选修2-1直线的方向向量与平面的法向量及平行和垂直ppt课件

1、淮阳一高高二B段数学组：杨留杰 直线与平面垂直的断定定理：向量证明直线与平面垂直的断定定理：向量证明由线线垂直可以得到线面垂直由线线垂直可以得到线面垂直YXZABCD1A1B1C1DEF练习：练习： 在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1 中中 E、F分别分别是是 BB1 、CD 的中点的中点 ，求证：，求证：D1F 平面平面ADE 由线线垂直可以得到线面垂直，再由线面垂直又可以得到线线垂直。平面的斜线、斜线在平面内的射影平面的斜线、斜线在平面内的射影PAB图图1图图2如图如图2，不垂直，不垂直,思索：平面的斜线在平面内的射影是什么图形？思索：平面的斜线在平面内的射影是什么图形？答案：仍是一

2、条直线答案：仍是一条直线BA直线直线PA-叫做平面叫做平面的斜线；的斜线；点点A叫做斜足叫做斜足.线段线段PA叫做斜线段叫做斜线段.证明：PA 平面PABmPAPBm PBmBAmm平面PAB性质定理断定定理性质定理线面垂直线线垂直线面垂直线线垂直三垂线定理：三垂线定理： 在平面内的一条直线，假设在平面内的一条直线，假设和这个平面的一条斜线的射影垂和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直直，那么它也和这条斜线垂直一面一面平面平面根底平面根底平面 ；四线四线PB 的垂线，的垂线， PA斜线，斜线，BA射影，射影， m 内的直线内的直线三垂直三垂直PB m, BA m, PA m故称

3、“三垂线定理一面四线三垂直一面四线三垂直 直线a 一定要在平面内，假设 a 不在平面内，定理就不一定成立。PAOa例如：当 b 时， 那么 bOA留意：定理中“在平面内的条件不能去掉。b但但 b不垂直于不垂直于OP 线影垂直线影垂直线线垂直线线垂直PAOaPAOa平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆命题思索题：想一想？如图，如图，PA 垂直于以垂直于以AB为直径的圆平面，为为直径的圆平面，为圆上任一点异于，试判别图中共有圆上任一点异于，试判别图中共有几个直角三角形，并阐明理由。几个直角三角形，并阐明理由。OCBAP研讨 从今天开场

4、,我们将进一步来领会向量这一工具在立体几何中的运用.为了用向量的方法研讨空间的线面位置关系，我为了用向量的方法研讨空间的线面位置关系，我们首先要知道如何用向量来描写直线和平面的们首先要知道如何用向量来描写直线和平面的“方方向呢？向呢？1、直线的方向向量、直线的方向向量a le直线直线 上的非零向量上的非零向量 以及与以及与 共线的非零向量叫做直共线的非零向量叫做直线线 的方向向量的方向向量leel 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么那么过点过点A,以向量以向量 为法向量的平面是为法向量的平面是完全确定的完全确定的.A平面的法向量：假设表示向量平面的法向量：假设表示向量 的有向线段所

5、在直线的有向线段所在直线垂直于平面垂直于平面 ，那么称这个向量垂直于平面，那么称这个向量垂直于平面 ,记作记作 ，假设，假设 ，那，那 么么 向向 量量 叫做平面叫做平面 的法向的法向量量.a aa aa aa an a an n n n n n 几点留意：几点留意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的一切法向量都一个平面的一切法向量都相互平行相互平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是与平面平行或在平面是与平面平行或在平面内，那么有内，那么有0n m n m l2例例1 在空间直角坐标系内，设直线在空间直角坐标系内，设直线 经过点经过点 ，直线

6、直线 的方向向量为的方向向量为 ， 是是直线直线 上恣意一点，求上恣意一点，求 满足的关系式。满足的关系式。lll),(000zyxP)0(),(CBACBAe),(zyxMzyx,练习练习设设 分别是分别是 的方向向量，判别的方向向量，判别 的位置关系的位置关系ba,21,ll21,ll)3 , 3 , 6(),4 , 1 , 2()3()0 , 4 , 0(),2 , 0 , 5()2()3 , 9, 6(),1, 3 , 2() 1 (bababa1111ABCDA B C D 1DB 1ACD例例2 在正方体在正方体中，求证：中，求证：是平面是平面的一个法向量的一个法向量.待定系数法求

7、平面的法向量待定系数法求平面的法向量二二.立体几何问题的类型及解法立体几何问题的类型及解法 1.断定直线、平面间的位置关系 (1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b. 假设ab,即a=b,那么ab. 假设ab,即ab = 0,那么abababl1l21e 2e 12/ll 1212/eeee l11e l22e 12ll12120eeee 例例2知平行六面体知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面的底面ABCD是菱形是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求证求证: C C1BDA1B1C1D1CBAD 证明：设 a, b, c, 依题意有| a |=| b

8、 |， 于是 a b = c (a b)= ca cb = |c|a|cos|c|b| cos=0 C C1BDCDCB1CCBDCBCD 1CCBD (2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面的法向量为n,且L . 假设an,即a =n,那么 L 假设an,即an = 0,那么a .nanaLLa al11n 1e 11/la a11110enen 11la aa a1n 1111/enen l1e 例例3棱长都等于棱长都等于2的正三棱柱的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分别是分别是AC,CC1的中点的中点,求证求证: (1)A1E 平面平面DBC1; (2)AB1 平面平

9、面DBC1A1C1B1ACBEDzxy 解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.那么 A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2). 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),那么 解之得 ， 取z = 1得n=(-2,0,1) (1) =- n,从而A1E 平面DBC1 (2) ,而 n =-2+0+2=0 AB1 平面DBC1330302yzx02yzx) 1, 0 , 2(1EA)2 , 3, 1 (1AB1AB (3)平面与平面的位置关系 平面的法向量为n1 ,平面的法向量为

10、n2 假设n1n2,即n1=n2,那么 假设n1n2,即n1 n2= 0,那么n2n1n1n21a a1n 2a a2n 12/aaaa1212/nnnn 1a a1n 2a a2n 12aaaa12110nnnn 例例4 正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F分别分别是是BB1、CD的中点的中点,求证求证:平面平面AED平面平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1 证明:以A为原点建立如下图的的直角坐标系A- xyz, 0202yzx021yzx平面平面AED平面平面A1FDn1 n2 = -2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1)取z=2得n1=

11、(-1,0,2)解得：设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得) 1 , 0 , 2(AE)0 , 2 , 0(AD于是 ，设：正方体的棱长为2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0),稳定性训练11.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据根据下下 列条件列条件,判别判别l1,l2的位置关系的位置关系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行垂直垂直平行平行稳定性训练21.设设 分别是平面分别

12、是平面,的法向量的法向量,根据根据 以下条件以下条件,判别判别,的位置关系的位置关系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交1、设平面、设平面 的法向量为的法向量为(1,2,-2),平面平面 的法向量为的法向量为(-2,-4,k),假设假设 ，那么，那么k= ；假设；假设 那么那么 k= 。2、知、知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)，平面的，平面的法向量为法向量为(1,1/2,2),那么那么m= .3、假设、假设 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),平面平面 的法向量的法向量为为(1,1/2,2),且且