材料力学【刘鸿文第四版】第三章扭转

1、刘鸿文主编刘鸿文主编( (第第4 4版版) ) 高等教育出版社高等教育出版社目录目录第三章第三章 扭扭 转转第三章第三章 扭扭 转转3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.3 3.3 纯剪切纯剪切3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形3.7 3.7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念汽车传动轴汽车传动轴3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例汽车方向盘汽车方向盘3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 杆件受到大小相等杆件受到大小相等

2、, ,方向相反且方向相反且作用平作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用面垂直于杆件轴线的力偶作用, , 杆件的横截杆件的横截面绕轴线产生相对转动。面绕轴线产生相对转动。 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴圆轴扭转扭转。扭转受力特点扭转受力特点及变形特点及变形特点: :3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例直接计算直接计算1.1.外力偶矩外力偶矩3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输入功：电机每秒输入功：外

3、力偶作功完成：外力偶作功完成：1000(N m)WP602nMWe已知已知轴转速轴转速n n 转转/ /分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me ePP3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图T = Me2.2.扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图用截面法研究横用截面法研究横截面上的内力截面上的内力扭矩正负规定扭矩正负规定右手螺旋法则右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为正正(+),(+),反之为反之为负负(-)(-)3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的

4、计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图扭矩图扭矩图 3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图解解: :(1)(1)计算外力偶矩计算外力偶矩例题例题3.13.13.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 传动轴传动轴, ,已知转速已知转速 n=300r/min,n=300r/min,主动轮主动轮A A输入功率输入功率P PA A=45kW,=45kW,三个从动轮输出功率分别为三个从动轮输出功率分别为 P PB B=10kW,P=10kW,PC C=15kW,=15kW,P PD D=20kW.=20kW.试绘轴的扭矩图试绘轴的扭矩图. .9549

5、/eMP n由公式由公式(2)(2)计算扭矩计算扭矩(3)(3) 扭矩图扭矩图3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图max1432TN m 传动轴上主、传动轴上主、从动轮安装的位从动轮安装的位置不同，轴所承置不同，轴所承受的最大扭矩也受的最大扭矩也不同。不同。BMCMA AB BC CD DAMDM31432ATMN m A AAM3T318N318N. .m m795N795N. .m m1432N1432N. .m m3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3

6、.3 3.3 纯剪切纯剪切一、薄壁圆筒扭转时的切应力一、薄壁圆筒扭转时的切应力 将一薄壁圆筒表面用纵向平将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分；行线和圆周线划分；两端施以两端施以大小相等方向相反一对力偶矩大小相等方向相反一对力偶矩。 圆周线大小形状不变，各圆圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变；周线间距离不变；纵向平行线纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个角度。只是倾斜了一个角度。观察到：观察到：结果说明横截面上没有正应力结果说明横截面上没有正应力3.3 3.3 纯剪切纯剪切 采用截面法将圆筒截开，采用截面法将圆筒截开，横截面上分布有与截面平行横截面

7、上分布有与截面平行的切应力。由于壁很薄，可的切应力。由于壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀分以假设切应力沿壁厚均匀分布。布。2eMrr 由平衡方程由平衡方程 ，得，得0zM 22eMr二、切应力互等定理二、切应力互等定理3.3 3.3 纯剪切纯剪切 在相互垂直在相互垂直的两个平面上，的两个平面上，切应力必然成对切应力必然成对存在，且数值相存在，且数值相等；两者都垂直等；两者都垂直于两个平面的交于两个平面的交线，方向则共同线，方向则共同指向或共同背离指向或共同背离这一交线。这一交线。纯剪切纯剪切 各个截面上只有切应各个截面上只有切应力没有正应力的情况称为力没有正应力的情况称为纯剪切纯剪切切应力互等

8、定理：切应力互等定理：3.3 3.3 纯剪切纯剪切三、切应变三、切应变 剪切胡克定律剪切胡克定律 在切应力的作用下，在切应力的作用下，单元体的直角将发生微小单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量的改变，这个改变量 称称为切应变。为切应变。 当切应力不超过材料当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应的剪切比例极限时，切应变变 与切应力与切应力成正比，成正比，这个关系称为这个关系称为剪切胡克定剪切胡克定律律。 GG 剪切弹性模量剪切弹性模量(GN/m2) 各向同性材料，各向同性材料，三个弹性常数之间的三个弹性常数之间的关系：关系：2(1)EG3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力1.1

9、.变形几何关系变形几何关系观察变形：观察变形： 圆周线长度形状不变，各圆周线长度形状不变，各圆周线间距离不变，只是绕轴圆周线间距离不变，只是绕轴线转了一个微小角度；线转了一个微小角度；纵向平纵向平行线仍然保持为直线且相互平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个行，只是倾斜了一个微小微小角度。角度。圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转的平面假设： 圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。且相邻两截面间的距离不变。M Me ex xppqqM

10、Me ex xppqqM Me eM Me e3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力_扭转角（扭转角（radrad）_ddxdx微段两截面的微段两截面的相对扭转角相对扭转角边缘上边缘上a a点的错动距离：点的错动距离：aaRddxdRdx边缘上边缘上a a点的切应变：点的切应变： 发生在垂直于半径的平面内。发生在垂直于半径的平面内。MeppqqMexdOdcabRdxabppqq3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力dxd dR距圆心为距圆心为的圆周的圆周上上e e点的错动距离：点的错动距离：ccddx 距圆心为距圆心为处的处的切应变：切应变：ddx也发生在垂直于也发生在垂

11、直于半径的平面内。半径的平面内。ddx扭转角扭转角 沿沿x x轴的变化率。轴的变化率。dOdcabRdxabppqqee3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力2.2.物理关系物理关系根据剪切胡克定律根据剪切胡克定律GdGGdx距圆心为距圆心为 处的处的切应力：切应力：垂直于半径垂直于半径横截面上任意点的切应力横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离与该点到圆心的距离 成正比。成正比。3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3.3.静力关系静力关系ATdA2AATdAdGdAdxdAIAp2横截面对形心的极惯性矩横截面对形心的极惯性矩pIdGdxpdTGIdxpTI3.4 3

12、.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力公式适用于：公式适用于：1 1）圆杆）圆杆2 2）maxp令令抗扭截面系数抗扭截面系数ptIWRmaxtTW 在圆截面边缘上，在圆截面边缘上，有最大切应力有最大切应力 横截面上某点的切应力的横截面上某点的切应力的方向与扭矩方向相同，并垂直方向与扭矩方向相同，并垂直于半径。切应力的大小与其和于半径。切应力的大小与其和圆心的距离成正比。圆心的距离成正比。实心轴实心轴3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力与与 的计算的计算pItW/tpWIR3116DpITmaxtWT空心轴空心轴令令则则3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力/(/2)tpW

13、ID3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力实心轴与空心轴实心轴与空心轴 与与 对比对比pItW/tpWIR3116D/(/2)tpWID3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力扭转强度条件：扭转强度条件： tmaxmaxWTmaxmaxmax()tTWmaxmaxtTW1. 1. 等截面圆轴：等截面圆轴：2. 2. 阶梯形圆轴：阶梯形圆轴：3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力强度条件的应用强度条件的应用 maxmaxtTW（1）校核强度）校核强度 tmaxmaxWT（2）设计截面）设计截面 maxtTW （3）确定载荷）确定载荷 tmaxWT3.4 3.4 圆轴扭

14、转时的应力圆轴扭转时的应力例例3.23.2 由无缝钢管制成的汽车传动由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径轴，外径D D=89=89mmmm、壁厚壁厚 =2.5=2.5mmmm，材料为材料为2020号钢，使用时的号钢，使用时的最大扭矩最大扭矩T=T=19301930N Nm m, , =70=70MPaMPa. .校核此轴的校核此轴的强度。强度。34340.9450.2(1)0.28.9 (10.945 )29tdDWD 6max6193066.7 10 Pa29 1066.7MPa 70MPatTW3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力例例3.33.3 如把上例中的传动轴改为实如把上例中

15、的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。并比较实心相同，试确定其直径。并比较实心轴和空心轴的重量。轴和空心轴的重量。解：解：当实心轴和空心轴的最大应力同当实心轴和空心轴的最大应力同 为为 时，两轴的许可扭矩分别为时，两轴的许可扭矩分别为311 16tTWD34342(1) (90) (1 0.944 ) 1616TD若两轴强度相等，则若两轴强度相等，则T T1 1=T=T2 2 ，于是有于是有 3341(90) (1 0.944 )D 153.10.0531Dmmm3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力224211(0.0531)

16、22.2 1044DAm223 23 2422()(90 10 )(85 10 ) 6.87 1044ADdm 在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。之比等于横截面面积之比。42416.87 100.3122.2 10AA可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的3131% % 。实心轴和空心轴横截面面积为实心轴和空心轴横截面面积为已知：已知：P P7.5kW, 7.5kW, n n=100r/min,=100r/min,最最大切应力大切应力不得超过不得超过40MPa,4

