数控编程数值计算学习教案

1、会计学1数控编程数值数控编程数值(shz)计算计算第一页，共57页。编写加工程序中的数值计算是编程工作(gngzu)的一个重要部分，如果计算有误(方法和计算错误)，就不能获得零件要求的加工轮廓，从而出现废品，造成浪费。数值计算的主要内容为：1、基点计算2、节点计算3、列表曲线的数学处理4、刀具中心位置计算 5、辅助计算结束(jish)第1页/共57页第二页，共57页。RABDCEaO一个零件的轮廓一个零件的轮廓(lnku)曲线可能由不同的几何元素构成，如直线、圆弧、非圆曲线等。基点就是构成零件轮廓曲线可能由不同的几何元素构成，如直线、圆弧、非圆曲线等。基点就是构成零件轮廓(lnku)的各相邻几

2、何元素的交点或切点，如右图所示。显然，相邻基点间只能是一个几何元素。的各相邻几何元素的交点或切点，如右图所示。显然，相邻基点间只能是一个几何元素。第2页/共57页第三页，共57页。由于一般数控机床都有具有直线和圆弧插补功能，故对由直线和圆弧组成的平面轮廓，都可以通过调用数控系统的直线或圆弧插补功能来加工。此时，需计算出零件上的所有基点由于一般数控机床都有具有直线和圆弧插补功能，故对由直线和圆弧组成的平面轮廓，都可以通过调用数控系统的直线或圆弧插补功能来加工。此时，需计算出零件上的所有基点(jdin)坐标。零件轮廓上的基点坐标。零件轮廓上的基点(jdin)可根据零件图上的尺寸标注或通过较简单的计

3、算间接求得。可根据零件图上的尺寸标注或通过较简单的计算间接求得。第3页/共57页第四页，共57页。例例1如右图中的基点如右图中的基点A、B、D、E的坐标的坐标(zubio)，可以通过零件图的标注直接获得，而，可以通过零件图的标注直接获得，而C点为下列两圆方程的交点，联解两圆方程即可得点为下列两圆方程的交点，联解两圆方程即可得C点的坐标点的坐标(zubio)。 RABDCEaO2(xO2,y02)OO1(xO1,y01)第4页/共57页第五页，共57页。例例2下图中的基点下图中的基点A、B、C、D的坐标，可以通过的坐标，可以通过(tnggu)零件图的标注直接获得，而零件图的标注直接获得，而E、F

4、点的坐标需要经过计算获得。点的坐标需要经过计算获得。 R20R20ABDCEO OFO O1 1O O2 2O O3 3101030302020X XY Y第5页/共57页第六页，共57页。F F点坐标点坐标(zubio)(zubio)的计算：的计算：R20R20A AB BD DC CE EO OF FO O1 1O O2 2O O3 3101030302020X XY YG G作辅助线作辅助线 O OGOFGOF则则OGOGGFGF1010且且OOOO3 32020故故 OOOO3 3G G3030所以所以(suy)(suy)有：有：XF=20XF=20cos30cos30=17.321=

5、17.321YF=20YF=20sin30sin30=10=10继续第6页/共57页第七页，共57页。E E点坐标点坐标(zubio)(zubio)的计算：的计算：R20R20A AB BD DC CE EO OF FO O1 1O O2 2O O3 3101030302020X XY Y作辅助线作辅助线 FHOOFHOO3 3则有：则有：Y YE E=20+10=30=20+10=30 X XE E=X=XF F-FI-FI=X=XF F-EI-EItg30tg30=X=XF F-(Y-(YE E-Y-YF F) )tg30tg30 =17.321-(30-10) =17.321-(30-1

6、0)tg30tg30 =5.774 =5.774返回返回(fnhu)I IH H作辅助线作辅助线 EIFHEIFH第7页/共57页第八页，共57页。由于一般数控装置只具有直线插补和圆弧插补功能，当零件轮廓曲线两基点间的几何要素为非直线、非圆弧的其它曲线时，则数控机床不能直接进行加工。为了加工这样的零件轮廓表面，需将其分割成若干段，每段用直线或圆弧来代替原曲线。这些用来代替原曲线的直线和由于一般数控装置只具有直线插补和圆弧插补功能，当零件轮廓曲线两基点间的几何要素为非直线、非圆弧的其它曲线时，则数控机床不能直接进行加工。为了加工这样的零件轮廓表面，需将其分割成若干段，每段用直线或圆弧来代替原曲线

