自动控制原理第八章PPT)

1、l本章授课本章授课主线主线：1 预备知识预备知识：模型离散化（采样，保持）；：模型离散化（采样，保持）； 数学工具（数学工具（Z变换）；变换）；2 模型模型：三种描述方式（差分方程，脉冲传：三种描述方式（差分方程，脉冲传 递函数，差分状态方程）及其相互递函数，差分状态方程）及其相互 转化转化3 分析分析：时域响应分析；稳定性分析（劳斯，：时域响应分析；稳定性分析（劳斯， 奈式判据）；稳态误差分析奈式判据）；稳态误差分析4 综合综合：数字控制器的设计（最小拍设计）：数字控制器的设计（最小拍设计）l章节目录章节目录1概述概述2采样与保持采样与保持3Z变换变换4脉冲传递函数脉冲传递函数5采样系统的数

2、学描述与求解采样系统的数学描述与求解6采样系统的时域响应分析采样系统的时域响应分析7采样系统的稳定性分析及稳态偏差采样系统的稳定性分析及稳态偏差8数字控制器的设计数字控制器的设计控制系统通常分成两大类控制系统通常分成两大类 ：l连续时间控制系统连续时间控制系统 ：各处的信号是时间的连续：各处的信号是时间的连续函数函数 ，则称该类系统为连续时间控制系统。，则称该类系统为连续时间控制系统。l离散时间控制系统离散时间控制系统 ：有一处或数处信号不是时：有一处或数处信号不是时间的连续函数，间的连续函数， 而是在时间上离散的一系列脉而是在时间上离散的一系列脉冲序列或数字信号，称这类系统为离散时间控冲序列

3、或数字信号，称这类系统为离散时间控制系统或采样控制系统。制系统或采样控制系统。 1 控制工程中普遍存在离散时间系统控制工程中普遍存在离散时间系统2 计算机的高速发展和数字控制的广泛应用计算机的高速发展和数字控制的广泛应用学习本章重要意义：学习本章重要意义：离散信号采样信号数字信号离散信号采样信号数字信号 时间整量化时间整量化 时间和幅值同时整量化时间和幅值同时整量化离散、采样、数字控制的差别离散、采样、数字控制的差别连续整量化信号与数字信号)(tu0k1kt连续模拟信号与采样信连续模拟信号与采样信号号0t)(tul连续系统和离散系统分析方法的比较连续系统和离散系统分析方法的比较连续系统分析连续

4、系统分析 （L变换）变换） 微分方程微分方程 传递函数，频域分析（经典）传递函数，频域分析（经典） 状态方程：求运动解，通过系统矩阵分析（现代）状态方程：求运动解，通过系统矩阵分析（现代）离散系统分析类似离散系统分析类似 （z变换）变换） 差分方程差分方程 脉冲传数，频域分析（经典）脉冲传数，频域分析（经典） 差分状态方程：状态空间方法（现代）差分状态方程：状态空间方法（现代）图6.1 图图8-1计算机控制系统原理图计算机控制系统原理图 连续系统的时间离散化就是在一定的采样和连续系统的时间离散化就是在一定的采样和保持方式下，由系统的连续描述来导出对应保持方式下，由系统的连续描述来导出对应的离散

5、描述，并建立二者之间的关系。的离散描述，并建立二者之间的关系。为了使离散化后的描述具有简单的形式，并为了使离散化后的描述具有简单的形式，并且可以复原为原来的连续系统，对采样和保且可以复原为原来的连续系统，对采样和保持方式提出以下要求：持方式提出以下要求：采样：采样周期满足申农采样定理采样：采样周期满足申农采样定理保持：通常采用零阶保持器保持：通常采用零阶保持器把连续信号变为脉冲序列或数字序列的装置称为采样器。把连续信号变为脉冲序列或数字序列的装置称为采样器。T为采样周期，为采样周期，r为采样时间，为采样时间，采样频率采样频率采样周期采样周期采样瞬时采样瞬时采样时间采样时间 sradTs/2T

6、consttkTk Ttx t ( )rtxtp*( )tp t ( ) Te(t) e*(t)实际采样中，由于采样开关闭合时间极短，远远小实际采样中，由于采样开关闭合时间极短，远远小于采样周期，而且控制对象又有低通滤波特性，所于采样周期，而且控制对象又有低通滤波特性，所以可以理想化。为了利于数学分析，可以用一个瞬以可以理想化。为了利于数学分析，可以用一个瞬时接通的理想采样开关来近似实际的采样开关，就时接通的理想采样开关来近似实际的采样开关，就可以把脉冲信号可以把脉冲信号e 演变为脉冲序列信号演变为脉冲序列信号e*)(tT调制器调制器)(*tet000tt)(te)(te)(*te图图8.3

7、8.3 理想采样器的调制过程理想采样器的调制过程l采样过程看成是信号采样过程看成是信号e(t)e(t)被脉冲链被脉冲链 调调制的过程制的过程, ,在经典的采样理论中要考虑脉在经典的采样理论中要考虑脉冲的宽度和能量冲的宽度和能量l如果定义单位脉冲函数为如果定义单位脉冲函数为且且以及单位理想脉冲序列以及单位理想脉冲序列 )(tT0 00 )(ttt1)( dtt0)()(kTkTtt那么，从数学上讲采样信号那么，从数学上讲采样信号e*(t)可以看作是连可以看作是连续信号续信号e(t)和脉冲信号和脉冲信号 的乘积的乘积其中其中 仅仅表示脉冲发生的时刻，而脉仅仅表示脉冲发生的时刻，而脉冲的大小完全由连