17、0MPa,空心圆轴空心圆轴的内外直径之比的内外直径之比 = 0.5= 0.5。二轴长。二轴长度相同。度相同。求求: : 实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外和空心轴的外直径直径D D2 2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。解：解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴实心轴31616 716 20 045m=45mm40 10.d例题例题3.43.47 595499549716 2N m100.xPMTnmax13111640MPaPTTWd3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力空心轴空心轴d20.5D2=23

18、mm324616 716 20 046m=46mm 1-40 10.Dmax234221640MPa1PTTWD3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心轴的重量之比长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：28. 15 . 01110461045122332222121DdAA 实心轴实心轴d d1 1=45 mm=45 mm空心轴空心轴D D2 246 mm46 mmd d2 223 mm23 mmP P1 1=14kW, =14kW, P P2 2= = P P3 3= = P

19、 P1 1/2=7 kW/2=7 kWn n1 1= =n n2 2= 120r/min= 120r/min360r/minr/min12361203113zznn解：解：1 1、计算各轴的功率与转速、计算各轴的功率与转速2 2、计算各轴的扭矩、计算各轴的扭矩例题例题3.53.533.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力求求: :各各轴轴横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力； 并校核各轴强度。并校核各轴强度。已知：已知：输入功率输入功率P P1 114kW,14kW,P P2 2= = P P3 3= =P P1 1/2/2，n n1 1= =n n2 2=120r/min,=12

20、0r/min, z z1 1=36,z=36,z3 3=12;=12;d d1 1=70mm, =70mm, d d 2 2=50mm, =50mm, d d3 3=35mm.=35mm. =3 30 0MPaMPa。. .T T1 1=M=M1 1=1114 N m=1114 N mT T2 2=M=M2 2=557 N m=557 N mT T3 3=M=M3 3=185.7 N m=185.7 N m 1max3-9116 1114EPa16.54MPa7010tTW 2max3-9216 557HPa22.69MPa 5010tTW 3max3-9316 185.7CPa21.98MP

21、a 3510tTW3 3、计算各轴的横截面上的、计算各轴的横截面上的 最大切应力；最大切应力；校核各轴校核各轴 强度强度33.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力相对扭转角相对扭转角抗扭刚度抗扭刚度3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形niPiiiGIlT1单位长度扭转角单位长度扭转角扭转刚度条件扭转刚度条件3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形max许用单位扭转角许用单位扭转角pdTdxGIrad/mrad/m180pTGI/ /m m扭转强度条件扭转强度条件扭转刚度条件扭转刚度条件已知已知T T 、D D 和和 ，校核强度校核强度已知已知T T 和和 ，设计截面

22、设计截面已知已知D D 和和 ，确定许可载荷确定许可载荷已知已知T T 、D D 和和 / / ，校核刚度校核刚度已知已知T T 和和 / / ，设计截面设计截面已知已知D D 和和 / / ，确定许可载荷确定许可载荷3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形max tTW3116tWDmaxpTGI413 2pID例题例题3.63.63.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形maxTWt 某传动轴所承受的扭矩某传动轴所承受的扭矩T=200NmT=200Nm，轴的直径轴的直径d=40mmd=40mm，材材料的料的 =40MPa=40MPa，剪切弹性模量剪切弹性模量G=80GPaG=

23、80GPa，许可单位长度转许可单位长度转角角 / /=1 =1 / /m m。试校核轴的强度和刚度。试校核轴的强度和刚度。 传动轴的转速为传动轴的转速为n=500r/min，主动轮，主动轮A A 输入功率输入功率P1=400kW，从动轮，从动轮C C，B B 分别输出功率分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 (1)(1)试确定试确定AC AC 段的直径段的直径d d1 1 和和BC BC 段的直径段的直径d d2 2； (2)(2)若若AC AC 和和BC BC 两段选同一直径，试确定直径两段选同一直径，试确定直径d d； (3)(

24、3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理主动轮和从动轮应如何安排才比较合理? ?1eMABC2eM3eM1d2d1119549ePTMnmN764050040095492312404580N m400eTMT解：解：1.1.外力偶矩外力偶矩 例题例题3.73.73.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 2.2.扭矩图扭矩图 mm2 .82m102 .821070764016 1633631Td按刚度条件按刚度条件mm4 .86m104 .8611080180764032180323429421GTd3.3.直径直径d d1 1的选取的选取 按强度条件按强度条件mN7640mN4580 mm4 .861d1eMABC2eM3eM1d2d 31max16dT18