7、。这些用来代替原曲线的直线和/ /或圆弧称为或圆弧称为(chn wi)(chn wi)逼近曲线，而这些直线或圆弧间的交逼近曲线，而这些直线或圆弧间的交( (切切) )点称为点称为(chn wi)(chn wi)节点。节点。 第8页/共57页第九页，共57页。数控机床在运用逼近曲线进行加工时，除需计算基点外，还应计算逼近曲线上所有节点的坐标，并通过调用直线插补数控机床在运用逼近曲线进行加工时，除需计算基点外，还应计算逼近曲线上所有节点的坐标，并通过调用直线插补(G01)(G01)或圆弧插补或圆弧插补(G02(G02或或G03)G03)功能来完成整个零件的加工。功能来完成整个零件的加工。选用逼近曲

8、线的形状，一方面取决于数控系统所具备选用逼近曲线的形状，一方面取决于数控系统所具备(jbi)(jbi)的插补功能，另一方面应考虑在保证加工精度的前提下，节点数量尽量少，编程计算简单。的插补功能，另一方面应考虑在保证加工精度的前提下，节点数量尽量少，编程计算简单。逼近线段中最大的误差逼近线段中最大的误差应小于允差值，一般取零件相应公差的应小于允差值，一般取零件相应公差的1/51/51/101/10。 第9页/共57页第十页，共57页。1 1、直线逼近的节点、直线逼近的节点(ji din)(ji din)计算计算 常用的直线逼近方法有等距离直线逼近、等步长直线逼近和等误差直线逼近等。常用的直线逼近

9、方法有等距离直线逼近、等步长直线逼近和等误差直线逼近等。以下介绍等步长和等误差直线逼近法。以下介绍等步长和等误差直线逼近法。 第10页/共57页第十一页，共57页。 等步长法节点等步长法节点(ji din)(ji din)计算计算Y YX Xy=f(xy=f(x) )O OR Rminmina a、求曲线、求曲线(qxin)(qxin)的最小曲率半径的最小曲率半径RminRmin已知曲线为已知曲线为y=f(x),y=f(x),则则 xfxfR 2/321求求dR/dxdR/dx，并令并令dR/dx=0dR/dx=0，则可求得则可求得R Rminmin继续gg第11页/共57页第十二页，共57页

10、。 等步长逼近法节点等步长逼近法节点(ji din)(ji din)计算计算Y YX Xy=f(xy=f(x) )O OR Rminminggg gf fa a、求插补步长、求插补步长h h作过点作过点g的切线及与其相距的切线及与其相距(xingj) 的平行线，与曲线的平行线，与曲线y=f(x)交于点交于点f、g，fg的距离为的距离为h。O O为曲线的曲率中心为曲线的曲率中心, ,连接连接fOfO和和gOgOO Oh h由于由于很小，可以将曲线很小，可以将曲线fgfgg g看成是半径为看成是半径为R Rminmin的一段圆弧。故有：的一段圆弧。故有：( (h/2)h/2)2 2=R=Rminm

11、in2 2-(R-(Rminmin-)-)2 2 =2=2R Rminmin-2 2h(8Rh(8Rminmin)1/21/2继续第12页/共57页第十三页，共57页。 等步长逼近法节点等步长逼近法节点(ji din)(ji din)计算计算Y YX Xy=f(xy=f(x) )O Oa a、求插补节点、求插补节点(ji din)(ji din)坐标坐标继续b b以曲线起点以曲线起点a a为圆心，为圆心，h h为半径作圆，与曲线为半径作圆，与曲线y=f(x)y=f(x)交于点交于点b b，点点b b即为求得的第一个节点。即为求得的第一个节点。即：联解下列方程即可：即：联解下列方程即可：y=f(

12、x)y=f(x)( (x-xx-xa a) )2 2+(y-y+(y-ya a) )2 2= = 8R8Rminmin以以b点为圆心，重复步骤，即可求得曲线上的所有节点。点为圆心，重复步骤，即可求得曲线上的所有节点。第13页/共57页第十四页，共57页。 等误差法节点计算等误差法节点计算等误差直线逼近方法，即使所有逼近线段的误差等误差直线逼近方法，即使所有逼近线段的误差相等。此法虽然计算较烦，但程序段少，故应用较多。其计算步骤相等。此法虽然计算较烦，但程序段少，故应用较多。其计算步骤(bzhu)(bzhu)如下：如下： 设零件轮廓上两相邻基点间的曲线为设零件轮廓上两相邻基点间的曲线为y=f(x

