高中数学三角函数常见习题类型及解法

1、高中数学三角函数常见习题类型及解法高考试题中的三角函数题相比照较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习 过程中既要注重三角知识的根底性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性 等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与 代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。一、知识整合1 熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等； 熟悉三角变换常用的方法一一化弦法，降幕法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函 数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式 解决一

2、些实际问题.2熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数 的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点 画出函数y Asin( x)的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化.二、高考考点分析2004年各地高考中本局部所占分值在1722分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数根本性质的问题。如 判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角

3、公式、平方公式逆用、 切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界 性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。三、方法技巧1. 三角函数恒等变形的根本策略。1常值代换：特别是用"1的代换，女口 仁cos2 0 +sin2B =tanx cotx=tan45 °等。2 2 2 2 2 22项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;配凑角：a =a + B一 3,3 =等。2 23降次与升次。4化弦切法。4引入辅助角。asin 0 +bc

4、os 0 =-.a2 b2 sin( 0 + )，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan =-确定。a2. 证明三角等式的思路和方法。1思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。2证明方法：综合法、分析法、比拟法、代换法、相消法、数学归纳法。3. 证明三角不等式的方法：比拟法、配方法、反证法、分析法，禾U用函数的单调性，禾U用 正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4. 解答三角高考题的策略。1发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析。2寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。3合理转化：选择恰当的公式，促使

5、差异的转化。四、例题分析例 1. tan .2，求1cosSi ;2sin2 sin .cos2cos2 的值.cos sin例 2求函数 y 1 sinx cosx (sinx cosx)2 的值域。例 3函数 f (x) 4sin2x 2sin 2x 2, x R。1求f (x)的最小正周期、f (x)的最大值及此时x的集合;n2证明：函数f (x)的图像关于直线x 上对称。81 2<3例 4. 函数 y= cos x+ sinx cosx+1 x R,2 21当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；2该函数的图像可由y=sinx(x R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?例 5.

6、函数 f(x) sin cos 3 cos .3 33I将f(x)写成Asin( x)的形式，并求其图象对称中心的横坐标；n如果 ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函 数f(x)的值域.例6.在吐ABC中,a、b、c分别是角 A、B、C的对边，且cosCcosB3a c(1)求sin B的值;假设b 4.2，且a=c，求込ABC的面积。例 7.向量 a (2cos a 2 sin a, b=( sin a cos a, x a (t2 3)b,y ka b，且 x y 0 ,(1) 求函数k f (t)的表达式；(2) 假设t 1,3，求f(t)的最大

7、值与最小值。b|例 &向量 a (cos asin a, b=(cos ,in p), |a(1)求 cos( a p)的值；n n 小_j5. 、. 假设0 a ,p 0,且sin p ，求sin a的值。2213例9平面直角坐标系有点P(1,cosx), Q(cosx,1),x ,4 4(1)求向量op和OQ的夹角 的余弦用x表示的函数f (x)；2)求的最值.解：1cos sincossin/ sin1 cos sin1 tan1 tancossin2sin cos22 cossin2 sin cossin22 cos22cos2sin2COSsin . 1 cos说明：利用齐次

8、式的结构特点会使解题过程简化。sincos2如果不具备，通过构造的方法得到，进行弦、切互化，就解:sin x cosxj2sin(x n) 72,J2，那么原函数可化为4所以,2时,(t 1)2ymax3函数的值域为 y解：f(x) 4s in2寸，因为tx 2sin 2x2.2 ，所以2sin x 2(1 2sin2x)2sin 2x 2cos 2x 2、. 2 sin(2x n)4(1)所以f(x)的最小正周期T n,因为x R,冗冗3 n所以，当2x 2k n ，即x k n 时，f (x)最大值为2 2 ；428冗证明：欲证 明函数f (x)的图像关于直线x 对称，只要证明对任意x R

9、，有8f(冗8x)f(x)成立，8因为f(冗x)2、2 s in2(x)2. 2sin(n 2x)2 2cos2x，8842f(冗8x)2 si n2(nn-x)-842、2 sin(n2x)22 2 cos2x，所以f(冗8x)f( 8 x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线nx对称。81 2 I 31213解：1y= cos x+ sinx cosx+1= (2cos x 1)+2 21 、. 3=cos2x+sin 2x+441=sin( 2x+ )+2 62sinx cosx+1451= (cos2x sin +sin2x426cos)+564所以y取最大值时，只需 2x+= +2k

10、 n , k Z，即卩x= +k n , k Z。6 2 6所以当函数y取最大值时，自变量 x的集合为x|x= +k n ,k Z62将函数y=sinx依次进行如下变换:i把函数y=sinx的图像向左平移 一，得到函数y=sin(x+ )的图像;6ii把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的1倍纵坐标不变，得到函数y=sin(2x+ )2的图像;iii 把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的1丄倍横坐标不变，得到函数21y= sin(2x+ )的图像;2 65iv丨把得到的图像向上平移5个单位长度，得到函数4综上得到 y=丄cos?x+ 3 sinxcosx+1 的图像。2 2说明：此题是2000年

11、全国高考试题，属中档偏容易题,1 5y= sin( 2x+ )+ 的图像。2 64主要考查三角函数的图像和性质。是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幕后最终化成y= a2 b2 sin 1还可以解法如下：当这类题一般有两种解法：(3 x+ ) + k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。此题12.3 1cos x sin xcosxcosx=0 时，y=1 ; 当 cosx 丰 0 时，y= 222+1 = 2sin x cos x1 tan2(y 1)tan 2x 3 tanx+2y 3=0化简得:/ tanx 3 7R,.A =3- 8(y 1)(2y 3) > 0,解之得

12、：兰 w y <4 4_7.yma)=4，此时对应自变量x的值集为x|x=k1 . 2x 3 “sin(12 32I由 sin(空 )=0 即333解：f (x)cos空)31 . 2x sin -2 3n + ,k Z63 2xcos2xk (kz)得x33ksin®33k 121以 cos B ，又 0 B3n，所以sin B1 cos2 B2.23cosx2 a2 c.2 2ba2 cac2ac iac12ac2ac2ac211,0 x2x5cosx3 2333952x2x. 3 sin(|-| |，sinsin()1,对称中心的横坐标为n由 b

13、2=ac即f(x)的值域为(：3,1-.2综上所述，x (0, ,f (x)值域为(.3,1.3 2说明：此题综合运用了三角函数、余弦定理、根本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想 来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。cosC 3a c 亠 cosC 3sin A sin C解：(1)由正弦定理及，有 cosB bcosBsi nB即 sin BcosC 3sin AcosB sin C cosB，所以 sin(B C) 3sin AcosB ,又因为 ABC n, sin(B C) si nA，所以 si nA 3si n AcosB，因为 si nA 0

14、,所b0，又 x y0,b)ka2(t23)b2 t k(t2133丄tt;4430 ,解得t1，列表如下：43)a b222(2)在“ABC中，由余弦定理可得 a c ac 32，又a c , 3422所以有一a32,即a 24，所以込ABC的面积为31 1 2厂Sacsin B a sin B 8 2。2 2解： a24， b21， a所以 x y 孑(t23)b ( ka1 33所以 k -t3 -t，即 k f (t)4 4由(1)可得，令f (t)导数t24t-1(-1, 1)1(1 , 3)f (t)导数00+f(t)极大值递减极小值递增min1而 f i2, fi21 992 , D -，所以 f(t)max -，f(t)mi解：因为a(cos a，in a, b=(cos ft sin所以 a b (cos a cos ft sin a sin ft ,又因为ab|2乜，所以5.(cos a cos ft)2 (sin a sin ft)2即 2 2cos( aft)4cos( aft)50na ,2n c-ft20,0a ftn，又因为cos( aft)-，所以s