ch3时域响应及误差分析

1、19:181第三章 时域响应及误差分析19:182w 所谓时域分析法，就是通过求解控制系统的时间响应，所谓时域分析法，就是通过求解控制系统的时间响应，依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统的依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统的稳定性、稳定性、快速性和准确性快速性和准确性。并找出系统结构、参数与这些性能之并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。间的关系。它是一种直接在时间域中对系统进行分析的它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有方法，具有直观直观和和准确准确的优点，可以提供系统时间响应的优点，可以提供系统时间响应的全部信息。尤其适用于低阶系统。的全部信息。尤其适用于低阶系统。

2、19:183 sXi sXo s oiXssXs 规定一些特殊的试验输入信号各种系统比较各种系统对这些试验信号的响应 11ooixtLXsLsXs19:184 时域响应及典型输入信号时域响应包括：（以阶跃输入为例）稳态响应稳态响应瞬态响应瞬态响应t txo txi19:185常见的典型输入信号：1. 阶跃信号 000,ttatxi0ta为单位阶跃函数。为单位阶跃函数。时，时，为常数，当为常数，当其中其中1aa 19:1862 斜坡信号 000,ttattxi10at为单位斜坡函数。为单位斜坡函数。时，时，为常数，当为常数，当其中其中1aa 19:1873 加速度信号 000,2ttattxi0

3、t称为单位加速度函数。时，为常数，当其中21 aa19:1884 脉冲信号 因此脉冲高度趋于无穷大，持续时间趋于无穷小，脉冲面积为。当=1 时，称为单位脉冲函数，又称 函数。 000t0tt0t1tt0t0tlim0 或或 t000tt0ta 为常数其中或atttattttxti 0 0 00000lim0 1dt 00-t 且且19:1895正弦信号 0 00 tsinttatxi0ta19:1810究竟采用哪种典型信号？ 取决于系统在正常工作情况下最常见的输入信号 形式。斜坡信号 随时间逐渐变化的输入阶跃信号 突然的扰动量、突变的输入脉冲信号 冲击输入正弦信号 随时间周期性变化的输入 如机

4、床、温控装置等如开关的转换、电源的突然接通等如导弹发射等如电源的波动、机械的振动等19:1811为什么常用阶跃信号？w 阶跃函数是自动控制系统在实际工作中经常遇到的阶跃函数是自动控制系统在实际工作中经常遇到的一种外作用形式。一种外作用形式。例如电源电压的突然跳动，负载例如电源电压的突然跳动，负载突然增大或减小，都可近似成阶跃函数形式。因此，突然增大或减小，都可近似成阶跃函数形式。因此，在控制系统的分析设计中，阶跃函数是用的最多的在控制系统的分析设计中，阶跃函数是用的最多的一种评价系统动态性能的典型实验输入信号。一种评价系统动态性能的典型实验输入信号。 因为常用，所以因为常用，所以一些性能指标才

5、根据阶跃函数的响一些性能指标才根据阶跃函数的响应来定义。应来定义。 19:1812 一阶系统的瞬态响应 sXi sXo sE- sXi sXo11TsTs1 1 1 1 12tstst? 1Ts1sXsXio 19:1813一、一阶系统的单位阶跃响应 s1sXt1txii ttxetTo111 s11Ts1sXsXsXsXiioo s1T1sT1 T1s1s1 19:1814 ttxetTo111 结论： 1 一阶系统总是稳定的； 2 可用实验方法测 T； 3 经过34T，响应已达 稳态值的95%98% 4 Tdttdxto10 txoT 2T 3T 4T 5T98.2%95%99.3%86.

6、5%B0t1A63.2%0.632一阶系统的单位阶跃响应曲线19:1815二、一阶系统的单位斜坡响应 2iis1sXttx 2iioos11Ts1sXsXsXsX 2s1T1sT1 T1sTsTs12 tTTttxetTo11 19:1816 Te1TTTtttxtxteeetT1tT1oi t ttxi Te t1TTttxetT1o 0一阶系统的单位斜坡响应曲线19:1817三、一阶系统的单位脉冲响应 1sXttxii t1T1txetT1o 1Ts1sXsXsXsXiioo T1sT1 98.2%95%99.3%86.5%B0tT 2T 3T 4T 5T txoT163.2%AT1368

7、. 019:1818 txtxoi dtddtd tTTttxeTtt1 t ttxteTt11 11 tTtxteTt11 sXi sXo1Ts1 w 这种对应表明，这种对应表明，系统对输入信号导数的响应可以通过系统对输入信号导数的响应可以通过对系统原信号响应进行微分而得出，系统对原信号积对系统原信号响应进行微分而得出，系统对原信号积分的响应等于系统对原响应的积分，而积分常数可由分的响应等于系统对原响应的积分，而积分常数可由零输出初始条件确定零输出初始条件确定。这是线性定常系统的特性。线。这是线性定常系统的特性。线性时变系统或非线性系统不具备这种特性。性时变系统或非线性系统不具备这种特性。w

