《概率论与数理统计》第七章 参数估计

1、第第7 7章章 参数估计参数估计7.2 7.2 极大似然估计极大似然估计7.1 7.1 点估计点估计7.3 7.3 估计量的优良性准则估计量的优良性准则7.4 7.4 正态总体的区间估计（一）正态总体的区间估计（一）7.5 7.5 正太总体的区间估计（二）正太总体的区间估计（二）总体分布的总体分布的参数未知参数未知用样本去估计用样本去估计参数参数估计估计例如例如 某市在职职工的年收入的对数某市在职职工的年收入的对数),(2NX但参数但参数 未知未知2,用样本去估计用样本去估计例如例如 某市一个月内发生交通事故的人数某市一个月内发生交通事故的人数( )YP但参数但参数 未知未知用样本去估计用样本

2、去估计参数估计分为两大类：点估计和区间估计。参数估计分为两大类：点估计和区间估计。参数估计参数估计点估计点估计矩估计矩估计区间估计区间估计极大似然估计极大似然估计第第7 7章章 参数估计参数估计7.1 7.1 矩估计矩估计注意问的问题：注意问的问题：1.矩估计量（大写）矩估计量（大写）2.矩估计值（小写）矩估计值（小写）离散型离散型连续型连续型样本均值样本均值样本二阶中心矩样本二阶中心矩7.2 7.2 极大似然估计极大似然估计第第7 7章章 参数估计参数估计7.27.2 极大似然估计极大似然估计方法思想极大似然估计方法思想 离散型（一个未知参数）离散型（一个未知参数）7.27.2 极大似然估计

3、7.27.2 极大似然估计 连续型（一个未知参数）连续型（一个未知参数）为样本观测值为样本观测值7.27.2 极大似然估计一一. .极大似然估计极大似然估计7.27.2 极大似然估计离散型离散型7.27.2 极大似然估计连续型连续型7.27.2 极大似然估计解：似然函数为解：似然函数为其他0)(1),(bxaabbaLin例例 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本的一个样本其它, 0,1)(bxaabxfX求求 的极大似然估计的极大似然估计.ba,不连续不连续7.27.2 极大似然估计似然函数为似然函数为其他0)(1),(bxaabbaLin要使要使 最大最大 ,)(Lnnxx

4、xbxxxa,max,min2121就要就要 最小最小 , 即即 最小最小 最大最大abba 的极大似然估计的极大似然估计ba,nnxxxbxxxa,max,min2121nnXXXbXXXa,max,min21217.27.2 极大似然估计解：似然函数为解：似然函数为niixL11)( 11)( niinx) 10(ix对数似然函数为对数似然函数为niixnL1ln) 1(ln)(ln ni 1例例 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本的一个样本其它, 010,)(1xxxfX 求求 的极大似然估计的极大似然估计. 其中其中 0, 7.27.2 极大似然估计niixndLd1

5、ln)(ln求导并令其为求导并令其为0从中解得从中解得niixn1.ln即为即为 的的MLE . 对数似然函数为对数似然函数为niixnL1ln) 1(ln)(ln 7.27.2 极大似然估计解解：似然函数：似然函数nixmxxmiiippCpL1)1 ()(niiniinxmxxmxmxmppCCC1121)()1 (niiniinxnmxxmxmxmppCCC1121)1 (7.27.2 极大似然估计似然函数似然函数niiniinxnmxxmxmxmppCCCpL1121)1 ()(对数似然函数对数似然函数niiniinxnmxxmxmxmppCCCpL1121)1ln(lnln)(ln)

6、1ln()(lnln1121pxnmpxCCCniiniixmxmxmn11dln( )0d1nniiiixnmxpppp令令7.27.2 极大似然估计0)()1 (niiniixnmpxpniixnmp11niixpxnmm11d ln()0d1nniiiixnmxpppp令 p解得的最大似然估计值,7.27.2 极大似然估计L(p)= f (X1,X2,Xn; p ) 例例 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体 XB(1, p) 的一个样本，的一个样本，求参数求参数p的极大似然估计的极大似然估计.nixxiipp11)1 (解解：似然函数为：似然函数为: niiniixnxpp11)1

