数字信号处理IIR—DF设计方法

1、第第6 6章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIRIIR） 数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 6.1 基本概念基本概念 6.2 IIR滤波器设计的特点滤波器设计的特点 6.3 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计IIR数字滤波器数字滤波器 6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字滤波器数字滤波器 6.5 设计设计IIR滤波器的频率变换法滤波器的频率变换法6.6 先利用模拟域频带变换法，再利用数字化法设计数字各型滤波器先利用模拟域频带变换法，再利用数字化法设计数字各型滤波器6.1 基本概念基本概念 一、一、 滤波器的分类滤波器的分类 数字滤波器是数字信号处理

2、的重要基础。在对信号的过滤、数字滤波器是数字信号处理的重要基础。在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中检测与参数的估计等处理中, 数字滤波器是使用最广泛的线性系数字滤波器是使用最广泛的线性系统。统。 数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。它数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。因此，将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。因此， 数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。 由第1章已经知道，一个输入序列x(n)，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变系统

3、后，其输出响应y(n)为 nmnxmhnhnxny)()()()()(将上式两边经过傅里叶变换，可得 )()()(jjjeHeXeY式中，Y(ej)、X(ej)分别为输出序列和输入序列的频谱函数， H(ej)是系统的频率响应函数。 b=1;a=1,-0.9; %y(n)-0.9y(n-1)=x(n)， 即即H(Z)=1/(1-0.9z)x=ones(1,10),zeros(1,40);y=filter (b, a, x);N=64;X=fft(x,N);Y=fft(y,N); 可以看出，输入序列的频谱可以看出，输入序列的频谱X(ej )经过滤波后，变为经过滤波后，变为X(ej)H(ej)。如果

4、。如果|H(ej)|的值在某些频率上是比较小的，则输入的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(ej)，使，使得滤波后的得滤波后的X(ej)H(ej)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通波原理。和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想带特性可划

5、分为低通、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想模式如图模式如图6-1所示。（系统的频率响应所示。（系统的频率响应H(ej)是以是以2为周期的。为周期的。) 图 6-1 数字滤波器的理想幅频特性 )(ejHo22)(ejHo22)(ejHo22)(ejHo22(a)(b)(c)(d )低通高通带通带阻 满足奈奎斯特采样定理时，信号的频率特性只能限带于满足奈奎斯特采样定理时，信号的频率特性只能限带于|的范围。由图的范围。由图6-1可知，理想低通滤波器选择出输入信号中可知，理想低通滤波器选择出输入信号中的低频分量，而把输入信号频率在的低频分量，而把输入信号频率在c范围内所有分量全部范围内所有分量全部

6、滤掉。相反地，理想高通滤波器使输入信号中频率在滤掉。相反地，理想高通滤波器使输入信号中频率在c范范围内的所有分量不失真地通过，而滤掉低于围内的所有分量不失真地通过，而滤掉低于c的低频分量。带的低频分量。带通滤波器只保留介于低频和高频之间的频率分量。通滤波器只保留介于低频和高频之间的频率分量。 二、二、 滤波器的技术指标滤波器的技术指标 理想滤波器是不能实现的，理想滤波器是不能实现的， 但在概念上极为重要。但在概念上极为重要。 一般来说，滤波器的性能要求往往以一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的频率响应的幅度特性的允许误差来表征允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图。以低通滤波器

7、为例，如图6-2（称误差容限图）（称误差容限图）所示，所示， 频率响应有通带、频率响应有通带、 过渡带及阻带三个范围（而不是理想过渡带及阻带三个范围（而不是理想的陡截止的通带、阻带两个范围）。图中的陡截止的通带、阻带两个范围）。图中1为通带的容限，为通带的容限，2为为阻带的容限。阻带的容限。 图图 6-2 低通滤波器频率响应幅度特性的误差容限图低通滤波器频率响应幅度特性的误差容限图 1在通带内，幅度响应以误差在通带内，幅度响应以误差1逼近于逼近于1，即，即 11|()| 1jH e在阻带内，幅度响应以误差小于在阻带内，幅度响应以误差小于2而逼近于零，即而逼近于零，即 2| )(|jeHst|c