8、续信号冲的大小完全由连续信号e(t)在采样时刻在采样时刻kT时的函数值时的函数值e(kT)来决定。来决定。)(tT00)()()()()(kkkTtkTekTttete)(kTt 函数的一个重要特性就是筛选性：函数的一个重要特性就是筛选性：( ) t00( ) ()d( )e tttte t信号经过脉冲序列调制后只有在脉冲出现的时刻才有意义信号经过脉冲序列调制后只有在脉冲出现的时刻才有意义 对采样信号的拉氏变换：对采样信号的拉氏变换：0*( )L *( )L() ()nESete nTtnT根据拉氏变换的位移定理：根据拉氏变换的位移定理：0L ()e( )edenTsstnTstnTtt可见，

9、只要已知连续信号可见，只要已知连续信号 采样后的采样函数采样后的采样函数 的值，即可求出的值，即可求出 的拉氏变换的拉氏变换 ( )e t*( )et()e nT*( )E s0*( )()enTsnESe nT解：因为：解：因为：则：则： 例例8-1 8-1 设采样器的输入信号为设采样器的输入信号为( )1( )e tt试求采样器输出信号试求采样器输出信号的拉氏变换。的拉氏变换。 *( )et( )1( )e tt()1()1(0,1,2,3.)e nTnTn由采样信号的拉式变换可得：由采样信号的拉式变换可得： 200*( )()ee1 eenTsnTsTsTsnnEse nT 由等比级数的

10、求和公式可得：由等比级数的求和公式可得：*1e( )(e1)1 ee1TsTsTsTsEs在设计采样系统中，在设计采样系统中，一个重要的参数就是采样周期一个重要的参数就是采样周期T，T过大，复现原信号时将失真，过大，复现原信号时将失真，T过小，增加计算量，过小，增加计算量，具体具体T的选择可以通过连续信号和采样信号频谱之的选择可以通过连续信号和采样信号频谱之间的关系确定。间的关系确定。采样定理：采样定理：采样后的离散信号能恢复为原连续信号的采样后的离散信号能恢复为原连续信号的条件是采样频率要高于或等于连续信号频谱中最高条件是采样频率要高于或等于连续信号频谱中最高频率的两倍。频率的两倍。max2

11、s 图图8-4 8-4 理想的采样过程理想的采样过程 研究采样信号的特性，需讨论其频谱展开。研究采样信号的特性，需讨论其频谱展开。 根据傅氏级数展开，周期性的理想单位脉冲序列可根据傅氏级数展开，周期性的理想单位脉冲序列可以展开为：以展开为：j0( )()esntTnnnttnTC式中：式中： 为采样周期，为采样周期，为采样角频率；为采样角频率；Ts2TntjnseT1采样信号采样信号e e* *(t)(t)可以写成：可以写成： j1*( )( )( )() ()( )esntTnnete tte nTtnTe tT拉氏变换：拉氏变换：1*( )(j)snEsE snT采样信号频谱与连续信号频谱

12、的关系采样信号频谱与连续信号频谱的关系1*(j )(jj)snEE nT图图8-5 8-5 连续信号与离散信号的频谱连续信号与离散信号的频谱| )(|jemaxmax| )(*|jemax2s2s23s23s2s025s25s| )(|*jemax2s23s2s2s23s1T/ 1maxmaxl连续信号经采样后，频谱中出现了无穷多个附加的高连续信号经采样后，频谱中出现了无穷多个附加的高频频谱分量，会对控制系统的元件造成过渡磨损。频频谱分量，会对控制系统的元件造成过渡磨损。l一般，连续系统都具有低通滤波器的特性，可以达到一般，连续系统都具有低通滤波器的特性，可以达到衰减高频分量，复现原信号作用衰

13、减高频分量，复现原信号作用l但多数情况下，需另加低通滤波器，以达到更好的复但多数情况下，需另加低通滤波器，以达到更好的复现效果，降低对系统元件的磨损。现效果，降低对系统元件的磨损。如果采用一个理想的低通滤如果采用一个理想的低通滤波器如图波器如图8-68-6所示，可将所示，可将的高频频谱全部滤掉，那么的高频频谱全部滤掉，那么 2smax图图8-6理想滤波器的频率特性理想滤波器的频率特性 图图8-7 8-7 保持器保持器 采样后的信号经过一个理采样后的信号经过一个理想的低通滤波器，从理想想的低通滤波器，从理想的低通滤波器的输出端便的低通滤波器的输出端便可以得到主频频谱，只是可以得到主频频谱，只是幅

14、值变化了幅值变化了1/T1/T倍，频谱倍，频谱形状并没有发生畸变。理形状并没有发生畸变。理想的低通滤波器实际上并想的低通滤波器实际上并不存在，工程上只能用特不存在，工程上只能用特性接近理想低通滤波器的性接近理想低通滤波器的保持器来代替。保持器来代替。 l过程控制中常见的低通滤波器一般为零阶过程控制中常见的低通滤波器一般为零阶保持器保持器l零阶保持器在采样间隔中把前一个采样点零阶保持器在采样间隔中把前一个采样点的数值一直保持到下一个采样点为止。其的数值一直保持到下一个采样点为止。其基本关系为基本关系为 其传递函数为其传递函数为TktkTkTutu) 1(),()(sesGsT1)(0图图8-8

