第22章-相似三角形复习课1

1、1.(1.(烟台中考烟台中考) )手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是成的几何图形不相似的是( )( )【解析解析】选选D.D.根据相似多边形的定义，对应角相等，对应边根据相似多边形的定义，对应角相等，对应边成比例，成比例

2、，D D中对应边不成比例中对应边不成比例. .相似多边形相似多边形1. 成比例的数（线段）：成比例的数（线段）：叫做四个数叫做四个数成比例。成比例。那么或若,:cbaddcbadcba=, , 若若 a、b、c、d 为四条线段为四条线段 ，如果，如果 （或（或a：b=c：d），那么这四条线段那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做叫做成比例的成比例的线段线段，简称，简称比例线段比例线段.a cb d = 顺序性顺序性1.若若a, b, c, d(构构)成比例成比例,且且a=2, b=3, c=4,那么那么d= 64、下列各组线段的长度成比例的是（、下列各组线段的长度成比例的是（ ）A. 3cm

3、,2 m, 6cm,1cm B. 1.5cm,2.5cm,6.5cm,4.5cm C. 1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cm D. 1.5cm, 2cm, 3cm, 4cm 练习练习: :D顺序性顺序性2. 已知已知2, 3, 4三个数，请你三个数，请你再添上一个数再添上一个数，使他构成，使他构成一个比例式，这个数可以是一个比例式，这个数可以是_。3. 已知已知2, 3, 4三个数，请你再添上一个数，使他构成三个数，请你再添上一个数，使他构成一个比例式一个比例式,写出一个比例式。写出一个比例式。_.2.比例中项：比例中项：._82._82比例中项是的与线段的比例中项是与数cmcm4c

4、m4当两个当两个比例内项相等比例内项相等时，时， 即即a bb c = ，(或或 a：b=b：c)，那么线段那么线段 b 叫做叫做a 和和 c 的的比例中项比例中项.2acb = =即：即：1. 基本性质：基本性质：,acbd=如果那么ad=bc(b0,d0),acabcdbdbd=如果那么（b0,d0） 即两内项之积等于两外项之积即两内项之积等于两外项之积2. 合比性质：合比性质：3. 等比性质：等比性质：312123123123312123123.0,.nnnnnnnaaaabbbbbbbbaaaaaaaabbbbbbbb=如果且则有=a5,b2=易错题：已知下列等式中不一定成立的是（ ）

5、 2552772abAabBabC abDb=C避免错误：设避免错误：设a=5k，b=2k4.:abcab已知5=b:7=c:9,试求的值:=579abca分析：将5=b:7=c:9改写成利用等比性质或设出辅助量求解= =5795 7 972137abca b cba b cb = =解法一：= = =5 7 95 ,7 ,957921377a b ckak bk cka b ckkkkbkk = =解法二：设=,abckkbcacab=已知求 的值()()()22212abckbcacababckabc=当a+b+c0时解：(1)由等比性质得即k=,-1-12=1aakbcakk=(2)当a

6、+b，b+c=-a即综上所述 的值为+时或c 0经典易错题经典易错题如图如图, ,点点 C C 把线段把线段 AB AB 分成两条线段分成两条线段 AC AC 和和 BC ,BC ,如果如果ACABACBC=那么称线段那么称线段 AB AB 被点被点 C C 黄金分割黄金分割( (golden sectiongolden section),),点点 C C 叫做叫做线段线段 AB AB 的的黄金分割点黄金分割点, ,AC AC 与与 AB AB 的比叫做的比叫做黄金比黄金比, ,这个比值叫黄金数这个比值叫黄金数CAB5 1 2 0.618ACABACBC=AC2=AB BC什么是什么是黄金黄金

7、分割分割？易错题易错题：线段线段AB=10cm，点，点C是是AB的黄金分割点的黄金分割点 (靠近靠近点点B),则则AC与与BC的长分别是多少的长分别是多少？ 易错题易错题：线段线段AB=10cm，点，点C是是AB的黄金分割点的黄金分割点则则AC与与BC的长分别是多少的长分别是多少？DDC CA AB BE E1 1、如图、如图ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=36A=36， BDBD平分平分ABCABC，点，点D D是是ACAC的黄金分割点吗？为什么的黄金分割点吗？为什么? ?DD小婷想以最佳的形象出现在一次宴会上，经过小婷想以最佳的形象出现在一次宴会上，经过测量，她身高测量，她身