8、 式中，式中，c, st分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是数字域频率。幅度响应在过渡带（数字域频率。幅度响应在过渡带（st-c）中从通带平滑地下）中从通带平滑地下降到阻带，过渡带的频率响应不作规定。降到阻带，过渡带的频率响应不作规定。 虽然给出了通带的容限虽然给出了通带的容限1及阻带的容限及阻带的容限2，但是，在具体技，但是，在具体技术指标中往往使用术指标中往往使用通带允许的最大衰减通带允许的最大衰减（波纹）（波纹）Ac和和阻带应达阻带应达到的最小衰减到的最小衰减As描述，描述，Ac及及As的定义分别为：的定义分别为： 0102|()|20lg

9、20lg|()|20lg(1)|()|()|20lg20lg|()|20lg|()|ccststjjcjjjsjH eAH eH eH eAH eH e （6-3a） （6-3b） 式中，假定式中，假定|H(ej0)|=1(已被归一化已被归一化)。例如。例如|H(ej)|在在c处满足处满足|H(ejc)|=0.707，则，则Ac=3 dB；在；在st处满足处满足|H(ejst)|=0.001，则，则As=60 dB（参考图（参考图6-2）。）。(注：注：lg是是log10的规范符号表示。的规范符号表示。) 三、三、 FIR型滤波器和型滤波器和IIR型滤波器型滤波器 数字滤波器按单位脉冲响应数字

10、滤波器按单位脉冲响应h(n)的时域特性可分为无限长脉的时域特性可分为无限长脉冲响应冲响应IIR（Infinite Impulse Response）滤波器和有限长脉冲响）滤波器和有限长脉冲响应应FIR（Finite Impulse Response）滤波器。）滤波器。 IIR滤波器一般采用递归型的实现结构。其滤波器一般采用递归型的实现结构。其N阶递归型数字滤阶递归型数字滤波器的差分方程为波器的差分方程为 MkNkkkknyaknxbny01)()()(（6-4） 式（6-4）中的系数ak至少有一项不为零。 ak0 说明必须将延时的输出序列反馈回来，也即递归系统必须有反馈环路。相应的IIR滤波器

11、的系统函数为 NkkkMkkkzazbzH101)(（6-5） IIR滤波器的系统函数滤波器的系统函数H(z)在在Z平面上不仅有零点，而且有极点。平面上不仅有零点，而且有极点。 FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)是有限长的，即0nN-1， 该系统一般采用非递归型的实现结构，但如果系统函数中出现零、 极点相消时, 也可以有递归型的结构(如频率采样结构)。FIR滤波器的系统函数为 10)()(NnnznhzH（6-6） 由式（6-6）可知，H(z)的极点只能在Z平面的原点。 四、四、 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤 按照实际任务要求，按照实际任务要求， 确定滤波器的性能指标。确定滤波器的性能指标

12、。 用一个因果稳定的离散线性时不变系统的用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数系统函数H(z)去逼近这一性能要求。去逼近这一性能要求。根据不同要求可以用根据不同要求可以用IIR系统函数，也可系统函数，也可以用以用FIR系统函数去逼近。系统函数去逼近。 实现所设计的实现所设计的H(z)。包括选择运算结构（如第包括选择运算结构（如第5章中的各章中的各种基本结构），选择合适的字长（包括系数量化及输入变量、种基本结构），选择合适的字长（包括系数量化及输入变量、中间变量和输出变量的量化）以及有效数字的处理方法（舍入、中间变量和输出变量的量化）以及有效数字的处理方法（舍入、截尾）等。截尾）等。 6.

