第5章数字滤波器结构

1、第第5章章 数字滤波器结构数字滤波器结构武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院2p数字滤波器数字滤波器 (Digital Filter，DF)：其作用是对输入信：其作用是对输入信号起到滤波的作用；即号起到滤波的作用；即DF是由差分是由差分方方程程( (或单位脉冲或单位脉冲响应，或系统函数响应，或系统函数) )描述的一类特殊的离散时间系统。描述的一类特殊的离散时间系统。pDF的功能：把输入序列通过一定的运算变换成输出序的功能：把输入序列通过一定的运算变换成输出序列。不同的运算处理方法决定了滤波器的实现结构的列。不同的运算处理方法决定了滤波器的实现结构的不

2、同。不同。5.1 引言引言一、什么是数字滤波器一、什么是数字滤波器武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院3二、数字滤波器的分类二、数字滤波器的分类 滤波器的种类很多，分类方法也不同。滤波器的种类很多，分类方法也不同。p1.1.从功能上分：低通、带通、高通、带阻。从功能上分：低通、带通、高通、带阻。p2.2.从实现方法上分：从实现方法上分：FIR、IIRp3.3.从设计方法上来分：从设计方法上来分：Chebyshev(切比雪夫切比雪夫）, ,Butterworth（巴特沃斯）巴特沃斯）p4.4.从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器p等等。等等。武汉大学电气工

3、程学院武汉大学电气工程学院4(1) 经典滤波器经典滤波器p假定输入信号假定输入信号x(n)x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的频带。当有不同的频带。当x(nx(n）经过一个线性系统（即滤波器）后）经过一个线性系统（即滤波器）后即可将欲去除的成分有效地去除。但如果信号和噪声的频谱即可将欲去除的成分有效地去除。但如果信号和噪声的频谱相互重叠，那么经典滤波器将无能为力。相互重叠，那么经典滤波器将无能为力。 wc|H(ejw)|X(ejw)|wwc有用无用|Y(ejw)|wwc武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院5(2) 现代滤波器现代滤波器 它

4、主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法，然后用硬件或软件予以实现。现代滤波器理论源于维纳在1940年代及其以后的工作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。本课程主要讲述经典滤波器.武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院6 三、研究三、研究DFDF实现结构意义实现结构意义 数字滤波器是一个时域离散系统，它可以用数字滤波器是一个时域离散系统，它

5、可以用差分方程差分方程、单位脉冲响应单位脉冲响应和和系统函数系统函数表示：表示： 同一个差分方程或同一个差分方程或系统函数有不同的算法，而不同的算系统函数有不同的算法，而不同的算法将影响系统的运算误差、运算速度以及系统的复杂程度，法将影响系统的运算误差、运算速度以及系统的复杂程度，因此因此研究信号处理的算法研究信号处理的算法(DF(DF的结构的结构) )是一个很重要的问题是一个很重要的问题。)()(1)(1k0rzXzYzazbzHNkkMrr MrNkknyarnxbny01kr)()()(武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院7例如：例如： 可以证明可以证明: : ，但它们具有不同的运，

6、但它们具有不同的运算结构。算结构。 运算结构不同，所需的存储单元及乘法次数不同，前者运算结构不同，所需的存储单元及乘法次数不同，前者影响运算的复杂性，后者影响运算速度。此外，在有限精度影响运算的复杂性，后者影响运算速度。此外，在有限精度情况下，运算结构的误差、稳定性也是不同的。情况下，运算结构的误差、稳定性也是不同的。211z15. 0z8 . 011)z( H112z5 . 015 . 2z3 . 015 . 1)z( H113z5 . 011z3 . 011)z( H)z()z()z(321HHH 武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院8(1)滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无

7、限长冲激响应IIR）决定了结构上有不同的特点。(2)不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者影响复杂性，后者影响运算速度。(3)有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算结构的误差及稳定性不同。(4)好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于模块化实现，便于时分复用。武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院9p 基本结构单元基本结构单元p IIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构 直接型、级联型、并联型直接型、级联型、并联型p FIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构 直接型、级联型、频率采样型及线性相位型直接型、级联型、频率采样型及线性相位型p 格形滤波器格形滤波器*本章主要学习本章主要学习武