8、高1.601.60米，躯干（指肚脐到脚底的米，躯干（指肚脐到脚底的距离）距离）0.960.96米，请你为王小姐选择一双高跟鞋，米，请你为王小姐选择一双高跟鞋，使得视觉效果最佳（精确到毫米）使得视觉效果最佳（精确到毫米）. .解：设高跟鞋高解：设高跟鞋高x米，则有米，则有x+0.96+0.96x+1.60+1.60= 0.618= 0.618解得解得 x=0.075=0.075所以应选择所以应选择75毫米的高跟鞋毫米的高跟鞋.例例1:1:在图纸或工程图纸上都标有比例尺，在图纸或工程图纸上都标有比例尺，比例比例尺就是图上长度与实际长度的比尺就是图上长度与实际长度的比. .现有比例尺为现有比例尺为1

9、:50001:5000的图纸上的图纸上, ,量得一个量得一个ABCABC的三边的三边:AC=3cm:AC=3cmBC=4cm,AB=5cm,BC=4cm,AB=5cm,求图纸反映的实际求图纸反映的实际A A1 1B B1 1C C1 1的周长的周长1111111111111111111500015000=12=5000ABBCACA BB CACABBCACA BB CACABBCACA BB CACABBCAC=解：由题意，得又（）=60000cm=600m111600m答:图纸上 A B C的周长为比例尺和周长问题比例尺和周长问题比例尺和面积问题比例尺和面积问题1、钓鱼岛是钓鱼岛列岛的主岛

10、，是中国固有领土，位、钓鱼岛是钓鱼岛列岛的主岛，是中国固有领土，位于中国东海于中国东海,在一张比例尺为在一张比例尺为1:100000的地图上，测得的地图上，测得图上的面积约为图上的面积约为6.34cm，请计算钓鱼岛的实际面积是，请计算钓鱼岛的实际面积是多少平方公里？多少平方公里？解：钓鱼岛的设实际面积是解：钓鱼岛的设实际面积是xkm 由题意得：由题意得：26.341100000 x=解得：解得：x=6.34答：钓鱼岛的实际面积是答：钓鱼岛的实际面积是6.34km读我国钓鱼群岛图，完成问题。(注:台湾称钓鱼台) 钓鱼岛是钓鱼岛列岛的主岛，是中国固有领土，位于中国东海钓鱼岛是钓鱼岛列岛的主岛，是中

11、国固有领土，位于中国东海, 在在1：10000的钓鱼岛地图比例尺放大的钓鱼岛地图比例尺放大1倍后，下列说法正确的是倍后，下列说法正确的是 ( )A新图比例尺为新图比例尺为1：20000B新图图幅面积比原图增加了新图图幅面积比原图增加了2倍倍C新图表示的地理事物比原图简略新图表示的地理事物比原图简略 D在原图上钓鱼岛的长度为在原图上钓鱼岛的长度为10厘米，在新图上长厘米，在新图上长20厘米厘米比例尺为比例尺为1：10000，放大，放大1倍，则新图的比例尺为倍，则新图的比例尺为1：5000，比例尺放大，故表示的地理事物比新图更详细，比例尺放大，故表示的地理事物比新图更详细，新图图幅比原图增加新图图

12、幅比原图增加3倍。故选倍。故选D项。项。D平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线三条平行线所截,所得的对应线段成比例.符号语言：符号语言：l1l2l3 EFDEBCAB=下上下上=DFDEACAB=全上全上=DFEFACBC=全下全下=可以推广到被可以推广到被n条条平行线所截平行线所截平行于三角形一边的直线平行于三角形一边的直线截其他两边截其他两边(或两边的延长或两边的延长线），所得的对应线段成线），所得的对应线段成比例比例。推论的几何语言：推论的几何语言： DEBC AD AE AB AC （推论）ABCDEABCED1、如图：EFAB，BF：FC= 5 ：4， AC=3厘米，则CE=（

13、）ABEFCABEFCDADAFABADADABACAEAFDFADDBAFADAEACABDC、已知在ABC中，DEBC，EFDC，那么下列结论不成立的是( )B43cm1如图，在如图，在ABCD中，中，EFAB，DE:EA=2:3，EF=4，求，求CD的长的长 FABCDE2.已知已知DEBC,EFCD,求证求证:ADABAFAD=AEDCBF定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似比：相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。 ABC ABC,如果如果BC