13、)y=f(x)，如右图所示，且逼近曲线段的编程允差为，如右图所示，且逼近曲线段的编程允差为。 Y YX XY=f(xY=f(x) )O O继续(jx)第14页/共57页第十五页，共57页。Y YX XT TY=f(Y=f(x)x)O O 等误差等误差(wch)(wch)法节点计算法节点计算 确定编程允差确定编程允差的圆方程的圆方程(fngchng)(fngchng)，即以起点，即以起点a(xa,ya)a(xa,ya)为圆心，为圆心，为半径作圆：为半径作圆： a a222aayyxx 求圆与曲线的公切线求圆与曲线的公切线PTPT的斜率的斜率k k： PTPTxxyykP P继续第15页/共57页

14、第十六页，共57页。Y YX XT TY=f(xY=f(x) )O O 等误差法节点等误差法节点(ji din)(ji din)计算计算因直线因直线(zhxin)PT(zhxin)PT为圆弧与曲线的公切线，且点为圆弧与曲线的公切线，且点P(xPP(xP，yP)yP)、点、点T(xTT(xT，yT)yT)分别在圆和曲线上，故有：分别在圆和曲线上，故有： a aP PTTaPaPTPTPTaPaPPTPTxfyyyxxxfxxyyyyxxxxyy222(圆切线方程圆切线方程)(曲线切线方程曲线切线方程)(圆方程圆方程)(曲线方程曲线方程)联解四方程，即可求得联解四方程，即可求得x xP P、y y

15、P P、x xT T、y yT T的值，进而求得斜率的值，进而求得斜率k k。继续第16页/共57页第十七页，共57页。Y YX XT Ta a1 1l lY=f(xY=f(x) )O O继续(jx) 等误差法节点等误差法节点(ji din)(ji din)计算计算 求弦长的方程求弦长的方程 a aP P过点过点a a作直线作直线PTPT的平行线的平行线l l，与曲线交于与曲线交于a a1 1点。点。则直线则直线aaaa1 1方程为：方程为：aaxxkyy 求求a a1 1点坐标：点坐标：联解右列方程，即可求得联解右列方程，即可求得a1(xa1(xa1a1、y ya1a1) )的坐标的坐标。

16、aaxxkyyxfy 以以a a1 1点为起点，重复前述步骤，即可求得曲线上的所有节点坐标值点为起点，重复前述步骤，即可求得曲线上的所有节点坐标值。第17页/共57页第十八页，共57页。R RA A A AO Oa1a1(a1a1,a1a1) )Y YX Xa a1 1Y=f(x)Y=f(x)O OR RA A 继续(jx)当采用当采用(ciyng)(ciyng)圆弧逼近曲线时，不但要计算出各逼近圆弧的节点坐标值，还需计算逼近圆弧的圆心坐标及半径。圆弧逼近曲线时，不但要计算出各逼近圆弧的节点坐标值，还需计算逼近圆弧的圆心坐标及半径。第18页/共57页第十九页，共57页。R RA A A AO

17、Oa1a1(a1a1,a1a1) )Y YX Xa a1 1Y=f(x)Y=f(x)O OR RA A 继续(jx)曲线用圆弧逼近时，有曲率圆法、三点圆法和相切圆法等方法。三点圆法是通过已知三个节点求圆，并作为一个圆程序段；相切圆法是通过已知四个节点分别作两相切的圆，编写两个圆弧程序段。这两种方法都必须先用直线逼近方法求出各节点，再求出各圆，计算曲线用圆弧逼近时，有曲率圆法、三点圆法和相切圆法等方法。三点圆法是通过已知三个节点求圆，并作为一个圆程序段；相切圆法是通过已知四个节点分别作两相切的圆，编写两个圆弧程序段。这两种方法都必须先用直线逼近方法求出各节点，再求出各圆，计算(j sun)(j

18、sun)较烦琐。以下仅介绍曲率圆法。较烦琐。以下仅介绍曲率圆法。第19页/共57页第二十页，共57页。R RA A A AO Oa1a1(a1a1,a1a1) )Y YX Xa a1 1Y=f(x)Y=f(x)O OR RA A 继续(jx)曲率圆法是一种等误差的圆弧逼近法，这种方法在决定轮廓曲线上的逼近节点曲率圆法是一种等误差的圆弧逼近法，这种方法在决定轮廓曲线上的逼近节点(ji din)(ji din)的坐标值时，是使各段圆弧与各相应轮廓曲线间的逼近误差的坐标值时，是使各段圆弧与各相应轮廓曲线间的逼近误差相同。相同。 第20页/共57页第二十一页，共57页。R RA A A AO Oa1a