8、 由此得出，由此得出，在研究线性定常系统的时间响应时，只要在研究线性定常系统的时间响应时，只要对其中一种典型输入信号响应的研究即可对其中一种典型输入信号响应的研究即可。 瞬态性能指标是以阶跃信号为典型输入信号定义的。 txtxoi dtddtd tTTttxeTtt1 t ttxteTt11 11 tTtxteTt11 19:1820二阶系统的瞬态响应 12122TssTsXsXio sXi sXo sE- n2n2ss sXi sXo2nn22ns2s 振荡角频率振荡角频率无阻尼自然无阻尼自然阻尼比阻尼比 n - 2222nnnssw阻尼阻尼：（英语：（英语：damping）是指任何）是指任

9、何振动振动系统在振动中，由于外界作用或系统本身固系统在振动中，由于外界作用或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征。有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征。 w阻尼是指阻碍物体的相对运动、并把运动能量转化为热能或其他可以耗散能量的一种阻尼是指阻碍物体的相对运动、并把运动能量转化为热能或其他可以耗散能量的一种作用。作用。w阻尼的作用主要有以下五个方面：阻尼的作用主要有以下五个方面：w（1）阻尼阻尼有助于减少机械结构的共振振幅，从而避免结构因震动应力达到极限造成有助于减少机械结构的共振振幅，从而避免结构因震动应力达到极限造成机构破坏；机构破坏；

10、w（2）阻尼有助于机械系统受到瞬时冲击后，很快恢复到稳定状态；）阻尼有助于机械系统受到瞬时冲击后，很快恢复到稳定状态；w（3）阻尼有助于减少因机械振动产生的声辐射，降低机械性噪声。许多机械构件，）阻尼有助于减少因机械振动产生的声辐射，降低机械性噪声。许多机械构件，如交通运输工具的壳体、锯片的噪声，主要是由振动引起的，采用阻尼能有效的抑制如交通运输工具的壳体、锯片的噪声，主要是由振动引起的，采用阻尼能有效的抑制共振，从而降低噪声；共振，从而降低噪声；w（4）可以提高各类机床、仪器等的加工精度、测量精度和工作精度。各类机器尤其）可以提高各类机床、仪器等的加工精度、测量精度和工作精度。各类机器尤其是

11、精密机床，在动态环境下工作需要有较高的抗震性和动态稳定性，通过各种阻尼处是精密机床，在动态环境下工作需要有较高的抗震性和动态稳定性，通过各种阻尼处理可以大大的提高其动态性能；理可以大大的提高其动态性能；w（5）阻尼有助于降低结构传递振动的能力。在机械系统的隔振结构设计中，合理地）阻尼有助于降低结构传递振动的能力。在机械系统的隔振结构设计中，合理地运用阻尼技术，可使隔振、减振的效果显著提高。运用阻尼技术，可使隔振、减振的效果显著提高。 19:1822二阶系统特征方程：0222nnsss01 1 122 . 1nns0 1 22 . 1ns0 1 10 322 . 1nnjs0 0 42 . 1n

12、js122 . 1nns特征方程的根： sXsssXinnno222219:1823 1 0 5.22 . 1nnss0100119:1824 n 2n1j n21tg0s2n1j t1tsin11d2ten 一、二阶系统的单位阶跃响应dnnnjjs 1 10 1.22 . 1欠阻尼 s1s2ssX2nn22no 此时：此时：2nn2s2scbssa t1tsin1tcos1txa,b,cdt2dtoeenn 求求出出： 为阻尼（振荡）频率21nd19:1825x0(t)wnttpP54 图3-10 二阶 振 荡 环 节 单位阶 跃 响 应曲线2 . 04 . 06 . 08 . 0 t1ts

13、in11txd2toen 衰减振荡19:182600 一、二阶系统的单位阶跃响应n2nn2 . 1j1js0 2.无阻尼 s1ssX2n22no 此时：此时：2n2sss1 t1tcos1txno xo(t)P54 图3-13 零 阻尼 二阶 系统 单位阶 跃 响 应曲 线等幅振荡19:182701 一、二阶系统的单位阶跃响应nnnjs 1 1 3.22 . 1临界阻尼 s1ssX2n2no 此时：此时：nnnnnssssbsbsa112122 tttxeettnonn11txo(t)P54 图3-11 临 界阻尼二阶 系统 单位阶 跃 响 应曲 线不振荡19:182801 一、二阶系统的单位

14、阶跃响应 1 1 4.22 . 1nns过阻尼 s1sssssX212no 此时：此时： t1cbatxa,b,ceetstso21 求出：求出： 21sscssbsa xo(t)P54 图3-12 过 阻尼 二阶 系统 单位阶 跃 响 应曲 线不振荡动态过程更长19:1829一、二阶系统的单位阶跃响应 0 5.1s2nn2 . 1 s01负阻尼 1s1sssssX1212no 不相等正实根xo(t)0tP55 图3-15 负 阻尼 二阶 系统 的 单调发 散响 应单调发散 21sscssbsa t1cbatxa,b,ceetstso21 求出：求出：19:1830 xo(t)0tP55 图3