13、2 IIR滤波器设计的特点滤波器设计的特点 IIR滤波器的系统函数又可以用极、零点表示如下：滤波器的系统函数又可以用极、零点表示如下： NkkMkkNkkkMkkkzdzcAzazbzH111110)1 ()1 (1)( 一般满足一般满足MN，这类系统称为，这类系统称为N阶系统。阶系统。 IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak, bk或零极点或零极点ck，dk和和A，以使滤波器满足给定的性能要求。通常有以下两种，以使滤波器满足给定的性能要求。通常有以下两种方法：方法： 1）利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器）利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器 首

14、先，设计一个合适的模拟滤波器；然后，变换成满足预首先，设计一个合适的模拟滤波器；然后，变换成满足预定指标的数字滤波器。这种方法很方便，因为模拟滤波器已经定指标的数字滤波器。这种方法很方便，因为模拟滤波器已经具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表格化具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表格化了，设计起来既方便又准确。了，设计起来既方便又准确。 2） 最优化设计法最优化设计法 最优化设计法一般分两步来进行最优化设计法一般分两步来进行: 第一步要选择一种最优准则。例如，选择最小均方误差准第一步要选择一种最优准则。例如，选择最小均方误差准则。它是指在一组离散的频率则。它是指在一

15、组离散的频率i(i=1, 2, , M)上，所设计出上，所设计出的实际频率响应幅度的实际频率响应幅度|H(ej)|与所要求的理想频率响应幅度与所要求的理想频率响应幅度|Hd(ej)|的均方误差的均方误差最小。最小。 MijdjiieHeH12|)(| )(|此外还可以有其他许多种误差最小的准则，如最大误差最小准则等。此外还可以有其他许多种误差最小的准则，如最大误差最小准则等。 第二步，求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数第二步，求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数ak, bk。一般是通过不断改变滤波器系数一般是通过不断改变滤波器系数ak、bk，分别计算，分别计算; 最后，找最后，找到使到使为最

16、小时的一组系数为最小时的一组系数ak, bk，从而完成设计。这种设计需，从而完成设计。这种设计需要进行大量的迭代运算，故离不开计算机。所以最优化方法又要进行大量的迭代运算，故离不开计算机。所以最优化方法又称为计算机辅助设计法。称为计算机辅助设计法。 本章着重讨论第一种方法。利用模拟滤波器来设计数字滤本章着重讨论第一种方法。利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器设计数字滤波器的系统函数的系统函数H(z)。因此，它归根结底是一个因此，它归根结底是一个由由S平面映射到平面映射到Z平平面的变换面的变换，这个变换通常是复

17、变函数的映射变换，这个映射变，这个变换通常是复变函数的映射变换，这个映射变换必须满足以下两条基本要求：换必须满足以下两条基本要求： （1）H(z)的频率响应要能模仿的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应，也即的频率响应，也即S平面虚平面虚轴轴j必须映射到必须映射到Z平面的单位圆平面的单位圆z=ej上。上。 （2） 因果稳定的因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的应能映射成因果稳定的H(z)，也即，也即S平面平面的左半平面的左半平面Res0必须映射到必须映射到Z平面单位圆的内部平面单位圆的内部|z|1。 下面分别讨论由模拟滤波器设计下面分别讨论由模拟滤波器设计IIR数字滤波器的两种常用数字滤波

18、器的两种常用的变换方法：冲击响应不变法和双线性变换法。的变换方法：冲击响应不变法和双线性变换法。FIR数字滤波器数字滤波器的设计方法与的设计方法与IIR数字滤波器设计方法明显不同，这将在下一章数字滤波器设计方法明显不同，这将在下一章中介绍。中介绍。 6.3 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计IIR数字滤波器数字滤波器一、一、 变换原理变换原理 利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。 冲激响应不变法是从滤波器的冲激响应出发，使数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)，即将ha(t)进行等间隔采样