19、1(a1a1,a1a1) )Y YX Xa a1 1Y=f(x)Y=f(x)O OR RA A 继续(jx)曲率圆法的步骤如下：曲率圆法的步骤如下：设零件轮廓上两相邻基点间的曲线设零件轮廓上两相邻基点间的曲线(qxin)(qxin)为为y=f(x)y=f(x)，如右图所示，且逼近曲线，如右图所示，且逼近曲线(qxin)(qxin)的编程允差为的编程允差为。第21页/共57页第二十二页，共57页。Y YX XY=f(xY=f(x) )O OR RA A O OA A(A A,A A) )继续(jx) 求曲线起点求曲线起点A(xA,yA)A(xA,yA)的曲率半径的曲率半径(bnjng)RA(bn

20、jng)RA及曲率中心坐标及曲率中心坐标OAOA（AA，AA）。）。曲率半径曲率半径R RA A为：为： AAAxfxfR 2321曲率中心坐标为：曲率中心坐标为： AAAAAAAAAxfxfyxfxfxfx2121)(A A 第22页/共57页第二十三页，共57页。R RA A+A AY YX Xa a1 1 (x(xa1a1,y,ya1a1) )Y=f(x)Y=f(x)O OO OA A(A A,A A) )半径半径(bnjng)(bnjng)为为继续(jx) 求第一个节点求第一个节点a a1 1。以以O OA A(A A，A A) )为圆心，为圆心，R RA A为半径作圆弧与曲线为半径作

21、圆弧与曲线f f（x x）相交于相交于a a1 1，a a1 1即为所求的第一个节点。即为所求的第一个节点。联解右列方程，即可求得联解右列方程，即可求得a a1 1(x(xa1a1,y,ya1a1) )坐标：坐标：方程中，对所作圆弧的半径方程中，对所作圆弧的半径R RA A，如曲线曲率递减，取半径为，如曲线曲率递减，取半径为R RA A+；如曲线曲率递增，取半径为如曲线曲率递增，取半径为R RA A-。 )()()()(1111222aaAAaAaxfyRyx第23页/共57页第二十四页，共57页。R RA A A AO O1 1(1 1,1 1) )Y YX Xa a1 1Y=f(xY=f(

22、x) )O OR RA A 继续(jx) 求逼近求逼近(bjn)(bjn)圆弧的半径及圆心坐标值圆弧的半径及圆心坐标值O1(1O1(1，1)1)。以以R RA A为逼近圆弧的半径，则逼近圆弧圆心的求法为：分别以为逼近圆弧的半径，则逼近圆弧圆心的求法为：分别以A(xA(xA A,y,yA A) )、a a1 1(x(xa1a1,y,ya1a1) )为圆心，以为圆心，以R RA A为半径画圆，则其交点即为逼近圆弧圆心为半径画圆，则其交点即为逼近圆弧圆心O O1 1(1 1,1 1) )。 222222)()()()(111111AaaAAARyxRyx联解左列方程，即可得圆心坐标值联解左列方程，即

23、可得圆心坐标值O O1 1(1 1，1 1) ) ： 以以a a1 1点为起点，重复前述步骤，即可求得曲线上的所有节点坐标值点为起点，重复前述步骤，即可求得曲线上的所有节点坐标值。第24页/共57页第二十五页，共57页。R RA A+R RA A A AO O1 1(1 1,1 1) )Y YX Xa a1 1Y=f(x)Y=f(x)O OR RA A O OA A(A A,A A) )半径半径(bnjng)(bnjng)为为曲率圆法节点计算整个曲率圆法节点计算整个(zhngg)(zhngg)过程为：过程为：返回返回第25页/共57页第二十六页，共57页。在上述逼近曲线的数学处理中，基本思想是

24、将曲线用直线或圆弧来逼近，求出节点后用直线插补或圆弧插补编程，从而在一定的编程允差范围内获得零件在上述逼近曲线的数学处理中，基本思想是将曲线用直线或圆弧来逼近，求出节点后用直线插补或圆弧插补编程，从而在一定的编程允差范围内获得零件(ln jin)(ln jin)曲线轮廓。在这种方法中，节点计算是关键，而轮廓曲线方程是节点计算的必要条件。曲线轮廓。在这种方法中，节点计算是关键，而轮廓曲线方程是节点计算的必要条件。 第26页/共57页第二十七页，共57页。所谓列表曲线，是指已给出曲线上某些点的坐标值，但没有给出方程。在数控机床加工中，这种零件是经常遇到的，如汽轮机叶片、飞机机冀、机身、船体结构、凸

