线性代数行列式

1、 本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及其计算方法，最后介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的Cramer法则。本章的重点内容是行列式的计算，主要是利用行列式性质和行列式展开法则。1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式：一、二元线性方程组与二阶行列式：二元线性方程组：22221211212111bxaxabxaxa（1. 1）分别消去变量x2、x1可得：(a11 a22 a12 a21 ) x1= b1 a22 a12 b2； (a11 a22 a12 a21 ) x2= a11 b2 b1 a21；当a11 a22 a12 a21 0时，求得方程组(1.1)的解为

2、：第一章第一章 行列式行列式153123) 1(626312781542353425例如：122122112121121122122111221221b a -a ba b -b ax =x =a a -a aa a -a a，11122122aaaa11122122aaaa上述二阶行列式的定义可用对角线法则对角线法则 记忆。于是有：若记：11122122,aaDaa则(1.1)的解为：DDxDDx2211，1112112212212122aaa aa aaa，即：称a11a22a12a21为数表所确定的二阶行列式，记为1121222b,baDa1112212bbaDa 例例1 1 求解二元线

3、性方程组：731322121xxxx解解 由于，011921332D因此2112211DDx2217311D1173122D，。，1111122DDx二、三阶行列式二、三阶行列式 定义定义1.1 1.1 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa（1.2）（1.3） (1.3)式称为数表(1.2)所确定的三阶行列式。111213212223313233aaaaaaaaa332211aaa312312aaa322113aaa322311aaa332112aaa312213aaa记323142321D例例2 2 计算三阶行列式 例例3 3 求解方程04216

4、41112xx解解 方程左端的三阶行列式即2x212x+16=0 ， 解得 x=2 或 x=4。 解解 D= 126+12+36+12+2=68D=4x2+32+4x16x162x2 =2x212x+16 对三元线性方程组：333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa若记：332312222111211333331232211311123332323222131211333231232221131211baabaabaaDabaabaabaDaabaabaabDaaaaaaaaaD， 则当系数行列式D0时，仍然有解： DDxDDxDDx

5、332211， 共有6种放法，这六个不同的三位数是： 123，132，231，213，312，321 由引例可知所有不同的3级排列共有6个。一般地，所有不同的n级排列共有n!个。 引例引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解解 这个问题就是把三个数字分别放在百位、十位和个位上，共有几种不同的放法? 定义定义1.2 1.2 由n个数 1,2,3,n 所组成的一个有序数组称为一个n n级排列级排列。2 2 排排 列列 在一个排列中，当某两个数的先后次序与标准次序不同时，即较大的数排在较小的数前面，就说这两个数构成一个逆序逆序。 对n个自然数，通常规定从小到大为标准次序，

6、一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数逆序数。例如: 排列123中没有逆序，其逆序数为(123)0； 排列132中有32一个逆序，其逆序数为(132)1； 排列213中有21一个逆序，其逆序数为(213)1； 排列231中有21、31二个逆序，则(231)2； 排列312中有31、32二个逆序，则(312) 2； 排列321中有32、31、21三个逆序，则(321)3. 用(j1j2jn)表示n级排列j1j2jn的逆序数。 逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列偶排列。例如: 123、231、312为偶排列, 132、213、321为奇排列。 一般地，对n个自然

7、数的一个排列 p1,p2,pn 考虑数pi(i=1,2,n) , 如果比pi大的且排在pi 前面的数有ti 个, 就说数pi的逆序数是ti , 全体数的逆序数的总和 例例4 4 求排列24351的逆序数。 解解 (24351)=t1+t2+t3+t4+t5=0+0+1+0+4=5 t=t1+t2+tn就是这个排列的逆序数。n1iit 在排列中, 对调任意两个元素的位置的变换叫做对换对换。例如：1325453214，1325414253都是对换。 定理定理1.11.1 对排列进行一次对换, 改变排列奇偶性。 证证 先证相邻对换的情形. 设a1akabb1bm经一次相邻对换变为a1akbab1bm

8、。显然, 数 a1，ak，b1，bm，的逆序数经对换并未改变,而a，b两数的逆序数改变为: 当ab时, 对换后a的逆序不变, b的逆序减少1; 当ab时, 对换后a的逆序增加1, b的逆序不变。所以对换后, 改变排列的奇偶性。 再证一般对换的情形. 相当于先对a进行m次相邻对换变成a1alb1bmabc1c2cn, 设排列 a1alab1bmbc1c2cn经一次对换变为 a1albb1bmac1c2cn再对b进行m+1次相邻对换变为a1albb1bmac1c2cn。 从而改变排列奇偶性。 证毕。 推论推论1 对排列做奇数次对换改变排列的奇偶性，对排列做偶数次对换不改变排列的奇偶性。 推论推论2