19、，使h(n)正好等于ha(t)的采样值，满足 h(n)=ha(nT) 式中, T是采样周期。 如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯变换，H(z)为h(n)的Z变换，利用第1章采样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系，得 112( )()sTasaz ekkH zHsjkHsjkTTT则可看出，冲激响应不变法将模拟滤波器的S平面变换成数字滤波器的Z平面，这个从s到z的变换z=esT正是第1章中从S平面变换到Z平面的标准变换关系式。 图6-3 冲激响应不变法的映射关系 j3/ T/ T3/ T/ Too11jImzRezZ平面S平面二、二、 混叠失真混叠失真数字滤波器的频率响应和模拟滤波器

20、的频率响应间的关系为 TkjHTeHkaj21)(这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如第1章采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即 0)(jHa2|sT 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即 TjHTeHaj1)(|但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的， 变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图6-4所示。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处

21、衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。失真就越小。这时，采用冲激响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。 图6-4 冲激响应不变法中的频响混叠现象 32)j(aHoo23 T)(ejHT2TTT2 对某一模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)进行采样，采样频率为fs，若使fs增加，即令采样时间间隔（T=1/fs）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。 三、三、 模拟滤波器的数字化方法模拟滤波器的数字化方法 由于冲激响应不变法要由模拟系统函数Ha(s)求拉普拉斯反变换得到模拟的冲激响应ha(

22、t)，然后采样后得到h(n)=ha(nT)，再取Z变换得H(z)，过程较复杂。下面我们讨论如何由冲激响应不变法如何由冲激响应不变法的变换原理将的变换原理将Ha(s)直接转换为数字滤波器直接转换为数字滤波器H(z)。 设模拟滤波器的系统函数Ha(s)只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次（一般都满足这一要求，因为只有这样才相当于一个因果稳定的模拟系统），因此可将 NkkkassAsH1)(其相应的冲激响应ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反变换，即 NktskaatueAsHLthk11)()()(式中, u(t)是单位阶跃函数。 在冲激响应不变法中，要求数字滤波器的单位脉冲响应等于对ha(

23、t)的采样，即 NknTskNknTskanueAnueAnThnhkk11)()()()()(11011011( )( )()()1kkkNNs Ts TnnnkknnkknNks TkH zh n zA ezAezAez 对h(n)求Z变换，即得数字滤波器的系统函数 将Ha(s)和H(z)加以比较，可以看出： （1）S平面的每一个单极点s=sk变换到Z平面上z=eskT处的单极点。 （2） Ha(s)与H(z)的部分分式的系数是相同的，都是Ak。 NkkkassAsH1)( （3）如果模拟滤波器是因果稳定的，则所有极点sk位于S平面的左半平面，即Resk0， 则变换后的数字滤波器的全部极点

24、在单位圆内，即|eskT|=eReskT1， 因此数字滤波器也是因果稳定的。 （4）虽然冲激响应不变法能保证S平面极点与Z平面极点有这种代数对应关系，但是并不等于整个S平面与Z平面有这种代数对应关系，特别是数字滤波器的零点位置就与模拟滤波器零点位置没有这种代数对应关系，而是随Ha(s)的极点sk以及系数Ak两者而变化。 数字滤波器频率响应幅度还与采样间隔T成反比： TjHTeHaj1)(| 如果采样频率很高，即T很小，数字滤波器可能具有太高的增益，这是不希望的。为了使数字滤波器增益不随采样频率而变化，可以作以下简单的修正，令 h(n)=Tha(nT) 则有: NkTskzeTAzHk111)(

25、TjHkTjTjHeHakaj2)(11( )1kNks TkAH zezTjHTeHaj1)(例例6-1 设模拟滤波器的系统函数为 3111342)(2sssssHa试利用冲激响应不变法将Ha(s)转换成IIR数字滤波器的系统函数H(z)。 解解 ： 数字滤波器的系统函数为 TTTTTTTezeezeeTzezTezTzH423131311)(1)(11)(设T=1，则有 21101831. 04177. 013181. 0)(zzzzH 模拟滤波器的频率响应Ha(j)以及数字滤波器的频率响应H(ej)分别为: 2201831. 04177. 013181. 0)(432)(jjjjaeee