25、轮、模具等。这些零件的图纸所谓列表曲线，是指已给出曲线上某些点的坐标值，但没有给出方程。在数控机床加工中，这种零件是经常遇到的，如汽轮机叶片、飞机机冀、机身、船体结构、凸轮、模具等。这些零件的图纸(tzh)(tzh)上往往只给出有限个点的尺寸（位置），而并不知道轮廓曲线的解析表达式。因此，用上述逼近曲线的数学处理方法，并不能解决加工这种零件的编程问题。上往往只给出有限个点的尺寸（位置），而并不知道轮廓曲线的解析表达式。因此，用上述逼近曲线的数学处理方法，并不能解决加工这种零件的编程问题。 第27页/共57页第二十八页，共57页。对于列表曲线的处理，一般对于列表曲线的处理，一般(ybn)(ybn

26、)的思想方法是：根据已知的几个列表点，在相邻点的区间内构造出一个简单的近似函数的思想方法是：根据已知的几个列表点，在相邻点的区间内构造出一个简单的近似函数y=i(x)y=i(x)来代替该区间内的列表曲线来代替该区间内的列表曲线( (称为一次拟合称为一次拟合) )，然后再用上述逼近方法对曲线，然后再用上述逼近方法对曲线y=i(x)y=i(x)求逼近直线或圆弧的节点求逼近直线或圆弧的节点( (称为二次拟合称为二次拟合) )，用以编制该区间内的程序，重复，用以编制该区间内的程序，重复(n-1)(n-1)次这样的过程次这样的过程(n(n个点的个点的n-1n-1个区间个区间) )，就可编制出列表曲线的全

27、部轮廓加工程序。，就可编制出列表曲线的全部轮廓加工程序。第28页/共57页第二十九页，共57页。构造区间构造区间(q jin)(q jin)内的函数内的函数y=i(x)y=i(x)，应满足下列条件：，应满足下列条件： 列表点在曲线列表点在曲线y=i(x)y=i(x)上，即列表点满足函数关系；上，即列表点满足函数关系； 在区间在区间(q jin)(q jin)内及端点处，内及端点处，y=i(x)y=i(x)有一阶及二阶连续导数，这可保证连续点处轮廓曲线是光滑的；有一阶及二阶连续导数，这可保证连续点处轮廓曲线是光滑的； y=i(x) y=i(x)是低于三次的多次项，以保证二次拟合时计算简单。是低于

28、三次的多次项，以保证二次拟合时计算简单。 第29页/共57页第三十页，共57页。近似函数近似函数y=i(x)y=i(x)称为插值函数，对于不同的构造插值函数的方法，有不同的列表曲线称为插值函数，对于不同的构造插值函数的方法，有不同的列表曲线(qxin)(qxin)的拟合方法。常用的方法有牛顿插值法、双圆弧法、样条函数的拟合方法。常用的方法有牛顿插值法、双圆弧法、样条函数(SPLINE)(SPLINE)法等。法等。 第30页/共57页第三十一页，共57页。双圆弧法原则上是在两个相邻的列表点之间用一个双圆弧法原则上是在两个相邻的列表点之间用一个( (直线直线) )或两个几何元素或两个几何元素( (

29、圆弧圆弧) )来逼近轮廓曲线，即插值函数为直线或圆弧。显然，这样的处理使一次拟合即可运用直线或圆弧段插补程序来获得加工轮廓曲线，避免了二次拟合，使编程简单。基于来逼近轮廓曲线，即插值函数为直线或圆弧。显然，这样的处理使一次拟合即可运用直线或圆弧段插补程序来获得加工轮廓曲线，避免了二次拟合，使编程简单。基于(jy)(jy)此因素，使双圆弧法成为对列表曲线进行数学处理中应用最广泛的方法。此因素，使双圆弧法成为对列表曲线进行数学处理中应用最广泛的方法。 第31页/共57页第三十二页，共57页。采用双圆弧法对列表采用双圆弧法对列表(li bio)(li bio)曲线进行处理时，除需已知被逼近曲线段的两