15、8-8 零阶保持器零阶保持器零阶保持器)(tu)(tu1kkt零阶保持器)(tu)(tu0k1kt0l零阶保持器的频率特性分析：零阶保持器的频率特性分析：频率特性函数为频率特性函数为幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：2022sin1)(TjTjeTTTjejG 22sin)A(TTT)2sin()2sin(2)(TTTs)(A0s2s3sTs3245)(图8-9 零阶保持器的频率特性零阶保持器具有如下特性：零阶保持器具有如下特性： 低通特性低通特性 相角滞后特性相角滞后特性 时间滞后特性时间滞后特性 零阶保持器使主频信号零阶保持器使主频信号的幅值提高了的幅值提高了T T倍，刚倍，刚 好好

16、能补偿连续信号经过采样能补偿连续信号经过采样后使得主频谱的幅值衰减后使得主频谱的幅值衰减的的1/T1/T倍。倍。 18lZ变换的思想来源于连续系统变换的思想来源于连续系统线性连续系统线性连续系统 :用线性微分方程或传递函数描述，用拉氏变换的用线性微分方程或传递函数描述，用拉氏变换的方法来分析其动态和稳态过程。方法来分析其动态和稳态过程。线性采样系统线性采样系统 :用线性差分方程描述，用用线性差分方程描述，用Z变换的方法分析系统变换的方法分析系统的性能的性能 。 lZ变换在采样系统中的作用与变换在采样系统中的作用与L变换在连续系统中的变换在连续系统中的作用等效作用等效lZ变换可以看作是采样函数变

17、换可以看作是采样函数L变换的一种变形变换的一种变形l本节主要内容介绍：本节主要内容介绍：1. 离散信号的离散信号的L变换变换2. 离散信号的离散信号的z变换变换3. z变换的方法变换的方法4. z变换的性质变换的性质5. z反变换反变换l连续信号连续信号e(t)经采样后得到采样函数经采样后得到采样函数e*(t)lL变换公式：变换公式：l将上述采样信号进行将上述采样信号进行L变换可得：变换可得：0)()()(kkTtkTete0)()()(dteteteLsEst 0202*0*00*00*)()2()()0(*)2()2( *)()(*)()0(*)()()()(nnTsTsTsTsTssst

18、kenTeeTeeTeedteTtTedteTtTedtetedtekTtkTeteLsE(1)l引入引入z变量：变量：l那么就可以得到离散信号的那么就可以得到离散信号的z变换变换l上述两个公式均表示为采样信号上述两个公式均表示为采样信号e*(t)的的L变变换，不同之处就在于定义域换，不同之处就在于定义域s和和z；l将将z变换公式和变换公式和L变换公式比较可知，二者变换公式比较可知，二者一致，说明一致，说明z变换在采样系统中的作用等价变换在采样系统中的作用等价与与L变换在连续系统中的作用变换在连续系统中的作用Tsez 0*)()()(nnznTezEtez（2）l注意：注意：E(z)实际上只是

19、采样函数实际上只是采样函数e*(t)的的z变换，变换，而不是连续函数而不是连续函数e(t)的的z变换。变换。l 一对多一对多 一对一一对一连续函数连续函数 采样函数采样函数 z变换函数变换函数 e1(t)e2(t)te(t)2112111)1 ()321 ()()(zaTzzzaTzzakTtfzzFkk1。级数求和法（亦称定义法）。级数求和法（亦称定义法）级数求和法是直接根据级数求和法是直接根据 Z Z变换的定义，将采样函数的变换的定义，将采样函数的z z变换变换写成展开式的形式：写成展开式的形式：例例8-2：给定斜坡函数：给定斜坡函数attf)(nnnznTezTezTeeznTezE)(

20、)2()()0()()(2102。部分分式法（查表法）。部分分式法（查表法） s域域 时域时域 z域域则相应地：则相应地：11zeaeapsaTpitpiiiiiniTpiniTpizeaezzatfZzGii1111)()(,)(1niiipsasG例例8-3： 求传递函数求传递函数 的的z变换。变换。解：部分分式法解：部分分式法)()(bsasabsGbTaTezzezzbsasZbsasabZsGZzG11)()()(例例8-4 8-4 求求 的的 Z Z变换变换 1( )(1)E ss s解：将解：将 展开成部分分式的形式：展开成部分分式的形式： ( )E s11( )1E sss根据

21、阶跃函数和指数函数的根据阶跃函数和指数函数的 Z Z变换，得到：变换，得到： 2(1)(1)( )1(1)()(1)TTTTTTzzzezeE zzzezzezeze1，线性定理线性定理)()()()(2121zbEzaEtbetaeZZ Z变换的线性定理表明：连续信号线性组合的变换的线性定理表明：连续信号线性组合的Z Z变换变换等于单独信号等于单独信号Z Z 变换的线性组合。满足线性变换的变换的线性组合。满足线性变换的齐次性。齐次性。如果连续信号如果连续信号和和的的 Z Z变换分别为：变换分别为：1( )e t2( )e t11 ( )( )Z e tE z22( )( )Z e tEz且且