26、eHjjH）（把|Ha(j)|和|H(ej)|画在图上。由该图可看出，由于Ha(j)不是充分限带的，所以H(ej)产生了严重的频谱混叠失真。 图6-5 例题中的幅频特性 / T2/ T2)j (aH)(ejHoo四、 优缺点 从以上讨论可以看出，冲激响应不变法使得数字滤波器的单位冲激响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率和数字频率之间呈线性关系=T。 因而，一个线性相位的模拟滤波器通过冲激响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。 冲激响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。所以， 冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器冲激响应不变法只适用于限带的模拟

27、滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。如果要对高通和带阻滤波器采用冲激响应不变法， 就必须先对高通高通和带阻滤波器和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用冲激响应不变法转换为数字滤波器。当然这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。 6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字滤波器数字滤波器 一、一、 变换原理变换原理 冲激响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T/

28、T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-/T/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系， 消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图6-6所示。 图图6-6 双线性变换的映射关系双线性变换的映射关系 o 11Z平 面jImzRez/ Tj11/ TS1平 面S平 面joo第一次变换：频率压缩第二次变换：数字化Tsez1)2tan(1T111111111111111222222222,tan2,00tan211jTjTsTsTsTjTjTsTsTsT

29、TTTTTTsjjeeeeeeeeee 宽度为，从采用如下变换关系：这样满足：，又11111111111,11111tan()2211,1s Ts Ts Ts TzeszszzsszzsTsTecsc thcezcszesczzcs 此时，则可得到 平面平面的单值映射关系：或实际中，为了使模拟滤波器的某一频率与数字化滤波器的任一频率有对应的关系，要引入常数c） 代入可得：这时这时S 平面与平面与Z平面之间为单值映射关系，这种变换就称为双线性变换。平面之间为单值映射关系，这种变换就称为双线性变换。1111111tan()22tan()222TTTTcccT 当较小时有由于11)tan()tan(

30、)22()2ccccccccbDFTAFTcccctgAFDF （利用的某一特定频率（例截止频率与的某一特定频率严格相对应。即：看出：此方法优点：是在特定和特定处，频率响应是严格相等的，它可以较准确地控制截止频率的位置。三、三、 逼近的情况逼近的情况 双线性变换符合上节中提出的映射变换应满足的两点要求。 （1）首先, 把z=ej代入式 ，可得 1tan12jjescjcje 即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。 1111zscz（2） 其次，将s=+j代入式 ，得 cjzcj 因此 2222|czccszcs 由此看出，当0时， |z|0时，|z|1。也就是说， S平面的左半平面映射到Z平面的

31、单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。 因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。 四、四、 优缺点优缺点 双线性变换法与冲激响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个j轴单值地对应于Z平面单位圆一周， 即频率轴是单值变换关系。这个关系下式所示，重写如下： tan2c 上式表明，S平面上与Z平面的成非线性的正切关系，如图6-7所示。 图6-7 双线性变换法的频率变换关系 o2tan2T 由图6-7看出，在零频率附近，模拟角频率与数字频率之间的变换关系接近

32、于线性关系；但当进一步增加时，增长得越来越慢，最后当时，终止在折叠频率=处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象， 从而消除了频率混叠现象。 但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系严重非线性关系而得到的。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常

33、数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图 6-8 所示。 图 6-8 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射ooo)j (aH)(ejHooo)(eargjH)j(argaH 对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变， 这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变， 然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。 图 6-9 双线性变换时频率的预畸变 )j(aH)(ejHooo43211234 （1