30、个给出列表曲线进行处理时，除需已知被逼近曲线段的两个给出列表(li bio)(li bio)点外，还必须有其两侧的两个列表点外，还必须有其两侧的两个列表(li bio)(li bio)点点( (即不少于给出四个列表即不少于给出四个列表(li bio)(li bio)点点) )，并根据这四个列表，并根据这四个列表(li bio)(li bio)点的相互关系，确定逼近的几何元素是直线还是圆弧。点的相互关系，确定逼近的几何元素是直线还是圆弧。 第32页/共57页第三十三页，共57页。YX4O321如右图所示，如果给出的四个列表点如右图所示，如果给出的四个列表点P1P1、P2P2、P3P3、P4P4中

31、，通过相邻两点的连线与中，通过相邻两点的连线与X X轴的夹角分别轴的夹角分别(fnbi)(fnbi)为为、，若满足，若满足00085. 0)sin(00085. 0)sin(则则P2P2和和P3P3点之间或用直线点之间或用直线(zhxin)(zhxin)段段P2P3P2P3来逼近。来逼近。 第33页/共57页第三十四页，共57页。Y YX XO OP1P4P P2 2P P3 3继续(jx)在一般情况下，当给出四个列表点在一般情况下，当给出四个列表点P1P1、P2P2、P3P3、P4P4时，时，P2P2、P3P3之间可用双圆弧来逼近之间可用双圆弧来逼近(bjn)(bjn)。根据四个点的不同分布

32、情况，可分别采用内切和外切双圆弧来逼近。根据四个点的不同分布情况，可分别采用内切和外切双圆弧来逼近(bjn)(bjn)列表曲线。列表曲线。 内切双圆弧逼近内切双圆弧逼近 当列表点当列表点P P1 1、P P4 4在点在点P P2 2、P P3 3连线同一侧时，如右图所示，连线同一侧时，如右图所示，P P2 2、P P3 3点之间的轮廓曲线可用两个内切圆弧来逼近。点之间的轮廓曲线可用两个内切圆弧来逼近。 第34页/共57页第三十五页，共57页。Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3继续(jx)N N1 1N NN N2 2 内切双圆弧的构成内切双圆弧的构成(guchn

33、g) (guchng) 设设P P1 1、P P2 2、P P3 3、P P4 4如右图所示。过如右图所示。过P P2 2点作点作P P1 1P P2 2P P3 3的角平分线的角平分线P P2 2A A2 2及其垂线及其垂线P P2 2M M；过过P P3 3点作点作P P2 2P P3 3P P4 4的角平分线的角平分线P P3 3A A3 3及其垂线及其垂线P P3 3M M；过过P P2 2点再作点再作P P3 3P P2 2M M的角平分线的角平分线P P2 2N N1 1；过过P P3 3点作角点作角P P2 2P P3 3PMPM的角平分线的角平分线P P3 3N N2 2；P

34、P2 2N N1 1与与P P2 2N N2 2相交于相交于N N点。点。A2A2M MA3A3第35页/共57页第三十六页，共57页。继续(jx) 内切双圆弧的构成内切双圆弧的构成(guchng) (guchng) 过过N N点作点作P P2 2P P3 3连线的垂线连线的垂线NPNP，NPNP与与P P2 2A A2 2和和P P3 3A A3 3分别交于分别交于O O2 2、O O3 3点；分别以点；分别以O O2 2、O O3 3点为圆心，点为圆心，O O2 2 P P2 2、O O3 3 P P3 3为半径作圆弧为半径作圆弧C C2 2、C C3 3，两圆弧必内切于两圆弧必内切于N

35、N点（因在二圆心的连线上），且点（因在二圆心的连线上），且P P2 2M M主主 P P3 3M M也分别在也分别在P P2 2点和点和P P3 3点与点与C C2 2和和C C3 3相切。相切。C C2 2、C C3 3即为所求列表点即为所求列表点P P2 2、P P3 3之间轮廓曲线的逼近双圆弧。之间轮廓曲线的逼近双圆弧。 Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3O O2 2O O3 3N N1 1N NN N2 2C C3 3C C2 2A2A2M MA3A3P P第36页/共57页第三十七页，共57页。继续(jx) 双圆弧的半径及圆心双圆弧的半径及圆心(yun

36、xn)(yunxn)坐标计算坐标计算 内切双圆弧逼近曲线的内切双圆弧逼近曲线的两两圆弧半径为：圆弧半径为： Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3O O2 2O O3 3N N1 1N NN N2 2C C3 3C C2 2A2A2M MA3A3P P2cos2sin2cos2cos12cos2sin2cos2sin12322LRLR其中：其中：R R2 2圆弧圆弧C C2 2的半径；的半径；L L2 2圆弧圆弧C C3 3的半径；的半径；R R3 3列表点列表点P P2 2、P P3 3之间的距离；之间的距离；、意义如图示。意义如图示。 第37页/共57页第三十八

