任务十六 梁的强度计算

1、模块二模块二 材料力学材料力学 梁弯曲时横截面上正应力、剪应力的计算梁弯曲时横截面上正应力、剪应力的计算 正应力强度计算；正应力强度计算；剪应力强度的计算剪应力强度的计算 教学教学 内内 容容1、 梁弯曲时横截面上的正应力梁弯曲时横截面上的正应力2、 梁的正应力强度计算梁的正应力强度计算3、 提高梁抗弯强度的途径提高梁抗弯强度的途径4、 梁的剪应力和剪应力的强度计算梁的剪应力和剪应力的强度计算 图图1(a)所示所示的简支梁，荷载与支座反力都作用在梁的纵向对称平面内，其剪的简支梁，荷载与支座反力都作用在梁的纵向对称平面内，其剪力图和弯矩图力图和弯矩图如图如图1(b)、(c)所示所示。由图可知，在

2、梁的由图可知，在梁的AC、DB两段内，各横截面上既有剪力又有弯矩，这种弯两段内，各横截面上既有剪力又有弯矩，这种弯曲称为曲称为剪切弯曲剪切弯曲(或横力弯曲或横力弯曲)。在梁的在梁的CD段内，各横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为段内，各横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲纯弯曲。 一、梁弯曲时横截面上的正应力一、梁弯曲时横截面上的正应力图图1 取一矩形截面等直梁，先在其表面画两条与轴线垂直的横线取一矩形截面等直梁，先在其表面画两条与轴线垂直的横线-和和-，以及两条与轴线平行的纵线以及两条与轴线平行的纵线ab和和cd(图图2(a)。然后在梁的两端各施加一个力偶。然后在梁的两端各施加一个

3、力偶矩为矩为M的外力偶，使梁发生纯弯曲变形的外力偶，使梁发生纯弯曲变形(图图2(b)。可以观察到如下现象：可以观察到如下现象：（1） 梁变形后，横线梁变形后，横线-和和-仍为直线，并与变形后梁的轴线垂直，仍为直线，并与变形后梁的轴线垂直，但倾斜了一个角度。但倾斜了一个角度。（2） 纵向线变成了曲线，靠近顶面的纵向线变成了曲线，靠近顶面的ab缩短了，靠近底面的缩短了，靠近底面的cd伸长了。伸长了。图图2 一、梁弯曲时横截面上的正应力一、梁弯曲时横截面上的正应力根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的变形，根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的变形，作出如下的作出如下的两点假设：两点

4、假设：(1) 平面假设平面假设假设梁的横截面变形后仍保持为平面，只是绕横截面内某轴转了一个角假设梁的横截面变形后仍保持为平面，只是绕横截面内某轴转了一个角度，偏转后仍垂直于变形后的梁的轴线。度，偏转后仍垂直于变形后的梁的轴线。(2) 单向受力假设单向受力假设将梁看成是由无数纵向纤维组成，假设所有纵向纤维只受到轴向拉伸或将梁看成是由无数纵向纤维组成，假设所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，互相之间无挤压。压缩，互相之间无挤压。一、梁弯曲时横截面上的正应力一、梁弯曲时横截面上的正应力 1、 横截面上正应力计算公式横截面上正应力计算公式ZIyM 1、 横截面上正应力计算公式横截面上正应力计算公式n 根

5、据变形的几何关系根据变形的几何关系，物理关系，静力关系物理关系，静力关系可得横可得横截面正应力计算公式截面正应力计算公式图图3 图图4 2、横截面上的最大正应力、横截面上的最大正应力maxmaxM yIZ图图3 图图4 一、梁弯曲时横截面上的正应力一、梁弯曲时横截面上的正应力【例例1】一悬臂梁的截面为矩形，自由端受集中力一悬臂梁的截面为矩形，自由端受集中力P作用作用(图图5(a)。已。已知知P=4kN，h=60mm，b=40mm，l=250mm。求固定端截面上。求固定端截面上a点的点的正应力及固定端截面上的最大正应力。正应力及固定端截面上的最大正应力。【解解】(1) 计算固定端截面上的弯矩计算

6、固定端截面上的弯矩MM=Pl=4250kNmm=1000kNmm(2) 计算固定端截面上计算固定端截面上a点的正应力点的正应力Iz=bh3/12=40603/12mm4=72104mm4a=M/Izya=13.9MPa一、梁弯曲时横截面上的正应力一、梁弯曲时横截面上的正应力2、横截面上的最大正应力、横截面上的最大正应力(3) 计算固定端截面上的最大正应力计算固定端截面上的最大正应力固定端截面的最大正应力发生在该截面的上、下边缘处。由梁固定端截面的最大正应力发生在该截面的上、下边缘处。由梁的变形情况可以看出，上边缘产生最大拉应力，下边缘产生最大压的变形情况可以看出，上边缘产生最大拉应力，下边缘产