15、-14 负 阻尼 二阶 系统 的 发 散振 荡响 应 1- 02 共轭复根001 0 5.1s2nn2 . 1 负阻尼发散振荡 10011 101-二阶系统的单位阶跃响应19:1832二、二阶系统的单位脉冲响应 2nn22nos2ssX 此时：此时： 1sXttxii dn2nn2 . 1j1js 10 1. 22n2n2n2n1s11 t1sin1tx2nt2noen 19:1833二、二阶系统的单位脉冲响应 2n2nossX 此时：此时：n2nn2 . 11js 1 2. n12n2sbsb t1ttx,bbet2no12n 求出：求出： 19:1834二、二阶系统的单位脉冲响应 212n

16、osssssX 此时：此时： 1 3.1s2nn2 . 1 21ssbssa t1batxa,beetstso21 求出：求出： 19:1835020-0.300.30.6xontnP61 图3-23 临 界阻尼 和 过 阻尼 二阶 系统 单位脉 冲 响 应曲 线11119:1836 t1sin112ttx502nt2nnoen 查拉氏变换表查拉氏变换表三、二阶系统的单位斜坡响应 2iis1sXttx dn2nn2 . 1j1js 10 1. 22nn22nos1s2ssX 此时：此时： 22n2n22n1ss1 2n2n1arctg21arctg2 其中：其中： 19:1837P63 图3-

17、24 欠阻尼 二阶 系统 单位斜 坡 响 应曲 线00.511.522.533.544.5500.511.522.533.544.55n2xo(t)xi(t)19:1838P63 图3-25 临 界阻尼二阶 系统 单位斜坡 响 应曲线xi(t)xo(t)n2t019:1839P63 图3-26 过 阻尼二阶 系统 单位斜 坡 响 应曲 线xi(t)xo(t)0tn219:1840 应和单位脉冲响应。试求该系统单位阶跃响环传递函数为、设单位反馈系统的开例212 1sssG sXi sXo212ss - 222io1s1s2s1s21s1s2sXsX t1ete1tx1s11s1s1s11s1s2

18、sXt1tx1tto22oi 则：则：、 t1tee2dtt1ete1dtxdtt1dttx2ttttoi 则：则：、 19:1841四、二阶系统的性能指标二阶系统 st1 1 动态性能？ sXssXio sXsLsXLtxioo1119:18421、二阶系统瞬态响应指标响应曲线达到第响应曲线达到第一个峰值所用时一个峰值所用时间间-峰值时间峰值时间pt在响应曲线的稳态值上，用稳态值的绝对百分数做一个在响应曲线的稳态值上，用稳态值的绝对百分数做一个允许误差范围，响应曲线达到并且永远保持在这一允许允许误差范围，响应曲线达到并且永远保持在这一允许误差范围内所用的最小时间误差范围内所用的最小时间-调节

19、时间调节时间st1响应曲线从响应曲线从0上升到上升到稳态值的稳态值的100%所用所用时间时间-上升时间上升时间rt0ttxopM %100oopoxxtx10这些点已被确定0.05或0.02最大超调量最大超调量19:18431、二阶系统瞬态响应指标 10 dn2nn2 . 1j1js 2nn22nios2ssXsX n d2nj1j n 21tg 0sdj tttxdtoen1sin11219:1844 t1tsin11txd2toen rt1 上升时间上升时间 0tsin1d2ten 则：则： 1txo 令令 0tsind ntd drt1n 取取19:1845 t1tsin11txd2to

20、en pt2 峰值时间峰值时间 0dttdxo 令令dpt 求出求出19:1846 t1tsin11txd2toen t1tsin11txpd2tpoepn -1-2sinsin 100% 100%- e21oopopxxtxM pM3 最大超调量最大超调量 sin1121e2 1 -e21potx %100 xxtxoopo dpt 代入代入19:1847 st4 调调整整时时间间 2to1txe n-1 的包络线为的包络线为%512tes n-令令05. 0ln1n 2ns105. 0ln1t 得得 n-%212tes 若令若令 t1tsin11txd2toen ns4t ns3t 19:

21、1848标准二阶系统瞬态响应指标drt dpt 100% - e21pM %24t%53tnsns 19:18491., , , ,5%nppsMtt例 系统如图，试求进入误差带 1s2s255002. 04s50s10014s50s100ss2ioXX 225 5 1 0.2522 0.2nTTT sXi sXo450100ss02. 0-1Ts2sT122 2-1dn 100% 52.7% 16.03 s375ppsMttse19:1850Ks(s+1)1+khsxo(s)xi(s)+-P59图 3-19例 1系统 方块图2 2 Ks1KKsK1sssK1K11ssKsXsXh2hio s