22、 均为常数，则有：均为常数，则有： , a b3，超前定理超前定理，指整个采样序列在时间轴上向左平移若干指整个采样序列在时间轴上向左平移若干采样周期。采样周期。若初始条件满足若初始条件满足e(0)=e(1)=e(k-1)=0，则超前定理可写作：，则超前定理可写作：2，滞后定理滞后定理，又称负偏移定理。是指整个采样序列在又称负偏移定理。是指整个采样序列在时间轴上向右平移若干采样周期。时间轴上向右平移若干采样周期。 )()(zEzkTteZk设连续函数设连续函数 ，当，当 时，时， ，且：，且： ，那么滞后，那么滞后 个采样周期的函数为：个采样周期的函数为： ， 则其则其 Z Z变换：变换： (

23、)e t0t ( )0e t ( )( )Z e tE zk()e tkT)()()(10knnkznEzEzkTteZ)()(zEzkTteZk195，终值定理终值定理： （只有（只有 时时e(k)收敛情况下才能应用）收敛情况下才能应用）)(lim)0(zEez )()1 (lim)() 1(lim111zEzzEzezzk4，初值定理初值定理：5，复位移定理：，复位移定理：序列加权后的序列加权后的z变换等价于变换等价于z平面尺度平面尺度的缩展的缩展6, 卷积卷积其中卷积定义：其中卷积定义：)()(TtzeEeteZ)()()(*)(2121zEzEteteZtdetetete02121)(

24、)()(*)(knnTenTkTetete021*2*1)()()(*)(四、四、Z Z反变换反变换 与拉氏反变换类似，与拉氏反变换类似，Z Z反换可表示为：反换可表示为： 注意：注意： 1 1、Z Z变换仅仅描述了采样时刻的特性，不包含采变换仅仅描述了采样时刻的特性，不包含采 样时刻之间的信息样时刻之间的信息 1()Z ( )e nTE z2 2、Z Z反变换实质上求出的是反变换实质上求出的是 或或 ，而，而不是连续函数不是连续函数 。 ( )e t*( )et()e nTZ Z反变换有三种方法：幂级数法、部分分式法、留数计算法反变换有三种方法：幂级数法、部分分式法、留数计算法 （1 1）幂

25、级数法，亦称长除法：）幂级数法，亦称长除法： 根据根据 Z Z变换的定义：变换的定义： 10112120( )mmmnnnb zb zbE znmza za za120120( )nnnnnE zcc zc zc zc z应用长除法：应用长除法： 0210)()()2()()()(nnnnTtcnTtcTtcTtctcnTe 用长除法求用长除法求Z Z反变换。反变换。 解：解： 例例8-5 8-5 已知已知 为：为： ( )E z(1)( )(1)()aTaTezE zzze2(1)(1)( )(1)()(1)aTaTaTaTaTezezE zzzezzee用长除法：即分子多项式除以分母多项式

26、：用长除法：即分子多项式除以分母多项式： 221212212231223132(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1(1)(1)(1)(1aTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTzzeeezezeeezeeezeeezeezezeezezeeze1223333(1)(1)(1)aTaTaTaTezezezez 展开式为：展开式为： 其中：其中： 采样函数为：采样函数为： 122330( )0(1 e)(1 e)(1 e)(1 e)aTaTaTnaTnnE zzzzz()(1 e)naTe nT0*( )(1 e

27、) ()naTnettnT长除法适用于简单函数，但难以求闭合解。长除法适用于简单函数，但难以求闭合解。(2)(2)部分分式法部分分式法: : 该方法的基本思想就是已知该方法的基本思想就是已知 ，由于，由于 在分子中都有因子在分子中都有因子 z z，因此将，因此将 进行部分分式展开：进行部分分式展开： 1212( )nnaaaE zzzzz( )E z( )E z上式两边同乘上式两边同乘z z，得到，得到 的部分分式展开的期望形式：的部分分式展开的期望形式： ( )E z( )E zz1212( )nnzazazaE zzzz然后查表，求出采样瞬时相应的脉冲序列表达式：然后查表，求出采样瞬时相应

28、的脉冲序列表达式：1()Z ( )e nTE z对应的采样函数为：对应的采样函数为： 0*( )() ()nete nTtnT 用部分分式法求用部分分式法求 Z Z反变换。反变换。 解：因为：解：因为： 所以：所以： 例例8-6 8-6 已知已知 为：为： ( )E z(1 e)( )(1)(e)aTaTzE zzz( )(1 e)11(1)(e)1eaTaTaTE zzzzzz( )1eaTzzE zzz然后查然后查 变换表得到采样瞬时相应的脉冲序列：变换表得到采样瞬时相应的脉冲序列： z()1 eanTe nT 采样函数为：采样函数为： 0*( )(1 e) ()anTnettnTkzzz

29、zZzXZzzzzzzXzzzzX2121)(,2111)2)(1(1)(,)2)(1()(例例87：离散控制系统中，控制器是离散的，对象是离散控制系统中，控制器是离散的，对象是连续的，因而建立系统数学模型时应首先连续的，因而建立系统数学模型时应首先将连续部分离散化。对输入输出模型，即将连续部分离散化。对输入输出模型，即需要将连续部分传递函数变换为相应的脉需要将连续部分传递函数变换为相应的脉冲传递函数。冲传递函数。l与连续系统的传递函数定义相似与连续系统的传递函数定义相似l定义：定义：线性定常离散控制系统，在零初始线性定常离散控制系统，在零初始条件下，输出序列的条件下，输出序列的z变换与输入序