34、） 如果给出的是待设计的带通滤波器的数字域转折频率（通、 阻带截止频率）1、2、3、4及采样频率(1/T)，则直接利用式 tan2c 计算出相应的模拟滤波器的转折频率1、2、3和4。这样得到的模拟滤波器Ha(s)的转折频率1、2、3和4，经双线性变换后就映射到数字滤波器H(z)的原转折频率1、2、3和4。 如果给出的是待设计的带通滤波器的模拟域转折频率（通、 阻带截止频率）f1、f2、f3、f4和采样频率(1/T)，则需要进行频率预畸变。 首先，利用下式计算数字滤波器的转折频率（通、阻带截止频率）、2、3 和4。 再利用式 tan2c 2fT对频率预畸变，得到预畸变后的模拟滤波器的转折频率1、

35、 3和4。这样得到的模拟滤波器Ha(s)的转折频率、2、3和4, 经双线性变换后映射到数字滤波器H(z)的转折频率1、2、 3、4，并且能保证数字域频率1、2、3、4与给定的模拟域转折频率f1、f、f、f4成线性关系。（2） 按1、2、3和4等指标设计模拟滤波器的系统函数Ha(s)。 （3）将 代入Ha(s)，得H(z)为 1111zscz1111111( )( )|1aazs czzH zHsHcz其频率响应为 tan2()()|tan2jaacH eHjHjc上述这些步骤比用脉冲响应不变法设计滤波器要简便得多。 需要特别强调的是，若模拟滤波器Ha(s)为低通滤波器，应用变换得到的数字滤波器

36、H(z)也是低通滤波器； 若Ha(s)为高通滤波器，应用 变换得到的数字滤波器H(z)也是高通滤波器; 若为带通、带阻滤波器也是如此。 在IIR数字滤波器的设计中，当强调模仿滤波器的瞬态响应时，采用冲激响应不变法较好; 而在其余情况下，大多采用双线性变换法。 1111zscz1111zscz五、模拟滤波器的数字化方法五、模拟滤波器的数字化方法 双线性变换法比起冲激响应不变法来，在设计和运算上也比较直接和简单。由于双线性变换法中，s到z之间的变换是简单的代数关系，所以可以直接将式 代入到模拟系统传递函数， 得到数字滤波器的系统函数， 即 1111111( )( )1zas czzH zHsH c

37、z频率响应也可用直接代换的方法得到 tan2()()tan2jacH eHjHjc1111zscz 若阶数较高，这时将H(z)整理成需要的形式，就不是一件简单的工作。为简化设计，一方面， 可以先将模拟系统函数分解成并联的子系统函数并联的子系统函数（子系统函数相加）或级联的子系统函数级联的子系统函数（子系统函数相乘），使每个子系统函数都变成低阶的（例如一、 二阶的），然后再对每个子系统函数分别采用双线性变换再对每个子系统函数分别采用双线性变换。也就是说，分解为低阶的方法是在模拟系统函数上进行的，而模拟系统函数的分解已有大量的图表可以利用，分解起来比较方便。另一方面，可用表格的方法来完成双线性变换

38、设计可用表格的方法来完成双线性变换设计，即预先求出双线性变换法中离散系统函数的系数与模拟系统函数的系数之间的关系式，并列成表格，便可利用表格进行设计了。 1111zzCS 例例 6-2 设计一个一阶数字低通滤波器，3 dB截止频率为c=0.25，将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器。 )/(11)(cassH 解解 数字低通滤波器的截止频率为c=0.25，相应的巴特沃思模拟滤波器的 3 dB截止频率是c，就有 TTTcc828. 0225. 0tan22tan2模拟滤波器的系统函数为 )828. 0/(11)/(11)(sTssHca将双线性变换应用于模拟滤波器，有 11111124159.

