靠系统本身的弹性恢复力维持的振动，称为自由振动。动，称为自由振动。当当c=0时为无阻尼系统时为无阻尼系统。第44页/共150页第四十五页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由

32、(zyu)振动振动图示单自由度无阻尼图示单自由度无阻尼(zn)系统的自由振系统的自由振动微分方程为：动微分方程为：改写改写(gixi)为为( )( )0mx tkx t( )( )0kx tx tm记记nkm则则2( )( )0nx tx t通解为：通解为：12( )cossinnnx tXtXt或或( )cos()nx tXt自然（固有）圆频率，以后也称为自然（固有）圆频率，以后也称为自然（固有）频率自然（固有）频率 单位：弧度单位：弧度/秒秒( )cos()nx tXt称为振幅称为振幅X称为初相角称为初相角第45页/共150页第四十六页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度

33、线性系统的自由(zyu)振动振动初始条件：初始条件：(0)oxx(0)oxv代入通解代入通解(tngji)12( )cossin nnx tXtXt22arctanoononovXxvx( )cos()nx tXt或或得得10 2 onvXxX第46页/共150页第四十七页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振振动动()nxXcoct2( )( )0nx tx t微分方程微分方程(wi fn fn chn): 解：解：单自由度无阻尼的自由振动特性：单自由度无阻尼的自由振动特性：为简谐振动。为简谐振动。自由振动的自然自由振动的自然(zrn)频率仅由系统本

34、身的参数决定，与系统的频率仅由系统本身的参数决定，与系统的激励及初始条件无关。激励及初始条件无关。振幅及初相角由初始条件决定。振幅及初相角由初始条件决定。单自由度无阻尼的自由振动为等幅振动。单自由度无阻尼的自由振动为等幅振动。5.振动自然频率（振动自然频率（Hz）122nnkfm6.振动周期振动周期12nmTfk第47页/共150页第四十八页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振振动动例：提升机系统例：提升机系统重物重量重物重量 钢丝绳的弹簧钢丝绳的弹簧(tnhung)刚度刚度重物以重物以 的速度匀速下降的速度匀速下降求：绳的上端被卡住时，求：绳的上端

35、被卡住时，（1）重物的振动频率）重物的振动频率(pnl)，（2）钢丝绳中的最大张力）钢丝绳中的最大张力51.47 10WN45.78 10kN cm15minvm第48页/共150页第四十九页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动解：解：00 x 0vv振动振动(zhndng)(zhndng)系统如图所示系统如图所示 重物匀速下降时处于静平衡位，若重物匀速下降时处于静平衡位，若将坐标将坐标(zubio)(zubio)原点取在绳被卡住原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置，振动微分方程瞬时重物所在位置，振动微分方程为为2( )( )0nx tx t初始条

36、件：初始条件：振动频率振动频率 19.6nkgkrad smW方程的解方程的解 12( )cossin nnx tXtXt10oXx其中其中 20.0128onvX第49页/共150页第五十页，共151页。单自由度系统的振动单自由度系统的振动/无阻尼无阻尼(zn)自由振自由振动动 绳中的最大张力等于绳中的最大张力等于(dngy)静张力与静张力与因振动引起的动张力之和：因振动引起的动张力之和：由于由于(yuy)2nvkXkv km为了减少振动引起的动张力，应当为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度降低升降系统的刚度振动解：振动解： ( )0.0128sin(19.6 )( )x ttm

37、max225 2.21 10 ()sTTkXWkXN思考：思考：如何求解振动过程中绳中的张力？如何求解振动过程中绳中的张力？ 第50页/共150页第五十一页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动确定确定(qudng)自然频率的静变形法自然频率的静变形法 在系统作自由振动时，不论在系统作自由振动时，不论(bln)受到什么样的初始干扰，受到什么样的初始干扰，均将以一定的频率作振动。这种频率只决定于系统本身固有的均将以一定的频率作振动。这种频率只决定于系统本身固有的物理性质，称为自然频率（固有频率）。物理性质，称为自然频率（固有频率）。自然频率是振动问

38、题中的一个重要参数。自然频率是振动问题中的一个重要参数。 122nkfm12mTfk自然频率为自然频率为:周期周期:简谐振动的圆频率为简谐振动的圆频率为 ，称为自然圆频率：，称为自然圆频率： nkmn第51页/共150页第五十二页，共151页。由以上各式可以看出：由以上各式可以看出：（1）自由）自由(zyu)振动的自然频率和周期仅决定于系统振动的自然频率和周期仅决定于系统本身的物理性质，如系统刚度本身的物理性质，如系统刚度 K 和振动块质量和振动块质量 m。（2）刚度相同）刚度相同(xin tn)的两个系统，质量大的系统固的两个系统，质量大的系统固有频率低，质量小的系统固有频率高。质量相同有频