22、rhhppttKKKK12 . 0Mt和和系统的系统的值下，值下，和和并确定在此并确定在此值值和和确定确定欲使欲使 K12K21KKKnhnh2n 0.456 0.2 21-解之，得依题意，epM ddp1t 则则依题意，依题意， 178. 0K12K21KK5 .1253. 3Knhnh22n 比较比较与标准二阶系统与标准二阶系统2nn22ns2s 53. 3456. 01122dn 则则48. 2465. 0112nsddrtarctgt19:1851P60 图3-20 质 量 -弹簧-阻尼 系统MFi(t)xo(t)kfMfktp0.0029P60 图3-21 系统 的阶 跃 响 应曲线

23、xo(t)(m)t(s)8.9N求M、k、f 的数值 tFtkxtxftxMtxMtxftkxtFiooooooi 即即： 0.0029pt 222222111nnniosskMksMfsMkkkfsMssFsX19:18522 , 2nnMkMf有关系数： skfsMssFkfsMssXio9.81122 mkskfsMssssXxsoso03.09 .89 .81limlim200由终值定理得 mN29703. 09 . 8k 222222111nnniosskMksMfsMkkkfsMssFsX19:18532-10 .0 0 2 9 0 .0 3 0 .6pMe 解 之 ， 得96.1

24、6.012 21 22nndptsmNMfkgkMnn8 .1813 .7796. 16 . 0223 .7796. 1297 22 mN29703. 09 . 8k 2 , 2nnMkMf有关系数：19:1854 比较 对二阶系统单位阶跃响应的影响dn2nn2 . 1j1js 10 n21njn21tg0s t1tsin11txd2toen 衰减振荡n和19:1855x0(t)wnttpP54 图3-10 二阶 振 荡 环 节 单位阶 跃 响 应曲线2 . 04 . 06 . 08 . 0常数）常数）(1n 19:18560246810121400.20.40.60.811.21.41.61

25、.8wn=0.5 wn=1 wn=1.5 wn=2 阻 尼 比 =0. 2常数）( 2 . 019:18573-4 高阶系统的时域响应分析 对于一般二阶以上的单输入单输出线性定常系统，其传递函数可以表示为： nmasasasbsbsbsksXsXn1n1n1nm1m1m1mio nrqsspsbsbsbskqjrkkkkjmmmm2 2112211119:1858rkkkkkkkkkkkqjjjOsspsasasX122221)1()()1()()(则可以展开成：如果其极点互不相同， ssXttxii1 1设： sXsXsXsXiioo则：qjrkkkkjmmmmsspssbsbsbsk112

26、21112 可见，高阶系统的瞬态响应是由一些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数迭加组成的。当所有极点均具有负实部时，除了，其它各项随着t而衰减为零，即系统是稳定的。 高阶系统通过合理的简化，可以用低阶系统近似。teteeaatxkkktkkkrktktpqjjokkkkj)1sin()1cos()(21211经拉氏反变换，得19:18591 1、 系统极点的负实部愈是远离虚轴，则该极点对应的项在系统极点的负实部愈是远离虚轴，则该极点对应的项在瞬态响应中衰减得愈快。瞬态响应中衰减得愈快。 反之，距虚轴最近的闭环极点对应着瞬态响应中衰减最反之，距虚轴最近的闭环极点对应着瞬态响应中衰减最慢的项，该

27、极点对（或极点）对瞬态响应起主导作用，称之慢的项，该极点对（或极点）对瞬态响应起主导作用，称之为为主导极点主导极点。 工程上当极点工程上当极点A A距虚轴的距离大于距虚轴的距离大于5 5倍的极点倍的极点B B距虚轴的距距虚轴的距离时，分析时可忽略极点离时，分析时可忽略极点A A。2 2、 闭环传递函数中，如果零、极点数值上相近，则可将该闭环传递函数中，如果零、极点数值上相近，则可将该零点和极点一起消去，称之为零点和极点一起消去，称之为偶极子相消偶极子相消。teteeaatxkkktkkkrktktpqjjokkkkj)1sin()1cos()(21211经拉氏反变换，得19:1860 跃响应。

28、试求系统近似的单位阶：某系统闭环传递函数为652334651024. 61040. 4100 . 81001025. 61012. 3ssssssXsXio19:1861 325102 . 520602003.201012. 3ssssssXsXio-60-20.03-20-100Imj71.4-j71.4ReP66 图3-28 例 题系统 零 极 点分布图 323io102 . 5s20s102 . 5ssXX 43. 1t4 .71sine1txt10o 当考虑主导极点削去(s+60)时，只去掉s，保证静态增益不变。19:1862w 稳定性是线性控制系统中最重要的稳定性是线性控制系统中最重

29、要的问题问题3-5 线性控制系统的稳定性19:1863 一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，这个系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的。否则，称这个系统是不稳定的。一、稳定的概念一、稳定的概念19:1864Mbcoodfabcde条件稳定系统b、c允许偏差范围d、e规定偏差边界稳定系统不稳定系统19:1865 稳定性反映在干扰消失后的过渡过程的性质上。这样，在干扰消失的时刻，系统与平衡状态的偏差可以看作是系统的初始偏差。因此，控制系统的稳定性也可以这样定义：19:1866 若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复