39、0112920. 0)1/()1)(828. 0/2(11)()(11zzzzsHzHzzTsa由上题可知，T不参与设计，即双线性变换法中用 设计与用 设计得到的结果一致。 ,1111zzs2tan2tan2,11211TzzTs 例例6-3 用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为fs=4 kHz（即采样周期为T=250 s），其3dB截止频率为fc=1 kHz。 三阶模拟巴特沃思滤波器为 32)/()/(2)/(211)(cccassssH 解解: 首先，确定数字域截止频率c=2fcT=0.5。 第二步，根据频率的非线性关系式，确定预畸变的模拟滤波器的截止频率 TTTc

40、c225 . 0tan22tan2第三步，将c代入三阶模拟巴特沃思滤波器Ha(s)，得 32)2/()2/(2)2/(211)(sTsTsTsHa最后，将双线性变换关系代入就得到数字滤波器的系统函数 2321311211111123331211111211211)()(11zzzzzzzzzzsHzHzzTsa 应该注意，这里所采用的模拟滤波器Ha(s)并不是数字滤波器所要模仿的截止频率fc=1 kHz的实际滤波器，它只是一个“样本”函数，是由低通模拟滤波器到数字滤波器的变换中的一个中间变换阶段。 图6-10给出了采用双线性变换法得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的幅频特性。由图可看出，由于频率

41、的非线性变换， 使截止区的衰减越来越快。图图 6-10 用双线性变换法设计得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的频响用双线性变换法设计得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的频响 1.00.500.5)(ejH01.02.0f / kHz设模拟系统函数的表达式为 2001220120( )NkNkkNaNNkNkkA sAAsA sA sHsBB sB sB sB s1111( )( )|azs CzH zHs得 NNNNNkkkNkkkzbzbzbzazazaazbzazH221122110001)(表表 6-1 双线性变换法中双线性变换法中a(s)的系数与的系数与H(z)的系数之间的关系的系数之间的

42、关系 6.5 设计设计IIR滤波器的频率变换法滤波器的频率变换法 图 6-11模拟频率变换两种等效的设计方法(a) 先模拟频率变换， 再数字化; (b) 将(a)的两步合成一步设计 模 拟 原 型模 拟 低 通 、 高 通带 通 、 带 阻数 字 低 通 、 高 通带 通 、 带 阻模 拟 域频 率 变 换数 字 化(a)模 拟 原 型数 字 低 通 、 高 通带 通 、 带 阻频 率 变 换(b) 对于第一种方案，重点是模拟域频率变换，即如何由模拟低通原型滤波器转换为截止频率不同的模拟低通、高通、带通、带阻滤波器，这里我们不作详细推导，仅在表6-2列出一些模拟到模拟的频率转换关系。一般直接用

43、归一化原型转换，取c=1, 可使设计过程简化。 然后再通过冲激响应不变法或双线性变换法数字化为所需类型的数字滤波器。表表6-2 截止频率为截止频率为c的模拟低通滤波器到其它频率选择性模拟滤波器的转换公式的模拟低通滤波器到其它频率选择性模拟滤波器的转换公式 第二种方法实际上是把第一种方法中的两步合成一步来实现，即把模拟低通原型变换到模拟低通、高通、带通、带阻等模拟低通原型变换到模拟低通、高通、带通、带阻等滤波器的公式滤波器的公式与用双线性变换得到相应数字滤波器的公式用双线性变换得到相应数字滤波器的公式合并，就可直接从模拟低通原型直接从模拟低通原型通过一定的频率变换关系， 一步完成一步完成各种类型

44、数字滤波器的设计各种类型数字滤波器的设计，因而简捷便利，得到普遍采用。 此外，对于高通、带阻滤波器，由于冲激响应不变法不能直接对于高通、带阻滤波器，由于冲激响应不变法不能直接采用采用，或者只能在加了保护滤波器以后使用，因此，冲激响应不变法使用直接频率变换要有许多特殊考虑，我们在下面只考在下面只考虑双线性变换，实际使用中多数情况也正是这样虑双线性变换，实际使用中多数情况也正是这样。 图图 6-12 模拟归一化模拟归一化低通原型低通原型模拟低通、高通、模拟低通、高通、带通、带阻带通、带阻数字低通、高通、数字低通、高通、带通、带阻带通、带阻频带变换数字化先模拟频率变换，再数字化双线性变换法或冲激不变

