流体力学版9第九章膨胀波和激波

1、第九章第九章 膨胀波和激波膨胀波和激波超声速、可压缩 流动中所发生的物理现象。- - 正激波的形成及传播正激波的形成及传播1cVs激波是以超声速传播的。 把坐标系固定在激波上。 VsVsV1RTVTTR)(11 , 0 TV TTV1 ,VTTR2)2(1TTV2 ,21激波 激波的厚度非常小激波的厚度非常小 标准大气压下马赫数为 2 的气流遇物体阻碍所形 成的正激波厚度约为 2.510-5 cm，与分子平均自 由程同量级。激波后密度、压强及温度却分别是 激波前的 2.67、4.5 和 1.69 倍。 气流通过激波的过程不是等熵过程气流通过激波的过程不是等熵过程 在激波内部连续介质假设不再适用

2、。通常只需知 激波前后的气流参数关系，实际中把激波当成参 数的间断面，而激波的压缩则被看成是一个绝热、 增熵过程。激波前后的流动参数不满足等熵关系。 激波不是小扰动波激波不是小扰动波 由无数微弱压缩波聚集形成，传播速度大于声速。 正激波正激波 斜激波斜激波 曲线脱体激波曲线脱体激波 - - 正激波前后的参数关系正激波前后的参数关系V1p1, 1, T1V2p2, 2, T2A2211VV连续性: 21122221VVpp动量守恒: 022221122TCVTCVTCppp绝热的能量守恒: 1 1V1 与与 V2 之间之间的关系的关系112211122221VTRVTRVpVpVV2112222

3、1VVpp2211VVppCVTTCVTT2 , 222022101211202101220221211 22VVCRVVRTCVTVRCVTVRVVppp022221122TCVTCVTCppp2112021211VVCRVVRTVVp1RCp202112cRTRTVV速度系数:cV121普朗特方程 超声速气流通过正激波后一定会减速为亚声速气流。 021TT2 2M1 与与 M2 之间之间的关系的关系运用 与 M 的关系式 (5.23)，1212212212121MMM222121MM112112122222121MMMM3 3 1 与与 2 之间之间的关系的关系21212122121212

4、112121MMcVVVVVV2211VV1/12由于 1 1 (或者 M1 1 )，所以 激波是压缩波。1 ,M 当611112M4 . 1M1 越大， 2 /1 也越大，即激波越强烈。 21212121121MVVM4 4p1 与与 p2 之间之间的关系的关系11122112Mpp5 5 p2 / / p1 与与 2 / / 1 之间之间的关系的关系121212) 1() 1() 1() 1(pp121212) 1() 1() 1() 1(pppp或者 朗金-雨果尼奥关系式6 6滞止压强比滞止压强比 p01 / / p02 与与 M1 之间之间的关系的关系21112102012110221

5、101022211010201020102010201 ppppppppTTpp激波前后总温相等( T01 = T02 )11121210201pppp解出 p01/p02，, 121212112MM11122112Mpp12121112102011121112MMMpp12121112102011121112MMMpp当 M1 = 1 时，p02/p01 = 1；当 M1 1 时，p02/p01 1 时，p02/p01 S1。激波是增熵过程。lnvpSCC12121112102011121112MMMpp1vRC例例 超声速空气气流中正激波前参数：p1 = 105 Pa ，T1 = 283

6、K，V1 = 500 m/s 。求激波后气流参数 p2、T2 和 V2。 解解 首先求出波前气流马赫数， 111/1.4828MVRT, 3985. 211122112MppPa 103985. 252p, 8326. 1) 1(2) 1(212121MMVVm/s 84.2722V由能量方程式得到波后气流温度： K 4 .3702222112pCVVTT由已有公式得到，例例 用皮托管测量来流马赫数 M1 = 2 的超声速空气气流 中的压强，气流在皮托管前方产生激波。如果由皮 托管测得的压强为 p02 = 1.5105 Pa，求激波前后的 压强 p1 和 p2。 p2 p02 是等熵过程。 解