37、页，共57页。继续(jx) 双圆弧的半径及圆心坐标双圆弧的半径及圆心坐标(zubio)(zubio)计算计算 双圆弧的圆心坐标双圆弧的圆心坐标O O2 2（x xO2O2，y yO2O2）、）、O O3 3（x xO3O3，y yO3O3）为：为： Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3O O2 2O O3 3N N1 1N NN N2 2C C3 3C C2 2A2A2M MA3A3P P2sin2cos2cos2sin333333222222RyyRxxRyyRxxpopopopo显然，列表点显然，列表点P P1 1、P P2 2、P P3 3、P P4 4都是

38、给定的，即各坐标点都是给定的，即各坐标点P P1 1（x xP1P1，y yP1P1）、）、P P2 2（x xP2P2，y yP2P2）、）、P P3 3（x xP3P3，y yP3P3）、）、P P4 4（x xP4P4，y yP4P4）已知，故可求得已知，故可求得L L2 2、。 第38页/共57页第三十九页，共57页。继续(jx)L L2 2、为：为：Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3O O2 2O O3 3N N1 1N NN N2 2C C3 3C C2 2A2A2M MA3A3P P4343123231121212232232ppppppppppp

39、pppppxxyytgxxyytgxxyytgyyxxL第39页/共57页第四十页，共57页。继续(jx)双圆弧逼近节点（切点）的坐标双圆弧逼近节点（切点）的坐标(zubio)(zubio)计算计算计算计算 节点节点N N的坐标的坐标N N（x xN N，y yN N）为下列方程组的解：为下列方程组的解： Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3O O2 2O O3 3N N1 1N NN N2 2C C3 3C C2 2A2A2M MA3A3P P232323222222RyyxxRyyxxONONONON重复上述过程，就可获得全部列表点之间双圆弧逼近的圆心坐标、半

40、径及其节点坐标。于是，零件轮廓列表曲线的编程问题就可用各相邻点之间的两个圆弧段程序段得到解决。重复上述过程，就可获得全部列表点之间双圆弧逼近的圆心坐标、半径及其节点坐标。于是，零件轮廓列表曲线的编程问题就可用各相邻点之间的两个圆弧段程序段得到解决。 第40页/共57页第四十一页，共57页。Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3 外切双圆弧逼近外切双圆弧逼近 当列表点当列表点P1P1、P2P2、P3P3、P4P4分布分布(fnb)(fnb)情况如右图所示，即点情况如右图所示，即点P1P1、P4P4在在P2P2、P3P3连线的两侧时，连线的两侧时，P2P2、P3P3点之

41、间的轮廓曲线可用两个外切双圆弧来逼近。点之间的轮廓曲线可用两个外切双圆弧来逼近。 第41页/共57页第四十二页，共57页。Y YX XO OP1P P4 4P P2 2P P3 3O O2 2O O3 3 外切外切(wi qi)(wi qi)双圆弧的构成双圆弧的构成设设P1P1、P2P2、P3P3、P4P4如右图所示。过如右图所示。过P2P2点作点作P1P2P3P1P2P3的角平分线的角平分线P2A2P2A2及其垂线及其垂线P2MP2M；过；过P3P3点作点作P2P3P4P2P3P4的角平分线的角平分线P3A3P3A3及其垂线及其垂线P3NP3N；从圆心在；从圆心在P2A2P2A2上并在上并在

42、P2P2点点与与P2MP2M相切的圆，以及相切的圆，以及(yj)(yj)圆心在圆心在P3A3P3A3上并在上并在P3P3点与点与P3NP3N相切的圆中，选取彼此相切的圆中，选取彼此相切的两个圆弧相切的两个圆弧C2C2、C3C3，使，使C2C2、C3C3在在P P点点相切，且相切，且P P点到点到 P2 P2点的弧长等于点的弧长等于P P点到点到P3P3点的弧长。点的弧长。C2C2、C3C3即为所求列表点即为所求列表点P2P2、P3P3之间轮廓曲线的逼近双圆弧。之间轮廓曲线的逼近双圆弧。 A2A2A3A3M MN NC C3 3C C2 2P P第42页/共57页第四十三页，共57页。Y YX