8、汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院105.2 基本结构单元基本结构单元p两种表示方法：两种表示方法：方框图表示法；流图表示法方框图表示法；流图表示法p数字滤波器中数字滤波器中, ,信号有三种运算：信号有三种运算：延时，乘以常数和相加延时，乘以常数和相加。p所以所以DF结构中有三个基本运算单元：结构中有三个基本运算单元：单位延时、乘法单位延时、乘法器和加法器器和加法器。p 把上述三个基本单元互联，可构成不同数字网络或把上述三个基本单元互联，可构成不同数字网络或运算结构，也有方框图表示法和流图表示法。运算结构，也有方框图表示法和流图表示法。武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院11方框图表示

9、法：方框图表示法：信号流图表示法：信号流图表示法：武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院12例例: :一阶数字滤波器一阶数字滤波器其方框图及流图结构如下：其方框图及流图结构如下：)1()()1()(101 nxanxanybny节点节点源节点源节点或或输入节点输入节点吸收节点吸收节点或或输出节点输出节点分支节点分支节点相加节点相加节点相加节点相加节点 信号流图是用信号流图是用节点节点与与有向支路有向支路描述连续或离散系统的。描述连续或离散系统的。武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院13武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院14武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院15武汉大学电气工程

10、学院武汉大学电气工程学院16武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院17武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院18IIR与与FIR滤波器比较滤波器比较武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院195.3 IIR DF的基本结构的基本结构一、一、无限长单位脉冲响应滤波器的特点无限长单位脉冲响应滤波器的特点(1)(1)系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应h(n)是无限长的是无限长的n ；(2)(2)信号流图中含有信号流图中含有输出到输入输出到输入反馈支路，反馈支路，也即结构上也即结构上是递归型的是递归型的；(3)(3)系统函数系统函数H(z)在有限在有限长长Z平面平面( (0|Z|0平面上，只有零

11、点，没有极点，平面上，只有零点，没有极点，所有极点都在所有极点都在z=0处，滤波器永远是稳定的；处，滤波器永远是稳定的； （3）结构上主要是非递归结构，但有些结构也包含反）结构上主要是非递归结构，但有些结构也包含反馈的递归部分，比如频率采样结构。馈的递归部分，比如频率采样结构。武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院515.4.2 FIR的系统函数及差分方程的系统函数及差分方程 一个有限长脉冲响应滤波器有如下形式的系统函数一个有限长脉冲响应滤波器有如下形式的系统函数其脉冲响应其脉冲响应对应差分方程对应差分方程 10n)1(1N110zzz)(NnnNbbbbzH nNnbnh其余其余010)(

12、n)1()1()()(110 NnxbnxbnxbnyN武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院525.4.3 FIR滤波器实现基本结构滤波器实现基本结构(1)横截型结构（直接型）横截型结构（直接型）(2)级联型结构级联型结构(3)频率抽样型结构频率抽样型结构(4)线性相位结构线性相位结构武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院535.4.4 直接型结构（卷积型、横截型）直接型结构（卷积型、横截型） 10z )()z(NnnnhH)()()(10mnxmhnyNm or转置转置武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院54武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院55武汉大学电气工程学院武汉大学电

13、气工程学院56例例5-4 已知已知FIR滤波器的单位脉冲响应为滤波器的单位脉冲响应为试画出其直接型结构。试画出其直接型结构。 解：解：)4(21. 0)3(11. 0)2(72. 0)1(3 . 0)()( nnnnnnh 43210.21z0.11z0.72z0.3z1z)( H武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院575.4.5 级联型结构级联型结构 当需要控制滤波器的传输零点时，可将当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)系统函数分系统函数分解成解成二阶实系数因子二阶实系数因子的形成：的形成： 即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用横截型结即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用横

14、截型结构实现。构实现。 MiNnnaaanhH122i11i0i10)zz(z )()z(武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院58级联型结构特点：级联型结构特点：p由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比直接型多，很少用。直接型多，很少用。p由于这种结构的每一节控制一对零点，因而只能在需要控由于这种结构的每一节控制一对零点，因而只能在需要控制传输零点时用。制传输零点时用。武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院59例例5-5 已知已知FIR滤波器的差分方程滤波器的差分方程432121. 011. 072. 03 . 01)(zzz