7、解 p1 p2 是激波压缩过程；5774. 0121221212MMM2212212121MMM, 5 . 411122112MppPa 102659. 051p由等熵关系式 (5-19c)得 , 2534. 1211122202MppPa 101967. 152p由已有公式得到，120211Mpp- - 斜激波斜激波V1V1nV1tV2V2nV2ttttVVV12 前、后参数为 V1n ( M1n ) 和 V2n ( M2n ) 的正激波+ 速度为 Vt 的均匀流场叠加均匀流场不影响流动参数。只需将正激波公式中的 M1，M2 换为 M1n，M2n 就可用于求斜激波前后的参数关系。 - 激波角

8、sinsin111111McVcVMnnsin2222McVMnnV1V1nV1tV2V2nV2t22212222121sinsin2sin1MMM 2212212112sin12sin1MMVVnn11sin1222112Mpp2212212121MMM21212112121MMVV11122112Mpp必须先求出激波角 。sinsin111111McVcVMnnsin2222McVMnn, tg1tnVVtnVV2)(tg2212212112sin) 1(sin) 1(2tg)(tgMMVVnn)2cos(21sinctg2tg21221MMM1 = V1V1nV1tV2V2nV2t 对任

9、何 M1， 有极大值max 。 当 max，产生脱体激波。 例例 当 M1 = 3， max= 34.07。 对于 M1 = 3的空气气流， 不存在偏转角大于34.07 的附体斜激波；例例 当 M1 ， max= 45.4。 空气中不存在偏转角大于 45.4 的附体斜激波。M1 = 11arcsinM 由 知道)2cos(21sinctg2tg21221MM11arcsinM1sin221M当 时， 此时 = 0。 当激波强度趋向于无穷小时，激波退化为无穷小的扰动，气流偏转角趋向于零，而此时的激波角就是马赫角。 当 = /2 时， =0 ，所对应 的是正激波，而此时气流方向 也没有偏转。M1

10、= 对于大于 1 的 M1 和一定的 有 1，M2 1，.1 1直壁上的激波反射直壁上的激波反射例例 M1 = 3， = 10。求 M2、M3 。12M1M2M3解解 把 M1 = 3， = 10 和 = 1.4 代入10.48 rad27.5)2cos(21sinctg2tg21221MM用牛顿迭代法解出 111sin1.3852nMM22122120.40.55662.80.4nnnMMM2212.4812sinnMM把 M2 = 2.48123， = 10 和 = 1.4 代入)2cos(21sinctg2tg21221MM20.5585 rad32用牛顿迭代法解出 20.7461nM2

11、212212121MMM由222sin1.3148nMM22232220.40.60612.80.4nnnMMM3322.0784sinnMM2212212121MMM由30.7786nM2 2同侧激波的相交同侧激波的相交1M1M2M32M1 1，M2 1，.例例 M1 = 2.5， 1 = 5， 2 = 10。求 M2、M3 。1M1M2M32解解 把 M1 = 2.5， 1 = 5 和 = 1.4 代入10.4887 rad28)2cos(21sinctg2tg21221MM用牛顿迭代法解出 111sin1.1737nMM22122120.40.73792.80.4nnnMMM22112.

12、1985sinnMM把 M2 = 2.1985， 2 = 10 和 = 1.4 代入)2cos(21sinctg2tg21221MM20.6283 rad36用牛顿迭代法解出 20.8590nM2212212121MMM由222sin1.2922nMM22232220.40.62392.80.4nnnMMM33221.8019sinnMM2212212121MMM由30.7899nM3 3异侧激波的相交异侧激波的相交M1M2M2M3例例 M1 = 1.8，p1 = 0.5105 Pa， p3 = 1.2105 Pa。求 M2、M3 。M1M2M2M3p1p3解解 312.4pp1、2 未知。采