30、原平衡状态的性能，则称该系统稳定。否则，称该系统不稳定。19:1867 控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性，也就是讨论输入为零，仅存在初始偏差时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的。至于机械工程系统往往用激振或外力的方法施以强迫振动或运动，而造成系统共振或偏离平衡位置，这并不是控制理论所要讨论的稳定性。19:1868 二、二、 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件t tnt txit=0 txot 00iooxx- sG1 sG2 sXi sXo sN19:1869- sG1 sG2 sXi sXo sN sNbsbsbsbsXasasasammmmonnnn 1110

31、1110 nnnnmmmmoasasasabsbsbsbsGsGsGsNsX 111011102121 01110 sXasasasaonnnn 方程撤除扰动，即得到齐次 0 1110txatxatxatxaononnono kinkjjjjjttiotFtEeeDtxtji11sincos 0 ，即齐次方程的解趋于时，系统稳定，当按照稳定性定义，如果00 ji ，件是：系统稳定的充分必要条 统是稳定的。的系应最终衰减到零，这样均为负值，则零输入响实部，若系统所有特征根的因此对于线性定常系统特征根的实部，对应闭环系统传递函数，ji 反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应将随时间

32、的推移而发散，这样的系统就不稳定。 19:1870 可见，稳定性是控制系统自身的固有特性，它取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关；控制理论所讨论的稳定性都是指自由振荡下的稳定性，即讨论输入为零，系统仅存在初始偏差时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的。 19:1871控制系统稳定的充分必要条件是： 系统特征方程式的根全部具有负实部。 或闭环传递函数的极点全部具有负实部（位于左半s平面）。19:1872 为了避开对特征方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，并以此来判断系统的稳定性。这就产生了一系列稳定判据。19:1873控制理论对于判别控制系统的稳定性提供了多

33、种方法：控制理论对于判别控制系统的稳定性提供了多种方法：w 18841884年年E.J.RouthE.J.Routh（劳斯）提出了基于闭环控制系统的特征方程判（劳斯）提出了基于闭环控制系统的特征方程判定系统稳定的方法，及定系统稳定的方法，及劳斯稳定判据劳斯稳定判据；w 18921892年李雅普诺夫对控制系统稳定性做出了样的定义和理论阐述，年李雅普诺夫对控制系统稳定性做出了样的定义和理论阐述，主要是对时变系统和非线性系统的稳定性研究；主要是对时变系统和非线性系统的稳定性研究；w 18951895年年A.HurwitzA.Hurwitz（胡尔维茨）提出了基于闭环控制系统的特征方（胡尔维茨）提出了基

34、于闭环控制系统的特征方程判定系统稳定的另一种方法，及程判定系统稳定的另一种方法，及胡尔维茨判据胡尔维茨判据；w 19321932年奈奎斯特（年奈奎斯特（NyquistNyquist) )提出了基于开环频率特性的几何图形提出了基于开环频率特性的几何图形（奈奎斯特图或极坐标图）进而判断闭环系统的稳定方法，及（奈奎斯特图或极坐标图）进而判断闭环系统的稳定方法，及奈奎奈奎斯特稳定判据斯特稳定判据； 19:1874判断控制系统稳定的方法：w 1884劳斯稳定判据（代数判据）w 1892李雅普诺夫稳定性阐述w 1895胡尔威茨稳定判据（代数判据）w 1932乃奎斯特稳定判据（几何判据）19:1875 3-

35、6 劳斯稳定判据19:1876一、劳斯判据稳定的必要条件： 特征方程中各项系数0稳定的充分条件： 劳斯阵列中第一列所有项0 0asasasasasDn1n2n21n1n0 系系统统特特征征方方程程为为：19:1877劳斯阵列如下：0123213n3212n75311n6420nssscccsbbbsaaaasaaaas 一直计算到最后一行算完为止。然后判断阵列中第一列系数的符号，若全部0,则系统稳定；否则，第一列系数符号改变的次数，就为特征方程在右半s平面的根数。130211aaaaab 150412aaaaab 170613aaaaab 121311bbaabc 131512bbaabc 0

36、asasasasasDn1n2n21n1n0 19:187801234 0 4 2 3 3 1 sssss 判断系统稳定性判断系统稳定性、系统特征方程为：、系统特征方程为：例例 03s4s3s2ssD1234 解：满足必要条件 13-23 系统不稳定。系统不稳定。个右根，个右根，有有次，次，符号改变符号改变劳斯阵列第一列劳斯阵列第一列2sD20 K必要条件：- sXi sXo21sssK例2K为何值时，系统稳定 K2s1ssK2s1ssK12s1ssKsXsXio 解：解： 02323 KssssD系统特征方程为：0123ssKs2s 3 1 3K6 K60 K 系统稳定的充要条件：0K0K6