15、zzH试画出其级联型结构。试画出其级联型结构。解解 采用采用MATLAB函数函数dir2caspb=1 0.3 01.72 0.11 0.21;pC,B,A=dir2cas(b,1)运行结果运行结果pC =1pB = 1.0000 0.2514 1.5744 1.0000 0.0486 0.1334 pA = 1 0 0 1 0 0)1334. 00486. 01)(5744. 12514. 01()(2121 zzzzzH武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院605.4.6 频率抽样型结构频率抽样型结构p若若FIR DF 的冲激响应的冲激响应h(n)为有限长（为有限长（N）,则有：则有：h

16、(n)H(z)H(k)H(ejw)DFTN等分抽样等分抽样单位圆上单位圆上频响频响Z变换变换内插内插对对h(n)可以利用可以利用DFT得到得到H(k)，再利用，再利用内插公式内插公式： 1011)(1)1()(NkkNNzWkHNzzH1)频率抽样型结构的导入频率抽样型结构的导入武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院612）频率抽样型滤波器结构）频率抽样型滤波器结构 1011)(1)1()(NkkNNzWkHNzzH它是由两部分级联而成。它是由两部分级联而成。 10)(1)()(NkkczHNzHzH第一部分为梳状滤波器第一部分为梳状滤波器;第二部分由第二部分由N个个一阶网络一阶网络(谐振器

17、谐振器)组成的谐振柜组成的谐振柜。)1()(NczzH 11)()( zWkHzHkNk 101101)()(NkkNNkkzWkHzH武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院62武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院63武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院64(1)梳状滤波器梳状滤波器 它是一个由它是一个由N节延时单元所组成的梳状滤波器。它在单位节延时单元所组成的梳状滤波器。它在单位圆圆上有上有N个等分的零点个等分的零点，无极点。无极点。)1()(NczzHNkNNkezzkkNjkN 2:210,0102 而等间隔角度为而等间隔角度为即即令：令：N2(a)零、极点特性零、极点特性武汉

18、大学电气工程学院武汉大学电气工程学院65(b)幅频特性及流图幅频特性及流图2sin2)cos1(2sin)cos1()(sincos11)(22 NNNNeHNjNeeHjcjNjc 梳状滤波器信号流图梳状滤波器信号流图和幅频曲线和幅频曲线武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院66（2）谐振柜）谐振柜(a)谐振器：是一个谐振器：是一个IIR一阶网络一阶网络。11)()( zWkHzHkNk谐振器的极点：谐振器的极点：的无损耗谐振器。的无损耗谐振器。故等效为谐振频率为故等效为谐振频率为，即即处响应为无穷大，处响应为无穷大，此一阶网络在频率此一阶网络在频率kNzHkNeeWzkjkNjkN 2)

19、(22 z-1WN-kH (k)101101)()(NkkNNkkzWkHzH武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院67(b)谐振柜：谐振柜：它是由它是由N个谐振器并联而成的。个谐振器并联而成的。101101)()(NkkNNkkzWkHzH这个谐振柜的极点正好与梳状滤波器的一个零点（这个谐振柜的极点正好与梳状滤波器的一个零点（i=k)相抵相抵消，从而使这个频率（消，从而使这个频率（w=2k/N)上的频率响应等于上的频率响应等于H(k).将两部分级联起来，得到频率抽样结构。将两部分级联起来，得到频率抽样结构。)()()()()()(22kHezkHezzHzHNkjkNkjkkc 武汉大学电

20、气工程学院武汉大学电气工程学院68武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院69频率抽样型结构流图频率抽样型结构流图 1011)(1)1()(NkkNNzWkHNzzH (1)它的系数它的系数H(k)直接就是直接就是滤波器在滤波器在 处的处的频率响应。因此，频率响应。因此，控制滤控制滤波器的频率响应很直接。波器的频率响应很直接。(2)它的零、极点数目只取决它的零、极点数目只取决于于h(n)的长度，只要的长度，只要h(n)长度相同，利用同一梳状长度相同，利用同一梳状滤波器、同一结构而只有滤波器、同一结构而只有加权系数加权系数H(k)不同的谐振不同的谐振器，就能得到各种不同的器，就能得到各种不同的滤

