1.2定积分的元素法储宝增高数一ppt课件

1、 第五节第五节定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ? 第五章 表示为表示为niiixfU10)(lim一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? ? 1) 所求量所求量 U 是与区间是与区间a , b上的某分布上的某分布 f (x) 有关的有关的2) U 对区间对区间 a , b 具有可加性具有可加性 , 即可通过即可通过“分割分割, 取近似取近似, 求和求和, 取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义定积分定义一个整体量一个整体量 ; 元素法：元素法：U

2、一般地，如果所求量一般地，如果所求量符合下列条件：符合下列条件：Uxba,(1) (1) 与变量与变量的变化区间的变化区间有关；有关；U(2) (2) 对于区间对于区间具有可加性，具有可加性， ba,从而从而U U 计算出所求量。计算出所求量。iU iixf(3) (3) 部分量部分量的近似值可表示为的近似值可表示为那么可以考虑用定积分来表达这个量那么可以考虑用定积分来表达这个量的值的值, ,U 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ? ?第一步第一步 利用利用“化整为零化整为零 , 以常代变以常代变” 求出局部量的求出局部量的微分表达式微分表达式xxfUd)(d近似值近似值

3、第二步第二步 利用利用“ 积零为整积零为整 , 无限累加无限累加 ” 求出整体量的求出整体量的积分表达式积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法成为元素法这种分析方法成为元素法 (或微元分析法或微元分析法)元素的几何形状常取为元素的几何形状常取为: 条条, 带带, 段段, 环环, 扇扇, 片片, 壳壳 等等精确值精确值 具体的步骤如下：具体的步骤如下：ba,并进一步确定它的变化区间并进一步确定它的变化区间ba,n2 2设想把区间设想把区间分成分成个小区间，取其中任一小个小区间，取其中任一小dxxx,U，求出相应于这个小区间的部分量，求出相应于这个小区间的部分量的近似值的近似值. . 假设假设

4、dxxfU)(，那么，那么 dxxfdU 3 3于是作定积分，得于是作定积分，得 dxxfUba这个方法通常称为元素法或微元法）这个方法通常称为元素法或微元法）. . x根据具体问题，选取与根据具体问题，选取与 有关的积分变量，如有关的积分变量，如 ，U 一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线设曲线)0()(xfy与直线与直线)(,babxax及及 x 轴所围曲轴所围曲那么那么xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(边梯形面积为边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为右下图所示图形面积为 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxf

5、Abad)()(21xxxd 例例1. 1. 计算两条抛物线计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围在第一象限所围所围图形的面积所围图形的面积 . 解解: 由由xy 22xy 得交点得交点) 1, 1 ( , )0,0(2332x01331x31xxxAdd210AOxy图图1-4 1 例例2. 2. 计算抛物线计算抛物线xy22与直线与直线的面积的面积 . 解解: 由由xy224 xy得交点得交点)4,8( , )2,2(yyyAd)4(d221184 xy所围图形所围图形221yy442361y为简便计算为简便计算, 选取选取 y 作积分变量作积分变量,则有则有xxy22oy4 xy)4

6、,8()2,2(y42A oyxababoyx2.2.当曲边梯形的曲边由参数方程当曲边梯形的曲边由参数方程 )()(tytx给出时给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值按顺时针方向规定起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积则曲边梯形面积)(1axt对应)(1bxt对应 21ttbatttdxyAd)()( abxoyx例例3. 3. 求椭圆求椭圆12222byax解解: 利用对称性利用对称性 , xyAdd所围图形的面积所围图形的面积 . 有有axyA0d4利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得应用定积分换元法得024Atbsintt

7、ad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当当 a = b 时得圆面积公式时得圆面积公式xxd 例例4+. 4+. 求由摆线求由摆线)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20Axyoa2 3. 3. 极坐标情形极坐标情形,0)(, ,)(C设求由曲线求由曲线)(r及及,射线围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积 .)(r x d在区间在区间,上任取小区间上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为d)(212A ttadcos82042例例5. 5. 计算心形线计算心形线所围图形的所围图形的面积面积 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性利用对称性)2t令28a43212223a a2sin2a例例6. 6. 求双纽线求双纽线所围图形面积所围图形面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 ,2cos22ard2co