37、0 有有：符符号号满满足足劳劳斯斯阵阵列列第第一一列列19:1880劳斯判据的两种特殊情况：1、某一行第一个元素为零，而其余各元素均不为零、或部分不为零；2、某一行所有元素均为零。19:188101234sssss 3 3 1 1 1 判断系统稳定性：例 01333234sssssD 33 第一列系数符号改变两次，系统有两个右根，所以，系统不稳定。10119:1882 判断系统稳定性：例 022423ssssD0123ssss 2 2 1 1 02第一列系数符号无改变，故系统没有正实部的根。2, 02s122 s223sjssssS 行为0， 表明系统有一对共轭虚根，所以，系统临界稳定。 1s

38、19:1883由该行的上一行元素来解决：（1）构成辅助多项式，并求导，用其系数代替全为零的行；（2）构成辅助方程，并解出这些大小相等但位置径向相反的特征根。2、某一行所有元素均为零 表明在 S 平面内存在大小相等但位置径向相反的根，即存在两个大小相等、符号相反的实根和（或）一对共轭虚根，S显然，这些根的数目一定是偶数。19:1884 01616201282523456sssssssD：例0123456 16 12 2 16 20 8 1 sssssss辅助多项式辅助多项式8624 ss 1 331 第一列符号全为正，说明系统无右根，但有共轭虚根，可由辅助方程解出。辅助方程辅助方程08s6s24

39、 3 8 8ss1243 求导：ss343 ：除以 04s2s22 2js2js4 . 32 . 1 1 6 80 0 系统临界稳定系统临界稳定2 12 16赫尔维茨判据赫尔维茨判据系统特征方程的一般形式为：系统特征方程的一般形式为：0)(1110 nnnnasasasasD各阶赫尔维茨行列式为：各阶赫尔维茨行列式为：00aD 11aD 20312aaaaD 3142053130aaaaaaaaD nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaD00000422032312242012531 （一般规定 ）00a 系统稳定的充分必要条件是：系统的特征方程的各项系数系统稳定的充分必要条件是：系统的特

40、征方程的各项系数均为正值，且各阶赫尔维茨行列式全部为正值。均为正值，且各阶赫尔维茨行列式全部为正值。19:1886 对于控制系统的基本要求是稳定、准确、快速。对于控制系统的基本要求是稳定、准确、快速。 误差问题就是控制系统的准确度问题。误差问题就是控制系统的准确度问题。 系统过渡完成后的误差称为系统过渡完成后的误差称为系统稳态误差系统稳态误差。 稳态误差是系统在过渡完成后控制准确度的一种度量。稳态误差是系统在过渡完成后控制准确度的一种度量。 一个控制系统，只有满足要求的控制精度，才有实际一个控制系统，只有满足要求的控制精度，才有实际工程意义。工程意义。3-7控制系统的误差分析t ttxi 0一

41、阶系统的单位斜坡响应曲线一阶系统的单位斜坡响应曲线 txo0t1一阶系统的单位阶跃响应曲线一阶系统的单位阶跃响应曲线 10011 101-二阶系统的单位阶跃响应19:1889 机电控制系统中，元件的不完善，如静摩擦、间隙以及机电控制系统中，元件的不完善，如静摩擦、间隙以及放大器放大器 的零点漂移、元件老化或变质都会造成误差，这种的零点漂移、元件老化或变质都会造成误差，这种误差称为误差称为静差静差。 本章不研究静差本章不研究静差，只研究由于系统不能很好地跟踪输入，只研究由于系统不能很好地跟踪输入信号而引起的信号而引起的稳态误差稳态误差，或者由于扰动而引起的稳态误差，或者由于扰动而引起的稳态误差，

42、即即系统原理性误差系统原理性误差。 通常把在阶跃输入作用下通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差没有原理性稳态误差的系统称的系统称为为无差系统无差系统；而把；而把有原理性稳态误差有原理性稳态误差的系统称为的系统称为有差系统有差系统。 19:1890w 一、概念和术语一、概念和术语n1、系统的型和阶、系统开环增益1)sT2s(T1)s(Ts1)s2(1)s(asasasabsbsbsbG(s)H(s)nini22ni1ii1ididi2di1iiu1i011n1nnn011m1mmm表示系统的型数表示系统的阶数称为系统的开环增益nK 19:1891w 2、误差系数)()(limK)()(lim

43、K)()(limK2000psHsGsKsHsGsKsHsGKsssp定义为：静态加速度误差系统定义为：静态速度误差系统定义为：静态位置误差系统19:1892二、偏差和误差及稳态误差理论w 1、误差定义w 2、稳态误差计算理论w 3、扰动作用下的稳态误差计算理论19:1893图图1 误差和偏差的概念误差和偏差的概念)(sG)(sH)(sHr)(sX)(sY)(sE)(sB)(sYr)(sEr+ -+ -1、误差定义 输入信号输入信号 与反馈信号比较后的信号与反馈信号比较后的信号 也能反映误也能反映误差的大小，称为差的大小，称为偏差偏差，即，即 为系统希望的输出量，为系统希望的输出量， 为系统实

