XH101 逻辑代数基础2012

1、 无论是数字仪表，还是计算机，其内部功能比较复杂。但其内部通常由几种或几十种最基本的电子电路组成。在这些电子电路中多数是数字逻辑电路数字逻辑电路。数字逻辑电路：数字逻辑电路：用逻辑函数进行描述的电路。、输入、输出具有一定的逻辑关系、输入、输出具有一定的逻辑关系（条件、结果）（条件、结果）、实现逻辑函数的电路叫做逻辑电路、实现逻辑函数的电路叫做逻辑电路、描述输出、输入逻辑关系的表达式叫做逻辑表达式、描述输出、输入逻辑关系的表达式叫做逻辑表达式、逻辑电路的输出、输入量，、逻辑电路的输出、输入量，都用数字量表示都用数字量表示、实现逻辑关系的电子电路、实现逻辑关系的电子电路通称为通称为门电路。门电路。

2、数字逻辑电路特点：数字逻辑电路特点：逻辑电路A0A1AnB0B1Bn 逻辑代数是分析和设计数字电路的基本工具。因此首先要了解逻辑代数有什么基本特性，逻辑代数和普通代数又有什么异同之处。逻辑代数和普通代数的区别：逻辑代数和普通代数的区别：共同点：共同点： 都用字母都用字母 A A、B B、C - C - 等表示变量。等表示变量。 仍遵守与普通代数一样的运算优先顺序（先括号、仍遵守与普通代数一样的运算优先顺序（先括号、其次乘、最后加）。其次乘、最后加）。 不同点：不同点： 这些变量这些变量 A.B.C A.B.C 的取值范围是的取值范围是 0 0 和和 1 1 。 其运算规则是按逻辑规则来定义的。

3、其运算规则是按逻辑规则来定义的。 0 0、1 1不再表示数量的大小，只代表不同的逻辑状态。不再表示数量的大小，只代表不同的逻辑状态。 在逻辑代数中，在逻辑代数中，0和和1不再表示数量的大小，只不再表示数量的大小，只代表两种不同的逻辑状态。代表两种不同的逻辑状态。 逻辑代数也用字母表示变量，这种变量称为逻辑代数也用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，每个逻辑变量的取值逻辑变量。在二值逻辑中，每个逻辑变量的取值只有只有0和和1两种。两种。 逻辑代数主要用于解决开关电路和数字逻辑逻辑代数主要用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析与设计。电路的分析与设计。 逻辑代数也用字母表示变量，这种变

4、量称为逻辑变量。在二值逻辑代数也用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，每个逻辑变量的取值只有逻辑中，每个逻辑变量的取值只有0和和1两种。两种。 在逻辑代数中，在逻辑代数中，0和和1不再表示数量的大小，只代表两种不同的逻不再表示数量的大小，只代表两种不同的逻辑状态。辑状态。逻辑代数主要用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析与设计。逻辑代数主要用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析与设计。一、基本逻辑运算：一、基本逻辑运算：与、或、非与、或、非 三种。三种。 为了便于理解基本逻辑关系的基本含义，先通过一些简单例子为了便于理解基本逻辑关系的基本含义，先通过一些简单例子作一说明。作一说明。1

5、 1、“与与”运算及与门运算及与门 逻辑与的概念：逻辑与的概念：若决定一件事的所有条件都成立，这件事的结果若决定一件事的所有条件都成立，这件事的结果就会发生。否则这件事就不会发生。这样的逻辑关系称为：就会发生。否则这件事就不会发生。这样的逻辑关系称为：逻辑与、逻辑与、逻辑乘、或称为：逻辑乘、或称为：“与与”运算。运算。能够实现与逻辑运算的电子电路称为与门电路。能够实现与逻辑运算的电子电路称为与门电路。开关断开为 0开关闭合为 1灯亮为 1灯不亮为 0假设：假设：用四个式子表示：0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 1与逻辑的表示方法：（四种）与逻辑的表示方法：（四种）真值表：真

6、值表： 将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即可得到真值表。ABF000010100111逻辑表达式逻辑表达式： 把输出与输入之间的逻辑关系写出与与运算的逻辑代数式，即为逻辑表达式。F = A BABF 220V有有0为为0全全1为为1工作波形图工作波形图 把输入和输出之间的逻辑关系用波形图的方法表示，即为工作波形图。有有0 0为为0 0，全，全1 1为为1 1逻辑图（符号）逻辑图（符号） 将逻辑函数中各变量之间的逻辑关系用图形符号表示，即为逻辑图。 把实现与逻辑运算把实现与逻辑运算的单元电路叫做的单元电路叫做与门与门。F&ABFAB 逻辑或的概念：逻辑或的概念：决定某

7、一件事的诸条件中，只要有一个或一个以上的条件满足，这件事的结果就会发生，否则结果不会发生。这样的逻辑关系称为：逻辑或、逻辑加、逻辑或、逻辑加、或称为“或或”运算。运算。0 0 = 00 1 = 11 0 = 11 1 = 1假设：假设：开关闭合为 1开关断开为 0灯亮为 1灯不亮为 0用四个式子表示：用并联开关电路简单说明或或逻辑关系：或逻辑的表示方法：或逻辑的表示方法： 220VABABF000011101111真值表：真值表：工作波形图工作波形图逻辑图（符号）逻辑图（符号）逻辑表达式逻辑表达式：F = A + B 把实现或逻辑运算的把实现或逻辑运算的单元电路叫做或门。单元电路叫做或门。有有

8、1为为1全全0为为0F11ABFAB 逻辑非的概念：逻辑非的概念：条件具备了，结果不会发生。条件不具备，结果一定发生。A F0 11 0逻辑表达式：逻辑表达式：AF 工作波形工作波形: :逻辑符号：逻辑符号：开关闭合为 1 开关断开为 0灯亮为 1灯不亮为 0假设：假设：把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门。把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门。 220VAFAF1 1AFAAA0 AA逻辑运算逻辑运算逻辑符号逻辑符号真值表真值表基本运算规则基本运算规则与与ABF000010100111ABF000011101111AA100 AAAA1AA11AAA0AA AF0110逻辑表达式逻辑表达式BAF

9、BAFAF 或或非非&ABF1ABF1AF 实际的逻辑问题比与、或、非与、或、非复杂得多。利用这三种基本逻辑关系，可以得出处理实际逻辑问题的各种复合逻辑，如与非、或非、与或非、异或、同或与非、或非、与或非、异或、同或逻辑等。1 1、 与非逻辑与非逻辑 与非逻辑是与与逻辑运算和非非逻辑运算的组合。它是将输入变量先进行与运算，然后再进行非运算。与非逻辑表达式：BAF与非门逻辑符号：能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门。&AFBAFBAFB与非门真值表：与非门真值表：A B0 00 11 01 1有有0 0为为1,1,全全1 1为为0 0与非门运算

10、顺序是：与非门运算顺序是： 先与后非先与后非即：当输入A、B中，只要有一个0,输出就是1,只有输入全为1时，输出才是0。BAF1110工作波形图：工作波形图：ABF 或非逻辑是或或逻辑运算和非非逻辑运算的组合。它是将输入变量先进行或运算，然后再进行非运算。能够实现或非逻辑运算的电路称为或非门或非门。或非逻辑表达式：或非逻辑表达式：BAF或非门逻辑符号：或非门逻辑符号：或非门真值表：或非门真值表：AB00011011BAF或非门运算顺序是：或非门运算顺序是： 先或后非先或后非1000有有1为为0,全全0为为1即：当输入A、B中，只要有一个1,输出就是0,只有输入全为0时，输出才是1。或非门工作波

11、形或非门工作波形1FAB+AFBAFBABF 与或非逻辑是与与逻辑运算和或非或非逻辑运算的组合。它是将输入变量A,B及C,D先进行与运算，然后再进行或非运算。能够实现与或非逻辑运算的电路称为与或非门与或非门。ABCDF00001000110010100110010010101101101011101000110011101011011011000110101110011110逻辑符号：逻辑符号：与或非门真值表：与或非门真值表：工作工作波形图：波形图：逻辑表达式：逻辑表达式：CDABF每组有每组有0为为1,某组全某组全1为为0。AFBCD&1ABCDFC+ABDFFABCDA,B为两个单

12、刀双掷开关。 灯亮的条件是：一个开关打在上面，另一个开关打在下面。两个开关同时打在上面或者下面，则灯不亮。假设：假设：开关打在上面为1开关打在下面为0灯亮为1灯灭为0真值表：真值表：A A B BF F0 0 0 00 00 0 1 11 11 1 0 01 11 1 1 10 0由真值表写出逻辑表达式：由真值表写出逻辑表达式：取取F=1F=1列与项逻辑式。列与项逻辑式。对任何一种输入变量组合，对任何一种输入变量组合，变量之间是变量之间是“与与”运算。运算。如果输入变量是如果输入变量是“1”,1”,记记原变量。如果输入变量是原变量。如果输入变量是“0”,0”,记反变量。记反变量。各组合之间是各

13、组合之间是“或或”逻辑关逻辑关系。系。BABABAF异或运算特点：异或运算特点：相异为相异为1 1，相同为，相同为0 0AFB220V异或异或逻辑符号：逻辑符号：异或逻辑基本运算规律：异或逻辑基本运算规律：0 0 = 0 1 1 = 01 0 = 0 1 = 1推论：推论：异或门工作异或门工作波形图：波形图：1 AA0 AAAA0AA1BABA=1AFBFAB假设：假设：开关打在上面为1开关打在下面为0灯亮为1灯灭为0灯亮的条件是：两个开关均打在上面，或均打在下面。 ABF001010100111ABBAF同或运算特点同或运算特点：相同为相同为1,1,相异为相异为0 0。同或同或逻辑符号：逻辑

14、符号：同或逻辑和异或逻辑互为反函数。同或逻辑真值表同或逻辑真值表同或逻辑表达式同或逻辑表达式ABABABABAB=1AFBAFB220V1 1、逻辑函数间的相等、逻辑函数间的相等设有两个逻辑函数F = f (A1A2-An)G = g (A1A2-An)看出：F和G都是变量 A1A2-An的逻辑函数如果:2n 种组合中每一状态组合F和G值相同，则称为F和G相等，记作F=G。如果F=G，其真值表相同。反之，F和G真值表相同，F一定等于G。因此，要证明两个逻辑函数相等，只需列出真因此，要证明两个逻辑函数相等，只需列出真值表，若真值表相同，那么这两个函数一定相等。值表，若真值表相同，那么这两个函数一

15、定相等。 CBAC,B,AF CAABC,B,AG 例：设证明 F = G证：(1)、列出F和G的真值表 从真值表中可以看出： 每一种组合 F 和 G 都相等，所以 F = G。 即：即：F F 和和 G G是同一逻是同一逻辑的两种不同表达式。辑的两种不同表达式。ABC000001010011100101110111CBACAAB0 00 00 00 01 10 01 11 1FA BCGABAC(2)、实现F和G的逻辑电路图两种不同的电路形式，表示同一种逻辑功能。两种不同的电路形式，表示同一种逻辑功能。CCBBACCA将运算符号变为逻辑符号将运算符号变为逻辑符号11&ABCABC&a

16、mp;11交换律A+B=B+AAB=BA结合律A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)C分配律A(B+C)=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)吸收律A+AB=AA(A+B)=A01律A+1=1,A+O=AA0=0,A1=A互补律重叠律A+A=AAA=A非非律反演律包含律1 AAAA BABACAABBCCAABBAABCABACBCABA0 AA两点说明：两点说明：1 1、乘法运算中乘号、乘法运算中乘号“”可以省略，可以省略，A B A B 可写可写为为ABAB2 2、运算顺序，先括号，再算乘，最后加。、运算顺序，先括号，再算乘，最后加。 这些基本定律反应了逻辑代数的基本规

17、律，其正确性都可以利用真值表加以验证。例：证明反演律BAABBABA, 00 1 1 1 1 01 0 0 1 1 10 0 0 1 1 11 0 0 0 0BABAABBAAB从真值表中看出：BABABAABBABABAAB（1 1）、代入规则）、代入规则 任何一个含变量任何一个含变量 A A 的等式中，如果将出现的等式中，如果将出现 A A 的地方，的地方，都代之一个逻辑函数都代之一个逻辑函数 F F ，则等式仍然成立。，则等式仍然成立。例1：分配律A(B+C) = AB+AC令：C = EF 代入公式A(B+EF)证:A(B+EF)用乘对加的分配率证明例2:BABAABCDBCDCD则：

18、令：A = CD证：BCDBCDCDCDBCDCD)(代入规则之所以正确： 是因为任何一个逻辑函数和任何一个逻辑变量一样，只有两种可能取值 (0 ,1),所以可以将逻辑函数当作一个逻辑变量对待。= AB+AEF= AB+AEF（2 2）、反演规则：）、反演规则： （摩根定理）目的：求原函数的反函数求原函数的反函数 已知函数为已知函数为 F F ，将，将 F F 中的所有中的所有 “ “” ” 换为换为“”，“” ” 换为换为 “” ” ，0 0 换为换为 1 1 ，1 1 换为换为 0 0，原变量换为反变量，反变量换为原变，原变量换为反变量，反变量换为原变量。得到的函数式就是原函数的反函数，或

19、称为补函数。记作量。得到的函数式就是原函数的反函数，或称为补函数。记作FCDBAFF求例1:已知解：由反演规则直接得出由反演规则直接得出DCBAF)(CDBAF由反演律得由反演律得2 2、在运算过程中适当增加括号，以保证原函数的运算顺序不变。、在运算过程中适当增加括号，以保证原函数的运算顺序不变。本例说明：本例说明： 1 1、由反演规则求反函数，比直接用反演律求反函数方便、简单。、由反演规则求反函数，比直接用反演律求反函数方便、简单。CDBA DCBA)(例2: 已知EDCBAFEDCBAF解：利用反演规则直接写出利用反演规则直接写出注意：不属于单个变量上的反号保持不变。注意：不属于单个变量上

20、的反号保持不变。（3 3）、对偶规则：）、对偶规则： 对偶式：已知函数为对偶式：已知函数为 F F ，将，将 F F 中的所有中的所有 “ “” ” 换换为为“”，“” ” 换为换为 “ “” ” ，变量保持不变变量保持不变。得到。得到的函数式就是原函数的对偶式的函数式就是原函数的对偶式 F F。例：CBAFCBAF) 1)(CABAF0CABAFCBAFCBAFF求首先了解什么是对偶式；对偶规则：对偶规则： 如果两个函数如果两个函数 F F 和和 G G 相等，那么它们各自的对偶式相等，那么它们各自的对偶式 F F 和和 G G也相等。也相等。例：F = A(B+C) 由乘对加的分配律知：F

21、= A+BC由加对乘的分配律知: G= (A+B)(A+C)G = AB+ACF = A(B+C)=AB+AC F = G F= GF= A+BC = (A+B)(A+C) 掌握对偶规则的掌握对偶规则的目的目的：当证明某一等式相等当证明某一等式相等后，根据对偶规则，其对偶式也相等。使证明的后，根据对偶规则，其对偶式也相等。使证明的式子数目减少一半。起到事半功倍的效果。式子数目减少一半。起到事半功倍的效果。 目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的基本定律，得出一些常用公式。基本定律，得出一些常用公式。ABAABAABBABAAB1证：AB

22、ABA1 BBBABAABABABAAABAA1证：ABBAA吸收律：吸收律：（互补律）说明：两个乘积项相加说明：两个乘积项相加时，若乘积项分别包含时，若乘积项分别包含B B和和/B/B两个因子。而其两个因子。而其余因子相同。则两项定余因子相同。则两项定能合并成一项，消去能合并成一项，消去B B和和/B/B两个因子。两个因子。 说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好是另一乘积项的补是另一乘积项的补（/A)/A)，则该乘积项中的则该乘积项中的/A/A是多余的。是多余的。吸收律吸收律：对偶式：对偶式：对偶式：对偶式：若若两两个个乘乘积积项项中中

23、分分别别包包含含A A和和A A两两个个因因子子，而而这这两两个个乘乘积积项项的的其其余余因因子子组组成成第第三三个个乘乘积积项项，则则第第三三个个乘乘积积项项是是多多余余的的。可可消消去去CAABBCCAABBCAACAABBCCAABBCACAB11CAABCAABBCDECAABBCDEBCCAAB证：DEBCCAAB1CAABBCCAABCABAEDCBCABA包含律：包含律：推论：推论：对偶式：对偶式：BCAABCCAAB证：BACACAABBCCAABAABACA证右：CAABBCCAAB 0BAACCABAA+BC = (A+B)(A+C)证：(A+B)(A+C)=AA+AC+A

24、B+BC=(A+AC+AB)+BC=A(1+C+B)+BC= A+BCA(B+C)=AB+AC交叉互换律：交叉互换律：对偶式：对偶式：加对乘的分配律：加对乘的分配律：对偶式：对偶式：常用逻辑函数表示方法有：1 1、逻辑真值表、逻辑真值表2 2、逻辑表达式、逻辑表达式3 3、逻辑图、逻辑图各种表示方法间的相互转换一、从真值表写出逻辑表达式一、从真值表写出逻辑表达式例：已知一个奇偶判别函数的真值表（偶例：已知一个奇偶判别函数的真值表（偶为为1,奇为奇为0)，试写出它的逻辑函数式。，试写出它的逻辑函数式。ABCY00000101001110010111011110000110BCACBACAB解：

25、当ABC=011时，1BCA使乘积项当ABC=101时，1CBA使乘积项当ABC=110时，1CAB使乘积项因此，Y的逻辑函数应当等于这三个乘积项之和。CABCBABCAY4 4、工作波形图、工作波形图通过以上例题可以总结出从真值表写出逻辑函数式的一般方法。通过以上例题可以总结出从真值表写出逻辑函数式的一般方法。1 1、找出真值表中使逻辑函数、找出真值表中使逻辑函数Y=1Y=1的输入变量取值组合。的输入变量取值组合。2 2、每组输入变量的取值组合对应一个乘积项，输入变量取值为、每组输入变量的取值组合对应一个乘积项，输入变量取值为1 1的写入原变量，取值为的写入原变量，取值为0 0的写入反变量。

26、的写入反变量。3 3、将取值为、将取值为1 1的乘积项相加，即得到的乘积项相加，即得到Y Y的逻辑函数式。的逻辑函数式。二、从逻辑表达式列出真值表二、从逻辑表达式列出真值表 将输入变量的所有状态组合逐一代入逻辑式，求出函数值，列成表，即可得到真值表。例：已知函数CBACBAY求其对应真值表。A B C000001010011100101110111CBCBAY解：将三变量所有取值组合代入Y式中，将计算结果列表。010001001000000001011111&111&11三、从逻辑表达式画出逻辑图三、从逻辑表达式画出逻辑图 用图形符号代替逻辑式中的运算符号，就可以画出逻辑图。例

27、：已知逻辑函数,CCBACBAY画出对应逻辑图。 解：将式中所有的与、或、非运算符号用逻辑符号代替，并根据运算优先顺序把这些逻辑符号连接起来，就得到Y的逻辑图。ABCABCCBACBCBACCBACBAY11111ABY四、四、从逻辑图写出逻辑表达式从逻辑图写出逻辑表达式 从输入端到输出端逐级写出每个逻辑符号的逻辑式，就得到对应的逻辑表达式。例：已知逻辑图，试写出逻辑表达式。 解：从输入A、B开始逐个写出每个逻辑符号输出端的逻辑式。ABBABABABABABAY)(BABABABABA与与-或式或式与非与非式与非与非式或或-与式与式或非或式或非或式或或-与非式与非式逻辑函数的八种形式可以用八种

28、逻辑电路来实现。逻辑函数的八种形式可以用八种逻辑电路来实现。八种不同的逻辑电路可以实现同一逻辑功能。八种不同的逻辑电路可以实现同一逻辑功能。FABCACBCABC AC BC()()()ABCACBC() () ()ABCACBCABCACBC与与-或非式或非式ABC AC BC与非与式与非与式()()()ABCAC BC()()()ABCACBC或非或非式或非或非式BCAAC ,如：BCAAC ,B C AB C如：CBACB目的：为图解化简法打好基础。目的：为图解化简法打好基础。与项：与项：逻辑变量间只进行乘运算的表达式称为与项 。 与或表达式：与或表达式：与项和与项间只进行加运算的表达式