9、 在所有n(n1)级排列中, 奇、偶排列个数相同。 推论推论3 对任意n级排列j1j2jn，都可以经过最多n1次对换变为标准次序排列12n，并且所做对换的次数与原排列有相同的奇偶性。3 n3 n阶行列式的定义阶行列式的定义三阶行列式定义为312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa123123123111213()212223123313233( 1)p p ppppp p paaaaaaaaaaaa而且，同样的结论对二阶行列式也成立，即1212121112()122122(

10、1)p pppp paaaaaa也可写成 定义定义1.3 1.3 设有n2个数，排成n行n列的数表nnnnnnaaaaaaaaa.212222111211 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积的代数和121212(.)12.( 1).nnnp ppppnpp ppaaa称为n阶行列式，记作nnnnnnaaaaaaaaaD.212222111211简记为det(aij)或|aij|n。数aij称为行列式det(aij)的元素。 n=1时, 一阶行列式|a|=a, 不要和绝对值符号相混淆。 例例5 5 计算对角行列式1122nnaaDa(12. )1122( 1).nnna aa nnaaa.2

11、211121212(.)12.( 1).nnnp ppppnpp ppDaaa 解解 按定义有 例例6 6 计算对角行列式1211nnnaaDa 解解 按定义有 (1).112(1)1( 1).n nnnna aa (1)212(1)1( 1).n nnnna aa 121212(.)12.( 1).nnnp ppppnpp ppDaaa 例例7 7 计算下列行列式11121222nnnnaaaaaDa121212(.)12.(1)( 1).nnnp ppppnpp ppDaaa解(12. )1122( 1).nnna aa nnaaa.2211 (1) (1) 下三角下三角行列式112122

12、12nnnnaaaDaaa (2) (2) 上三角上三角行列式121212(.)12.(2)( 1).nnnp ppppnpp ppDaaa(12. )1122( 1).nnna aa nnaaa.2211作作 业业习题习题A A 第第2222页页1、2、3、4、5、6、7练习题练习题习题习题B B 第第2525页页1、 2、 34 4 行列式的性质行列式的性质 下面讨论行列式定义的另一种表示方法。由于121212()12( 1).nnnp ppppnpp ppDaaa121212(12. )()12( 1).nnnnp ppppnpp ppaaa1 2121 2()(12. )12( 1).

13、nnnq qqnqqq nq qqa aa1 2121 2()12( 1).nnnq qqqqq nq qqa aa所以，n阶行列式也可定义为121212(.)12.( 1).nnnp ppppp np ppDaaa 对行列式nnnnnnaaaaaaaaaD.212222111211称相应的行列式nnnnnnTaaaaaaaaaD.212221212111为行列式D的转置行列式，也记为D。 性质性质1 1 行列式与其转置行列式相等。即D=DT。 由此性质可知, 行列式中的行与列具有相等的地位, 行列式的性质凡是对行成立的对列同样成立，反之亦然。 证明证明 记D=det(aij)，DT=det(

14、bij)，所以aij=bji，由行列式定义可得：121212(.)12.( 1).nnnp ppTppp np ppDb bb121212(.)12.( 1).nnnp ppppnpp ppaaaD 性质性质2 2 行列式可以按行(列)提取公因子，即1112111121121211212.nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaDkakakak aaakDaaaaaa其中，D1=|aij|n 证明证明121212()12( 1).().ninnp ppppipnpp ppDaakaa121212()12( 1).ninnp ppppipnpp ppkaaaa1kD 推论推论 行列式中某

15、一行(列)元素全为零时，其值为零。 性质性质3 3 行列式两行(列)互换，行列式变号，即 证明证明 11121111211212112121212.nnjjjniiiniiinjjjnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDDaaaaaaaaaaaa 12112(.)1.( 1).njinnp pppjpipnpp ppDaaaa12112(.)11.( 1).nijnnp pppipjpnpp ppaaaaD 性质性质4 4 行列式某两行(列)元素相同, 则行列式为零。 性质性质5 5 行列式某两行(列)元素成比例, 则行列式为零。 性质性质6 6 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之

