大学解析几何第二章

1、 一、曲线的方程一、曲线的方程 二、曲线的参数方程二、曲线的参数方程 三、常见曲线的参数方程三、常见曲线的参数方程第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程一、曲线的方程一、曲线的方程定义定义1 1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之间有着关系：间有着关系： 满足方程的满足方程的 必是曲线上某一点的坐标；必是曲线上某一点的坐标； 曲线上任何一点的坐标曲线上任何一点的坐标 满足这个方程，满足这个方程， 那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个方程的图形方程的图形。, x y, x

2、 y概括而言，曲线上的点与方程之间有着一一对应的关系概括而言，曲线上的点与方程之间有着一一对应的关系 例例1 求圆心在原点，半径为求圆心在原点，半径为R 的圆的方程的圆的方程2, 2A 2,2B4MAMB222xyR2 2xyxy2,2B2, 2A M。定义定义2 若取若取 的一切可能取值的一切可能取值由由 表示的向径表示的向径 的终点总在一的终点总在一条曲线上条曲线上在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由可由 的某一值的某一值 通过通过 完全决定，完全决定， 那么就把那么就把 叫做曲线的叫做曲线的向量式参数方程，其

3、中向量式参数方程，其中 为参数。为参数。二、曲线参数的方程二、曲线参数的方程 ,xx tatbyy t t atb 12r tx t ey t e a t b r tt 12r tx t ey t eatb 12r tx t ey t eatb 00tatbt r tPBA r b r a例例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹圆的内摆线圆的内摆线圆的内摆线圆的内摆线（a4b）四尖点星形线（四尖点星形线（astroid）其参数方程为其参数方程为coscos,sinsinRrxRrrrRryRrrr 2cos (1 cos )2

4、 sin (1 cos )xRyRcossinsincosxRyR其坐标式参数方程为其坐标式参数方程为22221xyabcos,sinxaybt2222222222,2a ba txba ttab tyba t 定义定义1. 0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形图形.两个基本问题两个基本问题 : :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上

5、的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). 设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解上一页下一页返回0 0 xyandxy0 x yk解解设设),(zyxM是是球球面面上上任任一一点点，|CMr根据题意有根据题意有222xaybzcr2222xaybzcr所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 上一页下一页返回当当 A2+B2+C2-4

6、D 0 时时, 是球面方程是球面方程.由上述方程可得球面的一般式方程为：由上述方程可得球面的一般式方程为：反之，由一般式方程（反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：），经过配方又可得到：x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （*）(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4返回当当 A2+B2+C2-4D =0 时时, 是是点点球面方程球面方程.当当 A2+B2+C2-4D 0 时时, 是是虚虚球面方程球面方程.MM解解: 取定直角坐标系取定直角坐标系, 球心为原点球心为原点(如图如图)设球面上任意一点设球面上任意

7、一点M(x, y, z), 过过M作作xy平面的垂线交于点平面的垂线交于点P. 设设是是由由 x 轴转轴转到到 的有向角的有向角, 而而 是由是由 转到转到 有向角有向角(向上为正向上为正). OP OM OP 这时这时, |OP| =r cos , 点点M的横坐标的横坐标x = |OP|cos, 所以所以x = r cos cos , 类类似地可求得点似地可求得点M的其它坐标的其它坐标.这就是球面的参数方这就是球面的参数方程程, 当当,变动时就得变动时就得出整个球面出整个球面.OP OP xyzo),(zyxM),(rPrPxyzo),(zyxM zyxA设设 M M( (x x, ,y y

8、, ,z z) )为为空空间间内内一一点点，则则点点M M 可可用用三三个个有有次次序序的的数数， ，来来确确定定，其其中中为为原原点点 O O 与与点点 M M 间间的的距距离离，为为有有向向线线段段 O OM M与与z z轴轴正正向向所所夹夹的的角角，为为从从正正 z z 轴轴来来看看自自x x 轴轴按按逆逆时时针针方方向向转转到到有有向向线线段段 O OP P的的角角，这这里里 P P 为为点点 M M在在 x xo oy y 面面上上的的投投影影，这这样样的的三三个个数数 ，就就叫叫做做点点 M M的的球球面面坐坐标标0, 02 .,0 规定：规定：如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分

9、别为为为 常常 数数为为常常数数为为常常数数圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面.cos,sinsin,cossinrzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，Pxyzo),(zyxMr zyxA，轴上的投影为轴上的投影为在在点点，面上的投影为面上的投影为在在设点设点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则 设设M M( (x x, , y y, , z z) )为为空空间间内内一一点点，并并设设点点 M M在在x xo oy y面面上上的的投投影影P P的的极极坐坐标标为为 , , ，则则这这样样的的三三个个数数 , , , , z z就就叫叫点点M

10、 M的的柱柱面面坐坐标标0, 02,.z规定：规定：xyzo),(zyxM( , )P 注意：柱面坐标系就是注意：柱面坐标系就是平面极坐标系加上平面极坐标系加上z轴轴.cos ,sin ,. xyzz柱面坐标与直角坐标的关柱面坐标与直角坐标的关系为系为柱面坐标系的三坐标面是柱面坐标系的三坐标面是为为常常数数圆柱面圆柱面；为为常常数数半平面半平面；为为常常数数z z平平 面面),(zyxM( , )P zxyzo22tanxyyxzz或 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不方程，不在曲线上的点不能同时满足两个

11、方程能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：下一页返回00.xy22220 xyzRz2220 xyRorz22210 xyzz组样线？方方程程表表示示怎怎的的曲曲01222zzyx1222zyxO r tPBA r b r a 动点从动点从A点出点出发，经过发，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 例例 3 3 如如果果空空间间一一点点M在在圆圆柱柱面面222ayx 上上以以角角速速度度 绕绕 z轴轴旋旋转转，同同时时又又以以线线速速度度 v沿沿平平行行于于 z轴轴的的正正方方向向上上升升（其其中中 、v都都是是常常数数），那那么么点点 M构构成成的的图图形形叫叫做做螺螺旋旋线线试试建建立立其其参参数数方方程程 A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz