哈尔滨工程大学力学基础课件第12章

1、第十二章第十二章 超静定系统超静定系统12.112.1 超静定系统概述超静定系统概述12.2 12.2 用变形能法解超静定问题用变形能法解超静定问题12.3 12.3 力法与正则方程力法与正则方程 12. 1 超静定系统概述超静定系统概述超静定结构超静定结构（超静定系统超静定系统）由静力平衡方程无法求出全部未知反力的结构超静定次数超静定次数未知力超出静力平衡方程的数目。 多余约束有两类：第一类：结构外部存在多于约束,支反力是超静定的。第二类：结构内部存在多于约束，内力是超静定的。ABpAYBYAXBXpABCD第一类超静定第二类超静定MBMB三次超静定结构12.2 用变形能静定问题法解超用变形

2、能静定问题法解超 求解超静定问题的关键是建立变形协调条件，并由此得到静力平衡方程以外的补充方程。由变形协调条件得到补充方程这一步，可以利用变形能法来完成。 下面通过例题来说明用变形能法对超静定系统的求解。例例 三支座等直梁受集度为q的均布载荷作用。试画出梁的弯矩图。qllABC解 首先将支座B作为多余约束，解除后代 以反力 ，形成静定基。 由于B处的挠度为零，故变形条件为 （a） 现利用莫尔积分由上式得到补充方程。ARBRCR1x2x0Bf BRABqllC 在静定基上与B支座对 应处作用一竖直单位力（图c）。 分别得到在载荷和 共同作用下的弯矩 及单位力引起的弯矩B1(c)ACABqll(a

3、)CqABC(b)ARBRCRBR( )M x0( )MxAB 段: BC段:2222222BqxR xM xqlx0222xMx (c)ABC12x1xABqll(a)CqABC(b)ARBRCR1x2x2111122BqxR xM xqlx0112xMx 根据莫尔积分，梁在均布载荷和 共同作用下，B点的挠度为零 0BlM x MxfdxEI211111012()222lBqxR xxqlxdxEI0BRqABCARBRCR解得 求得 求出A、C支座的反力为 作弯矩图如d所示54BqlR 34150624BR lqlEI38ACqlRRABqll(a)C(d)(+)(+)(-)218ql29

4、128ql29128ql例 若抗弯刚度EI为常量，试作出刚架的弯矩图。解 解除约束，由于C处原为活动铰支座，故变形条件为竖直向位移为零 （b）利用卡氏定理：AB段： 0CACBpll11CM xR lPxCMlRCR1x2XBC段：例 若抗弯刚度EI为常量，试作出刚架的弯矩图。22CM xR x2CMxRCR1xACBp2xC处的竖直向位移为：求得 例 若抗弯刚度EI为常量，试作出刚架的弯矩图。 CCClM xM xUdxREIR11222011llCCoR lPx ldxR x x dxEIEI3341032CR lPlEI38CRpCR1xACBp2x得弯矩图：例 若抗弯刚度EI为常量，试

5、作出刚架的弯矩图。38pl58pl38pl 在画弯矩图时，约定将图画在杆件受压的一侧。如BC杆的上侧受压，所以图画在上侧。CR1xACBp2x例例 求支座的约束反力。CpABR解解 由三个静力平衡方程可以求得：将支座B作为多余约束解除后代以水平反力2ABPRRABHHpCBHBRARABjAHB处原为固定铰支座故变形条件为水平位移为零：可得： 例例 求支座的约束反力。0B sin1cos2BPRMH Rjjj sinBMRHjjCBHBRARABjAH由卡氏定理及结构的对称性得：B点的水平位移为：例例 求支座的约束反力。 2022BCBBBBMMUURdHHEIHjjj202sin1cossi

6、n2BPRH RRRdEIjjjj331022BH RPREICBHBRARABjAH求得：例例 求支座的约束反力。ABPHH本题也可从c点截开，把两铰拱转化为三铰拱CBHBRARABjAH12.3 力法与正则方程力法与正则方程静定基静定基 变形协调条件（补充方程）变形协调条件（补充方程）解出多余约束反力解出多余约束反力 以以“力力”作为基本未知量求解作为基本未知量求解 超静定问题的方法称为超静定问题的方法称为力法力法。图a : 一次超静定梁图b : 静定基 静定基在 单独作用下 B点在 方向的位移 静定基在原有载荷作用下B点沿 方向的 位移变形协调条件 ： (b)1D1X1PD11110XP

7、D D D（a） (c)ABC1p2p1X11XD1X1X1X1PDABC12ppA(a)BCp2p1 上式中 的表示静定基在载荷和多余约束力共同作用下，B点沿 方向上的位移。为计算 ，在静定基上沿 方向作用一单位力，将B点由单位力引起沿 的位移计作1D11110XPD D D1X1D1X1X1X11ACB11(d)ABC(b)1p2p1X11XD12pp1PDABC12(c)pp1111XXD(b)(a)1111XXD11110XPD DD(a)(b)将(b)式带入(a)式得：110PXD（12-1）这就是用力法求解一次超静定系统的正则方程 求出 和 以后，可由（121）式解出未知力1pD

8、下面以三次超静定刚架为例 说明二次以上的超静定系统正则方程的形式。 以B端的约束作为多余约束， 解除后以、 、 （ 为一力偶矩）来代替。 得图b所示静定基。pAB(a)1X2X3X3XpAB1X2X3X(b) B端竖直位移（沿 方向）应该为零。 、 、 表示当 、 、 均为单位力时，且单独作用而引起的B点沿 方向的位移。 B点沿 方向的位移为1112131X2X3X1X1X11111221331PXXXD D1XpAB1X2X3X(b) 变形协调条件可写为： 11112213310PXXX D还可以写出作为固定端的B点在方向位移为零，在方向转角为零的变形协调条件。2X3X同理：pAB1X2X3

9、X(b) 最后得到一组关于多余约束反力 的非其次线性方程组 123XXX、111122133121122223323113223333000PPPXXXXXXXXXDDD（12-2） 其中， 表示由 方向上的广义单位力引起的 处沿方向的广义位移。由位移互等定理可知： ，因此，正则方程(12-2) 的独立系数只有六个。,1,2,3iji jjXiXiX,1,2,3ijjii j 根据上述原理，用力法解次超静定系统的正则方程可由（12-2）推广而来 表示成矩阵形式，即为11112211211222221122000nnPnnPnnnnnnPXXXXXXXXXDDD11121112122222120

10、nPnPnnnnnnPXXXDDD（12-4）（12-3）n 显然，正则方程式（12-3）或（12-4）中的系数也有 。因此，（12-4）中的系数矩阵是对称阵。 另外根据莫尔积分可知： 积分式中的单位载荷引起的内力是以平方形式出现的，因而总为正。例如对弯曲变形有 由于被积函数是恒正的，因此0002()iiiiillM MMdxdxEIEI0ii,1,2,3,ijjii jn1,2,3,iii小结： 以三次超静定结构为例，阐述用力法正则方程解题的一般步骤： 一. 取静定基 解除多余约束，加以相应的约束反力 二. 列正则方程： 123XXX、1111221331211222233231132233

11、33000PPPXXXXXXXXXDDD 三. 静定基在 单独作用下，写 方程或做 图。 静定基在外力单独作用下写 方程 或做 图。 四. 解方程得 。 1iX 0iM0iMpMpM123XXX、专题：专题： 对称性的应用对称性的应用 利用结构和载荷的对称性，可使某些对称结构的计算得到简化 、 对称内力 、 反对称内力 一. 结构对称 载荷对称 在对称轴截面，反对称内力为零 二. 结构对称 载荷反对称 在对称轴截面，对称内力为零 nMQMN 图（a）： 结构对称 载荷对称 从截面c截开后， 0 图（b）： 结构对称 载荷反对称 从截面c截开后， = 0 ， = 0paabbpC(a)MMNNQ

12、QCC(b)QMMNNQQCC(d)NMaabpbpC(c) 三. 作用于对称结构的某些非对称载荷，也可以转化为对称载荷与反对称载荷两者的叠加。如下图：ABCq(a)ABC2(b)对称qABC2q(c)反对称2q=+例 等截面对径受拉的圆环 求P力作用点AB间的相对位移RpABm n(a)ppAB(b)00QQ0Q0Q0M0M0MM00N0N0N0N0M解： 结构对称，载荷对称，图(b)中， 弯矩 无法由静力平衡求出，因而该圆环为一次超静定。00Q 2PN 根据对称性，静定基可取为图c所示 以弯矩 为多余约束力并改用 记之1Xp/2(c)0M1X111110PXD D （c） 表示单位力偶矩引

13、起的 截面沿 方向的转角(图d所示) 111Xmnmn1pD 由轴力 引起的 截面沿 方向的转角(图e所示)2P1X(e)jp/2nmj1(d)(d)1用正则方程可表示为：j 根据图d，e可知，静定基由于 和 引起弯矩分别为 所以由莫尔积分可得：P1cos2RMj01M 2P11X 0021102M MRRdEIEIjnmj1(d)(d)1j(e)j0210PMMRdEIjD20P1cos12RRdEIjj2122PREI 0021102M MRRdEIEIjnmj1(d)(d)1j(e)j 代入正则方程中可解出 求 出后，可以进一步求出1/4结构的弯矩方程为 1112XPR1X( )MjP1

14、11cos22RPRj1cos2PRj112REI2122PREI 1PD 为计算在 力作用下，作用点的相对位移，令原图中的 并利用上式求出单位力下环内的弯矩为 莫尔积分得 011cos( )( )2PMMRjjjP1P RABmn( )Mj1cos2PRjpp11 0204ABMMRdEIjjjR1ABmn1232041cos2PRdEIjj32()4PREI30.149PREI为正号，表示圆环的竖直直径增大AB沿C截面将其分为两部分:而截面 、 截面的剪力都是，而轴力、弯矩 是未知的。静定基可取图c所示的左半部分。例例9 如图所示，试求支座的反力ABp2l2lC(a)lCC2P1X2XAB

15、2p2p1X2X2X1XCC(c)pC(b)2p2p 变形协调条件为截面 的水平位移和转角均为零，用正则方程表示为 （e） 其中的系数可以应用莫尔积分的图乘法求得。例例 如图所示，试求支座的反力。AB2p2p1X2X2X1XCC(c)C111112212211222200PPXXXXD DD DABp2l2lC(a)l在进行图形互乘时，图形在杆件的同侧时，结果取正号；在不同侧时，结果取负号。由图可得:例例 如图所示，试求支座的反力。l1(e)111(f)23110428PPllPlEIEID2222151116416PPlPlPlEIEID 2p(d)Pl/4Pl/4将以上系数代入式（e），经简化可得联立解出 例例 如图所示，试求支座的反力。2p(d)Pl/4l1(e)111(f)2311120233lllEIEI212211022lllEIEI 22131122lllEIEI 1212103285308lPlXXPllXX18PX 26PlX 为负值，表示实际轴力与图示方向相反。 其他约束反力为 方向如图 g所示。例例 如图所示，试求支座的反力。1X8ABPHH2ABPRR24ABPlMMABp2l2lC(a)lMABp2l2lCAHBHABMARBR4pl(g)l总结：通过对上两例可以看出，利用结构及载荷的对称性，可使正则方程得到某些简化。 对于对称结构上作用对称载荷的