39、率低，质量小的系统固有频率高。质量相同(xin tn)的两个系统，则弹簧刚度小的固有频率低，弹簧刚度的两个系统，则弹簧刚度小的固有频率低，弹簧刚度大的固有频率高。大的固有频率高。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动第52页/共150页第五十三页，共151页。自然自然(zrn)频率计算的静变形法：频率计算的静变形法： 0 kxxm nkmstmgk在静平衡位置在静平衡位置(wi zhi)： nstkgm则有：则有： 对于对于(duy)不易得到不易得到 m 和和 k 的系统，若能测出静变形的系统，若能测出静变形 ，则用该式计算是较为方便的。则用该式计算是较为方便

40、的。0mxk单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动st第53页/共150页第五十四页，共151页。例：例： 图示简支梁，跨距图示简支梁，跨距 ，弯曲，弯曲(wnq)刚度刚度EI，梁中点放一质量为梁中点放一质量为m的物体，用静变形法求系统的的物体，用静变形法求系统的自然频率，梁的质量不计。自然频率，梁的质量不计。ml/2l/2单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动l第54页/共150页第五十五页，共151页。解：解：由材料力学由材料力学(ci lio l xu) ：自由自由(zyu)振动频率为振动频率为 ： 348stmglEIng取平衡位置取平衡

41、位置以梁承受以梁承受(chngshu)重重物时的静平衡位置为坐标物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系。原点建立坐标系。静变形静变形st348mlEJm0l/2l/2xst静平衡位置静平衡位置单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动第55页/共150页第五十六页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动例：设有一悬臂梁。长度为例：设有一悬臂梁。长度为L，抗弯刚度，抗弯刚度为为 ，自由端有一集中质量，自由端有一集中质量m。梁本身。梁本身(bnshn)重量可忽略不计。重量可忽略不计。EI求：求： 系统系统(xtng)的自然频的自然频率。率。st

42、解：解： 由材料力学知由材料力学知33stmgLEI利用静变形法的公式可得系统自然频率为：利用静变形法的公式可得系统自然频率为：33nstgEImL如上述悬臂梁是变截面的，因而不易用计算方法得到静挠如上述悬臂梁是变截面的，因而不易用计算方法得到静挠度，可实测梁的静挠度度，可实测梁的静挠度st第56页/共150页第五十七页，共151页。无阻尼振动系统无阻尼振动系统(xtng)(xtng)是一个保守系统是一个保守系统(xtng)(xtng)，能量守恒。，能量守恒。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动用能量用能量(nngling)(nngling)法确定系统的运动

43、微分方程法确定系统的运动微分方程能量有两部分：质量块的能量有两部分：质量块的动能动能T T和弹簧的和弹簧的势能势能V V。即即TVconst求导求导()0d TVdt可依据上式求导系统的振动微分方程可依据上式求导系统的振动微分方程第57页/共150页第五十八页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动例：用能量法求导图示系统例：用能量法求导图示系统(xtng)(xtng)的运动微分方程。的运动微分方程。由由()0d TVdt解：取静平衡位置解：取静平衡位置(wi zhi)(wi zhi)为原点，为原点， 动能为动能为2211( )22Tmvmx t

44、势能为势能为2211()( )22Vklkx t得得( ) ( )( ) ( )0mx t x tkx t x t化简化简( )( )0mx tkx t第58页/共150页第五十九页，共151页。无阻尼振动系统是一个无阻尼振动系统是一个(y )(y )保守系统，能量守恒。保守系统，能量守恒。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动用能量法确定系统的自然用能量法确定系统的自然(zrn)(zrn)频率频率即即1122TVTV静平衡位置有静平衡位置有最大位移处有最大位移处有不同时刻有不同时刻有TVconstmax0 VTTmax 0VVT则则maxmaxTV 利用这个

45、关系，适当选择两个瞬时位置，就可用来直接利用这个关系，适当选择两个瞬时位置，就可用来直接计算系统的固有频率。这对于比较复杂的系统常常是一种计计算系统的固有频率。这对于比较复杂的系统常常是一种计算系统固有频率的简便方法。算系统固有频率的简便方法。 第59页/共150页第六十页，共151页。解：系统为简谐振动解：系统为简谐振动(zhndng)，响应为：响应为：单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动例：用能量法求图示系统的自然例：用能量法求图示系统的自然(zrn)频率。频率。( )cos()nx tXt( )sin()nnx tXt 静平衡位置：静平衡位置：最大位移