30、列的变换与输入序列的z变换之比，称为该系统的脉冲传递函数变换之比，称为该系统的脉冲传递函数（或称（或称z传递函数）传递函数）)()(),()()()()(*trZzRtyZzYzRzYzG物理意义物理意义（从系统响应角度讨论）：（从系统响应角度讨论）：传递函数是系统单位脉冲响应的传递函数是系统单位脉冲响应的L变换变换脉冲传递函数是单位脉冲响应序列的脉冲传递函数是单位脉冲响应序列的z变换变换若输入为若输入为r(t), 则经采样后变成一脉冲序列则经采样后变成一脉冲序列r*(t)系统相应的输出也应该是各脉冲响应之和：系统相应的输出也应该是各脉冲响应之和：0)()()2()2()()()()0()(k

31、kTtgkTrTtgTrTtgTrtgrty)2()2()()()()0()()()(0*TtTrTtTrtrkTtkTrtrk注意：输入为脉冲序列，但输出仍为时间的注意：输入为脉冲序列，但输出仍为时间的连续函数，在讨论脉冲传函时，实际上是连续函数，在讨论脉冲传函时，实际上是取输出的脉冲序列，所以可在输出端加虚取输出的脉冲序列，所以可在输出端加虚拟同步采样开关（实际不存在），得到输拟同步采样开关（实际不存在），得到输出序列：出序列：利用利用z变换的卷积定理，可得变换的卷积定理，可得0)()()(kkTnTgkTrnTy)()()(zGzRzY单位脉冲响应序列的z变换l输入输出端采样开关对脉冲传

32、函的影响输入输出端采样开关对脉冲传函的影响1。输出端有无采样开关对系统脉冲传函没。输出端有无采样开关对系统脉冲传函没有影响，因为二者都能够反应有影响，因为二者都能够反应Y(z)在各采在各采样点的数值，如果没有开关，可以自己添样点的数值，如果没有开关，可以自己添加虚拟同步开关加虚拟同步开关2。输入端有无采样开关影响到脉冲传递函。输入端有无采样开关影响到脉冲传递函数的存在，如果没有采样开关，数的存在，如果没有采样开关，因为输入不是脉冲序列，所以只能得到输出因为输入不是脉冲序列，所以只能得到输出的脉冲序列的脉冲序列Y(z)，而得不到脉冲传递函数，而得不到脉冲传递函数)()()()(zGRsRsGZz

33、Y1。利用定义：。利用定义：2。利用单位脉冲响应序列的。利用单位脉冲响应序列的z变换变换3。利用传递函数。利用传递函数)()()(zRzYzG)()(*tgZzG)()(sGZzG脉冲传函与系统结构、采样周期有关20例例8-8 8-8 已知如图所示开环系统已知如图所示开环系统1( )(1)G ss s求：相应的脉冲传递函数。求：相应的脉冲传递函数。 方法一：方法一：先求系统单位脉冲响应：先求系统单位脉冲响应：111111( ) ( )1 e(1)1tg tLG sLLs sss 单位脉冲响应序列为：单位脉冲响应序列为：图图8-10 8-10 开环采样系统开环采样系统 由由 变换的定义求出脉冲传

34、递函数：变换的定义求出脉冲传递函数： Z0000( )()(1)1(1)1(1)()nnTnnnTnnnnnTTTG zg nT zezzezzzzezzezze00*)()1 ()()()(nnTnnTtenTtnTgtg 方法二：用查表法：将方法二：用查表法：将 ( )G s展开成部分分式：展开成部分分式： 111( )(1)1G ss sss查查 变换表得到：变换表得到： Z(1)( )1(1)()TTTzzzeG zzzezzel注意零阶保持器的使用：注意零阶保持器的使用：工程实现上均含有，工程实现上均含有，但在学习过程中要根据题意判断有无但在学习过程中要根据题意判断有无)()1 ()

35、(1 )()()(1)(1ssGZzssGZeZsXZzXsGsesXTsTs分子中含有（分子中含有（1eTs）因子的）因子的z变换变换例如在连续传递函数例如在连续传递函数G(s)之前加入零阶保之前加入零阶保持器，即：持器，即：求脉冲传递函数求脉冲传递函数seTs1) 1(1ss25. 0125. 0) 1(5 . 0)1 ()()225. 025. 05 . 0)(1 ()2(1)(22122TTsTsezzzzzzzzGsssessesG例：给定差分方程例：给定差分方程y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=2u(k+1)+u(k), 且初值全为零，求给定系统的脉冲传递函数且初值全为零，

36、求给定系统的脉冲传递函数解：解： 将上式将上式Z变换得变换得 )() 1 ()0()()2(222zYzzyyzzYzkyZ)()0()()1(zzYzyzzYkyZ2312)()()()()(2)(2)(3)(22zzzzUzYzGzUzzUzYzzYzYz 采样系统在开环状态下，通常可以归结为采样系统在开环状态下，通常可以归结为两种两种典型形式典型形式，主要取决于采样开关位置的不同，主要取决于采样开关位置的不同)()()(*sYsRsR)()()()(1*sYsRsRsR采样开关数目和位置不同，对应开环脉冲传函也不同采样开关数目和位置不同，对应开环脉冲传函也不同则则*21*)( )( )(