44、际的输出量，则为系统实际的输出量，则误差误差定定义为：义为：)(tyr)(ty)()()(tytyterr 误差信号误差信号 的稳态分量被称为稳态误差的稳态分量被称为稳态误差 。)(terrsse)(tx)(te)()()(tbtxte图图1 误差和偏差的概念误差和偏差的概念)(sG)(sH)(sHr)(sX)(sY)(sE)(sB)(sYr)(sEr+ -+ -一般情况下，系统的误差信号与偏差信号并不相等。一般情况下，系统的误差信号与偏差信号并不相等。 图中图中 反映的是输入与输出之间的比例、微分或积分等关系，称为理想变反映的是输入与输出之间的比例、微分或积分等关系，称为理想变换算子。换算子

45、。 一般情况下，一般情况下， 误差信号与偏差信号之间的关系为：误差信号与偏差信号之间的关系为： 对于实际使用的控制系统来说，对于实际使用的控制系统来说， 往往是一个常数，因此，通常误差信号与往往是一个常数，因此，通常误差信号与偏差信号之间存在简单的比例关系，求出稳态偏差也就求出了稳态误差。偏差信号之间存在简单的比例关系，求出稳态偏差也就求出了稳态误差。 对于单位反馈控制系统，偏差信号与误差信号相同。对于单位反馈控制系统，偏差信号与误差信号相同。)(sHr)(1)(sHsHr)()()()()(1)(sEsHsEsEsHsErr，或)(sH)(sG)(sH)(sHr)(sX)(sY)(sE)(s

46、B)(sYr)(sEr+ -+ -19:1896（1）单位反馈控制系统）单位反馈控制系统 误差传递函数为：误差传递函数为： 也即：也即： )()(sEsEr)(11)()(sGsXsE)()(11)(sXsGsE)()(11lim)(lim)(lim00sXsGsssEteesstss系统的稳态误差为：系统的稳态误差为：2、稳态误差计算理论（2）非单位反馈控制系统）非单位反馈控制系统 偏差为：偏差为： 稳态偏差为：稳态偏差为： 误差为：误差为：)()()(11)(sXsHsGsE)()()(11lim)(lim)(lim00sXsHsGssEsteesstss)()()(11)(1)()(1)

47、(sXsHsGsHsEsHsEr一般情况下，一般情况下， 为常值为常值H，则有，则有)(sHssrsseHe1)()()(11)(1lim)(lim)(lim00sXsHsGsHssEsteesrsrtrss稳态误差为：稳态误差为： 注意：注意：在求稳态偏差和稳态误差时，用到了在求稳态偏差和稳态误差时，用到了拉氏变换的终值定理拉氏变换的终值定理，而终值定理只对有终值的变量才有意义，如果系统本身不稳定，用终而终值定理只对有终值的变量才有意义，如果系统本身不稳定，用终值定理求出的值是虚假的。值定理求出的值是虚假的。 故在求系统稳态误差前，应先判断稳定性。故在求系统稳态误差前，应先判断稳定性。19:

48、1898 实际控制系统中，不仅存在给定的输入信号，实际控制系统中，不仅存在给定的输入信号，还存在干扰作用，如图。还存在干扰作用，如图。图图2 干扰引起误差的系统干扰引起误差的系统 -)(sXi)(sXo)(1sG)(2sG)(sH)(sN)(sY )(sE3、扰动作用下的稳态误差计算理论由输入信号引起的偏差为由输入信号引起的偏差为 ，则有，则有稳态偏差为稳态偏差为稳态误差为稳态误差为 )(1te)()()(1)()()()()()()()()()(2111211sHsGsGsXsEsEsGsGsHsXsYsXsEiii)()()()(11lim)(lim)(lim2101011sXsHsGsG

49、sssEteeisstss)0(11Heessrss -)(sXi)(sXo)(1sG)(2sG)(sH)(sN)(sY )(sE由扰动信号引起的偏差为由扰动信号引起的偏差为 （此时不考虑输入信号）。（此时不考虑输入信号）。稳态偏差为：稳态偏差为：此即干扰引起的稳态偏差。此即干扰引起的稳态偏差。由此可得干扰引起的稳态误差为：由此可得干扰引起的稳态误差为：)(2te)()()()(1)()()()()()()()()()()(21222122sNsHsGsGsHsGsEsEsGsNsGsXsXsHsEoo)()()()(1)()(lim)(lim)(lim21202022sNsHsGsGsHsG

50、sssEteesstss)0(22Heessrss则系统总的稳态偏差为则系统总的稳态偏差为总的稳态误差为总的稳态误差为21sssssseee)0(21Heeeessrssrssrss -)(sXi)(sXo)(1sG)(2sG)(sH)(sN)(sY )(sE19:18101例例1：系统结构如图，当输入信号：系统结构如图，当输入信号 ，干扰，干扰 时，求系统总的稳态误差。时，求系统总的稳态误差。)(1)(ttxi)( 1)(ttn图图3 系统方块图系统方块图 -)(sXi)(sXo1KsK2)(sN )(sE解解：（：（1）先判断稳定性）先判断稳定性 系统传递函数为：系统传递函数为： 只要只要