46、处：最大位移处：动能：动能：势能为零势能为零222maxmax1122nTmxmX22maxmax1122VkxkX势能：势能：动能为零动能为零由能量守恒得：由能量守恒得：2221122nmXkX所以：所以：nkm速度为：速度为：第60页/共150页第六十一页，共151页。例：如图所示是一个例：如图所示是一个(y )倒置的摆倒置的摆 ，摆球质量摆球质量(zhling) m，刚杆质量刚杆质量(zhling)忽略忽略 ，每个弹簧的刚度每个弹簧的刚度 k求求: 倒摆作倒摆作微幅微幅振动时的固有频率。振动时的固有频率。lmakk单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动系统对系统对O点的转动

47、惯量为点的转动惯量为 ，ooI第61页/共150页第六十二页，共151页。解解1：广义坐标广义坐标( ) t最大动能最大动能(dngnng)222maxmax1122oonTII A最大势能最大势能(shnng)22nokamglI零势能零势能(shnng)位置位置1零势能位置零势能位置12maxmaxmax222222max1 V2()(1cos)21 2sin22kamglkA amglkA amglAlmakk单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动 此摇杆做间歇摆动，即角振动，则此摇杆做间歇摆动，即角振动，则 cos()nAtsin()nnAt maxmaxTV222221

48、122onI Aka AmglA第62页/共150页第六十三页，共151页。解法解法2：（先求运动：（先求运动(yndng)微微分方程）分方程）零势能零势能(shnng)位置位置2任一时刻任一时刻(shk)动能动能212oTI势能势能212cos2Vkamgl220oIkamgl0ddVTt220okamglI22nokamglI零势能位置零势能位置22sin2121 222mglka2221 2kamglmgllmakk单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动第63页/共150页第六十四页，共151页。例：复摆例：复摆刚体刚体(gngt)质量质量 m对悬点的转动惯量对悬点的转动惯

49、量 0I重心重心(zhngxn) C 求：复摆在平衡位置附近做微振动求：复摆在平衡位置附近做微振动(zhndng)时的微分方程和自时的微分方程和自然频率然频率 。mg0Il0C单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动第64页/共150页第六十五页，共151页。解：解：取广义坐标取广义坐标 ， 由定轴转动微分方程由定轴转动微分方程(wi fn fn chn)得得 ：0sin0Imgl因为因为(yn wi)微振动：微振动：sin则有则有 ：00mglI0/nmgl I自然自然(zrn)频频率率 ：实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法。实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法。 若已

50、测出物体的固有频率若已测出物体的固有频率 ，则可求出，则可求出 ，再由移轴定理，可，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：得物质绕质心的转动惯量： n0I20maIIcmg0Il0C单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动第65页/共150页第六十六页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统自由度线性系统自由(zyu)振动振动第66页/共150页第六十七页，共151页。l 1.4 有阻尼有阻尼(zn)的自由振动的自由振动 前述的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统前述的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统的机械能不可能守恒，因为存在各种各样的机械能不可能守恒

51、，因为存在各种各样( zhn yn)的阻力。的阻力。振动中将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼、电磁阻尼等。实振动中将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼、电磁阻尼等。实际系统中阻尼的物理本质很难确定。最常用的一种阻尼力际系统中阻尼的物理本质很难确定。最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼，或称为粘滞阻尼，在流体中低速运动学模型是粘性阻尼，或称为粘滞阻尼，在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常认为受到了粘性阻尼。或沿润滑表面滑动的物体，通常认为受到了粘性阻尼。单自由度系统单自由度系统(xtng)的振动的振动/有阻尼的自由振有阻尼的自由振动动第67页/共150页第六十八页，共151页。 Fd为粘性阻尼力，为粘性

52、阻尼力， v为相对速度，为相对速度， c 称为粘性阻尼系数，单位为：称为粘性阻尼系数，单位为：Ns/m。 粘性阻尼由于它与速度成正比，又称线性阻尼。线性阻尼在粘性阻尼由于它与速度成正比，又称线性阻尼。线性阻尼在分析振动同题时使求解大为简化分析振动同题时使求解大为简化(jinhu)。若不特加说。若不特加说明，则本课以粘性阻尼为基本模型来分析有阻尼的振动。明，则本课以粘性阻尼为基本模型来分析有阻尼的振动。单自由度系统的振动单自由度系统的振动/有阻尼有阻尼(zn)的自由振动的自由振动dFcv粘性阻尼粘性阻尼(zn)与相对速度成正比，即：与相对速度成正比，即：第68页/共150页第六十九页，共151页

53、。 图示系统，以静平衡位置为原点。设图示系统，以静平衡位置为原点。设x坐标向下为正。受力分析，坐标向下为正。受力分析， 利用利用(lyng)牛顿运动定律得运动牛顿运动定律得运动方程：方程：单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动( )( )( )0mx tcx tkx t22nccmmk2nkm则运动则运动(yndng)方程为：方程为：变化为：变化为： 为相应的无阻尼时的自然频率为相应的无阻尼时的自然频率n2( )2( )( )0nnx tx tx t( )( )( )0ckx tx tx tmm令：令： 为为粘滞阻尼因子粘滞阻尼因子或阻尼率，无量纲或阻尼率，无