37、)(sRsGsGsY)()()()()(*)()()()()()()(2121*21*zGzGzGGsRZsRZsGsGZsRZsYZzRzYzG串联环节间无同步采样开关串联环节间无同步采样开关图图8-11两环节串联之间无采样开关两环节串联之间无采样开关 则则)()()(),()()(*12*11sRsGsYsRsGsR)()()()()()()()()()()()()(*2*1*1*2*12*1*1*1sRsGsGsRsGsRsGsYsRsGsRsGsR)()()()()()()(21*zGzGsRZsYZzRzYzG环节串联之间有采样开关环节串联之间有采样开关图图8-12两环节串联之间有采

38、样开关两环节串联之间有采样开关 例例8-7 8-7 在图在图8-118-11和图和图8-128-12中：中： 1211( ),( )1G sG sss分别求两图的脉冲传递函数。分别求两图的脉冲传递函数。 解：在图解：在图8-118-11所示开环系统中，其脉冲传递函数为：所示开环系统中，其脉冲传递函数为：1212( )( )( )( )( )1eTzzG zG zG zZ G sZ G szz而在图而在图8-128-12所示的开环系统中，其脉冲传递函数为：所示的开环系统中，其脉冲传递函数为：显然：显然：1212( )( )( )G z G zGG zTzzzzssZssGzGe1111) 1(1

39、Z(z)G)(2121l与开环系统一样，在闭环的各通道中环节与开环系统一样，在闭环的各通道中环节之间有无采样开关相隔，得到的闭环脉冲之间有无采样开关相隔，得到的闭环脉冲传递函数以及输出的传递函数以及输出的z变换是不同的。变换是不同的。l下面介绍几种典型环节的闭环脉冲传函下面介绍几种典型环节的闭环脉冲传函输出的拉氏变换：输出的拉氏变换：( )( )*( )Y sG sEs而误差信号的拉氏变换为：而误差信号的拉氏变换为：( )( )( ) ( )E sR sH s Y s( )( )( ) ( )*( )E sR sH s G s Es采样后变为：采样后变为： *( )*( )( ) ( )*(

40、)EsRsH s G sEs整理得到：整理得到：*( )*( )1 ( ) ( )*RsEsH s G s输出对输入量的脉冲传递函数：输出对输入量的脉冲传递函数：( ) *( )( )1 ( ) ( )*G s RsY sH s G s*( )*( )*( )1 ( ) ( )*GsYsRsH s G s( )( )( )( )1( )Y zG zzR zHG z举例举例Go(s)H(s)U(s) E(s) E*(s) Y(s) Y*(s) )(*)()()(sYsHsUsE)()()()()()()()(zEzGozHzUzYzHzUzE)()(1)()(zGozHzUzE)()(1)()(

41、)()()()()(zGozHzGozUzEzGozUzYzG Z Z变换变换 具有数字校正装置的闭环采样系统具有数字校正装置的闭环采样系统D*（s）对）对应的脉冲传函为应的脉冲传函为D（z），脉冲校正装置作用），脉冲校正装置作用等价于连续系统的串联校正环节等价于连续系统的串联校正环节.D*(s)H(s)Go(s)U(s) E1(s) E2(s) Y(s) _ 21111( )( )*( )( )*( )*( )( )( )( ) ( )( )( )( )*( )*( )( )( )( )( )( )( )1( )( )( )1( )( )Y sGo s EsGo s Ds EsE sU sH

42、 s Y sU sH s Go s Ds EsU zY zGo z D zE zG zHGo z D zU zHGo z D z1。查看输入端有无开关，如果有，则可以写。查看输入端有无开关，如果有，则可以写出闭环脉冲传函，继续下面步骤，否则只能出闭环脉冲传函，继续下面步骤，否则只能写出输出函数的写出输出函数的z变换变换2。取得全部采样开关，按照连续系统写出闭。取得全部采样开关，按照连续系统写出闭环传递函数环传递函数3。加入采样开关（包括输出虚拟开关），改。加入采样开关（包括输出虚拟开关），改写脉冲传递函数，改写方法如下：写脉冲传递函数，改写方法如下：主通道对主通道对应分子，整个闭环回路对应分母

43、，如果其中应分子，整个闭环回路对应分母，如果其中某个环节的两端均被采样开关隔开，则在闭某个环节的两端均被采样开关隔开，则在闭环脉冲传递函数中此环节单独作环脉冲传递函数中此环节单独作z变换变换闭环脉冲传函写出过程：闭环脉冲传函写出过程：例例8-12 8-12 求下图所示采样系统的脉冲传递函数。求下图所示采样系统的脉冲传递函数。（a） （b） 考虑开关影响，分别写出闭环脉冲传递函数为：考虑开关影响，分别写出闭环脉冲传递函数为： 解：首先不考虑开关，写出闭环传递函数解：首先不考虑开关，写出闭环传递函数1212( )( )( )1( )( )G z G zG zG zG H z)()()(1)()()

44、(2121sHsGsGsGsGsG1212( )( )( )1( )( )( )G zG zG zG zG zH z（a） （b） l数学描述数学描述线性系统的数学模型有三种线性系统的数学模型有三种 差分方程差分方程 脉冲传递函数脉冲传递函数 G(Z)=Y(Z)/U(Z) 状态空间表达（状态差分方程）状态空间表达（状态差分方程） x(k+1)=A(k)x(k)+B(k)u(k) y(k)C(k)x(k)+D(k)u(k)() 1()()() 1() 1()(1011krbmkrbmkrbkyakyankyankymnn微分方程的离散化微分方程的离散化微分方程的离散化微分方程的离散化 差分方程差