51、 ，系统稳定。，系统稳定。 （2）输入引起的稳态误差）输入引起的稳态误差 干扰引起的稳态误差为干扰引起的稳态误差为 故系统总的稳态误差为：故系统总的稳态误差为：212121211)(KKsKKsKKsKKs021KK0111lim)()()()(11lim21021011ssKKssXsHsGsGseesisssrss1212021202211111lim)()()()(1)()(limKssKKsKssNsHsGsGsHsGseesisssrss1211Keeerssrssrss-)(sXi)(sXo1KsK2)(sN )(sE)(1)(ttxi)( 1)(ttn19:181031 1、计算

52、稳态误差的一般方法、计算稳态误差的一般方法 （1 1）判定系统的稳定性判定系统的稳定性 （2 2）求误差传递函数求误差传递函数 （3 3）用终值定理求稳态误差用终值定理求稳态误差 )()()(,)()()(sNsEssXsEsene)()()()(lim0sNssXsseenesss三、稳态误差的计算方法19:18104单位反馈控制系统，其开环传递函数为：单位反馈控制系统，其开环传递函数为：式中，分母阶次高于分子阶次；式中，分母阶次高于分子阶次； ，为，为0型系统；型系统； ，为，为I型系统；型系统； ，为，为II型系统；型系统； 0122、静态误差系数法、静态误差系数法) 1() 1)(1(

53、) 1() 1)(1()(2121sTsTsTssssKsGnm（1）静态位置误差系数）静态位置误差系数Kp 对于对于0型系统型系统 对于对于I型或高于型或高于I型的系统型的系统 在单位阶跃输入时在单位阶跃输入时， 稳态误差稳态误差)(lim0sGKspKsTsTsTsssKsGKnmssp) 1() 1)(1() 1() 1)(1(lim)(lim212100)1()1)(1()1()1)(1(lim)(lim212100sTsTsTssssKsGKnvmsspssXttxii1)()( 1)(，pssisssKsGssGssXsGse11)(11lim1)(11lim)()(11lim00

54、0对于对于0型系统型系统 对于对于I型或高于型或高于I型系统型系统 Kess11011pssKe)1()1)(1()1()1)(1()(2121sTsTsTssssKsGnm（2）静态速度误差系数静态速度误差系数Kv 对于对于0型系统型系统 对于对于I型系统型系统 对于对于II型或高于型或高于II型的型的系统系统)(lim0sGsKsv0) 1() 1)(1() 1() 1)(1(lim)(lim212100sTsTsTsssKssGsKnmssvKsTsTsTssssKssGsKnmssv) 1() 1)(1() 1() 1)(1(lim)(lim212100) 1() 1)(1() 1()

55、 1)(1(lim)(lim2122100sTsTsTssssKssGsKnmssv)1()1)(1()1()1)(1()(2121sTsTsTssssKsGnm在单位斜坡输入时在单位斜坡输入时，稳态误差稳态误差21)()(ssXttxii ，vsssisssKsGssGsssGssXsGse1)(1lim)(11lim1)(11lim)()(11lim00200vssKe1KKevss1101vssKe对于对于0型系统型系统对于对于I型系统型系统对于对于II型系统或高于型系统或高于II型型由上可知，单位斜坡输入时，由上可知，单位斜坡输入时， 0型系统不能跟踪输入，因为其误差为型系统不能跟踪输

56、入，因为其误差为 ； I型系统能够跟踪斜坡输入，但是有一定的误差型系统能够跟踪斜坡输入，但是有一定的误差 ； II型或高于型或高于II型的系统能够跟踪斜坡输入，因为其稳态型的系统能够跟踪斜坡输入，因为其稳态误差为误差为0。K1vssKe1KKevss1101vssKe对于对于0型系统型系统对于对于I型系统型系统对于对于II型系统或高于型系统或高于II型型在单位斜坡输入时在单位斜坡输入时（3）静态加速度误差系数静态加速度误差系数Ka 对于对于0型系统型系统 对于对于I型系统型系统 对于对于II型系统型系统 对于对于III型或高于型或高于III型的系统型的系统 )(lim20sGsKsa0) 1(

57、) 1)(1() 1() 1)(1(lim)(lim21212020sTsTsTsssKssGsKnmssa0) 1() 1)(1() 1() 1)(1(lim)(lim21212020sTsTsTssssKssGsKnmssaKsTsTsTssssKssGsKnmssa) 1() 1)(1() 1() 1)(1(lim)(lim212212020) 1() 1)(1() 1() 1)(1(lim)(lim213212020sTsTsTssssKssGsKnmssa)1()1)(1()1()1)(1()(2121sTsTsTssssKsGnm在单位加速度输入下在单位加速度输入下，稳态误差为：稳态误差为：321)(21)(ssXttxii，asssisssKsGssGsssGssXsGse1)(1lim)(11lim1)(11lim)()(11lim2020300ssesseKess10sse对于对于0型系统型系统对于对于I型系统型系统对于对于II型系统型系统对于对于III型或高于型或高于III型的系统型的系统由上可知，由上可知， 0型和型和I型系统都不能跟踪单位加速度输入，