54、量纲第69页/共150页第七十页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振振动动对于对于(duy)二阶齐次常微分二阶齐次常微分方程：方程：两个两个(lin )特征根为：特征根为：21,2(1)ns ( )stx tXe2( )2( )( )0nnx tx tx t通解为：通解为：得到特征方程：得到特征方程：2220nnss其中，其中，X为实数，为实数，s为复数：为复数：特征根的性质主要取决于特征根的性质主要取决于 ，下面分别讨论。，下面分别讨论。第70页/共150页第七十一页，共151页。（2）当）当 时，称为小阻尼时，称为小阻尼(zn)状态状态（3）当）

55、当 时，称为过阻尼时，称为过阻尼(zn)状态状态（4）当）当 时，称为临界阻尼时，称为临界阻尼(zn)状状态态单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动特征方程：特征方程：动力学方程动力学方程(fngchng)：取不同值时，微分方程有不同性质的解。取不同值时，微分方程有不同性质的解。2( )2( )( )0nnx tx tx t2220nnss111（1）当）当 时，称为时，称为无阻尼状态无阻尼状态0第71页/共150页第七十二页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动无阻尼无阻尼(zn)情况：情况：自学自学(zxu)

56、P32:无阻尼情况无阻尼情况提示：欧拉公式为提示：欧拉公式为cossincossinixixexixexix无阻尼情况即无阻尼情况即1.3节：无阻尼系统的自由振动节：无阻尼系统的自由振动第72页/共150页第七十三页，共151页。 小阻尼小阻尼(zn)情况情况 单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动01小阻尼小阻尼(zn)21dn代入方程通解代入方程通解则：则：21,2(1)ns 则特征根则特征根为共轭复根：为共轭复根：21,2(1)nsi 1,2ndsi 令令称为有阻尼自然频率称为有阻尼自然频率d1212( )s ts tx tX eX e整理，可得振动解整

57、理，可得振动解第73页/共150页第七十四页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振振动动振动振动(zhndng)解：解：( )cos()ntdx tXet1.初始初始(ch sh)条件条件 和和 只影响初始只影响初始(ch sh)振幅振幅 和初相位角和初相位角其中：其中：22000()ndvxXxarctanonoodvxx分析：分析：oxovX第74页/共150页第七十五页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动nT2.阻尼阻尼(zn)自然自然频率：频率：21dn阻尼振动阻尼振动(z n zhn dn)周

58、期：周期：222211nddnTTn无阻尼自然频率无阻尼自然频率无阻尼振动周期无阻尼振动周期dndnTT第75页/共150页第七十六页，共151页。3.振动振动(zhndng)解为：解为： 单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动振幅为振幅为 ，阻尼振动的振幅是按指数规律，阻尼振动的振幅是按指数规律(gul)逐渐衰减逐渐衰减的。的。 ( )cos()ntdx tXetntXe阻尼率阻尼率 越大，振幅衰减越快。越大，振幅衰减越快。第76页/共150页第七十七页，共151页。 过阻尼情况过阻尼情况(qngkung) 单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的

59、自由(zyu)振动振动1过阻尼过阻尼21,2(1)ns 则特征则特征(tzhng)根根为实数为实数系统不产生振动，很快系统不产生振动，很快趋于平衡位置。趋于平衡位置。振动解振动解1212( )s ts tx tX eX e第77页/共150页第七十八页，共151页。 临界阻尼情况临界阻尼情况(qngkung) 单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动1临界阻尼临界阻尼阻尼阻尼(zn)率也可率也可定义为定义为根据定义根据定义2cmk则临界阻尼系数则临界阻尼系数2ocmkocc临界阻尼系数只决定于系统本身的物理性质临界阻尼系数只决定于系统本身的物理性质: 质量与刚度

60、。质量与刚度。第78页/共150页第七十九页，共151页。单自由单自由(zyu)度线性系统的自由度线性系统的自由(zyu)振动振动12nss 则振动则振动(zhndng)解为：解为：设初始条件：设初始条件：00(0)(0)xxxv000( )() ntnx texvxt 临界阻尼状态仍是按指临界阻尼状态仍是按指数衰减数衰减(shui jin)的非周期运动，但比的非周期运动，但比过阻尼状态的蠕动衰过阻尼状态的蠕动衰减减(shui jin)的快。的快。临界阻尼临界阻尼 1则特征根则特征根21,2(1)ns 为两重根：为两重根：12( )()ntx tAA t e则振动解为：则振动解为：第79页/共