7、 (ppXi1107.27.2 极大似然估计)1ln()()ln()(ln11pxnpxpLniinii对数似然函数为：对数似然函数为：niiniixnxpppL11)1 ()(对对p求导并令其为求导并令其为0，)(111)(ln11niiniixnpxpdppLd得得xxnpnii11即为即为 p 的的MLE .7.27.2 极大似然估计7.3 7.3 估计量的优良性准则估计量的优良性准则第第7 7章章 参数估计参数估计7.3 估计量的优良性准则问题：问题：同一个参数可以有不同的估计方法，哪种估同一个参数可以有不同的估计方法，哪种估计较好？评判标准是什么？计较好？评判标准是什么？ 1无偏性无

8、偏性一一. 估计量的评选标准估计量的评选标准7.3 估计量的优良性准则7.3 估计量的优良性准则7.3 估计量的优良性准则7.3 估计量的优良性准则 作业：150页7.2 7.6 第第7 7章章 参数估计参数估计7.4 7.4 正态总体的区间估计（一）正态总体的区间估计（一）7.4 正态总体的区间估计（一）正态总体的区间估计（一）7.4 正态总体的区间估计（一）正态总体的区间估计（一）置信系数（置信水平） 置信区间12, 7.4 正态总体的区间估计（一）正态总体的区间估计（一）一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.7.4 正态总体的区间估计（一）正态总体的区间估计（一）二二. . 一个一个

9、正态总体正态总体置信区间置信区间7.4 正态总体的区间估计（一）正态总体的区间估计（一）Ox( ) x2z222-z7.4 正态总体的区间估计（一）正态总体的区间估计（一） 例 某工厂生产的零件长度XN(,0.04),现从该产品随机抽取6个，其长度的测量值如下（毫米）：14.6 ，15.1， 14.9， 14.8， 15.2， 15.1 试求该零件长度的置信水平为0.95的置信区间。解解04. 0,96. 1, 6,05. 02025. 02/ZZn95.14X16. 096. 1604. 02/Zn22,XzXznn.11.15,79.147.4 正态总体的区间估计（一）正态总体的区间估计（

10、一）7.4 正态总体的区间估计（一）正态总体的区间估计（一）2(1 )tn2( )h ttO22(1)tn7.4 正态总体的区间估计（一）正态总体的区间估计（一）解解2622. 2)9() 1(,10,05. 0025. 02/tntn21 .SXtnn193. 0,92.14sX均值置信水平为均值置信水平为0.95的置信区间的置信区间0.19314.922.262 21014.782, 5.0581即即7.4 正态总体的区间估计（一）正态总体的区间估计（一）O21-2(1)n227.4 正态总体的区间估计（一）正态总体的区间估计（一）7.4 正态总体的区间估计（一）正态总体的区间估计（一）7

11、.4 正态总体的区间估计（一）正态总体的区间估计（一）7.4 正态总体的区间估计（一）正态总体的区间估计（一）2222212(1)(1)(1)(1)nSnSnn，7.4 正态总体的区间估计（一）正态总体的区间估计（一） 作业：150页 7.9第第7 7章章 参数估计参数估计7.5 7.5 正态总体的区间估计（二）正态总体的区间估计（二）7.5 正态总体的区间估计（二）正态总体的区间估计（二）7.5 正态总体的区间估计（二）正态总体的区间估计（二）7.5 正态总体的区间估计（二）正态总体的区间估计（二）7.5 正态总体的区间估计（二）正态总体的区间估计（二）7.5 正态总体的区间估计（二）正态总体的区间估计（二）7.5 正态总体的区间估计（二）正态总体的