45、分方程 线性系统：输入输出之间用线性常微分方程描述。线性系统：输入输出之间用线性常微分方程描述。线性离散系统：输入输出之间用线性常系数差分方程线性离散系统：输入输出之间用线性常系数差分方程 描述。描述。差分差分: :指两个采样信息之间的差值称为差分。而在实际指两个采样信息之间的差值称为差分。而在实际应用中，常常采用数学中的微商来代替差分。应用中，常常采用数学中的微商来代替差分。 近似差分为近似差分为: : d(1)( )dyy ky ktT将近似差分代入微分方程中：将近似差分代入微分方程中： 1(1)( )( )( )y ky kTy kkx kT经整理得到：经整理得到： (1)( )( )y

46、 kay kbx k其中：其中： 111,TTkTabTT一阶微分方程的离散化：一阶微分方程的离散化： 1d( )( )dyTy tkx tt 近似差分：近似差分： d(1)( )dyy ky ktT22dd(1)( )1(2)(1)(1)( )dd(2)2 (1)( )yy ky ky ky ky ky kttTTTTy ky ky kT二阶微分方程离散化：二阶微分方程离散化： 21 2122dd()( )( )ddyyTTTTy tkx ttt将近似差分公式代入微分方程中将近似差分公式代入微分方程中1 2122 (2)2 (1)( ) (1)( )( )( )TTTTy ky ky ky

47、ky ky kkx kTT经整理：经整理：12(2)(1)( )( )y ka y ka y kbx k其中：其中： 221212121 21 21111()2 ,1,TkTaTaTbTTTTTTTT 阶微分方程离散化：阶微分方程离散化： n121211212012112dddd( )dddddddd( )()ddddnnnnnnnnmmmmmmmmyyyyaaaa y tttttxxxxbbbbb x tnmtttt阶差分方程为： n12101()(1)(2)(1)( )()(1)( )()nnmy kna y kna y knay ka y kb x kmb x kmb x knm连续状态

48、方程的离散化连续状态方程的离散化 连续状态方程连续状态方程离散状态方程离散状态方程线性定常系统的状态方程为：线性定常系统的状态方程为：xAxBuyCxDu经过采样后连续信号变为离散信号经过采样后连续信号变为离散信号, ,而连续状态方程而连续状态方程经离散后变为离散状态方程为：经离散后变为离散状态方程为：(1)( )( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx kDu k其中：其中：,G H C D均为常数矩阵。且有：均为常数矩阵。且有：eATG 0edTATHB t其中：其中： 为采样周期。为采样周期。 T)()()()()()()()()()(),) 1()(),) 1() 1(

49、0) 1() 1() 1() 1(kukHkxkGkuBdtekxekudBekxeduBTkkxkTTkkxTAtATTkkTTkAkTTkATkkTl设初始时刻设初始时刻t0=kT，初始状态，初始状态x0=x(k)，利用状态转移矩，利用状态转移矩阵可以在阶梯输入下把阵可以在阶梯输入下把kT时刻的初始状态时刻的初始状态x(k)转移到转移到t=(k+1)T时刻的状态时刻的状态x(k+1) 。因为采用的是阶梯形输入，。因为采用的是阶梯形输入，所以在所以在kT到到(k+1)T这段时间内有这段时间内有u(t)=u(k)，根据状态运，根据状态运动表达式：动表达式：dtBeTAttTk0)1( )()(

50、)()()(kukDkxkCkykTtkTttDkDtCkC)()(,)()(输出方程输出方程22线性系统的数学模型有三种线性系统的数学模型有三种 差分方程差分方程 脉冲传递函数脉冲传递函数 状态空间表达（状态差分方程）状态空间表达（状态差分方程） )() 1()()() 1() 1()(1011krbmkrbmkrbkyakyankyankymnn数学描述及相互转化数学描述及相互转化)()()(zRzYzG(1)( )( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx kDu k转化条件：初始条件为零转化条件：初始条件为零y(0)=y(1)=y(n-1)=0 ；u(0)=u(1)=u(

51、m-1)=0l方法：方法：z变换与反变换变换与反变换已知系统差分方程为已知系统差分方程为在零初值条件下，将其进行在零初值条件下，将其进行z变换得：变换得：)() 1()()() 1() 1()(1011krbmkrbmkrbkyakyankyankymnn)()()()(1110111zRbzbzbzbzYazazazmmmmnnnnmmmnnnbzbzbazazzRzYzG11011)()()(则脉冲传递函数为则脉冲传递函数为l举例：已知差分方程如下，求举例：已知差分方程如下，求G(z)l解：将差分方程进行解：将差分方程进行z变换得：变换得：)()()2(kukyky11)()()()(22

52、zzGzUzYzYz例例 已知采样控制系统中，控制器的脉冲传递函数为：已知采样控制系统中，控制器的脉冲传递函数为：2( )2( )( )53U zzD zE zzz现要化成计算机可以实现的算法，求差分方程。现要化成计算机可以实现的算法，求差分方程。 解：把脉冲传递函数写成：解：把脉冲传递函数写成：2(53) ( )(2) ( )zzU zzE z对上式进行对上式进行 反变换，得到前差分方程的形式：反变换，得到前差分方程的形式： Z(2)5 (1)3 ( )(1)2 ( )u ku ku ke ke k或后差方程的形式：或后差方程的形式：) 2(2) 1() 2(3) 1(5)(kekekuku

