曲线的参数方程和与普通方程的互化（课堂PPT）

1、12第二讲第二讲 参参 数数 方方 程程1、参数方程的概念、参数方程的概念3（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标标x 、y都是某个变数都是某个变数t的函数，即的函数，即并且对于并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的的每一个允许值，由上述方程组所确定的点点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的做这条曲线的参数方程参数方程 ，联系，联系x、y之间关系的变数之间关系的变数叫做叫做参变数参变数，简称，简称参数参数。参数方程的参数可以是有。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可

2、以是没有明显意义的物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。变数。)()(tgytfx（2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程普通方程。42、参数方程和普通方程、参数方程和普通方程 的互化的互化5（1 1）普通方程化为参数方程需要引入参数。）普通方程化为参数方程需要引入参数。如：如：直线直线L 的普通方程是的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程在普通方程在普通方程xy=1中，令中，令x = tan ,可以化为参数方程可以化为参数方程 .22,tytx（t为

3、参数）为参数）.cot,tanyx （为参数）6（2 2）参数方程通过消元（代入消元、加减消元、利用三角恒）参数方程通过消元（代入消元、加减消元、利用三角恒等式消元等）消去参数化为普通方程。等式消元等）消去参数化为普通方程。如：如：参数方程参数方程.sin,cosrbyrax消去参数 可得圆的普通方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2.42,tytx参数方程（t为参数）可得普通方程y=2x-4y=2x-4通过代入消元法消去参数t ,（x0 x0）。）。注意：注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x x，y y的取值范

4、的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的围保持一致。否则，互化就是不等价的. 7例例1 1、把下列参数方程化为普通方程，把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？并说明它们各表示什么曲线？1()12tytx=t(1)为参数sincos().1 sin2y x=(2)为参数8(1)1 1231)11xtyx 解解：因因为为所所以以普普通通方方程程是是（x x这这是是以以（， ）为为端端点点的的一一条条射射线线（包包括括端端点点）2(2)sincos2sin()42, 2,2, 2 .因为：所以所以普通方程是xxxy x 9例、例、求参数方程求参数方程)20()sin1 (21|,

5、2sin2cos|yx表示表示 （ ）（A）双曲线的一支，这支过点（）双曲线的一支，这支过点（1，21）：）：（B）抛物线的一部分，这部分过（）抛物线的一部分，这部分过（211， ）；）；（C）双曲线的一支，这支过点（）双曲线的一支，这支过点（1，21）；）；（D）抛物线的一部分，这部分过（）抛物线的一部分，这部分过（1，21）B10分析分析:一般思路是：化参数方程为普通方程一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。求出范围、判断。解解:x2=2)2sin2(cos=1+sin=2y， 普通方程是x2=2y，为抛物线。 )42sin(2|2sin2cos|x，又02，0 x2，故应选（B

6、）说明说明: 这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法是最好的方法。是最好的方法。11例例3 3 (1)设x=3cos ， 为参数；2.tt(2)设y=， 为参数22194xy求椭圆的参数方程。3cos2sin解 ： （ 1） 参 数 方 程 是为 参 数 。xy 223 13 1222xtxtytyt （）参参数数方方程程是是或或12例例4、将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1

7、- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或或x- 2）步骤：步骤：（1）消参；）消参； （2）求定义域。）求定义域。1321)5()(21)(21)4(sinsin) 3()2(2111. 122yttxeeyeextytxtytxtytxtttt）（方程化下列参数方程为普通练习14x,yx,y范围与范围与y=xy=x2 2中中x,yx,y的范围相同，的范围相同，2tytx代入代入y=xy=x2 2后满足该方程，从而后满足该方程，从而D D是曲线是曲线y=xy=x2 2的一种参数方程的一种参数方程. .2224sin A B C Dsinxtx tx txtyty ty ty t、2 2、曲线、曲线y=xy=x2 2的一种参数方程是（的一种参数方程是（ ）. . 注意：注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须在参数方程与普通方程的互化中，必须使使x x，y y的取值范围保持一致。否则，互化就是的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的不等价的. . 在在y=xy=x2 2中，中，xR, y0 xR, y0，分析分析: :发生了变化，因而与发生了变化，因而与 y=xy=x2 2不等价；不等价；在在A A、B B、C C中，