21、波器滤波器,所以其结构可以所以其结构可以高度模块化、标准化，高度模块化、标准化，适适用于时分复用。用于时分复用。kNk 2 优优 点点武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院70缺点：缺点：(1)所有谐振器的极点都是在单位所有谐振器的极点都是在单位圆圆上上,由由 决定。考虑到系数量决定。考虑到系数量化的影响，当系数量化时，极点化的影响，当系数量化时，极点会移动，有些极点就不能被梳状会移动，有些极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消，（零点由滤波器的零点所抵消，（零点由延时单元决定，不受量化的影响）延时单元决定，不受量化的影响）影响系统的稳定性。影响系统的稳定性。(2)所有的相乘系数及所有的相乘系数

22、及H(k)都是复都是复数，完成复数相乘，对硬件实现数，完成复数相乘，对硬件实现不方便。不方便。kNW武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院71注：修正的频率抽样结构注：修正的频率抽样结构p为了克服系数量化后可能不稳定的缺点，将频率抽样为了克服系数量化后可能不稳定的缺点，将频率抽样结构做一点修正。即将所有零极点都移到单位圆内某结构做一点修正。即将所有零极点都移到单位圆内某一靠近单位圆、半径为一靠近单位圆、半径为r(r1)的圆上，同时梳状滤波的圆上，同时梳状滤波器的零点也移到器的零点也移到r圆圆上。（即将频率采样由单位上。（即将频率采样由单位圆圆移到移到修正半径修正半径r的的圆圆上）上）p为了使

23、系数是实数，可将共轭根合并，这些共轭根在为了使系数是实数，可将共轭根合并，这些共轭根在半径为半径为r的圆周上以实轴的圆周上以实轴呈呈对称分布。对称分布。武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院72武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院73武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院74武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院75武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院7612122111011221121011/)cos()()()(NkkkNNzrzkNrzrzNHrzHNzrzH）N=偶数偶数武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院77武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院78N=奇奇数数

24、武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院79例例5-6 设设 求解并画出频率采样结构。直接调用直接调用dir2fs函数程序函数程序 ph=1,2,3,2,1/9;pC,B,A=dir2fs(h)运行结果运行结果pC = 0.5818 0.0849 1.0000pB = -0.8090 0.8090；0.3090 -0.3090pA =1.0000 -0.6180 1.0000； 1.0000 1.6180 1.0000； 1.0000 -1.0000 011618. 11309. 0309. 00849. 0618. 11809. 0809. 05818. 051)(12112115 zzzz

25、zzzzzH( )1/9,2/9,3/9,2/9,1/9h n 武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院80因为M5是奇数，因此只有一个一阶节环。11618. 11309. 0309. 00849. 0618. 11809. 0809. 05818. 051)(12112115zzzzzzzzzH1-0.8090.8090.309-0.3090.618-1-1.1680.58180.084810.2)(ny5 z武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院81武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院825.4.7 线性相位线性相位FIR结构结构 h(n)是实序列且对是实序列且对 (N-1)/2 偶

26、对称或奇对称。偶对称或奇对称。 式中，式中，“+”号代表第一类线性相位；号代表第一类线性相位；“”号代表第号代表第二类线性相位。二类线性相位。 满足上述条件，那么这种满足上述条件，那么这种FIR滤波器就具有严格的线滤波器就具有严格的线性相位。性相位。（1）线性相位条件）线性相位条件) 1()(nNhnh武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院83令令n=N-1-m代入代入,m=n再应用线性再应用线性FIRFIR特性：特性：（a）N=奇数奇数 112121121010)()21()()()(NNnnNNnnNnnznhzNhznhznhzH 1210)1(211210)1()21()(NnnNNNnnznNhzNhznh)() 1(nhnNh21)1(1210)21()( NnNNnnzNhzznh（2）线性相位结构）线性相位结构武汉大学电气工程学院武汉大学电气工程学院84“+”号表示号表示h(n)是偶