53、kul由描述离散系统动态特性的差分方程，可由描述离散系统动态特性的差分方程，可用状态变量为基础列出系统的离散动态方用状态变量为基础列出系统的离散动态方程（单入单出）：程（单入单出）：)()()()() 1(kcxkykbukAxkx假定系统差分方程为：假定系统差分方程为：算法：取状态变量为算法：取状态变量为经推导可得下列形式的状态方程：经推导可得下列形式的状态方程：)()() 1() 1()(11krbkyakyankyankymnn) 1() 1()(,),1() 1()(),()(1121nkykxkxkykxkxkykxnn)()()()()() 1(kDukCxkykHukGxkx0,

54、001,000,100001000010121DCbHaaaaGmnn例例 将将2阶差分方程转化离散状态空间方程。阶差分方程转化离散状态空间方程。y(k+2)+y(k+1)+0.16y(k)=u(k)解：设状态变量为解：设状态变量为则则初始条件初始条件 x1(0)=y(0), x2(0)=y(1) 1() 1()()()(121kykxkxkykx)()()(01)()(10)()(116. 010) 1() 1(1212121kxkxkxkykukxkxkxkx注意此项转化相对困难，一般以脉冲传递函注意此项转化相对困难，一般以脉冲传递函数作为中介，即：数作为中介，即： 离散状态空间方程离散状

55、态空间方程 脉冲传递函数脉冲传递函数 高阶差分方程高阶差分方程将离散状态方程先求将离散状态方程先求z变换，在零初始条件下变换，在零初始条件下消去中间变量，即可获得脉冲传递函数。消去中间变量，即可获得脉冲传递函数。DHGzICzG1)()(离散状态方程：离散状态方程：(1)( )( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx kDu k初始条件为零，作初始条件为零，作Z Z变换变换: : )()()()()()()()()()(11zUDHGzICzYzDUzCXzYzHUGzIzXzHUzGXzzX脉冲传递函数为：脉冲传递函数为： 并联程序法；并联程序法；串联程序法；串联程序法；直接

56、程序法；直接程序法；嵌套程序法；嵌套程序法；脉冲传递函数实现至离散状态空间方程的途径脉冲传递函数实现至离散状态空间方程的途径和形式不唯一和形式不唯一)(20/38/315/4)()(111)(2/10004/10003/1) 1(kxkykukxkx并联分解法并联分解法) 3/1(154)2/1(203)4/1(8313102423)(232ZZZZZZZZZG例：脉冲传递函数为：例：脉冲传递函数为：25( )32zG zzz解：解： 将脉冲传递函数分解成两环节相乘的形式：将脉冲传递函数分解成两环节相乘的形式：1121155151 5( )32(1)(2)12112zzzzzG zzzzzzz

57、zz系统的信号流程图：系统的信号流程图：串联分解法串联分解法离散系统状态方程：离散系统状态方程：1122211212(1)2 ( )( )(1)( )( )( )5 ( )2 ( )( )3 ( )( )x kx kx kx kx ku ky kx kx kx kx kx k 231。差分方程求解。差分方程求解 例例: y(k+2)=5y(k+1)-6y(k)+u(k), 输入输入u(k)=1(t) 初始条件初始条件y(0)=0， y(1)=0，求解输出，求解输出y(k) 递推法递推法：y(0)=0; y(1)=0; y(2)=5y(1)-6y(0)+u(0)=1; y(3)=5y(2)-6y

58、(1)+u(0)=6 ; 递推法（迭代法）递推法（迭代法）Z变换法求解变换法求解同上例同上例: y(k+2)=5y(k+1)-6y(k)+u(k), 输入输入u(k)=1(t) 初始条件初始条件y(0)=0， y(1)=0，求解输出，求解输出y(k)Z变换法变换法：对差分方程做：对差分方程做Z变换变换Z反变换得：反变换得：) 1)(3)(2()65()()()()(6)(5)(22ZZZZZZZUZYZUZYZZYZYZ12/132/121) 1)(3)(2(1ZZZZZZZZkkkky15 . 035 . 02)(递推法递推法:10112(0) 1(0)(0)(1)(0)(0)(2)(0)(

59、0)(1)kiikkkkHu(i)GxGkHu.HuGxGkx HuGHuxGxHuGxx2、状态差分方程求解、状态差分方程求解 递推法（迭代法）递推法（迭代法）Z变换法求解变换法求解(1)( )( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx kDu kZ变换法变换法:对状态差分方程做对状态差分方程做Z变换变换Z反变换得反变换得x(k)()0()()()()0()()()()()0()(1zHuzxGzIzxzHuzxzxGzIzHuzGxzxzzx例：离散系统状态方程为：例：离散系统状态方程为：010(1)( )( )0.40.31( )01( )x kx ku ky kx k 输

60、入信号：输入信号： 10( )00ku kk初始条件：初始条件： 12(0)1(0)(0)1xxx，求：用求：用 变换法求变换法求 的数值。的数值。 Z( )x k解：先求出：解：先求出： 1110.311()0.40.30.4(0.8)(0.5)zzzIGzzzz再求出：再求出： 210(0)( )21111zzzxHU zZzzzz 根据根据Z Z变换方法有：变换方法有：120.311( )() (0)( )20.4(0.8)(0.5)152100.83(0.5)3(1)4100.83(0.5)3(1)zzX zzIGzxHU zzzzzzzzzzzzzzzzzzz取取 反变换可得到离散状