45、法一、一、 模拟低通滤波器变换成数字低通滤波器模拟低通滤波器变换成数字低通滤波器 首先，把数字滤波器的性能要求转换为与之相应的作为“样本”的模拟滤波器的性能要求，根据此性能要求设计模拟滤波器， 这可以用查表的办法， 也可以用解析的方法。然后，通过双线性变换法，将此“样本”模拟低通滤波器数字化为所需的数字滤波器H(z)。二、二、 模拟低通滤波器变换成数字高通滤波器模拟低通滤波器变换成数字高通滤波器 sscc式中，c为模拟低通滤波器的截止频率，c为实际高通滤波器的截止频率。 2、模拟高通到数字高通的变换、模拟高通到数字高通的变换根据双线性变换原理，模拟高通与数字高通之间的S平面与Z平面的关系仍为

46、1111zscz1、由模拟低通原型到模拟高通的变换、由模拟低通原型到模拟高通的变换由表6-2可知，由低通模拟原型到模拟高通的变换关系为 把上两个变换式结合起来，可得到直接从模拟低通原型变换成数字高通滤波器的表达式，也就是直接联系s与z之间的变换公式 1111111111111cccczzsCzczzcz 式中， 。由此得到数字高通系统函数为 1/ccCc 11111( )( )|azs CzH zHs式中，Ha(s)为模拟低通滤波器系统函数。 可以看出，数字高通滤波器和模拟低通滤波器的极点数目（或阶次）是相同的。 根据双线性变换，模拟高通频率与数字高通频率之间的关系仍为 tan2c tan2c

47、cc 则 1/ ,ccCc 1tan2ccC 又因：则：图6-13 从模拟低通变换到数字高通时频率间关系的曲线 应当明确一点，所谓高通数字滤波器，并不是高到都通过， 由于数字域存在折叠频率=，对于实数响应的数字滤波器， 由到2的部分只是由到0的镜像部分。因此，有效数字域仅只是从=0 到=，高通也仅指这一端的高端，即到=为止的部分。 o1cot2C 图 6-14 模拟低通变换到数字高通 ooo)j(aH)(ejH2112 例例 设计一个巴特沃思高通数字滤波器，其通带截止频率（-3dB点处）为fc=3kHz，阻带上限截止频率fst=2kHz，通带衰减不大于3 dB， 阻带衰减不小于 14dB，采样

48、频率fs=10kHz。 解解 （1） 求对应的各数字域频率:4 . 010101032226 . 010101032223333sstststscccffTfffTf （2）求常数C。采用归一化（c=1）原型低通滤波器作为变换的低通原型，则低通到高通的变换中所需的C为92381376. 126 . 0tan12tanccC （3）求低通原型st。设st为满足数字高通滤波器的归一化原型模拟低通滤波器的阻带上限截止频率，可按=Ccot(/2)的预畸变换关系来求，得 2427894. 19381376. 192381376. 12cotststC （4）求阶次N。按阻带衰减求原型归一化模拟低通滤波器

49、的阶次N，由巴特沃思低通滤波器频率响应的公式|Ha(jst)|取对数， 即 141lg10)(lg202NcststajH式中c=1。解得 4931490. 28955554. 09356382. 1)2427894. 1lg(2) 110lg(4 . 1N取N=3。 （5） 求归一化巴特沃思低通原型的Ha(s)。取N=3，查表(课本P266，表64)可得Ha(s)为 1221)(23ssssHa32323223231232332123312111212313313121112123133111122122122322312332231)331 (1221)1 ()1)(1 (2)1 ()1 (2)1 ()1 ()1 ()1)(1 (2)1 ()1 (2)1 ()1 ()()(11zCCCCCCzCCCCCCzCCCCCCzzzCCCzzzCzzCzCzzzzCzzCz