14、=3,BC=1.5,那么那么 ABC与与 ABC的相似比为的相似比为_.21 平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。相交，所构成的三角形与原三角形相似。预备定理：预备定理：在在ABC中，中， DEBCADEABC符号语言：符号语言：ABCDE（图（图1）（图（图2）DEOBC“A”型型 “X”型型 三角形相似的判定方法有哪几种三角形相似的判定方法有哪几种? ?3:如图，如图，E是平行四边形是平行四边形ABCD的边的边BC的延长线上的一点，连结的延长线上的一点，连结AE交交CD于于F，则图中共有相似三角形（则图中共有相似三角形（ ）

15、A1对对 B2对对 C3对对 D4对对相似三角形判定定理相似三角形判定定理1 1：两个角对应相等的两个三角：两个角对应相等的两个三角形相似形相似 ABCDEF练习练习1.已知，如图已知，如图2，要，要ABCACD，需要条件需要条件 ；ABCD图图2B=ACD或或ADC=ACB练习练习.如图，如图，P是是RtABC的斜边的斜边BC上异于上异于B、C的一点，过点的一点，过点P作直线截作直线截ABC，使截得的，使截得的三角形与三角形与ABC相似，满足这样条件的直线相似，满足这样条件的直线共有共有 （ ） A.1条条 B.2条条 C.3条条 D.4条条C相似三角形判定定理相似三角形判定定理2 2：两边

16、对应成比例且夹角相等：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的两个三角形相似. .ABABDEDE= =ACACDFDF ABCDEF相似三角形判定定理相似三角形判定定理3 3：三边对应成比例的两：三边对应成比例的两个三角形相似个三角形相似. .ABABDEDE= =ACACDFDF= =BCBCEFEFABCDEF相似三角形判定定理相似三角形判定定理4 4：在直角三角形中，：在直角三角形中，一一条斜边条斜边和和一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。ABCDEF90ACABABCDEFDFDEBE= =相似三角形的判定：相似三角形的判定：（1）平行于

17、三角形一边的直线截其它两）平行于三角形一边的直线截其它两边边(或两边的延长线或两边的延长线)相交；相交；（2）两角对应相等；）两角对应相等；（3）两边对应成比例且夹角相等；）两边对应成比例且夹角相等；（4）三边对应成比例；）三边对应成比例； （5）直角三角形中一条斜边和一条直角）直角三角形中一条斜边和一条直角边对应成比例边对应成比例。相似三角形常见的几种基本图形：相似三角形常见的几种基本图形： 1.1.如图：称为如图：称为“平行线型平行线型”的相似三角形的相似三角形ABCDEAABBCCDDEE2.2.如图：其中如图：其中1=21=2，则，则ADEADEABCABC称为称为“相交线型相交线型”

18、的相似三角形的相似三角形 ABCDE12AABBCCDDEE12412经典易错题经典易错题3135.5248ABCD_= =1ABCAEBCDCEAE3AEAE8BD4DE5BE、在中，和交于点 ，且，则的值为EADCB2.2.如图所示，给出下列条件：如图所示，给出下列条件：B=ACDB=ACD；ADC=ACBADC=ACB；ACAC2 2=AD=ADABAB其中单独能够判定其中单独能够判定ABCABCACDACD的个数为的个数为( )( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析解析】选选C.C.图形中已隐含有一对公共角，要判定图形中已隐含有一对公共

19、角，要判定ABCABCACDACD，再找一对对应角相等即可；或找边关系，只要公共角，再找一对对应角相等即可；或找边关系，只要公共角的两邻边对应成比例就可以，所以、正确的两邻边对应成比例就可以，所以、正确. .5.5.如图，在正三角形如图，在正三角形ABCABC中，中，D D，E E，F F分别分别是是BCBC，ACAC，ABAB上的点，上的点，DEACDEAC，EFABEFAB，FDBCFDBC，则，则DEFDEF的面积与的面积与ABCABC的面积之的面积之比等于比等于( )( )(A)13 (B)23(A)13 (B)23(C) 2 (D) 3(C) 2 (D) 333【解析解析】选选A.A

20、.根据有两个角是根据有两个角是6060的三角形是等边三角形，的三角形是等边三角形，可得可得DEFDEF是等边三角形，所以有是等边三角形，所以有DEFDEFABCABC；若设；若设CE=aCE=a，则则DE= aDE= a，CD=2aCD=2a，BD=aBD=a，所以，所以DEBC= 3DEBC= 3，故它们的面，故它们的面积之比是积之比是13.13.33,13ABCD EGEGDCEAD=1、在中，分别是BC,AD的中点， AD,CE相交于G。求证：ABEDCGN D D E EA A B B C C例例5 5、如图、如图, , (1) (1) 求证求证: BAD= CAE;: BAD= CA

