高中数学双曲线抛物线知识点总结

1、双曲线平面内到两个定点，的距离之差的绝对值是常数2a(2a4c。求双曲线的离心率5e的取值范围。解：直线I的方程为1,级 bx+ay-ab=0。a b由点到直线的距离公式，且a 1,得到点1，0到直线I的距离凭，同理得到点-1，0到直线I的距离d2b(a1)a2 b2，s d1 d22ab2ab由s 5c，得詈 5c，即5aE2c2 。于是得 5, e2 1 2e2，即 4e4 25e2 25 0。5解不等式，得545。由于e 1 0,所以e的取值范围是2 21例 3】设F1、F2分别是双曲线7古i的左、右焦点，假设双曲线上存在点A，使F1AF290，且丨AFi | =3 | AF2 |,求双

2、曲线的离心率。解：F1AF2 90：2AF12AF24c又 I AF1 | =3 | AF2 | ,二 AF1 AF2 2 AF2 2a 即 AF2 a,- AF12 AF229 AF2 2 AF210 AF2 2 10a2 4c2,102题型三直线与双曲线的位置关系方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程Ax By C 0组，即 ,对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共b x a y a b点和相切不是等价的。2、直线与双曲线相交所截得的弦长：【例4】如图，两定点F1 . 2,0, F2V,0,满足条件PF2 PF12的点P的轨迹是曲线E

3、,直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点，如果AB使 OA OB mOC，求1曲线E的方程；2直线AB的方程；3m的值和 ABC的面积S。解：由双曲线的定义可知，曲线E是以F1( j2,0), F2C，2,0)为焦点的双曲线的左支,且 c 、. 2 , a=1，易知 b , c2 a21。故直线E的方程为x2 y21(x0),设 A(Xi,y) Bgg),y=kx-1由题意建立方程组y消去2 2 dx -y =1y,得(1 k2)x22kx 20。又直线与双曲线左支交于两点A、B,有XiX-|X2k20,(2k)28(1 k2)0,2k 0 解得1 k2亠0.1 k1。又AB 1 k2 ?X

4、X2.厂k2?心 x2)2 4x,x22k2(1 k2)(2 k2)(1k2)2依题意得2 (1 k2)(2 k2)(1k2)26-、3，整理后得 28k455k2250 , k27 或 k2故直线AB的方程为3设 C(xc，yc),由OAOB mOC，得(X1, yj(X2, y2)(mxc,myj ,二(xc,yc)(my1亠)(m 0)。 m又 X-|x22kk2 1y1 y2 k(x1 X2) 22k2k2 12/1点 ce5,8)。m m将点C的坐标代入曲线E的方程，的驾卑 1 ,m m得m 4，但当m 4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。m 4，C点的坐标为、一 5, 2，A

5、_ A_ ABC 的面积 S -63-3 。2 3一、抛物线高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。一 知识归纳方程2y 2 px( p o)2y 2px(p 0)x2 2py(p0)2x2py(p 0)图形J1dLyyVOl)/f /xy1O/FIOFOxl顶点0, 0对称 轴x轴y轴焦占八 、八、Ff，0F知| F吋F0,自离心率e=1准线l：x fl：x子l：y 2l：y 1二典例讲解题型一抛物线的定义及其标准方程方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，

6、标准方程有时可设为y2 mx或x2 mym 0。【例5】根据以下条件求抛物线的标准方程。1抛物线的焦点是双曲线 I6x2 9y2144的左顶点；2经过点 A 2, 3；3焦点在直线 x-2y-4=0 上;4抛物线焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点 A,| AF | =5.2 2解：1双曲线方程可化为 1，左顶点是-3, 0916由题意设抛物线方程为 y2 2px(p 0)且 P 3, p=6.方程为y212x2解法一：经过点 A 2, 3的抛物线可能有两种标准形式：y2 = 2px 或 x2 = 2py.9点A 2, 3坐标代入，即 9= 4p,得2p=2一 24点 A2, 3坐标代入

7、x = 2py,即 4= 6p,得 2p= 一394所求抛物线的标准方程是y = x或x = y3解法二：由于 A 2, -3丨在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y2 mx或x2ny ,94代入 A 点坐标求得 m= , n=-,23所求抛物线的标准方程是y2= -x或x2= 4y233令 x=0 得 y= 2,令 y=0 得 x=4 ,直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为0, -2，4, 0。焦点为0, -2，4, 0。抛物线方程为x28y或y2 16x。4设所求焦点在x轴上的抛物线方程为 y2 2px( p 0) , A m, -3，由抛物线定义得5 AF m p ,2又(3)22 p