16、和,则行列式可分成两个行列式之和。即11121111211112111221212121212.nnniiiiininiiiniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 证明证明 12112(.)1.( 1).().niinnp pppipipnpp ppDaaaa1212111212(.)(.)11.( 1).( 1).nnininnnp ppp pppipnppipnpp ppp ppaaaaaa 性质性质7 7 行列式某一行(列)的若干倍加到另一行(列)对应的元素上，行列式不变, 即111211112112121211221212.nni

17、iiniiinjjjnjijijninnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaakaakaakaaaaaaa 利用行列式的性子把行列式化为三角行列式 来计算行列式的值，是计算行列式的常用方法之一。21170011004410223115433)15(rrr4000110044102231154334317)15(rrrrr33302117004410223132235rrrr1515002117004410223132242335rrrrrr7231401431252132) 1 (D131322125301442317ccD 解解333044101350223114122rrrr333

18、013504410223132rr例例6 6 计算下列行列式713244101350223112rr2117001515004410223143rr= 603.11.1.311.13)2(nD解解3.11.1.312.22.21nnnDnrrrn3.11.1.311.11)2()2(1nnr2.00.0.201.11)2n(1n1312rr.rrrr12)2(nndcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD3610363234232)3(解解cbabaacbabaacbabaadcbaDrrrrrr363023200233412baabaacbabaadcbarrrr

19、30020002334abaacbabaadcbarr0002000344abzaybyaxxbyaxbxazzbxazbzayybbzaybyaxzbyaxbxazybxazbzayxabzaybyxbyaxbxzbxazbzybaybyaxzaxbxazyazbzayxabzayyxbyaxxzbxazzybybyaxzxbxazyzbzayxa22bzyxbyxzbxzybyaxzxazyzayxa22zyxyxzxzybyxzxzyzyxa33yxzxzyzyxbyxzxzyzyxa33yxzxzyzyxba)(3333()axbyaybzazbxxyzaybzazbxaxbyabyz

20、xazbxaxbyaybzzxy证明证明bzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyaxbzaybyaxbxbyaxbxazbzbxazbzaybybzaybyaxazbyaxbxazaybxazbzayax(4)(4)证明证明1213112232131231230000nnnnnnaaaaaaDaaaaaa 解解例例7 7 设n为奇数，且满足aijaji(i,j1,2,n)，求D =|aij|的值。12131122321312312300( 1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa =D所以，D0。作作 业业习题习题A A 第第2222页页8、 95 5 行列式

21、展开定理行列式展开定理 在n阶行列式D中, 去掉元素aij所在的第i行和第j列, 留下来的 n1阶行列式称为行列式D的(i, j)位置的余子式, (也称为元素aij的余子式), 记作Mij， 称Aij = (1)i+j Mij 为D的(i, j)位置的代数余子式或元素aij的代数余子式。 例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 中， M23=444241343231141211aaaaaaaaa，A23=(1)5M23=M23。 引理引理 若行列式D的第i行中只有元素aij不为零, 则D等于aij与其代数余子式的乘积, 即D= a

22、ij Aij。 证证 先证aij位于第n行第n列的情形，此时11121( 1)121222( 1)2( 1)1( 1)2( 1)( 1)( 1)000nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaDaaaaa121212(.)12.( 1).nnnp ppppnpp ppaaa121121121(.)121.( 1).nnnp ppnppnpnnp ppnaaaa121121121(.)121.( 1).nnnp ppnnppnpp ppaaaannnnnnnnAaMannnnnjnjnnnnnjnjnnninijijiiijnnjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD11111111111

23、1111111111111111.00.0.0.00.0.0.) 1(111212122211111111111111111.1211ijnnnnnjnjnninijijiininijijiinnjjinrrrrrraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDnniiiiijnjnnnjnjnjinijijiijinijijiijnjjjinrrrrrrccccccaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDnniiiinnjjjj0.00.0.) 1(2112222122111211111112111112.12111211ijijijijjiAaMa) 1( 定理定理3 3 行列式等于它的

24、任何一行(列)元素与对应的代数余子式乘积之和，即niAaAaAaAaDnkikikininiiii,.2 , 1.12211njAaAaAaAaDnkkjkjnjnjjjjj,.2 , 1.12211 再证一般情形，此时有nnnniniinaaaaaaaaaD.00.0.00.0.212111211证明证明nnnniniinaaaaaaaaaD.212111211nnnninaaaaaaa.0.0.21111211nnnninaaaaaaa.0.0.21211211nnnninnaaaaaaa.00.2111211inin2i2i1 i1 ia.aaAAA7231401431252132D30