13、用试算法设 1 = 8： 把 M1 = 1.8， 1 = 8 和 = 1.4 代入10.7330 rad42)2cos(21sinctg2tg21221MM用牛顿迭代法解出 111sin1.2044nMM22122120.40.70462.80.4nnnMMM2211.5011sinnMM20.8394nM2121711.525866nMpp11122112Mpp把 M2 = 1.5011， 2 = 8 和 = 1.4 代入)2cos(21sinctg2tg21221MM20.9111 rad52.2用牛顿迭代法解出 222sin1.1861nMM2322711.474666npMp33212

14、12.2499pppppp与所要求的 不符。312.4pp试算 1 = 9。898.49282.24992.55452.430731pp2.42.24998988.4928 ( )2.55452.2499用 = 8.4928 重复以上过程，求出 M2 = 1.4694，M3 = 1.1452。- - 拉伐尔喷管内的正激波拉伐尔喷管内的正激波x55设入口截面压强为 p0 。 当背压等于 p0，没有流动， 压强沿曲线 1变化。 减小背压，亚声速，p/p0 及 M 沿曲线 2变化。 再减小背压，在喉部达到声 速。扩散段仍然为亚声速， 流动减速，压强上升，在 出口截面压强上升为背压。 p/p0和 M

15、沿曲线 3 变化。 继续减小背压，扩散段出现超 声速及强烈的压缩波(激波)。压 强和马赫数沿曲线 4 变化。气流 通过激波时， p/p0和 M 沿曲线 5 突然上升和下降，成为亚声速。 在出口截面压强达到背压。 再减小背压，激波向管口移动， 在管口外形成斜激波，斜激波 最终消失。在收缩段为亚声速， 在扩散段为超声速，管内不出 现激波，出口截面压强刚好等 于背压， p/p0和 M 沿曲线4变 化。这是一种理想的流动状态， 也称为设计工况。 x55 进一步减小背压，管中的流动 状态不会被改变， p/p0和 M 仍 然沿曲线 4变化，但是出口截面 压强却大于背压，气体流出管口 后还要经历一个膨胀过程

16、，使压 强最终下降到背压。 x55- - 膨胀波膨胀波等等熵熵典型的问题： 已知来流参数和壁面外折角，求膨胀波后的流动参数。例例 空气 M1 = 2，p1 = 75 kPa，T1 = 250 K。 设 = 10，求 M2，p2，T2。M2 ，p2，T2 M1 p1，T120112TMT 22121MdMdTTM 首先推导 与 M 之间的关系。021TdTMdMT21112dTMMdMT VMcMRT12dVdMdTVMT12RdVdMRTMdTT12RTRTdVdTdMMVVVT1M1M2221dVdMVMM22121MdMdTTM 12dVdMdTVMT1 122nnVV1 11222ntn

17、tV VV Vcosconst.tVVV1tV1nV1 = VV2 = V+dVV2nV2tdAOBL连续性：沿OL动量守恒：12tttVVVsin0cosdVdV222sincos211dMddMMM1sin ,M2sin1cos1M222121MdMdMMsincosdVdV22 ,21dVdMVMM令21xM221Mx222121MdMdMM 2222111x dxdxx22111111dxxx22111111dxCxx11arctgarctg11xxC2211arctg1arctg111MMC 设 时 M = 10C = 021xM2211()arctg1arctg111MMMM =

18、1 时 = 0普朗特-迈耶函数当气流从 M = 1 膨胀到 M 1 时所需要的外折角度 。M = 1M 1 0 = 0最后得到221()6arctgarctg16MMM对于空气， =1.4， 已知 M，求 比较容易。 已知 ，求 M ，可用数值计算(如迭代法) ，查表等。2211()arctg1arctg111MMM迭代法迭代法：221()6arctgarctg16Mf MM 设现 已知，求 f (M) = 0 的解。选初值 M0 ，000()()f MMMf M2002001()1 0.2Mf MMM其中由 M0 算出 M 后，再将 M 值作为新的初值进行计算，直至相邻两次计算值之差小于允许误差。221()6arctgarctg16MMM查普朗特-迈耶函数表：引自气体动力学基础，李普曼等著例例 空气