8、m , p 1 或 p 9 ,故所求抛物线方程为 y2 2x或y218x。题型二抛物线的几何性质方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线I的距离处理，例如假设P X0,yo为抛物线y22px(p 0)上一点，那么 PF2、假设过焦点的弦AB , A(x1, y1), B(X22)，那么弦长 AB & X2 p ,为 X2 可由韦达定理整体求出, 类似得到。如遇到其他标准方程，那么焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法【例6】设P是抛物线y2 4x上的一个动点。(1) 求点P到点A-1 , 1的距离与点P到直线X1的距离之和的最小值;(2) 假设 B3, 2，求 P

9、BPF的最小值。解：1抛物线焦点为 F 1, 0，准线方程为x 1 o / P点到准线x1的距离等于P点到F 1, 0的距离,问题转化为：在曲线上求一点P,使点P到A-1,1离之和最小。显然P是AF的连线与抛物线的交点，的距离与P到F 1，0的距最小值为AF 752同理PF与P点到准线的距离相等，如图:过B做BQL准线于Q点，交抛物线与 Pi点。IRQPF| ,PFPBPQ BQ 4。PF的最小值是4。题型三 利用函数思想求抛物线中的最值问题方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。【例7】抛物线y = x2，动弦AB的长为2，求AB的中点纵坐标的最小值。分析一：

10、要求AB中点纵坐标最小值，可求出y1 + y2的最小值，从形式上看变量较多，结合图形可以观察到 y1、y2是梯形ABCD的两底，这样使得中点纵坐标y成为中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。解法一：设 A(X1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 M(x,y)1由抛物线方程 y = x2知焦点F(0, ),准线方程41y ，设点A、B、M到准线的距离分别为|AD1|、 4|BC1|、 |MN| ,贝U |AD1| + |BC1| = 2|MN| ,且1MN =2(y+丄)，根据抛物线的定义，有|AD1|=|af|、 41|BC1|=|BF|,. 2(y+ ) = |AF| +

11、|BF| |AB| = 2,4二 2(y+ ) 243 3二y -,即点M纵坐标的最小值为一。4 4分析二：要求 AB中点M的纵坐标y的最小值，可列出 y关于某一变量的函数，然后求 此函数的最小值。2 2 2解法二：设抛物线 y = x上点A(a,a ),B(b,b) , AB的中点为 M(x, y)，贝U. 2 .2,ya b a bx ,y2 2/ |AB| = 2, (a b) + (a b ) = 4,那么(a + b) -4ab + (a + b ) - 4a b = 42 2 2 2 2y, 4x 4(2x y) + 4y 4(2x y) = 422那么 2x = a + b,2y

12、 = a + b ,得 ab= 2x整理得yx214x2 1y ?(4x24即点M纵坐标的最小值为3/4 。练习:21、以y= 2x为渐近线的双曲线的方程是32 2 2 2 2 2 2 22/23A、3y 2x =6 E、9y 8x=1 C、3y 2x=1 D、9y 4x =36C的渐近线为y二2x，只有D的渐近线符合题意。2、假设双曲线x y1的左支上一点P a, b到直线y=x的距离为、2，那么a+b的值为11A、-B、C、2D、222【答案D】解析：A的渐近线为y二：x , B的渐近线为y二【答案A】解析：T P在双曲线上,b21 即a+b a-b=1又P a, b到直线y=x的距离为,

13、2即a b1-a+b=23、如果抛物线的顶点在原点、对称轴为x轴，焦点在直线3x 4y 120上，那么抛物线的方程是16x2 “B、y 12xC、16x2 “D、 y 12x【答案C】解析:令x=0得 y= 3,令 y=0 得 x=4 ,直线3x4y 120与坐标轴的交点为0,-3， 4, 0。焦点为0, -3， 4 , 0。抛物线方程为x2212y或 y 16x。1 24、假设抛物线y= x上一点P到焦点F的距离为5,贝V P点的坐标是4A. 4，4 B.土 4，4 C.79，琴D.土普，16【答案B】解析：抛物线的焦点是0, 1，准线是y 1,P到焦点的距离可以转化为到准线的距离。 设 P