21、E; (2) (2) 若已知若已知 AB=6, BD=3, AC=4, AB=6, BD=3, AC=4, 求求 CE CE 的长的长. .AEACDEBCADAB=(1) 得得ABCADEABCADE BAC=DAEBAC=DAE BAC-DAC=DAE-DACBAC-DAC=DAE-DAC 即即BAD=CAEBAD=CAEAEAEACACADADABAB=(2) (2) 由由AEADACAB=BAD=CAEBAD=CAE ABDACEABDACEC CE EB BD DA AC CA AB B=2643=ABACBDCE 证明：证明：AEACDEBCADAB= 如图如图, ,在等腰在等腰A

22、BCABC中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的一边上的一个动点个动点( (不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使使ADE=45ADE=45（1 1）求证：）求证：ABDABDDCEDCEADCADC是是ABDABD的外角的外角ADC=ADE+2=B+1ADC=ADE+2=B+1）2 21 1证明：证明：AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90B=C=45B=C=45又又ADE=45ADE=45ADE=BADE=B1=21=2 ABDABDDCEDCEA AB BC CD DE E（2 2）

23、设）设BD=xBD=x，AE=yAE=y，求，求y y关于关于x x的函数关系式及自变量的函数关系式及自变量x x的取值范围，并求出当的取值范围，并求出当BDBD为何值时为何值时AEAE取得最小值取得最小值解：解：ABDABDDCEDCE1 1xy1y2xABBDCDCE=112xyx=即12yxx=221yxx=2212202yxx=当当22x =时时12y=最小值 如图如图, ,在等腰在等腰ABCABC中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的一边上的一个动点个动点( (不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一

24、点E E，使使ADE=45ADE=45A AB BC CD DE E相似三角形的性质：相似三角形的性质：1 1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例、相似三角形的对应角相等，对应边成比例2 2、相似三角形的周长比等于相似比，对应高、相似三角形的周长比等于相似比，对应高、对应角平分线，对应中线的比都等于相似比对应角平分线，对应中线的比都等于相似比3 3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。、相似三角形的面积比等于相似比的平方。定义：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形定义：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做叫做.相似多边形的性质：相似多边形的性质： 相似多边形的相似多边形的对应角相

25、等对应角相等，对应边的比相等对应边的比相等. . 相似多边形的相似多边形的周长之比周长之比等于等于相似比相似比; ;面积之比面积之比等于等于相似比的平方相似比的平方. .相似多边形的判定：相似多边形的判定：对应角相等、对应边的比相等对应角相等、对应边的比相等一、一、选择题选择题1.(1.(桂林中考桂林中考) )如图，已知如图，已知ADEADE与与ABCABC的相似比为的相似比为1212，则，则ADEADE与与ABCABC的面积比为的面积比为( )( )(A)12 (B)14(A)12 (B)14(C)21 (D)41(C)21 (D)41【解析解析】选选B.B.相似三角形的面积之比等于相似比的

26、平方相似三角形的面积之比等于相似比的平方. . A 1919、如图（），、如图（）， 中，中，则，则: :四边形四边形: :四边形四边形=_=_答案：答案：如图，点如图，点M M是是ABCABC内一点，过点内一点，过点M M分别作直线平行于分别作直线平行于ABCABC的的各边，所形成的三个小三角形各边，所形成的三个小三角形1 1、2 2、3 3( (图中阴影部分图中阴影部分) )的面积分别是的面积分别是4 4，9 9和和4949则则ABCABC的面积是的面积是_【解析解析】三角形三角形1 1、3 3相似，且面积分别是相似，且面积分别是4 4和和4949，得得MNDE=27MNDE=27，所以，所以MNBE=29MNBE=29，所以所以BEHBEH的面积是的面积是8181，同理可得：，同理可得：CDGCDG的面积为的面积为100100、ANFANF的面积为的面积为2525，故故ABCABC的面积的面积=100+81+25=100+81+25(4+9+49)=144(4+9+49)=144答案：答案：144144画一画画一画1 1、 在方格纸中在方格纸中, ,每个小格的顶点叫做格点每个小格的顶点叫做格点, ,以格以格点为顶点的三角形叫做格点三角形点为顶点的三角形叫做格点三角形. .在如图在如图4 44 4的的格纸中格纸中, , AB