7、生最大压应力，其应力分布应力，其应力分布如图如图5(b)所示所示。最大正应力值为。最大正应力值为max=M/Izymax=41.7MPa图图5 一、梁弯曲时横截面上的正应力一、梁弯曲时横截面上的正应力2、横截面上的最大正应力、横截面上的最大正应力【例例2】简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载q作用，作用，如图如图6(a)所示所示。已知。已知q=3.5kN/m，梁的跨度梁的跨度l=1m，该梁由，该梁由10号槽钢平置制成。试计算梁的最大拉应力号槽钢平置制成。试计算梁的最大拉应力lmax和最大压应力和最大压应力ymax以及它们发生的位置。以及它们发生的位置。【解解】(1) 求支座反力求支座反力由对称性有

8、由对称性有RA=RB=ql/2=5.25kN (2) 作出弯矩图作出弯矩图，如图如图6(b)所示所示。最大弯矩发生在跨中截面，其。最大弯矩发生在跨中截面，其值为值为Mmax=ql2/8=0.44kNm2、横截面上的最大正应力、横截面上的最大正应力一、梁弯曲时横截面上的正应力一、梁弯曲时横截面上的正应力(3) 由型钢表查得由型钢表查得10号槽钢截面号槽钢截面Iz=25.6cm4=25.6104mm4y1=1.52cm=15.2mmy2=3.28cm=32.8mm(4) 计算正应力计算正应力最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处lmax=Mmax/Izyz=56.05

9、MPa最大压应力发生在跨中截面的上边缘处最大压应力发生在跨中截面的上边缘处ymax=Mmax/Izy1=25.98MPa一、梁弯曲时横截面上的正应力一、梁弯曲时横截面上的正应力2、横截面上的最大正应力、横截面上的最大正应力图图6 一、梁弯曲时横截面上的正应力一、梁弯曲时横截面上的正应力2、横截面上的最大正应力、横截面上的最大正应力在进行梁的强度计算时，必须算出梁的最大正应力值。对于等在进行梁的强度计算时，必须算出梁的最大正应力值。对于等直梁，弯曲时的最大正应力一定在弯矩最大的截面的上、下边缘。直梁，弯曲时的最大正应力一定在弯矩最大的截面的上、下边缘。该截面称为该截面称为危险截面危险截面，其上、

10、下边缘的点称为，其上、下边缘的点称为危险点危险点。(1) 对于中性轴是截面对称轴的梁对于中性轴是截面对称轴的梁 最大正应力的值为最大正应力的值为 max=Mmax/Wz式中式中Wz称为称为抗弯截面系数抗弯截面系数 2、横截面上的最大正应力、横截面上的最大正应力(2) 对于中性轴不是截面对称轴的梁对于中性轴不是截面对称轴的梁例如图例如图10.10所示的所示的T形截面梁，在正弯矩形截面梁，在正弯矩M作用下，梁下边缘处产生最作用下，梁下边缘处产生最大拉应力，上边缘处产生最大压应力，其值分别为大拉应力，上边缘处产生最大压应力，其值分别为lmax=M/Izy1ymax=M/Izy2令令Wl=Iz/y1，

11、Wy=Iz/y2则则lmax=M/Wl，ymax=M/Wy图图7 2、横截面上的最大正应力、横截面上的最大正应力(1) 当材料的抗拉和抗压能力相同时当材料的抗拉和抗压能力相同时梁的正应力强度条件为梁的正应力强度条件为maxmax MWZ 强度校核强度校核在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸，以及所受荷载的在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸，以及所受荷载的情况下，可以检查梁是否满足正应力强度条件。情况下，可以检查梁是否满足正应力强度条件。maxmax MWZ3、正应力强度条件、正应力强度条件 截面设计截面设计当已知荷载和梁的材料时，可根据强度条件，计算所需的当已知荷载和梁的材料时，可根据强度条件，

12、计算所需的抗弯截面系数抗弯截面系数 maxMWz 确定许可荷载确定许可荷载如已知梁的材料和截面尺寸，先根据强度条件，计算出梁所能承受的最如已知梁的材料和截面尺寸，先根据强度条件，计算出梁所能承受的最大弯矩大弯矩MmaxWz3、正应力强度条件、正应力强度条件一般情况下，梁的设计是以正应力强度条件为依据。由等直梁的正应力一般情况下，梁的设计是以正应力强度条件为依据。由等直梁的正应力强度条件强度条件max=Mmax/Wz可以看出，梁横截面上最大正应力与最大弯矩成正比，与抗弯截面系数可以看出，梁横截面上最大正应力与最大弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。所以提高梁的弯曲强度主要从成反比。所以提高梁的弯曲