25、3340141053213214122rrrr10305154582321cccc3=3（4020）60 下面用此方法计算例6(1)中的行列式： 利用行列式按行(列)展开法则(主要用引理),并结合行列式的性质, 把行列式逐次降阶, 是计算行列式最常用的方法之一。31) 1(33341415323) 1(5548例例8 8 计算dcdcdcbababaDn2aDn2 解解bd0dcdcba0ba0cdcdcbaba0d0dcdcba0baaDn20cdcdcbaba0bdcdcbabaaddcdcbababc22)(nDbcad422)(nDbcad21)(.Dbcadnnbcad)(例例9 9

26、 证明Vandermonde行列式1112112222121)(.1.11jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD注：“”表示求积。1212212)(11jijixxxxxxD 证证 用数学归纳法，n=2时， Vandermonde行列式 结果成立, 现假设对n-1阶Vandermonde行列式结果成立, 证明对n阶Vandermonde行列式结果也成立。为此，设法把Dn降阶：0.)()(.0.)()(0.1.11222211221121.21112nnnnnnnnrxrrxrrxrnxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnn2112222111122111211)(.)()(.

27、)(.)()(.) 1(nnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx212221121121.1.11).()(nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx11121)().()(jinjinnnnxxxxxxxx1)(jinjixx 推论推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ji ,0aa.aan1kjkikjnin2j2i1 j1 iAAAAji0aa.aan1kkjkinjnij2i2j1i 1，AAAAnn2n1njn2j1 jin2i1 in11211jnjn2j2j1 j1 ja.aa.a.aa.a

28、.aa.a.aaa.aaAAA 证明证明 nn2n1nin2i1 iin2i1 in11211jnin2j2i1 j1 ia.aa.a.aa.a.aa.a.aaa.aaAAA=0因此有关于代数余子式的重要性质：ji, 0ji,Dan1kjkikAji, 0ji,Dan1kkjkiA 在n阶行列式D中, 取定k个行：第i1, 第i2, , 第ik行 (1i1i2ik n)；再取定k个列：第j1, 第j2, , 第 jk 列 (1j1j2jk n)；位于这k行，k列交叉点上的k2个元素保持它们相互位置关系不变而构成的一个k阶行列式称为行列式D的一个k阶子式, 记作N. n阶行列式D中, 去掉这k行

29、，k列剩下的(nk)2个元素保持它们相互位置关系不变而构成的一个(nk)阶行列式称为N的余子式, 记作M. 而 称A= M称为N的代数余子式。例如，对行列式1212() ()( 1)kkiiijjj7231401431252132D 由1, 3两行构成的所有二阶子式共有6个，分别为对应的代数余子式分别为7231401431252132D123,41N 221,40N 322,44N 431,10N 532,14N 612.04N 113,27A 223,37A321,32A 453,17A 551,12A652.13A 定理定理4(Laplace4(Laplace展开定理展开定理) ) 若在n

30、阶行列式D中选定k个行(1kn), 则D等于由这k个行产生的所有k阶子式与它们相应的代数余子式的乘积之和。 例例1010 计算行列式 n阶行列式D中选定k个行后, 由这k个行产生的所有k阶子式应该有Cnk 个。!()!nk nk7231401431252132D 解解 D=N1A1+N2A2+N3A3+N4A4+N5A5+N6A6 =60 例例11 11 计算行列式2312020341340307D 解解 按第2行，第4行展开，则有 D=(2 4) (2 4)2321( 1)3743 =232=46 例例1212 证明行列式的乘法公式111211112111121212222122221222

31、121212nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaabbbcccaaabbbcccaaabbbccc其中，1,( ,1,2,., )nijikkjkca bi jn 证明证明111212122212111212122212000000000100010001nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabbbbbbbbb左111212122212111212122212000000000100010001nnnnnnnnnnnncccccccccbbbbbbbbb右6 Cramer6 Cramer法则法则 Cramer Cramer法则法则 如果线性方程组：nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.22112222212111212111的系数行列式不等于零，即0.1111nnnnaaaaD则此方程组有唯一解，且可表示为：DDxDDxDDxnn.,2211nn1njn1nj1nn21j221j221n11j111j111ja.aba.a.a.aba.aa.aba.aD其中,Dj(j=1,2,n)是用方程组右端的常数项代替行列式D的第j列