29、称为与或表达式。如: 或项：或项：逻辑变量间只进行或运算的表达式称为或项。 或与表达式：或与表达式：或项和或项间只进行乘运算的表达式称为或与表达式。如: 在介绍逻辑函数的标准形式之前，先介绍最小项和最大项的概念，然后介绍逻辑函数的“最小项之和最小项之和”及“最最大项之积大项之积”两种标准形式。几个概念：几个概念：(1) (1) 定义：定义：最小项是一个与项。最小项是一个与项。 ( (2) 2) 特点特点： n n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个出现一次，且仅出现一次。称这个与项与项为最小项。为最小项。n n

30、 变量变量有有 2 2n n 个最小项。个最小项。例如：在三变量A、B、C的最小项中：1 1、最小项、最小项 输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1。当A=1、B=0、C=1时，乘乘积积项项A AB BC C= =1 1。如如果果将将ABCABC的的取取值值101101看看作作一一个个二二进进制制数数，所对应的十进制数就是5。5 5一一般般将将ABCABC这这个个最最小小项项记记做做m m 。按照上述约定，作出三变量最小项编号表。原取原取1,1,反取反取0.0.最小项使最小项为1的变量取值对应十进制数编号ABC00000011010201131004101511061117CBAC

31、BACBABCACBACBACABABC0m1m2m3m4m5m6m7m（3 3）最小项的重要性质）最小项的重要性质 在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为仅有一个最小项的值为1 1。所有最小项之和为所有最小项之和为1 1。1120niim任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为0 0。0jimmji 具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消去一对因子。去一对因子。ABCCABCBACBABCACBACBACBA证：ABBABABA1AA0)(CCBACBACBA证：相

32、邻性：相邻性： 若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量，若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量，则称这两个最小项具有相邻性。则称这两个最小项具有相邻性。例：CBACBABACCBA)( 定理：定理：任何逻辑函数任何逻辑函数 F F 都可以用最小项之和的形式表示。都可以用最小项之和的形式表示。而且这种形式是唯一的。而且这种形式是唯一的。真值表法：真值表法： 将逻辑函数先用真值表表示，然后再根据真值表写出最小项之和。例：将CABCCBAF表示为最小项之和的形式。解：由最小项特点知：n 个变量都出现，BC 缺变量 A ,所以 F 是一般与或式，不是最小项之和的标准形式。列：F 真值表

33、：A AC C缺缺变变量量B B, ,BCBC和和ACAC不不是是最最小小项项。000 1 0 0 1 001 0 0 0 0 010 0 0 0 0 011 0 1 0 1 100 0 0 1 1 101 0 0 0 0 110 0 0 1 1 111 0 1 0 1 CBABCCAFABCCABCBABCACBAF76430mmmmm m7 .6 .4 .3 .0ABC 由最小项性质、知：每个最小项等于1的自变量取值是惟一的。 那么：将 F = 1 的输入变量组合相加即可。1表示原变量 ,0表示反变量CABCCBAF摩根定律及配项法摩根定律及配项法 将逻辑函数反复利用摩根定律及配项法，将其

34、表示为最小项之和的形式。例1：CABCCBAF解：CABBBCAACBAFCBACABBCAABCCBA46370mmmmm m7 , 6 , 4 , 3 , 0原取原取1 1反取反取0 0例2：将表示为最小项之和的形式。ABCBAABFABCBAABABCBAAB解：ABCBAABFABCBABACCABCBABACABABCBCACBA6735mmmmm7 , 6 , 5 , 3说明：说明：全部由最小全部由最小项相加构成的与项相加构成的与- -或或表达式称为最小项表达式称为最小项表达式，是与表达式，是与- -或表或表达式的标准形式。达式的标准形式。( (都是最小项，不是都是最小项，不是全部

35、最小项全部最小项) )。(1) (1) 定义：定义：最大项是一个或项。最大项是一个或项。 (2) (2) 特点：特点： n n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个出现一次，且仅出现一次。称这个或项或项为最大项。为最大项。n n 变量变量有有 2 2n n 个最大项。个最大项。例如：在三变量A、B、C的最大项中：2 2、最大项、最大项 输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值等于0。当A=1、B=0、C=1时，或或项项（A AB BC C） = =0 0。按照上述约定，作出三变量最大项编号表。 如果将最大项为

36、0的ABC取值视为一个二进制数，并以其对应的十进制数给出最大项编号，5 5则则(A+B+C)(A+B+C)可可记记做做MM 。原取原取0,0,反取反取1 1。最大项使最大项为0的变量取值对应十进制数编号ABC00000011010201131004101511061117CBACBACBACBACBACBACBACBA0M1M2M3M4M5M6M7M（3 3）最大项的重要性质）最大项的重要性质在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有一个最大项的值为一个最大项的值为0 0。1MMji ji 所有最大项之积为所有最大项之积为0 0任意两个最大项之

37、和为任意两个最大项之和为1 1。只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。之和。例：BACBACBA(4)(4)、用最大项表示逻辑函数的方法：、用最大项表示逻辑函数的方法： 定理：定理：任何逻辑函数任何逻辑函数 F F 都可以用最大项之积的形式都可以用最大项之积的形式表示。而且这种形式是惟一的。表示。而且这种形式是惟一的。用最大项表示逻辑函数的方法有两种：用最大项表示逻辑函数的方法有两种：真值表法真值表法加对乘的分配率及配项法加对乘的分配率及配项法ABCAAABACBABBBCCACBCC证：A+B+C1ABCC1B ACC AB真值

38、表法真值表法例例：将将F= ABC+BC+ACF= ABC+BC+AC表示为最大项之积的形式。列：F 真值表000000 1 1 0 0 0 0 1 1 001001 0 0 0 0 0 0 0 0 010010 0 0 0 0 0 0 0 0 011011 0 0 1 1 0 0 1 1 100100 0 0 0 0 1 1 1 1 101101 0 0 0 0 0 0 0 0 110110 0 0 0 0 1 1 1 1 111111 0 0 1 1 0 0 1 1 ABCCBABCCAF解：把真值表中 F = 0 的输入变量，以最大项的形式表示。输入0 表示原变量，1 表示反变量。 CB

39、ACBACBAF521MMM函函数数F= ABC+BC+ACF= ABC+BC+AC既可以用最大项之积表示，又可以用最小项之和表示。M5 , 2 , 1ABCCABCBABCACBAF比较函数比较函数F F的最大项之积和最小项之和表达式，可以发现；的最大项之积和最小项之和表达式，可以发现；只要知道一种形式就可以直接写出另一种表达形式。只要知道一种形式就可以直接写出另一种表达形式。mmmmmm7643076430，例例：将将F F= = A A+ +A AB BC C CABAAAF 加对乘的分配率加对乘的分配率 CABA BBCACCBA 配项配项 BBHCCG 代入规则 BHBHCGCG 加

40、对乘的分配率加对乘的分配率 BCABCACBACBA CBACBACBA 合并项210MMM 2 , 1 , 0M加对乘的分配律及配项法加对乘的分配律及配项法表示成最大项之积和最小项之和的形式。解：最大项原变量记做最大项原变量记做0 0，反变量记做，反变量记做1 1。最小项之和为：最小项之和为：7 , 6 , 5 , 4 , 3FBAGCAHA+BA+B缺变量缺变量C,A+CC,A+C缺变量缺变量B B由以上讨论可知：全部由最大项相乘构成的或-与表达式称为最大项的标准表达式，又称为标准或-与表达式。最小项与最大项之间的关系：最小项与最大项之间的关系： 脚号相同，互为反演。脚号相同，互为反演。iiMm iimM 00MCBACBAm77MCBAABCm 7 . 4 . 3 . 2F74327432mmmmmmmmF 例1:例2:7432MMMM 7 , 4 , 3 , 2M最小项与最大项之间的关系最小项与最大项之间的关系DCBAm9 69MDCBAm DCBAm0 150MDCBAm9 . 8 . 7 . 6 . 5F例：6 , 7 , 8 , 9 ,10MF 因子相同，互为对偶。因子相同，互为对偶。150Mm 求其对偶式。141Mm 132Mm123Mm 114Mm105Mm 96Mm 87Mm最小项与对