13、强度主要从降低最大弯矩值降低最大弯矩值和和增大抗弯截面系数增大抗弯截面系数这两方面进行。这两方面进行。 (1) 合理布置梁的支座合理布置梁的支座以简支梁受均布荷载作用为例以简支梁受均布荷载作用为例(图图 (a)，跨中最大弯矩，跨中最大弯矩Mmax=1/8ql2，若将两端的支座各向中间移动若将两端的支座各向中间移动0.2l(图图8(b)，最大弯矩将减小为，最大弯矩将减小为Mmax=ql2/40，仅为前者的，仅为前者的1/5。因而在同样荷载作用下，梁的截面可减。因而在同样荷载作用下，梁的截面可减小，这样就大大节省材料，并减轻自重。小，这样就大大节省材料，并减轻自重。二、提高梁抗弯强度的途径二、提高

14、梁抗弯强度的途径图图8 二、提高梁抗弯强度的途径二、提高梁抗弯强度的途径(2) 改善荷载的布置情况改善荷载的布置情况若结构上允许把集中荷载分散布置，可以降低梁的最大弯矩值。若结构上允许把集中荷载分散布置，可以降低梁的最大弯矩值。例如简支梁在跨中受一集中力例如简支梁在跨中受一集中力P作用作用(图图9(a)，其，其Mmax=1/4Pl。若。若在在AB梁上安置一根短梁梁上安置一根短梁CD(图图9(b)，最大弯矩将减小为，最大弯矩将减小为Mmax=1/8Pl，仅为前者的仅为前者的1/2。又如将集中力。又如将集中力P分散为均布荷载分散为均布荷载q=P/l(图图9(c)，其最大，其最大弯矩减小为弯矩减小为

15、Mmax=1/8ql2=1/8Pl，只有原来的，只有原来的1/2。二、提高梁抗弯强度的途径二、提高梁抗弯强度的途径图图9 二、提高梁抗弯强度的途径二、提高梁抗弯强度的途径(3) 合理布置荷载作用位置合理布置荷载作用位置将荷载布置在靠近支座处比布置在跨中时，最大弯矩值要小得多。将荷载布置在靠近支座处比布置在跨中时，最大弯矩值要小得多。例如承受集中力例如承受集中力P作用的简支梁，荷载作用在梁中点时作用的简支梁，荷载作用在梁中点时(图图10(a)，最大，最大弯矩弯矩Mmax=1/4Pl，若荷载靠近支座作用，若荷载靠近支座作用(图图10(b)，则最大弯矩，则最大弯矩Mmax=5/36Pl，减小近一半，

16、且随着荷载离支座距离的缩小而继续减，减小近一半，且随着荷载离支座距离的缩小而继续减小。小。二、提高梁抗弯强度的途径二、提高梁抗弯强度的途径图图10 二、提高梁抗弯强度的途径二、提高梁抗弯强度的途径(4) 适当增加梁的支座适当增加梁的支座由于梁的最大弯矩与梁的跨度有关，增加支座可以减小梁的跨度，由于梁的最大弯矩与梁的跨度有关，增加支座可以减小梁的跨度，从而降低最大弯矩值。从而降低最大弯矩值。例如均布荷载作用的简支梁，在梁中间增加一个支座例如均布荷载作用的简支梁，在梁中间增加一个支座(图图11)，则则Mmax=1/32ql2，只是原梁的，只是原梁的1/4。 二、提高梁抗弯强度的途径二、提高梁抗弯强

17、度的途径图图11 二、提高梁抗弯强度的途径二、提高梁抗弯强度的途径(1) 选择抗弯截面系数选择抗弯截面系数Wz与截面面积与截面面积A比值高的截面比值高的截面梁所能承受的弯矩与抗弯截面系数梁所能承受的弯矩与抗弯截面系数Wz成正比，成正比，Wz不仅与截面的不仅与截面的尺寸有关，还与截面的形状有关。梁的横截面面积愈大，尺寸有关，还与截面的形状有关。梁的横截面面积愈大，Wz也愈大，也愈大，但消耗的材料也多。所以梁的合理截面应该是用最小的面积得到最大但消耗的材料也多。所以梁的合理截面应该是用最小的面积得到最大的抗弯截面系数。的抗弯截面系数。表表10.1列出几种常用截面形状列出几种常用截面形状Wz/A的比

18、值。从表中可看出，圆形的比值。从表中可看出，圆形截面的比值最小，矩形截面次之，工字钢及槽钢较好。截面的比值最小，矩形截面次之，工字钢及槽钢较好。 二、提高梁抗弯强度的途径二、提高梁抗弯强度的途径(2) 根据材料的特性选择截面根据材料的特性选择截面由正应力强度条件由正应力强度条件lmax=Mmax/Wl=Mmax/Iy1lymax=Mmax/Wy=Mmax/I2y可知，当截面的最大拉应力与压应力同时达到其许用值时，可知，当截面的最大拉应力与压应力同时达到其许用值时，材料才能得到充分利用，材料才能得到充分利用，故同时满足以上两式的截面形状才是合理的。由以上两式故同时满足以上两式的截面形状才是合理的