43、XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3O O2 2O O3 3 双圆弧的半径双圆弧的半径(bnjng)(bnjng)及圆心坐标计算及圆心坐标计算 外切双圆弧逼近外切双圆弧逼近(bjn)(bjn)曲线的半径为：曲线的半径为： C C3 3C C2 243sin43sin2sin4cos2cos43sin43sin2sin4cos2cos2322LRLR其中：其中：L L2 2、意义同内切双圆弧。意义同内切双圆弧。 P P第43页/共57页第四十四页，共57页。Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3O O2 2O O3 3 双圆弧的半径及圆心双圆弧的半

44、径及圆心(yunxn)(yunxn)坐标计算坐标计算 双圆弧的圆心双圆弧的圆心(yunxn)(yunxn)坐标坐标O2 O2 （xO2 xO2 ，yO2yO2）、）、O3 O3 （xO3 xO3 ，yO3yO3）为：）为： C C3 3C C2 22cos2sin2cos2sin333333222222RyyRxxRyyRxxpopopopo其中：其中：L L2 2、意义同内切双圆弧。意义同内切双圆弧。 P P第44页/共57页第四十五页，共57页。Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3O O2 2O O3 3返回返回(fnhu) 双圆弧逼近节点（切点双圆弧逼近节点

45、（切点(qidin)(qidin)）的坐标计算）的坐标计算 节点节点P P的坐标的坐标P P（x xP P ，y yP P）为下列方程组的解：为下列方程组的解： C C3 3C C2 2 重复上述过程，就可获得全部列表点之间的双圆弧逼近的圆心坐标、半径及其节点坐标。重复上述过程，就可获得全部列表点之间的双圆弧逼近的圆心坐标、半径及其节点坐标。 232323222222RyyxxRyyxxOPOPOPOPP P第45页/共57页第四十六页，共57页。根据计算所得零件轮廓各基点和坐标及圆心坐标，再利用数控系统刀具补偿功能（根据计算所得零件轮廓各基点和坐标及圆心坐标，再利用数控系统刀具补偿功能（G4

46、1、G42）并输入刀具半径，即可编制出相应的零件加工程序）并输入刀具半径，即可编制出相应的零件加工程序(chngx)，完成零件的加工。，完成零件的加工。第46页/共57页第四十七页，共57页。当数控系统不具备刀具半径自动补偿功能，且用圆形车刀或铣刀加工时，就不能直接按零件轮廓当数控系统不具备刀具半径自动补偿功能，且用圆形车刀或铣刀加工时，就不能直接按零件轮廓(lnku)尺寸提供的基点坐标值编程，而要经过一定的数学运算，以补偿刀具半径的影响。对于没有刀具半径自动补偿功能的数控系统，其零件加工程序的编制最常采用刀具中心轨迹基点来编程。尺寸提供的基点坐标值编程，而要经过一定的数学运算，以补偿刀具半径

47、的影响。对于没有刀具半径自动补偿功能的数控系统，其零件加工程序的编制最常采用刀具中心轨迹基点来编程。第47页/共57页第四十八页，共57页。RABDCEedcbaO右图中，右图中，a、b、c、d、e即为刀具中心轨迹的基点。即为刀具中心轨迹的基点。刀具中心轨迹是零件刀具中心轨迹是零件(ln jin)轮廓的等距线，两线的法向距离即为刀具半径轮廓的等距线，两线的法向距离即为刀具半径r。第48页/共57页第四十九页，共57页。RABDCEedcbaO根据几何关系可知：零件轮廓为直线根据几何关系可知：零件轮廓为直线(zhxin)，且直线，且直线(zhxin)方程为：方程为：则其等距线方程则其等距线方程(

48、fngchng)(fngchng)为：为：式中：式中：r r 为刀具半径；等号右边的正负号决定方法为：对于相同的为刀具半径；等号右边的正负号决定方法为：对于相同的x x值，等距线上的值，等距线上的y y值大于原线的值大于原线的y y值时取正，反之取负。如直线平行于值时取正，反之取负。如直线平行于y y轴，等距线的轴，等距线的x x值大于原线的值大于原线的x x值时取正，反之取负。值时取正，反之取负。 第49页/共57页第五十页，共57页。零件零件(ln jin)轮廓为圆，且圆方程为：轮廓为圆，且圆方程为：RABDCEedcbaO则其等距线方程则其等距线方程(fngchng)为：为：式中：式中： r r 为刀具半径；为刀具半径；等号边项的正负号决定方法为：对于外凸圆弧取正；内凹圆弧取负。等号边项的正负号决定方法为：对于外凸圆弧取正；内凹圆弧取负。根据等距线方程，则可求得刀具中心轨迹的基点。根据等距线方程，