14、x, y，那么 y=4,x . 4y , 1645、假设点A的坐标为3, 2，F为抛物线y2 2x的焦点，点P是抛物线上的一动点，那么 PA | PF取得最小值时点 P的坐标是CA . 0, 0B . 1 , 1C.2, 2D. (-,1)2【答案C】解析：抛物线焦点为 F 1 , 0，准线方程为x 1。/ P点到准线x 1的距离等于P点到F 1, 0的距离，问题转化为：在曲线上求一点P,使点P到A 3, 2的距离与P到F 1 , 0的距离之和最小。显然P是A到准线的垂线与抛物线的交点， P的坐标为2, 226、A、B是抛物线y 2px(p 0)上两点，O为坐标原点，假设丨OA| = | OB

15、|，且A、 x=p B 、 x=3p C3x= p25D、x= p22 2【答案D】解析：设A L , y，B , -y,2p2p Fp, 0是厶AOB的垂心，?_X- 2y2p2p整理得5p2 x2p27、过点P4, 1，且与双曲线92y161只有一个公共点的直线有条。【答案】两条解析：因为 P 4，1位于双曲线的右支里面，故只有两条直线与双曲线有一个 公共点，分别与双曲线的两条渐近线平行。44这两条直线是：y 1 (x 4)和y 1 (x 4)3328、双曲线C与双曲线y2 1有共同的渐近线，且过点 A(2,-2)，那么C的两条准线之间的距离为 。【答案】2.632解析：设双曲线 C的方程

16、为y2 k(k 0)，2将点A代入，得k= -2。2 2,y x 故双曲线C的方程为：124所以两条准线之间的距离是2a22-6c 39、抛物线y2 2px(p 0)，一条长为4P的弦，其两个端点在抛物线上滑动，那么此弦中点到y轴的最小距离是 【答案】3p2解析：设动弦两个端点为 A、B,中点为C,作AA BB CC垂直于准线的垂线，垂足分别为A B C连接AF、BF，由抛物线定义可知，丨AF| = | AA |,I BF | = | BB |/ CC是梯形ABB A的中位线1 1 1I CC I = -(AA：) BB)=-(AF) BF) -|AB =2pp 3当AB经过点F时取等号，所以

17、 C点到y轴的距离最小值为 2p-p。10、抛物线y212x的一条弦的中点为 M( 2, 3)，那么此弦所在的直线方程是 【答案】2x-y+1=0解析：设此弦所在的直线I方程为y 3 k(x 2),l与抛物线的交点坐标分别是A(x 1,y1),B(x 2,y2),那么 x-i x24将I的方程代入抛物线方程整理得k2x2(4k2 6k 12)x (2 k 3)20由韦达定理得x-i x2解得k 2(4 k2 6k 12)k此直线方程为y 32(x2)即 2x-y+1=011、双曲线的中心在原点，焦点在解：由题意知，2c 16 c 8c 4又ea 6a 32 2 2b c a 28y轴上，焦距为

18、16,离心率为-，求双曲线的方程。32 2y x36282 212、双曲线与每 1(aa b0,b 0)的离心率e紳，过点A(0, b)和Ba, 01求双曲线的方程；2直线y kx m(k 0,m 0)与该双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在b24e i 2解：a23i由题设，得abV3.a2 b22解得 a23, b2i2双曲线的方程为y2 i o3以A为圆心的同一圆上，求 m的取值范围。2把直线方程y kx m代入双曲线方程,并整理得(1 3k2) x26kmx 3m2因为直线与双曲线交于不同的两点,2 212m12 36k设 C(Xi, yi)，D(X2,y2)那么 Xi X26

19、km2 , yii 3k2y2k (xiX2)2m2mi 3k2设CD的中点为P(x0,y0)，其中X。那么XoXi X2 丁,yo3kmi 3k2，y。yi y2，m3k2依题意,API CD mi 3k23kmi 3k2整理得3k2 4mi将式代入式得m2 4m0 m4 或 m 4或i门m 0。4i3、点A2,8，Bxi,yi, CX2, y2在抛物线物线的焦点F重合如图i写出该抛物线的方程和焦点 F的坐标; 2求线段BC中点M的坐标；2y 2 px上， ABC的重心与此抛3求BC所在直线的方程.12分1*11)(k0).解：1由点A 2, 8在抛物线寸 2px上,2 2有82p?2，解得p=16.所以抛物线方程为 y 32x ,焦点F的坐标为8，0.2如图，由于 F 8，0是