19、。由以上两式取等号相比得取等号相比得l/y=y1/y2二、提高梁抗弯强度的途径二、提高梁抗弯强度的途径对于抗拉和抗压强度相等的塑性材料对于抗拉和抗压强度相等的塑性材料，由于，由于l=y，则，则要求要求y1=y2，应采用对称于中性轴的截面，如矩形、圆形、工字形等，应采用对称于中性轴的截面，如矩形、圆形、工字形等截面。截面。对于抗拉和抗压强度不相等的脆性材料，对于抗拉和抗压强度不相等的脆性材料，由于由于ly，则要求则要求y1y2，应采用不对称于中性轴的截面，如，应采用不对称于中性轴的截面，如T形、槽形等截面。形、槽形等截面。还应注意脆性材料的还应注意脆性材料的y往往比往往比l大得多，因此受压边缘离

20、中大得多，因此受压边缘离中性轴的距离性轴的距离y2应较大。应较大。二、提高梁抗弯强度的途径二、提高梁抗弯强度的途径等截面梁的截面尺寸是由最大弯矩等截面梁的截面尺寸是由最大弯矩Mmax确定的，其他截面由于确定的，其他截面由于弯矩小，最大应力都未达到许用应力值，材料未得到充分利用。为了弯矩小，最大应力都未达到许用应力值，材料未得到充分利用。为了充分发挥材料的潜力，在弯矩较大处采用较大截面，而在弯矩较小处充分发挥材料的潜力，在弯矩较大处采用较大截面，而在弯矩较小处采用较小截面。这种横截面沿梁轴线变化的梁称为采用较小截面。这种横截面沿梁轴线变化的梁称为变截面梁变截面梁。若变截。若变截面梁各横截面上的最

21、大正应力都恰好等于材料的许用应力，称为面梁各横截面上的最大正应力都恰好等于材料的许用应力，称为等强等强度梁度梁。等强度梁的等强度梁的Wz(x)沿梁轴线变化的规律为沿梁轴线变化的规律为Wz(x)=M(x)/ 二、提高梁抗弯强度的途径二、提高梁抗弯强度的途径从强度观点看，等强度梁是最理想的，但因截面变化，这种梁的施工较从强度观点看，等强度梁是最理想的，但因截面变化，这种梁的施工较困难。因此在工程上常采用形状简单的变截面梁，来代替理论上的等强度梁。困难。因此在工程上常采用形状简单的变截面梁，来代替理论上的等强度梁。例如例如，在房屋建筑中的阳台及雨篷挑梁，如图，在房屋建筑中的阳台及雨篷挑梁，如图10.

22、18所示，梁的截面高度所示，梁的截面高度是变化的，自由端较小，固定端较大。是变化的，自由端较小，固定端较大。图图12 二、提高梁抗弯强度的途径二、提高梁抗弯强度的途径(1) 矩形截面梁的剪应力矩形截面梁的剪应力矩形截面梁横截面上各点处的剪应力方向都与剪力矩形截面梁横截面上各点处的剪应力方向都与剪力Q的方向一致，的方向一致，距中性轴距中性轴z距离为距离为y的任意一点处的剪应力的任意一点处的剪应力=QSz/(Izb)剪应力沿截面宽度方向均匀分布，沿截面高度方向按抛物线规律剪应力沿截面宽度方向均匀分布，沿截面高度方向按抛物线规律分布，分布，如图如图13(b)、(c)所示所示。在中性轴处剪应力最大，其

23、值为。在中性轴处剪应力最大，其值为max=3Q/2A三、梁横截面上的剪应力三、梁横截面上的剪应力2、梁横截面上的剪应力公式、梁横截面上的剪应力公式图图13 三、梁横截面上的剪应力三、梁横截面上的剪应力2、梁横截面上的剪应力公式、梁横截面上的剪应力公式(2) 工字形截面梁的剪应力工字形截面梁的剪应力工字形截面由腹板和翼缘组成。腹板是一个狭长的矩形，其剪应力可按工字形截面由腹板和翼缘组成。腹板是一个狭长的矩形，其剪应力可按矩形截面的剪应力公式计算，距中性轴距离为矩形截面的剪应力公式计算，距中性轴距离为y处的剪应力处的剪应力max=QSz/（Izd）剪应力沿腹板高度按抛物线规律分布，最大剪应力产生在中性轴处，剪应力沿腹板高度按抛